Binary Codes with Locality for Multiple Erasures Having Short Block Length
本文的重点是线性，二进制码的局部性具有局部参数$r$，能够从$t\geq 2$擦除恢复，而且，具有短的块长度。这里考虑顺序和并行（通过正交奇偶检验）恢复。在并行修复的情况下，一般$t$的最小块长度的结构进行了讨论。在顺序修复的情况下，结果包括（a）扩展和表征$t=2$的最小块长度构造，（b）提供$t=3$的块长度的改进的界限以及具有短块长度的$t=3$的一般构造，（c）提供一般$r,t$的短块长度构造和（d）提供$4 \leq t \leq7$范围内的$r=2$和$t$的高速率构造。所提供的大多数构造都是二进制码。
2016-02-02 cs.IT math.IT
On locality of Generalized Reed-Muller codes over the broadcast erasure channel
一对多通信预计将成为目前讨论的5G标准的杀手级应用之一。编码机制的使用正在影响广播标准质量，因为编码涉及堆栈的若干级别，并且更具体地说，涉及应用层，在应用层中，无比率、LDPC、里德所罗门码和网络编码方案在过去已经被广泛研究、优化和标准化。除了重用，扩展或适应现有的应用层分组编码机制的基础上以前的计划和上述LTE或其他广播标准的设计，我们的目的是调查使用广义里德穆勒码和他们的位置属性的价值，在其渐进解码广播/多播通信方案与实时的视频传输。我们的研究结果是为了深入了解使用本地可解码的代码在广播。
2016-09-11 cs.IT math.IT
Explicit Maximally Recoverable Codes with Locality
考虑系统线性码，其中一些（局部）奇偶校验符号取决于几个规定符号，而其他（重）奇偶校验符号可以取决于所有数据符号。本地奇偶校验允许在擦除任何单个符号时快速恢复该符号，而重奇偶校验则允许大量同时擦除。如果上面的代码校正了所有擦除模式，则该代码是最大可恢复的，这些擦除模式在给定代码拓扑的情况下是理论上可恢复的信息。在本文中，我们提出了明确的家庭的最大可恢复代码的地方。我们还开始研究最大可恢复性和字母表大小之间的权衡。
2013-07-20 cs.IT math.IT
Maximally Recoverable Codes with Hierarchical Locality
最大可恢复代码是一类在给定代码的局部性约束的情况下从所有潜在可恢复擦除模式中恢复的代码。在早期的作品中，这些代码已被研究的背景下，代码的地方。局部性的概念已经扩展到层次局部性，这允许局部性随着擦除次数的增加而逐渐增加级别。我们考虑了两级层次局部性代码的局部性约束，并定义了具有数据局部性和局部层次局部性的最大可恢复代码。我们得到了一些性质有关的删余码和最小距离。我们给出了一个过程来构造层次数据局部MRCs从层次局部MRCs。我们提供了一个建设的分层本地MRCs的所有参数。对于一个全局奇偶校验的情况下，我们提供了一个不同的结构层次的本地MRC在一个较低的字段大小。
2019-04-07 cs.IT math.IT
Locally Repairable Codes with Unequal Local Erasure Correction
当分布式存储系统中的节点发生故障时，需要及时修复以保持系统的完整性。虽然典型的纠删码可以提供优于复制的显著存储优势，但是它们遭受较差的修复效率。局部可修复码（LRC）通过减少参与修复过程（局部性）的节点数量来解决这个问题，代价是减少最小距离。在本文中，我们研究了局部码具有任意距离要求的LRC的局部性和最小距离之间的权衡。与现有的方法，其中每个节点上施加的本地和本地距离的要求是相同的，我们允许的要求从节点到节点任意变化。这样的属性对于具有非均匀特性的分布式存储系统可以是有利的。我们提出了Singleton型距离上界，并提供了一个最佳的代码建设这些界限。此外，可行速率区域的特征在于不依赖于距离的维数上界。
2018-07-07 cs.IT math.IT
Maximally recoverable codes with locality and availability
IMUVa-Mathematics Research Institute, University of Valladolid（瓦拉多利德大学数学研究所）；Signal Processing and Communications Research Center (SPCRC), International Institute of Information Technology, Hyderabad（海得拉巴国际信息学院信号处理与通信研究中心）
本文提出具有局部性和可用性的最大可恢复码，通过局部可修复码的构造方法，减少存储开销并提升全局纠错能力，针对t=1时提供三种构造方法并扩展有限域大小下界。
2026-05-15 cs.IT math.IT
A family of codes with variable locality and availability
