An Elementary Extension of Korn's First Inequality to H(Curl) motivated by Gradient Plasticity with Plastic Spin
Patrizio Neff, Dirk Pauly, Karl-Josef Witsch
证明了无梯度结构张量场的一个Korn型不等式，推广了Korn第一个不等式。
We prove a Korn-type inequality for tensor fields without gradient structure, which generalizes Korn's first inequality.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Canonical Extension of Korn's First Inequality to H(Curl) motivated by Gradient Plasticity with Plastic Spin
本文证明了张量场在H（Curl）中的一个Korn型不等式。
Sharp rigidity estimates for incompatible fields as consequence of the Bourgain Brezis div-curl result
在这篇文章中，我们证明了一个尖锐的刚性估计和尖锐的Korn不等式的矩阵值字段的不相容性是一个有界的措施，可以得到一个Hodge分解的结果，由于临界可积Bourgain和Brezis。
$L^p$-versions of generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in arbitrary dimensions with $p$-integrable exterior derivative
对于$n\ge2$和$1<p<\infty$，我们证明了不相容的$p$ -可积张量场$P:Ω\to \mathbb{R}^{n\times n}$的广义Korn型不等式的一个$L^p$ -版本，它具有$p$ -可积的广义$\underline{\operatorname{Curl}}$和$\partial Ω$上的广义消失切迹$P\,τ_l=0$，用$\{τ_l\}_{l=1,\ldots, n-1}$表示$\partialΩ$上的移动切标架，更精确地说，我们有：$$\| P \|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{n\times n})}\leq c\,(\| \operatorname{sym} P\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{n \times n})} + \|\underline{\operatorname{Curl}} P \|_{L^p(Ω,(\mathfrak{so}(n))^n)} ),$$其中广义$\underline{\operatorname{Curl}}$由$ (\underline{\operatorname{Curl}})_{ijk} :=\partial_i P_{kj}-\partial_j P_{ki}$和$c=c(n,p,Ω)>0$给出.
$L^p$-trace-free generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions
对于$1<p<\infty$，我们证明了$ W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$中不相容张量场$P$的广义无迹Korn不等式的$L^p$ -版本。更精确地说，设$Ω\subset\mathbb{R}^3$是一个有界Lipschitz域.则存在一个常数$c>0$，使得\[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})} + \|{ \operatorname{dev} \operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\right) \]对所有张量场$P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$成立，即，其中$ν$表示$ P\times ν=0 $的向外单位法向量场，$\operatorname{dev} P := P -\frac13 \operatorname{tr}(P)\,\mathbb{1}_3$表示$P$的偏（无迹）部分。我们还证明了张量场…
Nečas-Lions lemma revisited: An $L^p$-version of the generalized Korn inequality for incompatible tensor fields
对于$1<p<\infty$，我们证明了$ W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$中不相容张量场$P$的广义Korn不等式的一个$L^p$ -版本.更精确地说，设$Ω\subset\mathbb{R}^3$是一个有界Lipschitz域.则存在一个常数$c>0$，使得\begin{equation*} \| P\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left( \|\operatorname{sym} P\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})} + \| \operatorname{Curl}P \|_{L^p(Ω, \mathbb{R}^{3\times3})}\right)\end{equation*}对所有张量场$P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$成立，即，对于在$ \partialΩ$上具有消失的切向迹线$ P\times ν=0 $的所有$P\in W^{1,\,p}(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$，其中$ν$表示$\partialΩ$的向外单位法向量场。对于相容的$P=D …
Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions with conformally invariant dislocation energy
设$Ω\subset \mathbb{R}^3$是具有Lipschitz边界和向外单位正规$ν$的开有界集.对于$1<p<\infty$，我们建立了新Banach空间$$ W^{1,\,p,\,r}_0(\operatorname{dev}\operatorname{sym}\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb R^{3\times3}) = \{ P \in L^p(Ω,\mathbb R^{3\times3}) \mid \operatorname{dev} \operatorname{sym} \operatorname{Curl} P \in L^r(Ω,\mathbb R^{3\times3}),\ \operatorname{dev} \operatorname{sym} (P \times ν) = 0 \text{ on $\partial Ω$}\} $$中不相容张量场$P$的广义$L^p$不等式的一个改进形式，其中$$ r \in [1, \infty), \qquad \frac1r \le \frac1p + \frac13, \qquad r >1 \quad \text{if $p = \frac32$.}$$具体地说，存在一个常数$c=c(p,Ω,r)>0$，使得不等式\[ \|P \|_{L^p}\leq c\,\left(\…
Optimal incompatible Korn-Maxwell-Sobolev inequalities in all dimensions
本文刻画了适用于任意维度且不相容矩阵场的最优 Korn-Maxwell-Sobolev 不等式，推广了线性弹性中的 Korn 型不等式，并特别对二维情形进行了精细分析。
Korn's second inequality and geometric rigidity with mixed growth conditions
几何刚性指出，梯度场是$L^p$ -接近于适当的旋转集，必然是$L^p$ -接近于固定的旋转，并且是非线性弹性中的一个关键估计。在一些应用中，例如在塑性理论中，出现了混合生长的能量密度。我们在这里表明，几何刚性也保持在$L^p+L^q$和$L^{p,q}$插值空间。作为第一步，我们证明了相应的线性不等式，推广Korn不等式到这些空间。
Existence results in dislocation based rate-independent isotropic gradient plasticity with kinematical hardening and plastic spin: The case with symmetric local backstress
本文利用凸分析和变分不等式方法建立了一个具有随动硬化和塑性自旋的与率无关的无穷小梯度塑性模型的存在性结果，其中局部背应力张量保持对称.该模型具有缺陷的能量贡献，这是二次的位错密度张量卷曲p，引起非局部非对称运动硬化。利用最近建立的Korn型不等式的不相容张量场。非对称塑性变形的解空间自然是H（卷曲），以及塑性变形的适当切向边界条件。与其他模型的连接也建立起来了。
Korn-Maxwell-Sobolev inequalities for general incompatibilities
本文在超线性增长条件下为广义不相容场建立尖锐的强制性 Korn–Maxwell–Sobolev 不等式，统一推广已有结果，并首次覆盖高阶 inc 张量情形。
Continuity equation and characteristic flow for scalar Hencky plasticity
我们调查的唯一性问题所产生的最简单的模型，Hencky塑性连续性方程。相关系统的形式为$\rm{ curl\;}(μσ)=0$，其中$μ$是非负测度，$σ$是二维无发散单位向量场。在建立该领域的Sobolev正则性，我们提供了一个精确的描述的所有可能的几何形状的特征流，以及相关的解决方案。
Strain gradient visco-plasticity with dislocation densities contributing to the energy
我们考虑粘塑性演化的能量描述，并得到一个存在性结果。能量是凸的，但不一定是二次的。我们的模型是一个应变梯度模型，其中塑性应变的旋度对能量有贡献。我们的存在性结果是基于时间离散化，极限过程依赖于Helmholtz分解和补偿紧。
Well-posedness for the microcurl model in both single and polycrystal gradient plasticity
我们考虑最近推出的微卷曲模型，这是一个变种的应变梯度塑性，其中的卷曲的塑性变形耦合到一个额外的微观形态型字段。对于单晶和多晶的情况下，我们制定的模型，并显示其适定性在率无关的情况下提供一些局部硬化（各向同性或线性运动）考虑。为此，我们使用的功能分析框架开发的汉雷迪。我们还比较了该模型的放松微观模型以及基于位错的梯度塑性模型。
Well-posedness for dislocation based gradient visco-plasticity with isotropic hardening
在本文中，我们建立了一般梯度单调塑性流动中基于无限小位错的各向同性硬化梯度粘塑性问题的适定性。我们假设一个附加分裂的位移梯度为非对称弹性变形和非对称塑性变形。热力学势增加了一项考虑位错密度张量$\operatorname{Curl} p$。我们所研究的模型中的本构方程被假定为自控型。基于Neff/Pauly/Witsch关于非协调张量场（非对称塑性畸变）的Korn不等式的推广形式，利用时间离散技术和单调算子方法，证明了拟静态初边值问题解的存在性.
