On measures resisting multifractal analysis
Jörg Schmeling, Stéphane Seuret
紧致流形上光滑映射的任何遍历测度都有一个重分形谱，其对角线上有一个点--测度本身的维数。我们将构造这样的例子，其中对于圆的线性映射下的不变测度不变，这种方法以最激烈的方式失败。
Any ergodic measure of a smooth map on a compact manifold has a multifractal spectrum with one point - the dimension of the measure itself - at the diagonal. We will construct examples where this fails in the most drastic way for invariant measures invariant under linear maps of the circle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A multifractal formalism for Hewitt-Stromberg measures
在目前的工作中，我们给出了一个新的{ \it多重分形形式主义}，经典的多重分形形式主义不成立。我们精确地介绍和研究了一种基于Hewitt-Stromberg测度的多重分形形式主义，这种形式主义与Olsen的基于Hausdorff测度和packing测度的多重分形形式主义是完全平行的。
Multifractal formalism for typical probability measures on self-similar sets
本文研究了一般紧集上典型测度（Baire范畴意义下）的Hölder谱，并计算了自相似集上典型测度的重分形谱.这些测量结果验证了多重分形理论。
Multifractal analysis of random weak Gibbs measures
本文讨论了与有限型随机子移位半共轭的$C^1$随机动力学的一类吸引子上随机弱Gibbs测度的重分形性质。这包括有效性的多重分形形式主义，计算Hausdorff和包装尺寸的所谓的水平集的发散点，和$0$ - $\infty$法律的Hausdorff和包装措施的水平集的本地尺寸。
On the projections of the multifractal Hewitt-Stromberg dimension functions
研究了多重分形Hewitt-Stromberg维数函数在欧几里得空间中投影下的行为。作为应用，我们研究了测度投影的多重分形分析。特别是，我们得到的多重分形分析的正交投影的$m$维线性子空间的措施$μ$满足的多重分形形式主义，这是基于Hewitt-Stromberg措施。
Fine and coarse multifractal zeta-functions: On the multifractal formalism for multifractal zeta-functions
Multifractal analysis refers to the study of the local properties of measures and functions, and consists of two parts: the fine multifractal theory and the coarse multifractal theory. The fine and the coarse theory are linked by a web of conjectures known collectively as the Multifractal Formalism. Very roughly speaking the Multifractal Formalism says that the multifractal spectrum from fine theory equals the Legendre transform of the Renyi dimensions from the coarse theory. Recently { \it fine} multifractal zeta-functions, i.e. multifractal zeta-functions designed to produce detailed informa…
Multifractal formalism for inverse measures of random weak Gibbs measures
