Gatzouras--Lalley 测度的多重分形分析
Multifractal analysis of Gatzouras--Lalley measures
AI总结：
本文研究 Gatzouras--Lalley 型自仿射测度的多重分形分析，证明 Olsen 谱的变分公式，并指出多重分形形式在可微点成立，但一般可能失败且存在跳跃间断和多个相变。
AI中文摘要：
我们研究了支撑在 Gatzouras--Lalley 型平面地毯上的自仿射测度的多重分形分析。我们主要使用 Olsen 的 $L^q$ 谱的 Hausdorff 维数变体，记为 $\vartheta(q)$。我们证明了 $\vartheta$ 的一个变分公式，由此得出，在 $\vartheta(q)$ 可微的所有 $q$ 值处，多重分形形式成立。然而，一般来说，$\vartheta$ 不一定可微，多重分形形式可能失败。事实上，多重分形谱可能不可微，并且在其支撑的内部存在跳跃间断，并且在 $q$ 的负值和正值处都可能出现多个相变。
英文摘要：
We study the multifractal analysis of self-affine measures supported on planar carpets of type Gatzouras--Lalley. We work primarily with Olsen's Hausdorff-dimensional variant of the $L^q$ spectrum, which we denote by $\vartheta(q)$. We prove a variational formula for $\vartheta$, from which it follows that multifractal formalism holds at all values $q$ for which $\vartheta(q)$ is differentiable. However, in general, $\vartheta$ need not be differentiable and the multifractal formalism may fail. In fact, the multifractal spectrum may be non-differentiable and have jump discontinuities in the interior of its support, and there may be multiple phase transitions at both negative and positive values of $q$.
