Explicit Maximally Recoverable Codes with Locality
考虑系统线性码，其中一些（局部）奇偶校验符号取决于几个规定符号，而其他（重）奇偶校验符号可以取决于所有数据符号。本地奇偶校验允许在擦除任何单个符号时快速恢复该符号，而重奇偶校验则允许大量同时擦除。如果上面的代码校正了所有擦除模式，则该代码是最大可恢复的，这些擦除模式在给定代码拓扑的情况下是理论上可恢复的信息。在本文中，我们提出了明确的家庭的最大可恢复代码的地方。我们还开始研究最大可恢复性和字母表大小之间的权衡。
2013-07-20 cs.IT math.IT
Erasure codes with symbol locality and group decodability for distributed storage
本文提出了一种新的用于分布式存储系统的纠删码，称为组可解码码（GDC）。给定一组设计参数{α; β; k; t}，其中k是信息符号的数量，（α; β; k; t）组可解码码的每个码字是称为桶的串的t元组，使得每个桶是β符号的串，其是[β; α] MDS码（其从α信息符号编码）的码字。这类代码有以下两个性质：（P1）局部可修复：每个代码符号都有局部性（α; β-α+ 1）。(P2)组可解码：从每个桶中，我们可以解码α信息符号。对任意给定的{α; β; k; t}集，建立了（α; β; k; t）-群可译码码的最小距离的上界，并证明了当编码域F的大小为|F| > n-1 \choose k-1时，该上界是可达到的.
2015-07-29 cs.IT math.IT
On the Locality of Codeword Symbols in Non-Linear Codes
考虑一个可能的非线性（n，K，d）_q码。坐标i具有局部性r，如果它的值由其他r个坐标确定。最近的一项工作取得了最佳的权衡信息的地方代码和它们的冗余。此外，线性码满足这一权衡，结构定理推导。在这项工作中，我们给出了一个新的证明的局部性/冗余权衡和推广的结构定理的非线性码。
2013-03-15 cs.DM cs.IT math.IT
Architecture-aware Coding for Distributed Storage: Repairable Block Failure Resilient Codes
在部署在云计算中的大规模分布式存储系统（DSS）中，导致节点块同时失效（或不可用）的相关故障是常见的。在这种情况下，故障节点的存储数据或内容只能从属于可用块的可用活动节点中重建。为了分析系统对这种块故障的弹性，这项工作引入了块故障弹性（BFR）码的框架，其中数据（例如，DSS中的文件）可以通过从基础码字的可用块的子集中读出相同数量的码字符号（节点）来解码。此外，引入了可修复的BFR码，其中故障块中的任何码字符号可以通过接触系统中剩余块的子集来修复。导出了可修复BFR码的文件大小界，分析了每节点存储量与修复带宽之间的权衡关系，并导出了相应的最小存储再生点（BFR-MSR）和最小带宽再生点（BFR-MBR）.构造针对参数的特殊情况实现两个操作点的显式代码，其中根据组合设计将底层再生码字分布到BFR码字符号。最后，BFR局部可修码（BFR-LRC）的介绍，上界的弹性推导和最佳的代码结构提供了一个级联的Gabidulin和MDS码。通过使用BFR-MSR/MBR程序作为局部程序，进一步研究了BFR-LRC的修复效率。代码建设实现最佳弹性BFR-MSR/MBR-LRC提供某些参数制度。总体而言，这项工作介绍了块故障的框架，以及最佳的代码结构，并研究分布式存储系统的体系结构感知编码。
2017-02-21 cs.IT math.IT
Locality in Crisscross Error Correction
覆盖度量适合于描述对阵列中的相关错误，特别是交叉错误的恢复能力，这使得它对诸如分布式数据存储（DDS）的应用很感兴趣。在这项工作中，我们考虑的代码设计的覆盖度量具有局部性，这意味着丢失的符号可以通过使用只有几个其他（本地）符号恢复。我们推导并证明了具有局部性的覆盖度量码的最小覆盖距离的一个类Singleton界，并提出了一个实现界的构造。此外，我们探讨我们的建设相比，一个已知的建设基于秩度量码的性能。
2018-09-04 cs.IT math.IT
On Locally Decodable Index Codes
索引编码通过联合编码广播信道中所有客户端所需的消息来实现带宽节省。编码以这样的方式执行，即每个客户端可以从其边信息和广播码字中检索其所需的消息。通常，为了解码其所需的消息符号，接收机可能必须观察整个发送的码字。查询或下载码字符号可能涉及客户端的成本-例如网络利用成本和用于执行解码的查询符号的存储要求。在传统的索引编码解决方案中，在代码设计期间不考虑这种“客户端感知”的视角。因此，对于这些代码，客户端针对每个解码消息符号查询的码字符号的数量（我们称之为“局部性”）可能很大。在本文中，考虑局部性作为成本参数，我们认为索引编码之间的权衡可实现的广播速率（码字长度规范化的消息长度）和局部性，其目标是最小化的广播速率为一个给定的值的局部性，反之亦然。我们证明了任何索引编码问题的最小可能局部性是1，并且局部性为1的最佳索引编码解决方案是基于干扰图的分数着色的编码方案。我们提出的索引编码方案与小的局部性覆盖的边信息图使用无环子图和子图与小minrank。我们还展示了如何局部性可以占在传统的分区多播和循环覆盖解决方案的索引编码。最后，应用这些新的技术，我们描述了本地广播速率权衡的索引编码问题的边信息图是有向3圈。
2018-01-11 cs.IT math.IT
On the Locality of Codeword Symbols
