Korn inequality on irregular domains
本文研究了一类非正则域上的加权Korn不等式，$s$ -John域和满足拟双曲边界条件的域。关于这些域上的科恩不等式的锐度的例子。此外，我们证明了Korn不等式蕴含一定的Poincaré不等式.
2013-07-04 math.AP math.CA
Maxwell meets Korn: A New Coercive Inequality for Tensor Fields with Square-Integrable Exterior Derivative
Maxwell meets Korn：具有平方可积〔的〕外导数的张量场的一个新的强制不等式
2011-06-30 math-ph math.AP math.DG
Weighted generalized Korn inequality on John domains
本文的目的是证明在John域和加权索伯列夫空间上，用无迹部分代替经典Korn不等式中微分矩阵的对称部分的广义Korn不等式是有效的.考虑的权重是到边界的距离的非负幂。
2016-12-14 math.AP
The Fractional Korn Inequality on Uniform Domains and New Korn Inequalities for Truncated Seminorms
Universidad de Buenos Aires / IMAS, CONICET（布宜诺斯艾利斯大学 / 阿根廷国家科学研究委员会物质研究所）；Centro de Matemática de La Plata, Facultad de Cs. Exactas, Universidad Nacional de La Plata / CONICET（拉普拉塔数学中心，拉普拉塔国立大学理学院 / 阿根廷国家科学研究委员会）；Department of Mathematics and Statistics, California State Polytechnic University Pomona（加州州立理工大学波莫纳分校数学与统计系）
本文在均匀领域上证明了分数Korn不等式第二情形，并通过截断半范数提出新不等式，同时给出了与边界距离相关的加权估计。
2026-01-13 math.AP
Fractional Korn and Hardy-type inequalities for vector fields in half space
基于一个修正的分数阶半范数，证明了半空间上向量场的一个分数阶Hardy型不等式.先验地，修改的半范数并不等同于标准的分数半范数，实际上给出了一个更小的范数。因此，我们证明的不等式改进了经典的向量场的分数阶Hardy不等式。我们将使用不等式建立定义在半空间上的函数空间（感兴趣的）与经典分数索伯列夫空间的等价性，这相当于证明经典Korn不等式的分数版本。
2018-05-16 math.AP math.FA
Stability of the Poincaré-Korn inequality
本文在矩约束下解决了 Carrapatoso 等人关于 Poincaré-Korn 不等式锐常数高斯最优性的问题，并证明接近最优常数的测度在定量意义上接近标准高斯分布。
2024-05-02 math.AP math.FA math.PR
A Fractional Korn-type inequality for smooth domains and a regularity estimate for nonlinear nonlocal systems of equations
本文证明了经典Korn第一不等式的一个分数阶类似。利用这个不等式，可以证明具有“投影差”的Gagliardo型向量场的函数空间与相应的分式索伯列夫空间的等价性.作为一个应用，我们将用它来获得一个非局部非线性系统的Caccioppoli型不等式，这反过来又是应用已知结果来证明非局部非线性系统弱解的更高分数阶可微性结果的一个关键组成部分.我们证明的正则性结果将证明标量非局部方程的一个著名的自改进性质也适用于非局部方程的强耦合系统。
2020-11-24 math.AP math.FA
BMO and Elasticity: Korn's Inequality; Local Uniqueness in Tension
在这篇手稿中，两个$BMO$估计，一个线性弹性和一个非线性弹性。首先证明了向量值映射的梯度的$BMO$ -范数是由一个常数乘以其梯度的对称部分的$BMO$ -范数的上界，即$BMO$中的Korn不等式.然后考虑了主应力处处非负的有限变形平衡的唯一性。当能量的二阶变分作为应变的函数时，在这样的平衡解处是一致正定的，则在应变空间中存在一个$BMO$ -邻域，在该邻域中不存在其它平衡解.