任何支撑在实直线上的零勒贝格测度的康托尔集上的Borel概率测度都有一个离散的逆测度.研究了支持在由有限型随机子移位编码的$C^1$随机动力系统的吸引子上的随机弱Gibbs测度的逆测度的多重分形形式的有效性.这项研究需要，特别是，在这种情况下，随机动力学的一个适当的扩展已知的结果与确定性吉布斯措施的异构无处不在。
A Multifractal Decomposition for Self-similar Measures with Exact Overlaps
我们研究自相似措施在$\mathbb{R}$满足弱分离条件以及弱技术假设，满足在所有已知的例子。对于这样的测度$μ$，我们证明了存在一个有限的凹函数集$\{τ_1,\ldots,τ_m\}$使得$μ$的$L^q$ -谱由$\min\{τ_1,\ldots,τ_m\}$给出，$μ$的多重分形谱由$\max\{τ_1^*,\ldots,τ_m^*\}$给出，其中$τ_i^*$表示$τ_i$的凹共轭.特别地，测度$μ$满足多重分形形式当且仅当它的多重分形谱是凹函数。这意味着$μ$满足多重分形形式主义的值对应于点的可微性的$L^q$ -频谱。我们还验证了存在的极限的$L^q$ -频谱的措施，每$q\in\mathbb{R}$。作为直接应用，我们在满足弱分离条件的自相似测度的多重分形分析中得到了许多新的结果和著名结果的简单证明。
Multifractal spectra of Moran measures without local dimension
没有局部维数的测度是这样一种测度，使得在其支撑中的任何点都不存在局部维数。本文构造了这样一类Moran测度，并研究了它们的上下局部维数。我们表明，相关的“自由能”功能（$L^q$ -频谱）不存在。尽管如此，我们可以得到完整的Hausdroff和packing维数谱的水平集定义的上下局部尺寸。它们可以被看作是一个广义的多重分形形式主义。
Multifractal analysis for the occupation measure of stable-like processes
本文研究了一类实值马氏过程M的占有测度$μ$的局部性态。该（随机）度量描述了M的样本路径在每个集合A $\subset$ R中花费的时间。我们计算了$μ$的多重分形谱，结果表明它是随机的，依赖于统计量。这一显著的性质与以前关于其他过程（如L{é}vy过程）的占有测度的结果形成鲜明的对比，因为多重分形谱通常几乎肯定是确定的.此外，多重分形谱的形状非常独特，反映了局部行为的丰富性和多样性。证明是基于新的方法，这导致例如精细估计豪斯多夫维数的某些跳跃配置的泊松点过程。
Invariance of multifractal spectrum of uniform self-affine measures and its applications
研究了全不连通的Bedford-McMullen地毯的双Lipschitz分类。令$E$是这样的地毯，令$μ_E$是$E$上的一致伯努利测度。我们证明了$μ_E$的多重分形谱和加倍性质在双Lipschitz映射下都是不变的。证明了如果$μ_E$和$μ_F$是双映射，则$E$和$F$之间的双Lipschitz映射具有一定的保测度性质.
Multifractal analysis of Gatzouras--Lalley measures
本文研究 Gatzouras--Lalley 型自仿射测度的多重分形分析，证明 Olsen 谱的变分公式，并指出多重分形形式在可微点成立，但一般可能失败且存在跳跃间断和多个相变。
Multifractal Formalism for generalised local dimension spectra of Gibbs measures on the real line
本文改进了共形迭代函数系统的吸引子$Λ$上的Gibbs测度$μ$的局部维数的多重分形形式。也就是说，对于给定的$α\in \mathbb{R}$，我们建立的豪斯多夫维数的水平集的点$x\inΛ$的$μ$ -测量的半径$r_{n}$在$x$为中心的球服从幂律$r_{n}{}^α$，序列$r_{n}\rightarrow0$。这使我们能够研究各种分形函数的Hölder正则性，例如与共形迭代函数系统相关的分布函数和共轭映射。
Multifractal analysis of weak Gibbs measures for non-uniformly expanding C^1 maps
研究了C^1 Manneville-Pomeau型非一致双曲组上弱Gibbs测度的局部维数谱.我们提出了三种方法：使用不变测度，一致双曲遍历测量和平衡态的频谱。我们还证明了在额外的假设下频谱的解析性。所有这三个介绍是众所周知的光滑一致双曲系统。