考虑线性[n，k，d]_q码C.我们说C的第i个坐标具有局部性r，如果这个坐标处的值可以从访问C的其他r个坐标中恢复。数据存储应用需要具有小冗余、信息坐标的低局部性、大距离和奇偶坐标的低局部性的代码。在本文中，我们进行了深入的研究，这些参数之间的关系。我们建立了一个紧界的冗余n-k的消息长度，距离和信息坐标的局部性。我们把达到这个界限的码称为最优码。我们证明了一些结构定理的最佳码，这是特别强的小距离。这给出了码字长度、最坏情况距离和信息符号的局部性之间的权衡的相当完整的画面。然后，我们考虑的地方奇偶检验符号和擦除校正超过最坏情况的距离为最佳的代码。使用我们的结构定理，我们得到了一个紧界的奇偶校验符号可能在这样的代码的一个广泛的类的参数设置的地方。我们证明，有一个良好的局部性之间的权衡奇偶检验和纠正擦除超过最小距离的能力。
2011-06-18 cs.CC cs.DM cs.IT
Locality and Availability in Distributed Storage
本文研究了码元的可用性问题：如果一个码元可以从其它码元的不相交的$t$组中重构出来，并且每个码元的大小至多为$r$，则称该码元具有$(r, t)$ -可用性。例如，$3$ -复制支持$(1, 2)$ -可用性，因为每个符号可以从其$t= 2$其他（不相交的）副本读取，即，$r=1$。但是，随着可用性的增加，复制速率必须像$\frac{1}{t+1}$一样消失。本文表明，它是可能的构造代码，可以支持一个缩放数量的并行读取，同时保持率是一个任意高的常数。它进一步表明，这是可能的最小距离任意接近单例界。本文还提出了一个界限，展示了最小距离，可用性和局部性之间的权衡。我们的代码匹配上述界限和他们的建设依赖于组合对象称为可解析设计。从实用的角度来看，我们的代码似乎对涉及热数据的分布式存储应用程序很有用，即，多个进程并行访问的信息。
2014-02-10 cs.IT math.IT
Repeated-root Constacyclic Codes with Optimal Locality
如果一个代码符号是其他代码符号的一小部分的函数，则称为局部可修复代码（LRC）。当在分布式存储系统中采用本地可修复码时，可以通过仅访问少量的其他符号来恢复被擦除的符号，从而减轻修复过程期间所需的网络资源。在本文中，我们考虑重复根常循环码，这是一个推广的循环码，这是最佳的最小距离上的一个类似Singleton的界。具有常循环码结构的LRC通常可以使用常循环码的任何编码算法来有效地编码。在本文中，我们得到这些重复根常循环码的最佳LRC。在固定字母表上找到了几类无限多的最优LRC，并进一步假设重根常循环码的周围空间是一个链环，证明了不存在其他最优LRC.
2021-11-24 cs.IT math.IT
Codes with Locality for Two Erasures
在本文中，我们研究代码的局部性，可以恢复从两个擦除通过一个序列的两个本地，奇偶校验计算。通过局部奇偶校验计算，我们意味着通过与小汉明权重相关联的单个奇偶校验方程来恢复。早期的方法认为恢复并行，顺序的方法使我们能够潜在地构建代码与改进的最小距离。这些代码，我们称之为局部2-重构码，是一个自然的推广沿一个方向，代码与所有符号的地方介绍了Gopalan \textit{et al}，其中恢复从一个单一的擦除被认为是。通过研究对偶码的广义Hamming重量，我们得到了局部2-可重构码的最小距离的上界，并给出了一类基于Turán图的码的构造，这些码是关于这个界的最优的.这里导出的最小距离界限是通用的，在这个意义上，没有代码，允许所有符号的本地恢复从$2$擦除可以有更大的最小距离，无论采用的方法。我们的方法也导致了一个新的约束的最小距离的代码与所有符号的局部性的单擦除的情况下。
2014-01-27 cs.IT math.IT
Index Codes with Minimum Locality for Three Receiver Unicast Problems
如果每个接收器可以仅使用由发送器发送的码字符号的子集而不是观察整个码字来解码其需求，则具有接收器侧信息的广播信道的索引码是“本地可解码的”。索引编码的局部可解码性改善了用于无线广播信道时的误码性能，降低了接收机的复杂度，提高了索引编码的保密性。索引码的“局部性”是每个接收器所使用的码字符号的数量与接收器所要求的消息符号的数量的比率。在索引编码的局部性之前的工作只考虑了单单播和单uniprior问题，广播速率和局部性之间的最佳权衡仅在少数情况下是已知的。在本文中，我们确定了最佳广播速率（包括非线性码）的所有三个接收器单播问题时，当地等于最小可能的值，即，等于一。实现该最佳速率的索引码基于团覆盖技术并且是众所周知的。本文的主要贡献是在提供紧密的逆结果有关的局部性广播速率，并表明，这种已知的索引编码方案是最佳的局部性等于一。为此，我们推导出三个接收器单播问题的边信息图的几个结构性质，并将它们与信息论的参数相结合，以达到一个逆。
2019-04-09 cs.IT math.IT
Some results on locally repairable codes with minimum distance $7$ and locality $2$
局部可修码在分布式存储系统中起着重要的作用。具有小局部性的LRC具有其自身的优势，因为在恢复被擦除符号时需要较少的可用符号。本文证明了具有最小距离$d\geq 7$的LRC维数的一个上界。证明了$d=7$，$r=2$在$q^2+q+3$的几乎最优LRC长度的一个上界.然后，基于$t$-spread结构，给出了一种构造几乎最优LRC的算法，当$q\geq 4$的维数达到上述上界时，该LRC具有$d=7$，$r=2$和长度$n\geq 3\lceil\frac{\sqrt{2}q}{3}\rceil$.