2020-04-06 math.AP math.FA
Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions with conformally invariant dislocation energy
设$Ω\subset \mathbb{R}^3$是具有Lipschitz边界和向外单位正规$ν$的开有界集.对于$1<p<\infty$，我们建立了新Banach空间$$ W^{1,\,p,\,r}_0(\operatorname{dev}\operatorname{sym}\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb R^{3\times3}) = \{ P \in L^p(Ω,\mathbb R^{3\times3}) \mid \operatorname{dev} \operatorname{sym} \operatorname{Curl} P \in L^r(Ω,\mathbb R^{3\times3}),\ \operatorname{dev} \operatorname{sym} (P \times ν) = 0 \text{ on $\partial Ω$}\} $$中不相容张量场$P$的广义$L^p$不等式的一个改进形式，其中$$ r \in [1, \infty), \qquad \frac1r \le \frac1p + \frac13, \qquad r >1 \quad \text{if $p = \frac32$.}$$具体地说，存在一个常数$c=c(p,Ω,r)>0$，使得不等式\[ \|P \|_{L^p}\leq c\,\left(\…
2021-07-05 math.AP
Nečas-Lions lemma revisited: An $L^p$-version of the generalized Korn inequality for incompatible tensor fields
对于$1<p<\infty$，我们证明了$ W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$中不相容张量场$P$的广义Korn不等式的一个$L^p$ -版本.更精确地说，设$Ω\subset\mathbb{R}^3$是一个有界Lipschitz域.则存在一个常数$c>0$，使得\begin{equation*} \| P\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left( \|\operatorname{sym} P\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})} + \| \operatorname{Curl}P \|_{L^p(Ω, \mathbb{R}^{3\times3})}\right)\end{equation*}对所有张量场$P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$成立，即，对于在$ \partialΩ$上具有消失的切向迹线$ P\times ν=0 $的所有$P\in W^{1,\,p}(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$，其中$ν$表示$\partialΩ$的向外单位法向量场。对于相容的$P=D …
2021-05-15 math.AP
On Korn's First Inequality for Tangential or Normal Boundary Conditions with Explicit Constants
我们将证明，对于分段光滑和凹域，Korn的第一个不等式对满足齐次法向或切向边界条件的向量场成立，显式Korn常数平方根为2。
2016-02-21 math-ph math.AP math.MP
On Korn's First Inequality for Mixed Tangential and Normal Boundary Conditions on Bounded Lipschitz-Domains in $\mathbb{R}^N$
证明了对于$\mathbb{R}^N$中的有界Lipschitz域，Korn的第一不等式对满足齐次混合法向和切向边界条件的向量场成立.
2016-08-19 math-ph math.AP math.MP
On the fractional Korn inequality in bounded domains: Counterexamples to the case $ps<1$
Korn第一不等式在有界域上分式情形下的有效性已被证明。我们解决这个问题，证明事实上科恩的第一个不等式的情况下$ps>1$分数$W^{s,p}_0(Ω)$ Sobolev领域的开放和有界$C^{1}$ -经常域$Ω\subset \mathbb R^n$。此外，在$ps<1,$的情况下，对于任何开有界$C^1$域$Ω\subset \mathbb R^n$，我们构造不等式的反例，即，Korn的第一个不等式在有界域中不成立。在$ps>1$的情况下，不等式的证明遵循经典情况下采用的标准紧性方法，结合Hardy不等式，以及Mengesha和Scott最近证明的Korn第二不等式[ \textit{Commun. Math. Sci.,} Vol. 20，N 0. 2，405- 423，2022]。在$ps<1$的情况下构造的反例是一个恒定的仿射刚性运动内插域内远离边界，和零场接近边界。