在这项工作中，我们提出了一类本地可恢复的代码，即代码的位置$P$的擦除可以从恢复集$R_P$的位置中的条目的知识中恢复。我们定义的类中的代码具有可用性，这意味着每个位置$P$都有几个不同的恢复集。而且，即使在恢复集合的某些位置中存在擦除的情况下，也可以恢复位置$P$处的条目，并且所支持的擦除的数量可以在各种恢复集合之间变化。
2021-07-28 cs.IT math.AG math.IT
Maximally Recoverable Codes with Hierarchical Locality: Constructions and Field-Size Bounds
最大可恢复代码是一类在给定代码的局部性约束的情况下从所有潜在可恢复擦除模式中恢复的代码。在早期的作品中，这些代码已被研究的背景下，代码的地方。局部性的概念已经扩展到层次局部性，这允许局部性随着擦除次数的增加而逐渐增加级别。我们考虑了两级层次局部性代码的局部性约束，并定义了具有数据局部性和局部层次局部性的最大可恢复代码。我们得到了一些性质有关的删余码和最小距离。我们给出了一个过程来构造层次数据局部MRCs从层次局部MRCs。我们提供了一个建设的分层本地MRCs的所有参数。对于某些参数，我们还构造了具有层次局部性的MRC，其域的大小小于一般参数的已知构造。我们还得到了一个字段大小下界的MRC与层次局部性。
2021-05-07 cs.IT math.IT
A Tight Rate Bound and a Matching Construction for Locally Recoverable Codes with Sequential Recovery From Any Number of Multiple Erasures
如果$\mathcal{C}$的每个$n$代码符号可以通过访问至多$r$其它代码符号来恢复，则在存在单个擦除并且具有局部参数$r$的情况下，$[n,k]$代码$\mathcal{C}$被称为是局部可恢复的。如果对于任何一组$s \leq t$擦除，存在$s$步骤顺序恢复过程，其中在每一步，通过访问至多$r$其它代码符号来恢复单个擦除符号，则$[n,k]$代码被称为具有从$t$擦除的顺序恢复的本地可恢复代码。这等同于对于任何一组$s \leq t$擦除，双码包含一个码字，该码字的支持包含恰好一个$s$擦除符号的坐标。本文对任意的擦除次数$t$和任意的局部性参数$r \geq 3$，导出了这种码的速率的一个严格上界。这一界限证明了宋、蔡和袁的一个早期猜想。尽管该界限是有效的，而与在其上定义代码的字段无关，但是也提供了速率最优的{ \em binary}代码的匹配构造，同样对于任何$t$值和任何$r\geq3$值。
2017-02-17 cs.IT math.IT
A Complete Classification of Partial-MDS (Maximally Recoverable) Codes with One Global Parity
部分MDS（Partial-MDS，PMDS）码是一类局部可修码，主要用于分布式存储。它们被定义为能够在每个位置组发生给定数量的擦除之后纠正任何$s$附加擦除模式。这使得它们也是最大可恢复（MR）码，另一类局部可修复码。已知的是，如果字段大小足够大，则对于任何参数集，通常存在MR码，特别是PMDS码。此外，已知PMDS码的一些显式构造，大多数（但不总是）对每个局部组可以校正的擦除的数量具有强限制。在本文中，我们推广的概念PMDS码，允许不同大小的局部组。我们给出了这种具有$s=1$全局奇偶校验的PMDS码的一般构造，即，可校正一个额外擦除。此外，我们证明了所有给定参数的PMDS码都是这种形式，即，我们给出了这些码的分类。这意味着这些码存在的基本域大小的一个充分必要条件（假设MDS猜想成立）。对于某些参数集，我们的广义建设产生的PMDS码具有较小的字段大小比任何其他已知的建设。
2017-07-04 cs.IT math.IT
Easy repair via codes with simplex locality
针对分布式存储系统中多擦除模式解码的低计算量需求，本文提出简易修复特性，构建了与单纯形码相关的不同码率分组码和单位记忆卷积码，并阐述其并行修复条件以提升系统访问速度。
2025-04-15 cs.IT math.IT
Binary Locally Repairable Codes ---Sequential Repair for Multiple Erasures
分布式存储中的局部可修复码（LRC）允许两种方法对多个失效节点进行局部修复：1）并行方法，每个新节点访问一组$r$活节点$(r$作为修复位置$)$，下载数据并恢复丢失的数据包;以及2）顺序方法，通过该方法，新来者被适当地排序并且每个新来者访问一组$r$其它节点，一个具有局部性$r$的$[n,k]$线性码被称为$(n,k,r,t)$ -精确局部可修复码（ELRC），它允许通过顺序方法对多达$t$的失效节点进行局部修复.本文提出了一类等价于$[r+1,r]$单奇偶校验码的$m$拷贝的直积的二进制码。我们证明了这样的代码是$(n,k,r,t)$与$n=(r+1)^m,k=r^m$和$t=2^m-1$，这意味着他们允许本地修复高达$2^m-1$擦除顺序的方法。结果表明，顺序方法比并行方法具有更大的优势。