2022-07-06 cs.IT math.IT
Information locality of a quantum locally recoverable code
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文针对量子稳定子码提出量子信息局部性概念及对应线性代数方法，证明现有量子局部性定义高估删除纠正所需符号数，还给出经典信息局部性的量子转换低估该数值的实例。
2026-08-06 cs.IT math.IT quant-ph
High-Rate Regenerating Codes Through Layering
本文给出了一类具有分层结构的精确修复再生码的显式构造。这些再生码对应于存储-修复-带宽权衡上的内部点，并且与采用MSR和MBR码之间的空间共享的方案相比非常好。对于具有$n < 2k-1$的参数集$(n,k,d=k)$，我们构造了一类具有辅助参数$w$的码，称为规范码。当$w$在$n-k < w < k$范围内时，这些代码在MSR点和MBR点之间的区域中运行，并且性能明显优于空间共享线。它们只需要字段大小大于$w+n-k$。对于$(n,n-1,n-1)$的情况，规范码也可以被示出为在连接MSR点的线段上实现内部点，并且在存储-修复-带宽折衷上实现下一个斜率不连续点。因此，我们建立了一个点上的MSR和MBR点上的存储修复带宽的权衡上的精确修复代码的存在。我们还构造了一般参数集$(n,k<d,k)$的分层再生码，我们称之为非规范码。这些代码的性能也明显优于空间共享线，尽管它们需要更大的字段大小。本文所构造的编码具有修复率高、可修复多个节点故障、不需要辅助节点进行任何计算等优点。我们还构造了具有局部性的最优码，其中局部码是分层再生码。
2013-03-11 cs.IT math.IT
On the Average Locality of Locally Repairable Codes
具有维数$k$、长度$n$和最小距离$d$的线性分组码被称为具有局部性$r$的局部可修复码（LRC），如果它可以通过至多$r$其他编码符号来检索任何编码符号。LRC最近被提出并在实践中用于分布式存储系统（DSS），如Windows Azure存储和Facebook HDFS-RAID。建立了LRC（$r$）最大局域性的理论界。LRC（$\overline{r}$）的\textit{average}局部性直接影响昂贵的修复带宽、磁盘I/O和缺失数据块修复过程中涉及的节点数量。研究$\overline{r}$的文献中存在空白。本文建立了任意$(n,k,d)$ LRC的$\overline{r}$的下界。此外，我们得到了一个严格的下界$\overline{r}$的实际情况下，其中的编码率$(R=\frac{k}{n})$大于$(1-\frac{1}{\sqrt{n}})^2$。最后，我们设计了三个类的LRC，实现了$\overline{r}$上得到的界限。与现有的LRC相比，我们提出的编码提高了平均局部性，而不牺牲码率或最小距离等关键参数。
2017-01-23 cs.IT math.IT
Codes with Local Regeneration
再生码和局部码是最近提出的两种方案，以确保分布式存储网络中的数据汇集和可靠性。在试图修复故障节点的情况下，重新生成代码试图最小化为节点修复下载的数据量，而具有局部性的代码试图最小化访问的帮助节点的数量。本文给出了一类局部码是再生码的具有局部性的向量码的几种构造方法，它们具有这两种优点。我们推导出这类代码的最小距离上界，并表明，建议的建设实现这一界限。该构造包括本地再生码对应于MSR的情况以及再生码的存储-修复-带宽折衷曲线上的MBR点。还包括固定块长度和最小距离的各种代码结构的性能比较。
2013-02-04 cs.IT math.IT
Codes With Hierarchical Locality
在本文中，我们研究的概念，{ \em代码与层次局部性}被确定为另一种方法，从多个擦除的本地恢复。众所周知的{具有局部性的\em码}类被称为具有单级的层次局部性。在{具有两级分层局部性的\em码}中，每个符号由最内部的局部码和包含该局部码的另一个较大维度的中间级码保护。我们首先考虑代码与两个层次的局部性，推导出上界的最小距离，并提供最佳的代码结构的低字段大小在一定的参数集。随后，我们推广的约束和结构的层次局部性的任意水平。
2015-01-27 cs.IT math.IT
Locality in Index Coding for Large Min-Rank
如果每个接收机可以使用其边信息并且通过仅查询所发送的码字符号的子集而不是观察整个码字来解码其需求，则索引码被称为是局部可解码的。在一些通信场景中，例如当接收机由于有限的功率可用性而能够仅监听传输的一部分时，本地可解码性可以是有益的特征。索引码的局部性是接收器查询的码字符号的最大数目与消息长度的比率。在本文中，我们分析了最小秩小于网络中接收器数目的指数编码问题族的线性码的最优局部性。我们首先推导出当边信息图是有向循环时，向量线性编码的索引编码速率和局部性之间的最佳折衷。然后，我们提供了一个更大的问题，即，最小秩仅比接收机的数量小一个的问题。虽然用于可解码性的参数是基于已知的编码技术，相反的参数依赖于本地可解码的索引码的结构上的新结果。
2019-01-17 cs.IT math.IT
Maximally recoverable codes with locality and availability
IMUVa-Mathematics Research Institute, University of Valladolid（瓦拉多利德大学数学研究所）；Signal Processing and Communications Research Center (SPCRC), International Institute of Information Technology, Hyderabad（海得拉巴国际信息学院信号处理与通信研究中心）
本文提出具有局部性和可用性的最大可恢复码，通过局部可修复码的构造方法，减少存储开销并提升全局纠错能力，针对t=1时提供三种构造方法并扩展有限域大小下界。