2022-08-24 math.AP
A Canonical Extension of Korn's First Inequality to H(Curl) motivated by Gradient Plasticity with Plastic Spin
本文证明了张量场在H（Curl）中的一个Korn型不等式。
2011-06-30 math-ph math.AP math.MP
A fractional Korn-type inequality
我们证明了一类向量场空间的半范数包含“方向”差分量的大小，这类空间实际上等价于分数索伯列夫空间。这个等价性可以看作是分式索伯列夫空间的Korn型刻画。我们使用的结果，以更好地理解的能量空间的强耦合系统的非局部方程相关的非局部连续模型通过周波。此外，等价性允许我们应用经典的空间嵌入来证明非局部系统的弱解具有改进的可微性和改进的可积性。
2018-08-06 math.AP math.CA math.FA
A generalized Korn inequality and strong unique continuation for the Reissner-Mindlin plate system
我们证明建设性的估计弹性板Reissner-Mindlin理论建模和一般各向异性材料。也就是说，我们得到了一个广义的Korn不等式，它允许导出Neumann问题的定量稳定性和全局H^2正则性。此外，在各向同性材料的情况下，我们得到了一个具有最优指数的内三球不等式，由此得到了强唯一连续性。
2016-10-05 math.AP
Weighted Korn and Poincaré-Korn inequalities in the Euclidean space and associated operators
证明了当欧几里得空间上的向量场具有满足Poincaré不等式的有界测度时向量场上的函数不等式，并研究了相应的自伴算子.加权科恩不等式比较了微分矩阵，一旦正交投影到某些有限维空间，其对称部分，并在不等式的改进形式中，一个附加项。我们还考虑Poincaré-Korn不等式估计的投影的向量场的对称部分的微分矩阵和零阶版本的这些不等式使用Witten-Laplace算子。常数依赖于势的几何性质，估计是定量的和建设性的。这些不等式是由动力学理论激发的，与有界域上的力学中的Korn不等式（1906）有关。
2020-12-11 math.AP
Boundary Korn Inequality and Neumann Problems in Homogenization of Systems of Elasticity
本文研究了均匀化理论中出现的一类具有快速振荡周期系数的线性弹性椭圆方程组。在有界Lipschitz区域上，利用$L^2$边界数据建立了Neumann问题解的一致最优正则性估计.证明依赖于边界的科恩不等式的线性弹性系统的解决方案，并使用大规模的Rellich估计在\cite{Shen-2016}。
2016-08-27 math.AP
A nonlinear Korn inequality based on the Green-Saint Venant strain tensor
证明了一个基于Green-Saint Venant应变张量的非线性Korn不等式，当位移在Sobolev空间$W^{1,p}$，$p\geq 2$中，且在边界的一部分上满足Dirichlet条件时.该不等式可用于证明非线性弹性能量的可逆性。
2016-05-23 math-ph math.AP math.MP
Counterexamples in the theory of coerciveness for linear elliptic systems related to generalizations of Korn's second inequality
我们证明了具有非常数可测矩阵值系数P的Korn第二不等式的如下推广形式||DuP+（DuP）^T||_q+| |u||_q >= c| |Du||对于W_0^{1，q}（Ω;R^3），1<q<{ \infty }中的u_q一般为假，即使P是SO（3）中的，而对于二次型，|Du P+（DuP）^T| #22912;满意。因此，对于形式正的二次型，Garding不等式可能被违反.
2013-03-06 math.AP
Optimal incompatible Korn-Maxwell-Sobolev inequalities in all dimensions
本文刻画了适用于任意维度且不相容矩阵场的最优 Korn-Maxwell-Sobolev 不等式，推广了线性弹性中的 Korn 型不等式，并特别对二维情形进行了精细分析。
2023-06-29 math.AP
Korn's second inequality and geometric rigidity with mixed growth conditions
几何刚性指出，梯度场是$L^p$ -接近于适当的旋转集，必然是$L^p$ -接近于固定的旋转，并且是非线性弹性中的一个关键估计。在一些应用中，例如在塑性理论中，出现了混合生长的能量密度。我们在这里表明，几何刚性也保持在$L^p+L^q$和$L^{p,q}$插值空间。作为第一步，我们证明了相应的线性不等式，推广Korn不等式到这些空间。