Multifractal analysis for conformal graph directed Markov systems
我们推导出多重分形分析的共形测度（或等价的，不变测度）施加在一个（多维）图导向马尔可夫系统（GDMS）使用球作为过滤的权重的家庭。这种分析是在极限集的一个大子集上进行的。特别是，它符合限制设置时，GDMS审查满足边界分离条件。它也适用于更一般的情况，如实数或复数连分数。
Multifractal analysis for Bedford-McMullen carpets
本文计算了Bedford-McMullen引入的自仿射地毯上支撑的Bernoulli测度的局部维数的多重分形分析。这扩展了King的工作，其中多重分形分析是用强附加分离假设来计算的。
Multifractal analysis of measures arising from random substitutions
本文研究源自随机替换的频率测度的正则性，推导了自然测度类的 $L^q$ 谱闭式公式并证明多重分形形式成立，同时引入膨胀词 $L^q$ 谱概念，为多重分形分析提供了新测度类。
Multifractal Analysis of inhomogeneous Bernoulli products
我们对非齐次伯努利积的多重分形分析感兴趣，它也被称为抛硬币测度。我们给的条件，确保这些措施的多重分形形式主义的有效性。另一方面，我们表明，这些措施可以有一个密集的相变。
A mixed multifractal analysis for quasi Ahlfors vector-valued measures
多重分形形式主义的措施，在其原来的配方检查特殊类的措施，如加倍，自相似，吉布斯一样的。在这些类中，应考虑适当的条件来证明多重分形形式主义的有效性。在目前的工作中，一大类措施，满足一个弱条件称为准Ahlfors被认为是在混合多重分形分析的框架。建立了有限多个拟Ahlfors概率测度的联合多重分形分析。介绍了Hausdorff测度和填充测度的多重分形推广的混合变量以及相应的维数。通过应用凸性论证，建立了这些测度和维数的一些性质。最后，一个相关的多重分形形式主义的介绍，并证明了持有类拟Ahlfors措施。
Multifractal formalism for Benedicks-Carleson quadratic maps
对于区间上非一致扩张二次映射的正测度集，我们给出了一个重分形形式，即，将相空间分解为给定可观测的时间平均值的水平集，并考虑对该分解进行编码的关联{ \it Birkhoff谱}。我们推导出一个公式，它将水平集的豪斯多夫维数与不变概率测度的熵和李雅普诺夫指数联系起来，然后利用这个公式证明谱是连续的.为了从上面估计豪斯多夫维数，必须“看到”足够多的点。为此，我们建造了一个塔的家庭。使用这些塔，我们建立了经验分布的大偏差原则，Lebesgue作为参考措施。
Multifractal analysis of some multiple ergodic averages
本文研究符号空间$Σ_m ={0, 1, ..., m-1}^{\mathbb{N}^*}$上的多重遍历平均数$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n φ(x_k, x_{kq}, ..., x_{k q^{\ell-1}}), \qquad (x_n) \in Σ_m $$，其中$m\ge 2, \ell\ge 2, q\ge 2$为整数.我们给出了上述多重遍历平均极限的多重分形分析问题的完整解决方案。实际上，我们开发了一个非不变的和非线性版本的热力学形式主义，这是它自己的利益。我们研究了一个大类的措施（称为伸缩措施）和特殊情况下的伸缩措施定义的不动点的一些非线性转移算子起着至关重要的作用，在研究我们的乘法不变集。这些测度与经典热力学形式中的Gibbs测度有许多共同的性质。我们还研究了这种新的背景下的变分原理、压力函数和勒让德变换。
Multifractal analysis via Lagrange duality
本文通过拉格朗日对偶和拟凸优化，为满足强分离条件的自相似测度提供了多重分形形式体系的自包含证明，并直接推导了局部维数水平集的豪斯多夫维数。
Multifractal Analysis of inhomogeneous Bernoulli products
我们感兴趣的是非齐次伯努利乘积的多重分形分析，也被称为抛硬币措施。我们给的条件，确保这些措施的多重分形形式主义的有效性。另一方面，我们表明，这些措施可以有一个密集的相变。