A fourth order gauge-invariant gradient plasticity model for polycrystals based on Kröner's incompatibility tensor
本文导出了一个新的具有各向同性硬化和Kr的无限小率无关梯度塑性四阶规范不变唯象模型öner不相容张量$inc(ε_p):= Curl[(Curl ε_p)^T]$，其中$ε_p=sym p$是对称的无穷小塑性应变张量，$p$是（非对称的）无穷小塑性变形。在这里，规范不变性表示在参考配置的复纯重新参数化下的不变性，适当地适应于几何线性设置。该模型的特点是缺陷能量的贡献，这是二次的张量$inc(ε_p)$，它包含各向同性硬化的基础上的对称无穷小塑性应变张量$\dot{ε_p}$的速率。我们通过引入一种新的梯度塑性旋转不变性的要求，我们称之为微观随机性，适合于描述多晶聚集体在介观尺度上，不符合经典的各向同性的要求，我们激励新的模型。这个新条件有效地减少了非对称无限小塑性变形$\dot{p}$到对称变形$\dot{ε_p}$的增量。在多晶的情况下，这个条件是关于对任意叠加的晶粒旋转不敏感的陈述。我们制定了一个适当的正规化非规范不变模型的数学存在性结果。正则化模型在包含无穷小共形映射的参考构形的重新参数化下是相当不变的。
Strain-Gradient Plasticity as the $Γ$-Limit of a Nonlinear Dislocation Energy with Mixed Growth
本文利用$Γ$ -收敛方法，从无限长圆柱晶体位错的半离散模型导出了宏观应变梯度塑性。在现有的工作相比，我们认为能源次二次增长接近的位错。这允许处理存储的弹性能量，而不需要引入特定的截止半径。作为证明补紧性的主要工具，我们给出了非零$\operatorname{curl}$域的几何刚性结果的一个推广。其中一个主要的组成部分是对发散在临界索伯列夫空间中的$L^1$ -函数的精细分解结果。
A canonical rate-independent model of geometrically linear isotropic gradient plasticity with isotropic hardening and plastic spin accounting for the Burgers vector
本文提出了一个与率无关的唯象几何线性梯度塑性问题的正则变分框架。该模型结合了添加剂分解的总变形为非对称的弹性和塑性变形，与缺陷能量的贡献，考虑到伯格斯矢量通过只依赖于位错密度张量卷曲（p）引起的非对称非局部背应力，和各向同性硬化响应仅取决于累积的等效塑性应变。该模型是完全各向同性的，并满足线性化规范不变条件，即，只有真实的状态变量才会出现。该模型还满足最大耗散的原则，允许显示存在的弱制定。对于这个结果，最近引入的Korn不等式的不相容张量场是必要的。在强解类中证明了唯一性。当能量长度尺度为零时，模型退化为具有对称塑性应变sym（p）和标准各向同性硬化的经典弹塑性模型。
Geometric rigidity for incompatible fields in the multi-well case and an application to strain-gradient plasticity
本文建立多阱非线性弹性中不相容应变场的定量刚性估计，并用 $Γ$-极限从有限位错模型导出含奇异扰动项的应变梯度塑性模型，推广了 Alicandro 等人的结果。
On the existence of minimisers for strain-gradient single-crystal plasticity
我们证明了一个家庭的模型有关的单滑移到单平面松弛单晶，应变梯度弹塑性$L^p$硬化惩罚的存在性极小。在这些松弛的模型中，在每个材料点处只有一个滑移面法线可以被激活，主要的挑战是要证明几何上必要的位错的能量沿着满足单面条件的有界能量序列是较低连续的，这确切地意味着这个侧面条件应该在弱$L^p$极限中被保留。这是一个“排除”引理的帮助下完成的Conti \& Ortiz，它基本上允许一个下界的位错能量在界面（单平面）滑移补丁，从而排除罚款相混合的限制。此外，使用div-curl技术的精神，Mielke \& Müller，我们能够表明，通常的乘法分解的变形梯度到塑性和弹性部分的弱收敛和单面约束的相互作用，以这样的方式，以保证较低的连续性的变形梯度。（多凸的）弹性能量，并因此总的弹塑性能量，给定足够的（$p>2$）硬化，从而提供期望的结果。
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