2015-11-19 cs.IT math.IT
Locally Repairable Convolutional Codes with Sliding Window Repair
介绍了用于分布式存储系统的局部可修复卷积码。它们实现了针对单个节点擦除（或更一般地，每个本地组的$ \partial - 1 $擦除）的本地修复，以及滑动窗口全局修复，其可以在$ n $节点的$ j+1 $连续块的每个窗口中校正具有多达$ {\rm d}^c_j - 1 $擦除的擦除模式，其中$ {\rm d}^c_j $是代码的第$ j $列距离。对于固定的LRCC，可以根据不同的灾难性擦除模式来调整参数$ j $，仅需要接触存储系统中的$ n(j+1) - {\rm d}^c_j + 1 $节点，加上少于$ μn $的其他节点，其中$ μ$是代码的存储器。为$ {\rm d}^c_j $提供了Singleton类型的界限。如果它达到这样的界限，LRCC可以在长度为$ n(j+1) $的窗口中校正与具有相同速率和位置并且具有块长度$ n(j+1) $的最佳局部可修复块码相同数量的灾难性擦除。此外，LRCC还可以通过调节$ j $进行灵活的局部滑动窗口修复。此外，通过调整和/或滑动窗口，LRCC可以潜在地校正$ n(j+1) $节点的原始窗口中比相同速率和位置以及长度$ n(j+1) $的最佳局部可修复分组码更多的擦除。最后介绍了部分最大距离轮廓码的概念。部分MDP码可以纠正所有的信息理论上可纠正的擦除模式，对于一个给定的位置，本地距离和信息速率。基于已知的最大秩和距离卷积码，得到…
2020-12-05 cs.IT math.IT
Information locality of a quantum locally recoverable code
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文针对量子稳定子码提出量子信息局部性概念及对应线性代数方法，证明现有量子局部性定义高估删除纠正所需符号数，还给出经典信息局部性的量子转换低估该数值的实例。
2026-08-06 cs.IT math.IT quant-ph
On minimum distance of locally repairable codes
分布式和云存储系统用于可靠地存储大规模数据。擦除码最近被提出并用于现实世界的分布式和云存储系统，如Google文件系统、Microsoft Azure存储和Facebook HDFS-RAID，以提高可靠性。为了减少修复带宽和磁盘I/O，一类称为局部可修复码（LRC）的纠删码被提出，与其他纠删码相比，它具有较小的局部性。虽然LRC具有小的局部性，但与Singleton界相比，它们具有更低的最小距离。因此，寻求最大可能的最小距离LRC一直是许多最近的研究课题。在本文中，我们研究了一类LRC的最大可能的最小距离，并评估他们的可扩展性。此外，我们比较了我们的结果与文献中的存在界。
2017-02-17 cs.IT math.IT
Codes With Hierarchical Locality
在本文中，我们研究的概念，{ \em代码与层次局部性}被确定为另一种方法，从多个擦除的本地恢复。众所周知的{具有局部性的\em码}类被称为具有单级的层次局部性。在{具有两级分层局部性的\em码}中，每个符号由最内部的局部码和包含该局部码的另一个较大维度的中间级码保护。我们首先考虑代码与两个层次的局部性，推导出上界的最小距离，并提供最佳的代码结构的低字段大小在一定的参数集。随后，我们推广的约束和结构的层次局部性的任意水平。
2015-01-27 cs.IT math.IT
Partial MDS Codes with Local Regeneration
部分MDS（PMDS）和扇区磁盘（SD）码是将局部性与强擦除校正能力相结合的一类擦除码。我们构造PMDS和SD码，其中每个本地码是带宽最优的再生MDS码。该结构需要比文献中已知的唯一其他结构显著更小的场尺寸。
2020-05-08 cs.IT math.IT
Codes with Locality in the Rank and Subspace Metrics
我们将局部性的概念从汉明度量扩展到秩度量和子空间度量。我们的主要贡献是构造了一类在秩度量上具有局部性约束的数组码。我们构造这种代码的动机源于设计用于从相关和/或混合（即，完全和部分）故障。具体地，所提出的本地秩度量码可以从影响存储系统的有限数量的行和/或列的“交叉错误和擦除”中本地恢复。我们还得到了一个类似Singleton的最小秩距离上界的（线性）代码与“秩局部性”的限制。我们提出的结构实现了这一界限的参数范围很广。该结构建立在Tamo和Barg的方法上，用于构造具有最优最小汉明距离的局部可修码。最后，我们构造了一类在子空间度量上具有局部性约束的常维子空间码（也称为格拉斯曼码）。的关键思想是表明，格拉斯曼代码的局部性可以很容易地构造从一个秩度量代码的局部性，通过使用提升方法提出的席尔瓦等人。我们提出了一个应用程序，这样的代码的分布式存储系统，其中节点连接在一个网络，可以引入错误和擦除。
2019-05-05 cs.IT math.IT