2026-05-15 cs.IT math.IT
Long Optimal or Small-Defect LRC Codes with Unbounded Minimum Distances
有限域上的码称为局部可恢复码（LRC），如果每个坐标符号都可以由少量（至多r个，这个参数称为局部性）的其他坐标符号确定。对于长度为n，维数为k，局部为r的线性码，其最小距离d满足类Singleton界。达到这个界限的代码被称为最优的。在有限域或代数曲线上，人们利用不同的技巧构造了许多最优局部可恢复码族。然而，在一般的有限域上，长度n为q的平方，局部性r大于等于24，最小距离d大于等于9的最优LRC码还没有被构造出来。本文对任意给定的q元有限域，r在1到q-1之间，d在一定范围内，给出了一个长度为n的最优LRC码，其长度为q的平方，局部性为r，距离为d。这是唯一已知的最佳LRC码的长度n周围的平方q和无界的地方和最小距离d大于或等于9。我们还给出了q元r局部LRC码的一个渐近界，这个渐近界优于以前已知的渐近界。还构造了许多具有小缺陷的长r-局部LRC码。
2019-10-20 cs.IT math.IT
Locally Decodable Index Codes
如果每个接收机可以通过仅观察所发送的码字符号的子集而不是整个码字来解码其需求，则具有接收机侧信息的广播信道的索引码是本地可解码的。在无线衰落信道中，索引编码的局部可解码性可以降低接收机的复杂度，提高用户隐私性，降低解码错误概率。传统的索引编码解决方案假设接收机观察整个码字，并且因此，对于这些码，每个解码消息符号由用户查询的码字符号的数量（我们称之为局部性）可能很大。在本文中，我们提出的索引编码的问题，最小化的广播速率为一个给定的值的局部性（反之亦然）和设计代码，实现最佳的局部性和速率之间的权衡。我们确定的最佳广播速率对应的最小可能的值的所有单单播问题的局部性。我们提出了新的结构属性的索引代码，使我们能够表征的最佳权衡实现：向量线性代码时，边信息图是一个有向循环;和标量线性代码时，边信息图的minrank是一个小于问题的顺序。我们还确定了最佳的权衡之间的所有代码，包括非线性代码，当边信息图是一个有向3-循环。最后，我们提出的技术来设计本地可解码的索引码的任意单单播问题和任意值的地方。
2020-07-30 cs.IT math.IT
A family of optimal locally recoverable codes
如果编码中的每个符号都是少量（最多$r$）其他符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC）。我们提出了一个家庭的LRC码，达到最大可能的值的距离为一个给定的局部参数和代码基数。码字作为有限域上的特殊构造的多项式的评估而获得，并且如果局部参数$r$被设置为等于码维，则码字减少到Reed-Solomon码。大多数参数的代码字母表的大小仅略大于代码长度。恢复过程通过$r$点上的多项式插值来执行。我们还构造了几个不相交的恢复集的每一个符号的代码。这种结构使系统能够通过访问码字的不同部分来对特定符号进行多个独立且同时的恢复过程。此属性使频繁访问的数据（“热数据”）具有高可用性。
2014-07-11 cs.IT math.IT
Irregular Recovery and Unequal Locality for Locally Recoverable Codes with Availability
如果一个代码的每个坐标都可以从多个不相交的坐标集合（称为恢复集合）中恢复出来，则该代码被称为具有可用性的局部可恢复代码（LRC）。坐标的恢复集的大小的向量被称为其恢复轮廓。在这项工作中，我们考虑了两种不同设置下的可用性LRC：（1）不规则恢复：对于所有坐标保持固定的非恒定恢复曲线，（2）不平等的位置：可以随坐标变化的规则恢复曲线。对于每一个设置，我们推导出的最小距离，概括以前已知的边界的情况下，不规则或不同的恢复配置文件的界限。对于定期和固定的恢复配置文件的情况下，我们表明，一个特定的塔莫-巴格多项式的评估建设是最佳的所有符号的地方，我们提供的奇偶校验矩阵结构的信息局部性与可用性。
2017-05-14 cs.IT math.IT
Repairable Block Failure Resilient Codes
在部署在云计算中的大规模分布式存储系统（DSS）中，导致节点块同时失效（或不可用）的相关故障是常见的。在这种情况下，故障节点的存储数据或内容只能从属于可用块的可用活动节点中重建。为了分析系统对这种块故障的弹性，这项工作引入了块故障弹性（BFR）码的框架，其中数据（例如，DSS中的文件）可以通过从底层码字的每个可用块读出相同数量的码字符号（节点）来解码。此外，引入了可修复BFR码，其中故障块中的任何码字符号可以通过与系统中的剩余块接触来修复。从再生码的角度出发，推导了可修复BFR码的文件大小界，分析了每节点存储量与修复带宽之间的权衡关系，并推导了BFR-MSR和BFR-MBR点。通过利用组合设计来构造针对宽参数集实现这两个操作点的显式代码，其中根据投影平面将底层外码的码字分布到BFR码字符号。
2014-06-27 cs.IT math.IT
On taking advantage of multiple requests in error correcting codes
在纠错码--特别是局部可恢复码（LRC）和局部可解码码（LDC）--中的大多数局部性概念中，解码器试图学习消息的单个符号，而只查看相应码字的几个符号。然而，假设想要恢复消息的r> 1个符号。两个极端是重复单查询算法r次（这是具有可用性的LRC、原始多集批处理代码和PIR代码背后的直觉）或简单地运行全局解码算法来恢复整个事情。在本文中，我们将研究在这两个极端之间会发生什么：在什么值的r停止是一个好主意？为了开始研究这个问题，我们引入了强大的批处理代码，它试图找到r个符号的消息使用m个查询的码字，在存在的擦除。我们专注于r = m的情况，这可以被看作是MDS属性的推广。令人惊讶的是，我们表明，这种概念的地方，重复是最佳的，甚至非常大的值的$r = Ω(k)$。
2018-02-02 cs.IT math.IT