Multifractal analysis for the pointwise Assouad dimension of self-similar measures
本文利用逐点 Assouad 维数概念量化自相似测度的逐点加倍性质，证明了满足开集条件的测度在满 Hausdorff 维数集上逐点加倍，并通过确定水平集的 Hausdorff 维数完成多重分形分析。
Typical Borel measures on $[0,1]d$ satisfy a multifractal formalism
在这篇文章中，我们证明了在Baire范畴意义下，由$\R^d$的单位立方体支持的测度通常满足多重分形形式主义。为了实现这一点，我们明确计算这种典型措施的多重分形谱$μ$。该谱表现为斜率为1的线性，从指数0处的0开始，在指数$d$处的维度$d$处结束，并且它确实与与典型测量$μ$相关联的$L^q$ -谱的勒让德变换一致。
On multifractal formalism for self-similar measures with overlaps
令$μ$是由$\mathbb R^d$（$d\ge 1$）上的相似性的IFS $Φ=\{ϕ_i\}_{i=1}^\ell$生成的自相似度量。当$Φ$是维数正则的（见定义1.1）时，我们给出了$μ$在$[0,1]$上的$L^q$ -谱$τ_μ(q)$的显式公式，并证明了$τ_μ$在$(0,1]$上可微，且$μ$在任意$α\in [τ_μ'(1),τ_μ'(0+)]$上的多重分形形式成立.我们还验证了多重分形形式主义的$μ$在$[τ_μ'(\infty),τ_μ'(0+)]$两个新的类重叠代数IFS的有效性，通过显示渐近弱分离条件成立。对于其中之一，证明呼吁最近的结果Shmerkin的$L^q$频谱的自相似措施。
Mixed multifractal spectra of Birkhoff averages for non-uniformly expanding one-dimensional Markov maps with countably many branches
对于具有可数个分支和可数个中性周期点的区间或圆的Markov映射，利用不变概率测度的豪斯多夫维数，建立了可数个观测量Birkhoff平均的混合重分形谱的条件变分公式.利用我们的结果，我们能够表现出新的分形几何结果向后连分数扩展的实数，特别是回答一个问题的波利科特。此外，我们还建立了由抛物元生成的自由富克斯群的Bowen级数映射的多尖点缠绕谱公式。
Multifractal analysis for weak Gibbs measures: from large deviations to irregular sets
在这篇文章中，我们证明了一组点的拓扑压力的估计，其Birkhoff时间平均值远离空间平均值对应的唯一的平衡态，具有弱吉布斯性质。特别地，如果$f$有一个扩张的排斥子，且$ϕ$是一个Hölder连续势，我们证明了Birkhoff平均值的累积值属于某个区间$I\subset \mathbb R$的点集的拓扑压可以用整个系统的拓扑压和大偏差率函数来表示.作为一个副产品，我们推导出大多数不规则集的规格性质的地图的拓扑压力严格小于整个系统。对非一致双曲集、二级不规则集和双曲流也作了一些推广。
Local Multifractal Analysis
我们介绍了一个本地的多重分形形式主义适应功能，措施或分布显示多重分形特征，可以随时间或位置而变化。我们发展这种形式主义的一般框架，我们制定了几个例子的措施和功能，这种设置是相关的。
Local multifractal analysis in metric spaces
研究了二重度量空间上测度的局部维数和局部重分形性质。我们的目标是双重的。一方面，我们证明了在所有的度量空间中存在大量的多重分形型测度，它们只满足较弱的正则性条件。另一方面，我们考虑了一个本地频谱，可以用来获得更精细的信息的本地行为的措施比其全球同行。
On multifractal analysis and large deviations of singular-hyperbolic attractors
本文针对奇异双曲吸引子（含几何 Lorenz 吸引子），利用马蹄逼近性质证明水平集的稠密性与变分原理、非正则集的 Baire 通用性及满拓扑熵，并建立弱 Gibbs 测度的 level-2 大偏差界。
A multifractal analysis for Stern-Brocot intervals, continued fractions and Diophantine growth rates
本文得到了Lévy和Khintchin在度量丢番图逼近和连分数测度论中经典结果的多重分形推广。我们给出了一个完整的多重分形分析Stern-Brocot间隔，连分数和某些丢番图的增长率。特别地，我们给出了两个与Farey映射和Gauss映射密切相关的多重分形谱的详细讨论。