Construction of Locally Repairable Array Codes with Optimal Repair Bandwidth under the Rack-Aware Storage Model
针对机架感知分布式存储，本文利用再生编码构造具有 $(r,u-r+1)$-局部性的阵列码，实现少量故障机架内本地修复及单机架多故障时的最优跨机架修复带宽。
2024-01-27 cs.IT math.IT
Index Codes with Minimum Locality for Three Receiver Unicast Problems
如果每个接收器可以仅使用由发送器发送的码字符号的子集而不是观察整个码字来解码其需求，则具有接收器侧信息的广播信道的索引码是“本地可解码的”。索引编码的局部可解码性改善了用于无线广播信道时的误码性能，降低了接收机的复杂度，提高了索引编码的保密性。索引码的“局部性”是每个接收器所使用的码字符号的数量与接收器所要求的消息符号的数量的比率。在索引编码的局部性之前的工作只考虑了单单播和单uniprior问题，广播速率和局部性之间的最佳权衡仅在少数情况下是已知的。在本文中，我们确定了最佳广播速率（包括非线性码）的所有三个接收器单播问题时，当地等于最小可能的值，即，等于一。实现该最佳速率的索引码基于团覆盖技术并且是众所周知的。本文的主要贡献是在提供紧密的逆结果有关的局部性广播速率，并表明，这种已知的索引编码方案是最佳的局部性等于一。为此，我们推导出三个接收器单播问题的边信息图的几个结构性质，并将它们与信息论的参数相结合，以达到一个逆。
2019-04-09 cs.IT math.IT
Locality in Index Coding for Large Min-Rank
如果每个接收机可以使用其边信息并且通过仅查询所发送的码字符号的子集而不是观察整个码字来解码其需求，则索引码被称为是局部可解码的。在一些通信场景中，例如当接收机由于有限的功率可用性而能够仅监听传输的一部分时，本地可解码性可以是有益的特征。索引码的局部性是接收器查询的码字符号的最大数目与消息长度的比率。在本文中，我们分析了最小秩小于网络中接收器数目的指数编码问题族的线性码的最优局部性。我们首先推导出当边信息图是有向循环时，向量线性编码的索引编码速率和局部性之间的最佳折衷。然后，我们提供了一个更大的问题，即，最小秩仅比接收机的数量小一个的问题。虽然用于可解码性的参数是基于已知的编码技术，相反的参数依赖于本地可解码的索引码的结构上的新结果。
2019-01-17 cs.IT math.IT
Repair Locality From a Combinatorial Perspective
修复局部性是分布式存储系统中纠删码的一个理想特性。最近，在修复局部性的定义中，提出了不同结构的局部修复群。本文引入再生集的概念来刻画局部修复群。位置$r^{(δ-1)}$的定义（即，在最一般的再生集结构下，给出了具有修复容限$δ-1$的局部性$r$.所有以前研究过的局部性都是这个定义的特例。在再生集的框架下，重新研究了以往提出的三个有代表性的局部性概念，并以统一简洁的形式重新证明了它们各自的最小距离上界.此外，对于一类具有局部性$r^{(2)}$和高信息率的线性码&平方码，给出了更精确的距离界，并得到了达到最佳距离界的显式码构造.
2014-01-12 cs.IT math.IT
On the Locality of Codeword Symbols
考虑线性[n，k，d]_q码C.我们说C的第i个坐标具有局部性r，如果这个坐标处的值可以从访问C的其他r个坐标中恢复。数据存储应用需要具有小冗余、信息坐标的低局部性、大距离和奇偶坐标的低局部性的代码。在本文中，我们进行了深入的研究，这些参数之间的关系。我们建立了一个紧界的冗余n-k的消息长度，距离和信息坐标的局部性。我们把达到这个界限的码称为最优码。我们证明了一些结构定理的最佳码，这是特别强的小距离。这给出了码字长度、最坏情况距离和信息符号的局部性之间的权衡的相当完整的画面。然后，我们考虑的地方奇偶检验符号和擦除校正超过最坏情况的距离为最佳的代码。使用我们的结构定理，我们得到了一个紧界的奇偶校验符号可能在这样的代码的一个广泛的类的参数设置的地方。我们证明，有一个良好的局部性之间的权衡奇偶检验和纠正擦除超过最小距离的能力。
2011-06-18 cs.CC cs.DM cs.IT
On Optimal Locally Repairable Codes and Generalized Sector-Disk Codes
考虑了具有信息局部性的最优局部可修码。最佳码的构造，其长度也是顺序最佳的关于本文推导出的码长的一个新的界。所构造的码的长度在字母表大小上是超线性的，这改进了公知的金字塔码，其长度仅在字母表大小上是线性的。可恢复的擦除模式也分析了新的代码。基于可恢复的擦除模式，我们构造了广义扇区磁盘（GSD）码，它可以从磁盘擦除与扇区擦除混合在一个更一般的设置比已知的扇区磁盘（SD）码。此外，在所构造的GSD码中的扇区数是超线性的字母大小，与已知的SD码，其扇区数仅是线性的字母大小相比。
2020-02-05 cs.IT math.IT
Locality of Curve-Decoding and Improved Proximity Gaps