Repair Locality with Multiple Erasure Tolerance
在分布式存储系统中，具有局部性$r$的擦除码是优选的，因为可以通过访问至多$r$其它坐标来恢复坐标，这又大大降低了小$r$的盘I/O复杂性。然而，当为了恢复而访问的某些$r$坐标也被擦除时，局部修复可能是无效的。为了克服这个问题，我们提出了$(r,δ)_c$ -局部提供$δ-1$本地修复选项的坐标。因此，修复位置$r$可以容忍$δ-1$擦除。我们推导出一个上界的最小距离$d$的任何线性$[n,k]$码的信息$(r,δ)_c$ -局部性。对于一般的参数，我们证明了存在的代码，达到这个界限时，$n\geq k(r(δ-1)+1)$，这意味着紧这个界限。虽然Prakash等人定义的局部性$(r,δ)$提供了与我们定义的相同的局部性和局部修复容限，但具有$(r,δ)_c$ -局部性的代码被证明在最小距离方面具有更大的优势。特别地，我们构造了一类具有全符号$(r,δ)_c$ -局部性的码，其中最小距离增益为$Ω(\sqrt{r})$，信息率接近1。
2013-06-20 cs.IT math.IT
Linear Locally Repairable Codes with Random Matrices
本文研究了具有全符号局部性的局部可修码。提出了修改现有代码的方法。此外，它表明，具有高概率，一个随机矩阵与几个额外的列，保证局部性，是一个生成矩阵的局部可修代码具有良好的最小距离。这个证明也给出了一个构造性的方法来寻找局部可修码。
2014-08-01 cs.IT math.IT
Codes with locality from cyclic extensions of Deligne-Lusztig curves
最近，Skabelund定义了新的极大曲线，它们是Suzuki和Ree曲线的循环扩张。以前，现在众所周知的GK曲线被发现作为厄米曲线的循环扩展。在本文中，我们考虑从这些新的曲线构造的局部可恢复代码，补充GK曲线。本地可恢复的代码允许通过仅访问形成所谓的恢复集的少数其他符号来恢复单个符号。如果每个符号至少有两个不相交的恢复集，则称该码具有可用性。三个结构描述，因为每一个最适合一个特定的情况。第一个采用原始建设的本地可恢复的代码从曲线的塔莫和巴格。第二种方法通过使用Haymaker、Malmskog和Matthews所描述的纤维产品来产生具有可用性的代码，而第三种方法通过使用代码本身的产品来实现可用性。我们看到，循环扩展的Deligne-Lusztig曲线提供的代码比那些通常在文献中发现的更小的局部性。
2020-06-11 cs.IT math.AG math.IT
Amortized Relaxed Locally Decodable Codes
本文提出摊销松弛局部可解码码（aRLDC），在完全信息论模型下实现常数码率、常数容错性和常数摊销局部性，且恢复长块时每个符号探测少于两次。
2026-09-16 cs.DM cs.IT math.IT
A Tight Rate Bound and a Matching Construction for Locally Recoverable Codes with Sequential Recovery From Any Number of Multiple Erasures
如果$\mathcal{C}$的每个$n$代码符号可以通过访问至多$r$其它代码符号来恢复，则在存在单个擦除并且具有局部参数$r$的情况下，$[n,k]$代码$\mathcal{C}$被称为是局部可恢复的。如果对于任何一组$s \leq t$擦除，存在$s$步骤顺序恢复过程，其中在每一步，通过访问至多$r$其它代码符号来恢复单个擦除符号，则$[n,k]$代码被称为具有从$t$擦除的顺序恢复的本地可恢复代码。这等同于对于任何一组$s \leq t$擦除，双码包含一个码字，该码字的支持包含恰好一个$s$擦除符号的坐标。本文对任意的擦除次数$t$和任意的局部性参数$r \geq 3$，导出了这种码的速率的一个严格上界。这一界限证明了宋、蔡和袁的一个早期猜想。尽管该界限是有效的，而与在其上定义代码的字段无关，但是也提供了速率最优的{ \em binary}代码的匹配构造，同样对于任何$t$值和任何$r\geq3$值。
2017-02-17 cs.IT math.IT
On Partial Maximally-Recoverable and Maximally-Recoverable Codes
一个[n，k]线性码C受到由奇偶检验矩阵H0施加的局部性约束，如果它可以从H0的零空间的某个k维子码可以从其恢复的任何擦除模式中恢复，则该线性码C被称为最大可恢复（MR）码。本文的重点是限制MR码具有全符号局部性r。鉴于它是具有挑战性的，以构建MR码具有小字段大小，我们目前的结果在两个方向。在第一个，我们放松MR约束，只需要除了要求是一个最佳的所有符号的局部代码，代码必须产生MDS码时，打孔在一个单一的，特定的模式，确保每个本地代码被打孔正好在一个坐标，没有两个本地代码共享相同的打孔坐标。我们将这些代码称为部分最大可恢复（PMR）代码。我们提供了一个简单的高速率PMR码的建设，然后提供了一个普遍的，有前途的方法，需要进一步调查。在第二个方向，我们提出了三个结构的MR码与改进的参数，主要是规模的有限域中采用的建设
2015-01-28 cs.IT math.IT
Amortized Locally Decodable Codes for Insertions and Deletions
本文提出汉明到插入删除的编译器，将满足特定性质的摊销汉明LDC转换为摊销Insdel LDC，并在私钥和资源受限设置下构造理想摊销汉明LDC，最终获得常数摊销局部性、常数码率和常数容错能力的理想Insdel aLDCs。
2025-07-03 cs.IT math.IT
Optimal Linear Codes with a Local-Error-Correction Property