2012-03-06 math.AP
$L^p$-trace-free generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions
对于$1<p<\infty$，我们证明了$ W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$中不相容张量场$P$的广义无迹Korn不等式的$L^p$ -版本。更精确地说，设$Ω\subset\mathbb{R}^3$是一个有界Lipschitz域.则存在一个常数$c>0$，使得\[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})} + \|{ \operatorname{dev} \operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\right) \]对所有张量场$P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$成立，即，其中$ν$表示$ P\times ν=0 $的向外单位法向量场，$\operatorname{dev} P := P -\frac13 \operatorname{tr}(P)\,\mathbb{1}_3$表示$P$的偏（无迹）部分。我们还证明了张量场…
2021-10-13 math.AP
Weighted Korn inequality on John domains
在有界欧氏John域上证明了Korn不等式的一个加权形式，其中权是到边界距离的非负幂。在这个定理中，我们还提供了不等式中所涉及的常数的估计，该不等式取决于权重中出现的幂和表征John域的几何条件。这个证明使用了一个基于函数的某种分解的局部到全局的参数。此外，我们还证明了div（u）=f在同类整环上的加权索伯列夫空间中的可解性.在这种情况下，权重是到边界的距离的非正幂。对该问题中出现的常数也作了估计。
2016-12-14 math.AP
Korn's inequality from the viewpoint of calculus of variations
University of Oxford（牛津大学）
研究科恩型不等式最佳常数及其与莫雷问题的联系，通过贝尓灵-阿赫弗斯变换分析技术，证明科恩不等式常数有维度无关界，并在径向情况下取得最优估计。
2026-08-04 math.AP
Korn's inequality and Jones eigenpairs
本文证明了Korn不等式\cite{ref:korn1906}对Lipschitz域边界子集上法迹或切迹为零的向量场成立。我们进一步表明，这个不等式的有效性取决于这个子集的边界的几何形状。然后，我们考虑{ \it Jones本征值问题}，它包括通常的牵引本征值问题的Lamé算子的线性弹性耦合的非空部分的边界上的位移的零正常的轨迹。在这里，我们扩展以前的作品在文献中显示的琼斯本征对存在于各种各样的域，即使当正常的轨迹的位移仅限于一个子集的边界。我们进一步表明，可以有一个修改后的特征值问题，其中的约束的正常轨迹上的一个子集的边界上的切向轨迹被取代的特征对。
2019-11-30 math.AP
A Korn-type inequality in SBD for functions with small jump sets
在平面上对有界变形的特殊函数给出了一个Korn型不等式。我们证明，对于每个功能在SBD $^2$与足够小的跳跃设置的功能和它的衍生物从一个无穷小的刚性运动的距离可以控制在一个小的例外集的有限周长外的线性弹性应变。特别地，结果表明，SBD $^2$中的每个函数都有界变差远离域的任意小部分。
2017-07-21 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.AP
A Korn-Poincaré-type inequality for special functions of bounded deformation
我们提出了一个Korn-Poincaré型不等式在一个平面的设置，这是在SBV由于De Giorgi，Carriero，Leaci的Poincaré不等式的精神。我们表明，对于每个功能的SBD $^2$可以找到一个修改，它不同于原来的位移场只有在一个小的集合，使修改的距离从一个合适的无穷小刚性运动可以控制的弹性和表面能的适当组合。特别地，该结果可用于获得有界变形函数的紧性估计。
2015-12-14 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.AP
Sharp rigidity estimates for incompatible fields as consequence of the Bourgain Brezis div-curl result
在这篇文章中，我们证明了一个尖锐的刚性估计和尖锐的Korn不等式的矩阵值字段的不相容性是一个有界的措施，可以得到一个Hodge分解的结果，由于临界可积Bourgain和Brezis。
2020-09-17 math-ph math.AP math.FA