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Stanford University（斯坦福大学）
研究针对随机码集合改进接近间隙，通过扩展局部坐标线性属性框架为行跨度约束版本，使曲线可解码性直接作为该属性，取得与子空间设计码匹配的结果，避免参数损失。
2026-07-10 cs.CR cs.IT math.IT
Locally Recoverable Streaming Codes for Packet-Erasure Recovery
流代码是一类分组级擦除代码，其被设计成以确保在通信网络上以低延迟方式恢复擦除分组为目标。在流编码文献中众所周知，在分组流内对角地嵌入$[τ+1,τ+1-a]$最大距离可分离（MDS）码的码字导致能够在严格的解码延迟约束$τ$下从$a$任意分组擦除恢复的速率最优流编码。因此，MDS码适合于有效处理对应于$a$擦除的发生的最坏情况。在本论文中，我们有一个更大的关注最频繁的擦除模式的有效处理。我们研究的流代码，除了恢复从$a>1$任意数据包擦除下的解码延迟$τ$，有能力处理更常见的单包擦除，而招致较小的延迟$r<τ$。我们把这些代码作为$(a,τ,r)$本地可恢复的流代码（LRSC），因为我们的单擦除恢复的要求是类似的本地编码的分布式存储系统的要求。我们的特点是最大可能的速率的LRSC的所有可能的参数$\{a,τ,r\}$的速率最优的结构。虽然本文提出的速率最优LRSC结构需要较大的字段大小，但该结构是显式的。它还表明，我们的$(a,τ=a(r+1)-1,r)$ LRSC建设提供了额外的保证恢复从擦除$h, 1 \leq h \leq a$，数据包，延迟$h(r+1)-1$。因此，该构造随着擦除次数的增加而提供了解码延迟的适度降级。
2021-09-07 cs.IT math.IT
Majority-Logic Decoding of Binary Locally Recoverable Codes: A Probabilistic Analysis
Rutgers University（罗格斯大学）；Macquarie University（麦考瑞大学）
本文研究了二元局部可修复码在多数逻辑解码下的纠错性能，揭示了在随机信道模型下，块解码失败概率随局部性和可用性参数变化而趋于消失。
2026-02-20 cs.IT math.IT math.PR
XORing Elephants: Novel Erasure Codes for Big Data
大型集群的分布式存储系统通常使用复制来提供可靠性。最近，纠删码被用来减少三复制系统的巨大存储开销。Reed-Solomon码是标准的设计选择，其高维修成本通常被认为是为高存储效率和高可靠性付出的不可避免的代价。本文介绍了如何克服这一局限性。我们提出了一种新的家庭擦除码，有效地修复，并提供更高的可靠性相比，里德-所罗门码。我们分析表明，我们的代码是最佳的最近确定的局部性和最小距离之间的权衡。我们在Hadoop HDFS中实现了我们的新代码，并与当前部署的使用Reed-Solomon代码的HDFS模块进行了比较。我们修改后的HDFS实现在修复磁盘I/O和修复网络流量上减少了大约2倍。新的编码方案的缺点是，它需要14%以上的存储相比，里德-所罗门码，一个开销被证明是信息理论上最优的获得局部性。由于新代码修复故障更快，因此提供了更高的可靠性，与复制相比，可靠性高出几个数量级。
2013-01-16 cs.DC cs.IT cs.NI
Partial MDS Codes with Regeneration
部分MDS（PMDS）和扇区磁盘（SD）码是将局部性与强擦除校正能力相结合的擦除校正码的类别。我们构造PMDS和SD码与本地再生每个本地代码是一个带宽最优再生MDS码。在节点故障的情况下，这些代码减少了必须联系的服务器数量以及修复过程所需的网络流量。该结构需要比文献中已知的唯一其他结构显著更小的场尺寸。此外，我们提出了一个建设的PMDS代码与全球再生，允许有效地修复模式的节点故障，超过本地擦除校正能力的代码，从而调用修复不同的本地组。
2021-06-11 cs.IT math.IT
Repairing Schemes for Tamo-Barg Codes
本文研究了带局部性的机架感知存储系统中局部修复码的擦除修复问题，提出了两种降低Tamo-Barg码修复带宽的方案，引入割集界证明其中一种方案最优，并探讨了部分修复问题的方案与界限。
2024-07-26 cs.IT math.IT
Locally Decodable Index Codes
如果每个接收机可以通过仅观察所发送的码字符号的子集而不是整个码字来解码其需求，则具有接收机侧信息的广播信道的索引码是本地可解码的。在无线衰落信道中，索引编码的局部可解码性可以降低接收机的复杂度，提高用户隐私性，降低解码错误概率。传统的索引编码解决方案假设接收机观察整个码字，并且因此，对于这些码，每个解码消息符号由用户查询的码字符号的数量（我们称之为局部性）可能很大。在本文中，我们提出的索引编码的问题，最小化的广播速率为一个给定的值的局部性（反之亦然）和设计代码，实现最佳的局部性和速率之间的权衡。我们确定的最佳广播速率对应的最小可能的值的所有单单播问题的局部性。我们提出了新的结构属性的索引代码，使我们能够表征的最佳权衡实现：向量线性代码时，边信息图是一个有向循环;和标量线性代码时，边信息图的minrank是一个小于问题的顺序。我们还确定了最佳的权衡之间的所有代码，包括非线性代码，当边信息图是一个有向3-循环。最后，我们提出的技术来设计本地可解码的索引码的任意单单播问题和任意值的地方。