Geometric and Combinatorial Properties of Self-similar Multifractal Measures
本文通过构造有向图控制自相似测度的分布，推广净区间方法，在弱分离及广义有限类型条件下验证多重分形形式体系，并应用于具有精确重叠的不可数IFS族。
Partition zeta functions, multifractal spectra, and tapestries of complex dimensions
对于Borel测度和单位区间上的一系列划分，我们定义了一个基于粗Holder正则性的多重分形谱。具体地说，通过给定的测量和相对于一系列分区获得的粗Holder正则性值生成一系列长度（或者更确切地说，尺度），这反过来又定义了某些狄利克雷级数，称为分区zeta函数。这些函数的收敛的横坐标定义了一个多重分形谱，其凹包络是（几何）Hausdorff多重分形谱，它遵循某种类型的莫兰建设。我们讨论了一些长度的自相似措施与加权迭代函数系统，特别是某些多项式措施的重要特殊情况。此外，我们的多重分形谱扩展到两个特定的原子措施的复杂尺寸的挂毯。
Convolution of multifractals and the local magnetization in a random field Ising chain
一维无规场伊辛模型中的局域磁化强度实质上是两个有效场的多重分形概率测度之和。因此，局部磁化的概率测度是两个多重分形的卷积。本文证明了两个测度的多重分形性质与它们的卷积的多重分形性质之间的关系。卷积的支持边界处的逐点维数是卷积测度的支持边界处的逐点维数之和，并且卷积的广义盒维数由卷积测度的广义盒维数之和从上限定。广义盒维数的卷积的康托集的权重可以计算分析某些参数范围内，并说明我们也遇到的情况下的局部磁化强度的措施的影响。回到这一测度的研究，我们应用一般不等式和D_q-谱的数值逼近。本文首次得到了原则上可以用实验测量的一维无规场伊辛模型中物理量的多重分形性质。数值生成的局部磁化强度的概率密度令人印象深刻地显示了从单峰到双峰分布的逐渐过渡，以增加随机场强度h。
Multifractal analysis of Bernoulli convolutions associated with Salem numbers
我们考虑Bernoulli卷积$ν_λ$的多重分形结构，其中$λ^{-1}$是$(1,2)$中的Salem数.令$τ(q)$表示$ν_λ$的$L^q$谱。我们证明了如果$α\in [τ'(+\infty), τ'(0+)]$，那么水平集$$E(α):={x\in \R:\; \lim_{r\to 0}\frac{\log ν_λ([x-r, x+r])}{\log r}=α}$$是非空的，并且是$\dim_HE(α)=τ^*(α)$，其中$τ^*$表示$τ$的Legendre变换.这个结果推广到所有满足渐近弱分离条件的自共形测度。指出当$λ^{-1}$是多项式$x^{n}-x^{n-1}-... -x+1$，$n\geq 4$的最大实根时，区间$[τ'(+\infty), τ'(0+)]$不是单例.构造了一个例子，表明绝对连续的自相似测度也可能具有丰富的多重分形结构。
Multifractal analysis via scaling zeta functions and recursive structure of lattice strings
自相似测度的多重分形结构直接来源于构造测度的加权自相似系统（或加权迭代函数系统）。这在很大程度上遵循了自相似集的维数，无论是豪斯多夫维数、闵可夫斯基维数还是相似维数，都是通过莫兰定理由相应自相似系统的标度比确定的。多重分形结构允许我们的缩放规则性和缩放zeta函数的几何zeta函数，特别是分区zeta函数的动机定义。本文的一些结果巩固和部分扩展的结果，关于某些自相似措施支持紧子集的欧氏空间的基础上分区zeta函数的多重分形分析。具体地说，缩放zeta函数推广分区zeta函数时，分区的家庭的选择是由自然家庭的分区所确定的自相似系统的问题。此外，在某些情况下，自相似措施可以显示出相对于指定的缩放正则性值表现出晶格或非晶格结构。此外，在广义分形字符串视为措施所提供的上下文中，我们定义广义自相似字符串，允许检查这里提出的许多结果在一个特定的总体上下文中，并连接到相应的复杂尺寸作为根的狄利克雷多项式的结果。此外，广义格弦和递归字符串的定义和证明是非常密切相关的。
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