Sharp weighted Korn and Korn-like inequalities and an application to washers
本文证明了具有奇异权的渐近尖加权“一级半”$2D$ Korn和Korn-like不等式，该不等式是从Cartesian变元到柱面变元的变量变换.证明了具有相同奇异权的Hardy不等式和所谓的“调和函数梯度分离”不等式。然后我们应用所得到的$2D$不等式证明了具有厚度$h$的垫圈在其内、外薄面上的Dirichlet边界条件为零时的类似不等式.垫圈可以从两个方面来考虑：当斜率为零时作为圆锥壳的极限情况，或者作为一个非常短的空心圆柱体。对于厚度为$h$且斜率为正的圆锥壳，第一个Korn不等式中的最优Korn常数的尺度类似于$h^{1.5}$，例如[10]，而对于垫圈，第一个Korn不等式中的最优Korn常数的尺度类似于$h^2$，并且仅取决于垫圈的外半径，如我们在本工作中所示。第一个半不等式中的Korn常数类似于$h$，并且仅取决于$h.$。该结果可用于计算垫圈在面内载荷作用下的临界屈曲载荷，例如[1]。
2016-02-24 math.AP
On the Korn interpolation and second inequalities in thin domains
我们考虑三维欧氏空间中围绕有界主曲率曲面的变厚度壳。我们推导出Korn插值（或所谓的第一个半不等式（在[Gra.Har.1]中首次引入的不等式））和第二个不等式，不对$\Bu.$施加边界或归一化条件估计中的常数在畴厚度$h,$方面是渐近最优的，其中首阶常数具有缩放$h$为$h\to 0.$。第一个工作确定了壳的经典Korn第二不等式中最佳常数的渐近性，几乎是完全一般性的，该不等式几乎对所有薄域$Ω\in\mathbb R^3$和所有向量场$\Bu\in H^1(Ω).$都满足。此外，Korn插值不等式比Korn第二不等式强，并且它将根据对称化梯度$e(\Bu)$估计梯度$\nabla\Bu$的问题，特别是薄域的任何线性几何刚度估计，简化为证明场$\Bu$本身上的相应Poincaré样估计的更容易的问题。
2018-08-14 math.AP
The asymptotically sharp Korn interpolation and second inequalities for shells
考虑三维欧几里得空间中具有有界主曲率的壳。证明了Korn插值（或所谓的第一个半\footnote{The inequality first introduced in [6]}）和第二个不等式的那种壳的$\Bu\in W^{1,2}$向量场，不对$\Bu.$施加边界或归一化条件估计中的常数在壳厚度的渐近性方面是最佳的$h,$具有缩放$h$或$O(1).$ Korn插值不等式减少了导出任何线性Korn型的问题壳的估计可以简单地用右侧的对称梯度证明庞加莱类型估计。这尤其适用于壳体的线性几何刚度估计，即，无边界条件的Korn第一不等式。
2018-01-27 math.AP
New asymptotically sharp Korn and Korn-like inequalities in thin domains
众所周知，Korn不等式在线弹性理论中起着核心作用。在本工作中，我们证明了新的渐近尖锐的Korn和Korn-like不等式在薄的弯曲区域与非常数厚度。这一新结果在研究压缩壳体的屈曲，特别是计算临界屈曲载荷时将是有用的。
2013-12-12 math.AP
A piecewise Korn inequality in SBD and applications to embedding and density results
给出了平面上广义特殊有界变形函数（$GSBD^2$）的一个分段Korn不等式，将弹性理论中的经典结果推广到了跳跃间断函数的情形.我们表明，对于每一个配置有分区的域，这样的裂纹体的每个组件的距离的功能从一个无穷小的刚性运动可以单独控制的线性弹性应变。特别地，该结果意味着$GSBD^2$函数在减去分段无穷小刚体运动后具有有界变差。作为应用，我们证明了$GSBD^2$中的一个密度结果.此外，对于所有的$d \ge 2$，我们显示$GSBD^2(Ω) \subset (GBV(Ω;{\Bbb R}))^d$和嵌入$SBD^2(Ω) \cap L^\infty(Ω;{\Bbb R}^d) \hookrightarrow SBV(Ω;{\Bbb R}^d)$到空间的特殊函数的有界变化（$SBV$）。最后，我们给出了任意维空间中具有小跳集的函数的Korn-Poincaré不等式。
2018-04-26 cond-mat.mtrl-sci math.AP
Korn-Maxwell-Sobolev inequalities for general incompatibilities
本文在超线性增长条件下为广义不相容场建立尖锐的强制性 Korn–Maxwell–Sobolev 不等式，统一推广已有结果，并首次覆盖高阶 inc 张量情形。
2023-12-07 math.AP
The sharp $L^p$ Korn interpolation and second inequalities in thin domains