2020-07-30 cs.IT math.IT
Locally Repairable Codes
用于大规模应用的分布式存储系统通常使用复制来提高可靠性。近年来，纠删码被用来减少大量的存储开销，同时提高数据的可靠性。现成的纠删码的主要限制是它们在单节点故障事件期间的高修复成本。在这个领域中的一个主要的公开问题是设计代码，使得{ \it i）}是修复有效的，并且{ \it ii）}实现任意高的数据率。在本文中，我们探讨修复度量{ \it局部性}，它对应于在一个{ \color{black}单}节点修复所需的磁盘访问的数量。根据这个指标，我们描述了一个信息理论的权衡，绑定在一起的地方，代码的距离，和每个节点的存储容量。我们证明了最优{ \it局部可修码}（LRC）的存在，实现了这种权衡。可扩展性证明使用了一个局部感知的流图小工具，这导致了一个随机的代码构造。最后，我们提出了一个最佳的和明确的LRC，实现任意高的数据速率。我们的局部最优构造是基于里德-所罗门块的简单组合。
2014-05-03 cs.DC cs.IT cs.NI
Binary Cyclic Codes that are Locally Repairable
存储系统的代码旨在最小化修复局部性，即参与修复单个故障磁盘的磁盘（或节点）数量。同时，该代码必须保持高速率，在小的有限域上操作以具有实际意义，并且能够容忍大量的擦除。为此，我们构造新的家庭的二进制线性码，有一个最佳的尺寸（率）为一个给定的最小距离和地方。具体来说，我们构造循环码，局部可修复的地方2和距离2，6和10。在这样做，我们发现新的上限的代码尺寸，并证明了最优的本地修复提供不相交的磁盘组。最后，我们扩展我们的构造，以构建每个磁盘具有多个修复集的代码。
2016-09-28 cs.IT math.IT
Improved Maximally Recoverable LRCs using Skew Polynomials
$(n,r,h,a,q)$ -局部重构码（LRC）是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n/r$局部组。每个本地组满足“$a$”本地奇偶校验以从该本地组中的“$a$”擦除中恢复，并且存在进一步的$h$全局奇偶校验以提供对更多全局擦除模式的容错。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它提供局部性和全局擦除弹性的最佳混合--即，它可以校正所有擦除模式，其恢复在给定局部性结构的情况下在信息理论上是可行的（这些是在每个局部组中具有多达“$a$”擦除和在码字中的任何地方具有附加的$h$擦除的精确模式）。随机构造可以很容易地显示在非常大的领域MR LRC的存在，但一个主要的代数挑战是构建MR LRC，甚至显示它们的存在，在较小的领域，以及了解其字段大小的固有下限。我们给出了场大小为$(n,r,h,a,q)$ LRC的显式构造.这在许多相关参数范围内改进了已知结构。此外，它与Gopi等人的下限相匹配。（2020）在一个有趣的参数范围内，其中$r=Θ(\sqrt{n})$，$r-a=Θ(\sqrt{n})$和$h$是$h\le a+2$的固定常数，实现了$Θ_{h}(n^{h/2}).$的最佳字段大小。我们相信斜多项式应该有进一步的应用在编码和复杂性理论，作为一个小的例子，我们展示了如何捕捉代数结果的基础上列表解码折叠里德-所罗门和多重性代…
2022-05-18 cs.CC cs.IT math.IT
Simultaneous Reduction of Observables and Measured Qudits in Entanglement-Assisted Quantum Local Recovery
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文提出一种线性代数程序，同时约简纠缠辅助量子纠错码中的可观测量与修复组，以最小规模纠正擦除，并给出特殊码的闭式上界及量子信息局部性对应物。
2026-09-22 cs.IT math.IT quant-ph
Some Improvements on Locally Repairable Codes
在分布式存储系统中引入局部可修复码（LRC）来有效地纠正擦除. LRC是近年来研究的热点。本文首先讨论了\cite{q}中的开集情形，并给出了LRC最小距离的一个改进的上界。我们也给出了一个明确的建设LRC达到这个界限。其次，我们考虑了任意位置和可用性的LRC的构造，这些LRC具有尽可能大的最小距离和尽可能高的码率。我们给出了一个图形模型的LRC。利用图论的深入结果，构造了一族具有任意局部性$r$和可用性$2$的LRC，其码率为$\frac{r-1}{r+1}$，最优最小距离为$O(\log n)$，其中$n$为码长.