受分布式存储应用的启发，Gopalan \textit{et al}最近在线性码中引入了有趣的信息符号局部性概念。这意味着每个消息符号出现在与小汉明权重相关联的奇偶校验等式中，从而能够通过检查少量的其它码符号来恢复消息符号。这个概念被扩展到所有代码符号，而不仅仅是消息符号，都被这种“本地”奇偶校验所覆盖的情况。本文推广了Gopalan et.以便即使在本地奇偶校验符号中存在错误的情况下也允许恢复被擦除的代码符号。我们提出了严格的界限上的最小距离，这样的代码和展示代码是最佳的本地纠错性能。作为推论，我们得到了级联码的最小距离的一个上界。
2012-02-11 cs.IT math.IT
Amortized Locally Decodable Codes
该研究首次提出摊销型局部可译码，通过多符号恢复时的查询次数摊销突破传统LDC的性能瓶颈，证明Hadamard码可实现低于2的摊销局部性，并在密码学场景下实现常数码率、容错与常数摊销局部性的三重最优。
2025-06-16 cs.CR cs.IT math.IT
Characterizations and construction methods for linear functional-repair storage codes
我们提出了一个精确的线性函数修复存储代码的特征{ \em容许状态/}，每个状态由一个集合的向量空间在一些固定的有限域。为了说明我们的特性的有用性，我们提供了几个应用程序。我们首先描述了一个简单的建设功能修复存储代码的一个家庭的代码参数满足割集界以外的MBR和MSR点，这些代码被证明有最佳的速度相对于他们的修复局部性。然后，我们利用我们的表征开发一种构造方法，以获得功能的修复代码为给定的参数，使用对称群，它可以用来找到新的代码，并改善已知的。作为后者使用的一个例子，我们描述了一个美丽的功能修复存储代码，发现了这种方法，与属于家庭的参数之前调查，这可以指定在只有八个不同的向量空间。
2013-07-22 cs.IT math.IT
Optimal Locally Repairable Codes and Connections to Matroid Theory
PB级分布式存储系统目前正在向擦除码过渡，以实现更高的存储效率。像Reed-Solomon这样的经典代码对于分布式环境来说是非常次优的，因为它们在单一故障事件中的开销很高。局部可修码是一类新的具有修复效率的码族。特别是，LRC最小化参与单个节点修复的节点的数量，在此期间，它们生成小的网络流量。两个大规模分布式存储系统已经实现了不同类型的LRC：Windows Azure存储和Facebook使用的Hadoop分布式文件系统RAID。LRC的基本界限，即给定代码局部性的最佳可能距离，是最近发现的，但很少有明确的结构存在。在这项工作中，我们提出了一个明确的和最佳的LRC，是简单的构造。我们的建设是基于分组里德所罗门（RS）编码符号，以获得RS编码符号在一个更大的有限域。然后，我们将这些RS符号分成小组，并使用简单的本地代码重新编码它们，提供低修复局部性。为了分析码的最优性，我们得到了关于由代码生成器矩阵表示的拟阵的一个新结果。
2013-11-06 cs.IT math.IT
Local Codes with Cooperative Repair in Distributed Storage System
目前，对局部修复码的研究主要局限于对每个修复组内失效节点的修复。但如果出现整个修复组都失败的极端情况，则需要将存储在失败组中的本地代码作为一个整体进行恢复。本文提出了一种基于最小存储再生（MSR）码构造局部码的协作修复局部码，以实现故障群的修复。具体地说，提出的具有协同修复的局部码在奇偶校验符号之间构造了一种相互交织的结构，即每个局部码的奇偶校验符号（称为分布式局部奇偶校验）可以由其相邻两个局部码中的MSR码的奇偶校验符号生成。利用该结构，失效的局部群可以由其相邻的局部群中修复局部性较低的局部群进行协作修复，同时推导出了具有协作修复的局部码的最小距离.理论分析和仿真实验表明，与局部再生码（如MSR-局部码和MBR-局部码）相比，所提出的协作修复局部码在带宽开销和局部组失效情况下的修复局部性方面具有优势.
2016-02-09 cs.DC cs.IT math.IT
Locality and Availability of Array Codes Constructed from Subspaces
越来越多的数据是在互联网规模的公司（如谷歌、Facebook和亚马逊）中创建和处理的。如此大量的数据的有效存储因此已经成为现代计算中的一个基本和尖锐的问题。没有一台机器能够满足如此巨大的存储需求。因此，依赖于数万个存储节点的分布式存储系统（DSS）是唯一可行的解决方案。这种系统广泛用于所有现代互联网规模的系统。然而，DSS的设计提出了许多关键挑战，与单用户存储系统明显不同。这样的系统必须能够有效地重建数据，克服服务器故障，纠正错误等，在过去的几年里做了大量的研究来回答这些挑战，研究正在增加并行存储的数据量的增加。本文的主要目标是考虑代码有两个最重要的特点，分布式存储系统，即本地性和可用性。我们的代码是阵列码，这是基于有限域上的线性空间的子空间。我们提出了几种结构的这种代码是$q$ -模拟一些已知的分组码。其中一些守则具有独立的知识价值。我们研究的地方和可用性的构造代码。特别是，我们区分了两种类型的局部性和可用性，节点与~符号、位置和可用性。据我们所知，这是第一次在文献中给出这样的区分。
2018-06-23 cs.IT math.IT
Repairable Fountain Codes
我们介绍了一个新的家庭喷泉码的系统，也有稀疏的奇偶校验。给定$k$符号的输入，我们的代码产生无限数量的输出符号，通过线性组合对数数量的随机选择的输入符号独立地生成每个奇偶校验。该构造保证对于访问$(1+ε)k$编码符号的随机子集的任何$ε>0$，渐近地足以以高概率恢复$k$输入符号。我们的代码具有对数局部性的额外好处：单个丢失的符号可以通过访问剩余编码符号的$O(\log k)$子集来修复。这是分布式存储系统的期望属性，其中符号分布在存储节点的网络上。除了在丢失时恢复之外，局部重建为读取不能直接访问的符号提供了有效的替代方案。在我们的代码中，对数数量的不相交的局部组与每个系统符号相关联，允许多个并行读取。我们的主要数学贡献是分析有限域上具有特定结构的稀疏随机矩阵的秩。我们依赖于建立一个新的家庭的稀疏随机二部图具有高概率的完美匹配。
2014-01-03 cs.IT math.IT