本文将文献[ \ref{bib:Harutyunyan.4} ]中证明的$L^2$ Korn插值和薄域上的第二类不等式推广到空间$L^p$上，对任何$1<p<\infty.$，空间中的薄域大致上说是围绕一个足够光滑的二维表面的具有非常数厚度的壳。不等式，我们证明在$L^p$持有几乎任何薄域$Ω\subset\mathbb R^3$和任何向量场$\Bu\in W^{1,p}(Ω).$的常数估计是渐近最佳的方面的域厚度$h.$这特别是解决了问题的最佳常数的渐近性在经典的科恩第二不等式在$L^p$薄域方面的域厚度在几乎完全的一般性。值得注意的事实是，插值不等式将根据应变$e(\Bu)$估计梯度$\nabla\Bu$的问题简化为仅估计向量场$\Bu$的更容易的问题，这是一个Korn-Poincaré不等式。
2020-04-11 math.AP
Korn inequalities for shells with zero Gaussian curvature
我们考虑具有零高斯曲率的壳，即具有一个主曲率为零而另一个具有常数符号的壳。我们特别感兴趣的是壳，这是一个圆形的圆柱壳，零主纵向曲率和正的周向曲率，包括，例如，圆柱形和圆锥形壳的任意凸截面。我们证明了最好的常数在第一个科恩不等式的规模一样，厚度的权力3/2的边界条件在薄边的壳。我们的方法是证明，为每个三个相互正交的二维截面的外壳，一个“第一个半科恩不等式”-经典的第一和第二科恩不等式之间的混合。这三个二维不等式组合成一个三维不等式，这反过来又意味着壳的渐近尖锐的第一Korn不等式。这项工作是严格的数学分析的轴向压缩圆柱壳的屈曲载荷的形状缺陷的极端敏感性的一部分。
2016-02-11 math.AP
Korn and Poincaré-Korn inequalities: A different perspective
该研究提出了针对一般指数p和含Lipschitz区域的一类区域的Korn不等式的简洁论证思路，借助Riesz表示定理简化证明，并补充推导了有界与无界区域的Poincaré-Korn不等式，为弹性变分问题和第一Korn不等式证明提供支撑。
2024-08-17 math.AP
Korn type Inequalities for Objective Structures
本文在客观结构这一晶体晶格结构的广义框架下建立离散Korn型不等式，对填满空间构型得到完整离散Korn不等式，对非平凡余维系统给出扩展维度内的内蕴刚性估计，为原子粒子系统的能量估计与稳定性分析奠定基础。
2025-03-11 math.AP math.FA
Quantitative Gaffney and Korn inequalities
本文证明了Ehrling不等式的量化齐次版本，并由此推导出Gaffney和Korn不等式的量化形式，其常数为维数常数，给出了显式上界并证明切向情形渐近精确。
2025-10-07 math-ph math.AP math.MP
The uniform Korn - Poincaré inequality in thin domains
研究了R^n中任意光滑闭超曲面S周围的h阶小厚度壳S^h中的Korn-Poincaré不等式：u W^{1，2}（S ^h）} < C_h D（u）L ^2（S^h）}.我们用D（u）表示梯度\nabla u的对称部分，并假设切向边界条件：\partial S^h上的u \vec n^h = 0。证明了对S上Killing向量场扩张的正交补周围的锥族（角<π/2，在h上一致）中的向量场u，当h趋于0时，C_h保持一致有界.我们还证明了这个条件是最优的，因为每个Killing域都有一个扩张族u^h，即使域S^h不是旋转对称的，当h趋于0时，u^h/D（u^h）W^{1，2}（S^h）}的比值也会爆炸.
2012-12-06 math.AP math.CA
Gaussian curvature as an identifier of shell rigidity
本文研究具有非零高斯曲率的壳。我们推导出尖锐的科恩的第一（线性几何刚度估计）和第二不等式的零或周期Dirichlet，Neumann和Robin型边界条件的壳。我们证明，如果高斯曲率是积极的，那么在第一个科恩不等式规模像$h,$和如果高斯曲率是负的，那么科恩常数规模像$h^{4/3},$其中$h$是壳的厚度。这些结果在连续介质力学，特别是壳理论中具有经典意义。Korn第一不等式是Friesecke、James和Müller对板[14]的著名几何刚度估计的线性版本（其中它们表明非线性Korn第一不等式中的Korn常数如$h^2$），扩展到具有非零曲率的壳。我们还恢复了Lewicka和Müller在[37]中对“无边界”壳证明的一致Korn-Poincaré不等式。新的估计也可以应用到寻找的比例律的临界屈曲载荷下的壳面内载荷，以及推导出能量比例律在预屈曲制度。指数$1$和$4/3$在本工作中出现的第一次在任何尖锐的几何刚度估计。
2017-05-30 math.AP
On Poincaré, Friedrichs and Korns inequalities on domains and hypersurfaces