2015-06-16 cs.IT math.IT
Locally recoverable codes on algebraic curves
如果编码中的每个符号是码字的少量（至多$r$）其它符号的函数，则有限字母表上的代码被称为局部可恢复（LRC代码）。本文介绍了代数曲线上的LRC码的构造，推广了最近的一类具有局部性的Reed-Solomon类码的构造。我们对待以下情况：本地恢复一个单一的擦除，本地恢复多个擦除，和代码与几个不相交的恢复集的每个坐标（{ \em可用性问题}）。对于这三个问题中的每一个，我们描述了一个一般的曲线上的代码建设和建设几个家庭的LRC代码。我们还描述了建设的代码依赖于自同构群的曲线的可用性。
2016-03-29 cs.IT math.IT
On Partial Maximally-Recoverable and Maximally-Recoverable Codes
一个[n，k]线性码C受到由奇偶检验矩阵H0施加的局部性约束，如果它可以从H0的零空间的某个k维子码可以从其恢复的任何擦除模式中恢复，则该线性码C被称为最大可恢复（MR）码。本文的重点是限制MR码具有全符号局部性r。鉴于它是具有挑战性的，以构建MR码具有小字段大小，我们目前的结果在两个方向。在第一个，我们放松MR约束，只需要除了要求是一个最佳的所有符号的局部代码，代码必须产生MDS码时，打孔在一个单一的，特定的模式，确保每个本地代码被打孔正好在一个坐标，没有两个本地代码共享相同的打孔坐标。我们将这些代码称为部分最大可恢复（PMR）代码。我们提供了一个简单的高速率PMR码的建设，然后提供了一个普遍的，有前途的方法，需要进一步调查。在第二个方向，我们提出了三个结构的MR码与改进的参数，主要是规模的有限域中采用的建设
2015-01-28 cs.IT math.IT
Codes with hierarchical locality from covering maps of curves
局部可恢复（LRC）码提供了在不必访问每个剩余坐标的情况下恢复码字的擦除坐标的方式。具有分层局部性的LRC码（H-LRC码）的子族通过引入用于校正不同数目的擦除的若干层可恢复性来为构造提供额外的灵活性。我们提出了一个一般的建设代码与2级层次的地方从代数曲线之间的映射，并专门为几个代码的家庭获得的自同构群，包括合理的，椭圆的，Kummer，和Artin-Schreier曲线的代数曲线之间的映射。我们进一步解决问题的H-LRC代码的可用性，并建议一般建设这样的代码从纤维产品的曲线。详细的计算参数的H-LRC代码的可用性进行Reed-Solomon和Hermitian类代码的家庭。最后，我们从Garcia-Stichtenoth塔的曲线构造了渐近好的H-LRC码族。
2019-04-02 cs.IT math.AG math.IT
New Construction of Locally q-ary Sequential Recoverable Codes: Parity-check Matrix Approach
本文提出一种基于校验矩阵的q元序列局部可恢复码（SLRCs）新构造，通过建立并行与序列恢复的新联系，实现了具有信息$(r, t_i, δ)$-序列局部性的线性码，可对最多$t$个擦除进行序列恢复。
2025-03-03 cs.IT math.IT
Repairing Generalized Reed-Muller Codes
在分布式存储系统中，修复带宽和局部性都是评价存储代码性能的重要修复代价指标。最近，Guruswami和Wooters提出了一种基于Reed-Solomon码的单次故障最优线性修复方案，改进了经典修复方案的带宽。本文研究了具有良好局部性的广义Reed-Muller（GRM）码的修复带宽。我们将Guruswami和Wooters的修复方案推广到单次失效的GRM码，当子域很小时，它具有接近下界的非平凡带宽。我们进一步扩展了分布式和集中式修复模型中的多故障修复方案，并通过考虑不同的擦除模式来计算带宽期望。
2019-06-25 cs.IT math.CO math.IT
Locally Repairable Codes with Functional Repair and Multiple Erasure Tolerance
考虑了分布式存储系统（DSS）中满足（r，t）-局部修复性质的[n; k]线性码的设计问题，其中任意t '（<=t）个同时失效的节点都可以局部修复，每个节点都具有局部性r.参数n、k、r、t是正整数，使得r<k<n并且t <= n-k。我们认为功能修复模型和顺序修复多个失败的节点的方法。通过功能修复，我们的意思是存储在每个新来者中的数据包不一定是丢失数据的精确副本，而是保持（r，t）-本地修复属性的符号。序贯方法是指t'个新节点按适当的顺序排列，使得每个新节点都可以从活节点和在它之前排序的新节点中修复。这种码称为（n，k，r，t）-泛函局部可修码（FLRC），是最一般的一类LRC，包含文献中报道的几个LRC子类。在本文中，我们的目标是优化FLRC的存储开销（相当于码率）。我们推导出一个下界的代码长度n给定t属于{2，3}和任何可能的k，r。当t=2时，我们的界推广了[14]中证明的速率界。当t=3时，我们的界改进了[10]中证明的速率界。当t属于{2，3}且长度n达到（n，k，r，t）-FLRC的上界时，给出了精确LRC的构造，证明了上界的紧性，同时也暗示了函数LRC的最优码长与精确LRC的最优码长在一定参数下没有差距.此外，我们的构造是在二元域上的，因此在实践中是有意义的。
2015-07-29 cs.IT math.IT
Binary Linear Locally Repairable Codes