Geometric construction of k-optimal locally repairable codes
Hebei Normal University（河北师范大学）；Hebei Research Center of the Basic Discipline Pure Mathematics（河北省基础学科数学研究中心）；Hebei Key Laboratory of Computational Mathematics and Applications（河北省计算数学与应用重点实验室）
本文通过奇偶校验矩阵方法，利用s-Pasch构型和PG(2,q)中的点线关系，构造了最小距离为5、局部性为3的k-最优局部可修复码，并利用部分r-展开构造了最小距离为6、一般局部性r的q元k-最优LRC。
2026-05-29 cs.IT math.CO math.IT
Improved batch code lower bounds
批处理码是纠错码的一个有用的局部性概念，最初是在分布式存储和密码学的上下文中引入的。已经给出了许多批处理码的构造，但是很少有下限（限制）结果是已知的，在最知名的构造和最知名的下限之间留下了差距。为了确定批处理码的最佳冗余度，我们证明了一个新的批处理码冗余度的下界。具体来说，我们研究（原始的，多集）线性批处理代码，系统地编码$n$信息符号到$N$码字符号，与要求，任何多集的$k$符号请求可以在不相交的方式获得。我们发现，这样的批处理代码需要$Ω(\sqrt{Nk})$符号的冗余，提高了以前的最佳下界的$Ω(\sqrt{N}+k)$在所有$k=n^\varepsilon$与$\varepsilon\in(0,1)$。我们的证明如下从分析的顺序- $O(k)$张量的批代码的对偶码的尺寸。
2021-06-03 cs.IT math.IT
Repairable Replication-based Storage Systems Using Resolvable Designs
我们考虑的再生代码的设计分布式存储系统的最小带宽再生（MBR）点。代码允许一个修复过程，这是准确的和未编码的，但基于表。这些代码是在以前的工作中介绍的，由外部MDS代码，然后是内部分数重复（FR）代码，其中编码符号的副本被放置在存储节点上。该领域的主要挑战是内部FR码的设计。在我们的工作中，我们考虑FR码的推广，通过建立它们与一个家庭的组合结构称为可分解设计。我们的建设的基础上仿射几何，阿达玛设计和相互正交的拉丁广场允许系统的设计，其中一个新的节点可以通过下载$β\geq 1$数据包从一个子集的幸存节点（以前的工作只考虑的情况下，$β= 1$）完全再生。我们的技术允许在大范围的参数系统的设计。具体地，指示系统的弹性的符号的重复程度可以以简单的方式在大范围内变化。此外，维修所需的实际表也可以以相当简单的方式实现。此外，我们通过证明存在具有施泰纳系统未涵盖的参数的代码来回答先前工作中提出的一个悬而未决的问题。
2012-10-07 cs.IT math.IT
Optimal storage codes on graphs with fixed locality
本文研究修复函数为奇偶校验的二进制图存储码，通过显式图构造与对称二进制矩阵秩下界刻画局部性和速率的最优权衡，并得到 r(n)=ω(1) 时速率趋近 1 的渐近分离结论。
2023-07-17 cs.IT math.IT
Some new constructions of optimal linear codes and alphabet-optimal $(r,δ)$-locally repairable codes
本文通过推广射影子空间相交构造线性码的方法，给出了成为Griesmer码或距离最优码的条件，并构造了多类字母表最优的$(r,δ)$-局部可修复码。
2023-07-09 cs.IT math.IT
On Optimal Ternary Locally Repairable Codes
在$[n,k,d]$线性码中，如果码符号可以通过访问至多$r$其它码符号来修复，则称该码符号具有局部性$r$。对于$(n,k,r)$ \emph{locally repairable code}（LRC），最小距离满足众所周知的类Singleton界$d\le n-k-\lceil k/r\rceil +2$。在本文中，我们研究了最佳的三元LRC满足这类Singleton约束采用奇偶校验矩阵的方法。证明了最优三元LRC存在的可能参数只有$8$类。此外，我们得到了明确的结构，最佳三元LRC的所有这些$8$类的参数，其中的最小距离只能是2，3，4，5和6。
2017-02-19 cs.IT math.IT
New Constructions of Optimal Locally Repairable Codes with Super-Linear Length
局部可修码（LRC）作为现代分布式存储系统中的一种重要编码方案，无论是在实际应用还是理论研究方面都受到了广泛关注。最优码的界和构造是LRC研究的一个重要课题。在这项工作中，代码与$(r,δ)$ -局部性，具有最佳的最小距离w.r.t.考虑了Prakash等人在\cite{Prakash2012Optimal}中给出的边界。利用奇偶检验矩阵方法，构造了具有全符号局部性的最优$(r,δ)$（$(r,δ)_a$ -LRC）和具有信息局部性的最优$(r,δ)$（$(r,δ)_i$ -LRC）.作为Xing和Yuan \cite{XY19}工作的推广，这些构造建立在稀疏超图和最优$(r,δ)$ -LRC之间的连接上。借助于大型稀疏超图的构造，所构造的码的长度在字母表大小上可以是超线性的。当代码的最小距离至少为$3δ+1$时，这改进了先前的构造。作为两个应用，我们还构造了超线性长度的最优H-LRC码和无限长度的GSD码。
2020-12-30 cs.IT math.IT
Constructions and Properties of Linear Locally Repairable Codes