著名的Poincaré和Friedrichs不等式通过梯度的$\mathbb{L}_p$-范数来估计函数的$\mathbb{L}_p$ -范数。本文仅利用Banach空间的开映射定理证明了区域$Ω\subset \mathbb{R}^n$和超曲面$\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^n$的Poincaré不等式.对于以超曲面为基的圆柱，证明了仅涉及曲面导数的更强不等式。证明了一致$C$ -范数的类似不等式。我们还估计了函数的$\mathbb{H}^m_p$ -范数，证明了不等式的某些推广.我们还证明了仅在域和超曲面上由变形张量的$\mathbb{L}_p$ -范数估计函数的$\mathbb{L}_p$-范数的向量函数的Poincaré-Korns和Friedrichs-Korns不等式.证明是基于作者关于Korns不等式的论文\cite{Du10}。同样，圆柱中函数的范数由圆柱底上的变形张量估计。
2015-04-06 math.AP
Extension operators and Korn inequality for variable coefficients in perforated domains with applications to homogenization of viscoelastic non-simple materials
本文针对准静态大应变下非线性粘弹性二阶非简单穿孔材料，通过双尺度收敛方法推导均匀化模型，并构造ε无关的扩展算子及Korn不等式以处理粘性项的时间依赖框架无关性。
2024-04-22 math.AP
On the optimal constants in Korn's and geometric rigidity estimates, in bounded and unbounded domains, under Neumann boundary conditions
我们关心的最佳常数：在有界集$Ω\subset \mathbb{R}^n$上切向边界条件下的Korn不等式，以及在整个$\mathbb{R}^2$上的几何刚度估计。我们证明了后一个常数等于$\sqrt{2}$，并讨论了在Dirichlet边界条件下前一个常数与最优Korn常数的关系，以及在整个$\mathbb{R}^n$中，前一个常数等于$\sqrt{2}$ .我们还讨论了这些常数的可达性和结构的变形/位移场的最佳集。
2015-01-08 math.AP
A hint on the localization of the buckling deformation at vanishing curvature points on thin elliptic shells
由Grabovsky和Truskinovsky [ \textit{Cont. Mech. Thermodyn.,} 19（3-4）：211-243，2007]（后来在[ \textit{Journal of Nonlinear Science.,} Vol.26，Iss. 1，pp. 83- 119，2016]）预测，在静载下薄壳的临界屈曲载荷与加载程序产生的Dirichlet边界条件下薄壳的Korn常数（Korn第一不等式中）密切相关。已知在正、负和零（一个主曲率为零，另一个主曲率为零）高斯曲率壳的薄边界上的零Dirichlet边界条件下，Korn第一不等式中的最优Korn常数分别与厚度的$-1, -4/3,$和$-3/2$的幂成比例.在这项工作中，我们分析了缩放的最佳常数在科恩的第一不等式椭圆壳，包含有限数量的点，其中两个主曲率消失。我们证明，至少有一个这样的点的存在下壳导致缩放下降从厚度的权力$-1$的厚度的权力$-3/2.$据我们所知，这是第一个结果的方向为常数符号曲率壳，不包含可开发的区域。此外，在适当的平凡分支存在的假设下，我们证明了当壳厚h趋于零时，在恒载作用下，这种壳的屈曲变形实际上应局限于曲率消失点。
2022-08-24 math.AP
Thin elastic plates supported over small areas. I. Korn's inequalities and boundary layers
考虑了一个各向异性弹性薄板，它的侧边被夹持，并且支承在一个底面的一个小区域$θ_{h}$上，$θ_{h}$的直径与板的相对厚度$h\ll1$的数量级相同.除了标准的Kirchhoff模型与Sobolev点条件，三维边界层附近的支持$θ_{h}$，这与导出的加权不等式的帮助下，将提供一个误差估计与边界$ch^{1/2}|\ln h|$。忽略此边界层效应会将精度阶数降低到$|\ln h|^{-1/2}$。
2015-07-14 math-ph math.AP math.MP
Navier-Stokes equations in a curved thin domain, Part I: uniform estimates for the Stokes operator
在本文的系列文章和即将发表的文献[41，42]中，我们研究了在Navier滑移边界条件下，围绕给定闭曲面的三维曲薄区域中的Navier-斯托克斯方程。本文主要研究曲薄区域上的Stokes算子。建立了Stokes算子的一致范数等价性和Stokes算子与Laplace算子的一致差分估计，其中常数与曲薄区域的厚度无关.为了证明这些结果，我们给出了一个一致的Korn不等式和一致的先验估计向量Laplace算子在弯曲薄域上的边界上的向量场和表面量的仔细分析的基础上。我们还提出了弯曲的薄域和向量场的例子，其中一致的科恩不等式是无效的，但标准的科恩不等式保持与一个常数，吹薄域的厚度趋于零。
2020-02-27 math.AP
New projection and Korn estimates for a class of constant-rank operators on domains
设$1 < p < \infty$和$Ω$是$\mathbb R^n$的开有界集.对所有满足最大秩条件的$k$阶算子$\mathcal A$建立了经典的Korn不等式\[ \inf_{\substack{v \in L^p(Ω)\\\mathcal A v = 0}} \|u - v\|_{W^{k,p}(Ω)} \le C \| \mathcal A u\|_{L^p(Ω)} \].这个新的条件是满足的分歧，拉普拉斯算子，拉普拉斯-贝尔特拉米，和Wirtinger运营商，等等。因此，我们的估计推广Fuchs的估计del-bar算子的最大秩运营商和任意域。对于具有充分正则边界$\partial Ω$的域，我们能够构造一个到算子核上的$L^p(Ω)$ -有界投影$P$.该投影满足经典的Fonseca-Müller投影估计\[ \|u - Pu\|_{L^p(Ω)} \le C \| \mathcal A u\|_{W^{-k,p}(Ω)} \]以及高阶导数的类似估计。作为我们结果的一个特殊应用，我们能够建立一般常秩算子的弱Korn不等式（通过取所有$\mathcal A$ -调和映射的下确界，而不是取所有$\mathcal A$ -自由映射的下确界）.几个例子进行了讨论。
2023-02-01 math.AP
Two-scale tools for homogenization and dimension reduction of perforated thin layers: Extensions, Korn-inequalities, and two-scale compactness of scale-dependent sets in Sobolev spaces
该研究为多孔薄层问题的多尺度分析提供了基本方法。更准确地说，我们提供了工具的均匀化的情况下，“切向”周期性结构和降维，让层厚度趋于零成比例的尺度参数$ε$。一个关键点是识别函数$v_ε$在函数空间的子集中的尺度极限，该函数空间的子集的特征在于关于$ε$的一致先验估计，该先验估计产生于具有薄层的非均匀介质中的微分方程的解，例如，Navier-Stokes系统、线弹性模型或流体-结构相互作用问题。通常在连续介质力学的问题中，在第一步中，可以控制所产生的向量场的对称梯度，并且需要多孔层中的科恩不等式来估计梯度，使得关键常数不依赖于$ε$。构造了可控填孔扩张，从而将分析简化为一个固定的基本域。证明所需的Korn-不等式的多孔薄层，制定关于$L^p$ -空间，是基于这些建设。另外，关于两尺度收敛的紧性的研究和尺度极限的刻画也是基于扩张定理和Korn不等式的。为了说明开发的解析多尺度方法的应用范围的半线性弹性波动方程在薄的周期性穿孔层与非均匀的Neumann边界条件的表面上的弹性子结构被处理和均匀化，减少系统的推导。
2021-12-01 math.AP
Geometric Rigidity Estimates for Incompatible Fields in Dimension $\ge$ 3
证明了维度大于2的不相容场的几何刚性不等式。我们能够得到强的标度不变的$L^p$估计在超临界状态，而临界指数$1^* = \frac{n}{n-1}$，我们有一个标度不变的不等式只有弱$L^1$规范。虽然不是最优的，这样的估计在$L^{1 ,\infty}$是足够的，以推断出一个有用的引理，给出了$BV$界的$SO(n)$值字段与有界卷曲。
2017-03-09 math.AP math.FA
Uniqueness of integrable solutions to first order systems with integrable tensor-coefficients and applications to elasticity
对于Lipschitz域，我们证明了某些一阶系统的解是唯一的。这个结果，然后应用到证明一个关键的步骤，显示科恩的第一个不等式，以及证明“无穷小刚体位移引理在曲线坐标”。
2012-09-15 math.AP
Dev-Div- and DevSym-DevCurl-inequalities for incompatible square tensor fields with mixed boundary conditions
本文推导了正方形张量场的不等式，通过迹自由部分、散度和张量来界定了Norm，展示了其在模型协照性证明中的应用。
2013-07-04 cs.NA math.AP math.FA
Existence results in dislocation based rate-independent isotropic gradient plasticity with kinematical hardening and plastic spin: The case with symmetric local backstress
本文利用凸分析和变分不等式方法建立了一个具有随动硬化和塑性自旋的与率无关的无穷小梯度塑性模型的存在性结果，其中局部背应力张量保持对称.该模型具有缺陷的能量贡献，这是二次的位错密度张量卷曲p，引起非局部非对称运动硬化。利用最近建立的Korn型不等式的不相容张量场。非对称塑性变形的解空间自然是H（卷曲），以及塑性变形的适当切向边界条件。与其他模型的连接也建立起来了。
2015-04-08 math.AP