本文研究了具有全符号局部性的局部可修码。提出了修改现有代码的方法。此外，它表明，具有高概率，一个随机矩阵与几个额外的列，保证局部性，是一个生成矩阵的局部可修代码具有良好的最小距离。这一证明也给出了一种构造性的局部可修码的方法。构造给出了三个无限类的最优向量线性局部可修码的小尺寸的字母表，不依赖于代码的大小。
2015-01-13 cs.IT math.IT
Optimal Locally Repairable Codes via Rank-Metric Codes
提出了一种新的分布式存储系统局部可修码的显式构造方法，该方法具有全符号局部性和最大可能最小距离，或者等价地，可以容忍最大数量的节点故障.这种构造基于最大秩距离（MRD）Gabidulin码，提供了新的最优矢量和标量LRC。此外，本文还讨论了机制，通过这种结构获得的代码可以用来构造LRC与再生码相结合的失效节点的有效修复的LRC。
2013-01-27 cs.IT math.IT
Binary Linear Locally Repairable Codes
局部可修复码（LRC）是一类设计用于局部纠正擦除的码。近年来，由于其在分布式存储中的应用，它们受到了相当大的关注。关于LRC的大多数现有结果没有明确考虑字段大小$q$，即，代码字母表的大小。特别是，对于二进制的情况下，只有少数结果是已知的。在这项工作中，我们提出了一个上界的最小距离$d$的线性LRC的可用性，Cadambe和Mazumdar的工作的基础上。该界限考虑了代码长度$n$、维度$k$、位置$r$、可用性$t$和字段大小$q$。然后，我们从三个方面对二元线性LRC进行了研究。首先，我们重点分析了一些经典码的局部性，即，循环码和Reed-Muller码，以及它们的修改版本，它们通过应用扩展、缩短、删减、增加和延长操作而获得。接下来，我们分别使用幻影奇偶校验符号和多层张量积结构来构造LRC。与其他以前的建设二进制LRC与固定的局部性或最小距离相比，我们的建设是更加灵活的代码参数，并给出了各种家庭的高速率LRC，其中一些被证明是最佳的最小距离。最后，研究了LRC的可用性。研究了几类一步择多逻辑可译码码的局部性和可用性，包括循环单纯码、循环差集码和无$4$循环的规则低密度奇偶校验（LDPC）码.我们还展示了一个长LRC的建设，从一个短的一步多数逻辑解码代码的可用性。
2015-11-22 cs.IT math.IT
New perspectives for code locality in the rank metric
Université de Limoges（利摩日大学）；Université Paris 8（巴黎第八大学）；Univ Rennes（雷恩大学）
研究在编码理论中，为一般秩度量码提出新的局部性定义，通过对码删截和缩短的研究，给出示例、构造及相关界，证明类似经典Tamo - Barg码的构造在此定义下最优。
2026-07-28 cs.CR cs.IT math.CO
Function-Correcting $b$-symbol Codes for Locally $(λ, ρ,b)$-Functions
本文引入局部$(\lambda,\rho,b)$函数，研究函数纠错$b$符号码的最优冗余，建立递推关系与冗余上界，并分析权重及权重分布函数情形。
2025-09-29 cs.IT math.IT
A Rate-Optimal Construction of Codes with Sequential Recovery with Low Block Length
如果对于任何$s \leq t$被擦除的代码符号，存在$s$ -步骤恢复过程，其中在每个步骤中，我们通过接触至多$r$其它代码符号来精确地恢复一个被擦除的代码符号，则擦除代码被称为具有参数$r$和$t$的顺序恢复的代码。在同一作者在ISIT 2017上发表的早期工作中，我们给出了一种从$t$擦除中顺序恢复的二进制码的构造，具有局部参数$r$，对于给定的$r,t$，这在码率方面是最佳的，但是对于某些常数$c >1$，块长度很大，大约为$r^{c^t}$。在本文中，我们提出了一种替代的构造率最优码的任何值的$t$和任何$r\geq3$，其中的块长度是显着更小的顺序为$r^{\frac{5t}{4}+\frac{7}{4}}$（在某些情况下，顺序为$r^{\frac{3t}{2}+2}$）。我们的构造是基于围长为$t+1$的树型图的构造。我们递归地构造这些图和代码。
2018-01-21 cs.IT math.IT
Locally recoverable codes on algebraic curves
如果编码中的每个符号是码字的少量（至多$r$）其它符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC代码）。本文介绍了代数曲线上的LRC码的构造，推广了最近的一类具有局部性的Reed-Solomon类码的构造。我们对待以下情况：本地恢复一个单一的擦除，本地恢复多个擦除，和代码与几个不相交的恢复集的每个坐标（{ \em可用性问题}）。对于这三个问题中的每一个，我们描述了一个一般的曲线上的代码建设和建设几个家庭的LRC代码。我们还描述了建设的代码依赖于自同构群的曲线的可用性。
2016-03-29 cs.IT math.IT
Cascade Codes For Distributed Storage Systems
本文提出了一种新的精确修复再生码的编码方案。在这项工作中提出的代码可以在节点的修复带宽（在修复过程中从每个幸存节点下载的符号的数量）和系统所需的存储开销之间进行交易。这些代码适用于一般系统参数$(n,k,d)$，这些参数分别是节点总数、足以进行数据恢复的节点数和修复过程中的帮助节点数。拟议的建设提供了一个统一的计划，制定准确的修复再生代码的整个权衡，包括MBR和MSR点。我们推测，新的存储-vs.-由所提出的码实现的带宽折衷是最优的。该码的一些其它关键特征包括：构造是线性的;所需的字段大小仅为$Θ(n)$ ;以及码参数，特别是子分组化级别至多为$(d-k+1)^k$ ;这与奇偶校验节点的数量无关。此外，所提出的修复机制是\emph{helper-independent}，即从每个帮助者发送的数据仅取决于帮助者和故障节点的身份，但独立于参与修复过程的其他帮助者节点的身份。
2020-10-20 cs.IT math.IT