局部可修复码（LRC）是一类设计用于局部纠正擦除的码。近年来，由于其在分布式存储中的应用，它们受到了相当大的关注。关于LRC的大多数现有结果没有明确考虑字段大小$q$，即，代码字母表的大小。特别是，对于二进制的情况下，只有少数结果是已知的。在这项工作中，我们提出了一个上界的最小距离$d$的线性LRC的可用性，Cadambe和Mazumdar的工作的基础上。该界限考虑了代码长度$n$、维度$k$、位置$r$、可用性$t$和字段大小$q$。然后，我们从三个方面对二元线性LRC进行了研究。首先，我们重点分析了一些经典码的局部性，即，循环码和Reed-Muller码，以及它们的修改版本，它们通过应用扩展、缩短、删减、增加和延长操作而获得。接下来，我们分别使用幻影奇偶校验符号和多层张量积结构来构造LRC。与其他以前的建设二进制LRC与固定的局部性或最小距离相比，我们的建设是更加灵活的代码参数，并给出了各种家庭的高速率LRC，其中一些被证明是最佳的最小距离。最后，研究了LRC的可用性。研究了几类一步择多逻辑可译码码的局部性和可用性，包括循环单纯码、循环差集码和无$4$循环的规则低密度奇偶校验（LDPC）码.我们还展示了一个长LRC的建设，从一个短的一步多数逻辑解码代码的可用性。
2015-11-22 cs.IT math.IT
A Rate-Optimal Construction of Codes with Sequential Recovery with Low Block Length
如果对于任何$s \leq t$被擦除的代码符号，存在$s$ -步骤恢复过程，其中在每个步骤中，我们通过接触至多$r$其它代码符号来精确地恢复一个被擦除的代码符号，则擦除代码被称为具有参数$r$和$t$的顺序恢复的代码。在同一作者在ISIT 2017上发表的早期工作中，我们给出了一种从$t$擦除中顺序恢复的二进制码的构造，具有局部参数$r$，对于给定的$r,t$，这在码率方面是最佳的，但是对于某些常数$c >1$，块长度很大，大约为$r^{c^t}$。在本文中，我们提出了一种替代的构造率最优码的任何值的$t$和任何$r\geq3$，其中的块长度是显着更小的顺序为$r^{\frac{5t}{4}+\frac{7}{4}}$（在某些情况下，顺序为$r^{\frac{3t}{2}+2}$）。我们的构造是基于围长为$t+1$的树型图的构造。我们递归地构造这些图和代码。
2018-01-21 cs.IT math.IT
Algebraic hierarchical locally recoverable codes with nested affine subspace recovery
本文提出代数分层局部可恢复码，通过里德-穆勒码与纤维积码的统一，实现嵌套仿射子空间恢复，并支持每层可用性。
2025-01-22 cs.IT math.AG math.IT
On taking advantage of multiple requests in error correcting codes
在纠错码--特别是局部可恢复码（LRC）和局部可解码码（LDC）--中的大多数局部性概念中，解码器试图学习消息的单个符号，而只查看相应码字的几个符号。然而，假设想要恢复消息的r> 1个符号。两个极端是重复单查询算法r次（这是具有可用性的LRC、原始多集批处理代码和PIR代码背后的直觉）或简单地运行全局解码算法来恢复整个事情。在本文中，我们将研究在这两个极端之间会发生什么：在什么值的r停止是一个好主意？为了开始研究这个问题，我们引入了强大的批处理代码，它试图找到r个符号的消息使用m个查询的码字，在存在的擦除。我们专注于r = m的情况，这可以被看作是MDS属性的推广。令人惊讶的是，我们表明，这种概念的地方，重复是最佳的，甚至非常大的值的$r = Ω(k)$。
2018-02-02 cs.IT math.IT
Convertible Codes: Efficient Conversion of Coded Data in Distributed Storage
大规模分布式存储系统通常使用擦除码来提供数据在面对故障时的耐久性。使用$[n, k]$代码对要存储的一组$k$块进行编码，以生成随后存储在不同存储节点上的$n$块。冗余配置是基于存储设备的故障率来选择的，并且通常保持恒定。然而，Kadekodi等人最近的工作表明，存储设备的故障率随时间显著变化，并且响应于这种变化而调整冗余配置提供了显著的益处。通过重新编码来转换已编码数据的冗余配置需要在资源上产生大量开销，例如访问、设备IO、网络带宽和计算周期。在这项工作中，我们首先提出了一个框架，以正式的概念代码转换：转换数据编码的过程中与$[n^I, k^I]$代码编码成数据与$[n^F, k^F]$代码，同时保持所需的可解码性属性，如最大距离可分离（MDS）的属性。然后，我们介绍可转换代码，一类新的代码，允许代码转换的资源效率的方式。对于一个重要的参数制度（我们称之为合并制度），随着线性和MDS可解码性约束，我们证明紧边界代码转换过程中访问的节点数。特别是，我们的可转换性的结果是一个明确的建设MDS可转换代码，是最佳的所有参数值的合并制度，虽然具有高字段大小。然后，我们提出了明确的低字段大小的最佳MDS可转换代码的结构，在合并制度的参数范围很广。因此，我们的研究结果表明，与重新编码相比，确实可以用更少的资源实现代码转换。
2019-07-30 cs.DC cs.IT cs.NI
Alpha Entanglement Codes: Practical Erasure Codes to Archive Data in Unreliable Environments
使用消费级磁盘驱动器和分布式对等系统的数据中心是不可靠的环境，无法在没有足够冗余的情况下归档数据。大多数冗余方案对于长期提供高可用性、持久性和完整性并不完全有效。我们提出了阿尔法纠缠码，一种机制，创建一个虚拟层的高度互连的存储设备，在大规模存储系统中传播冗余信息。我们的动机是设计具有高容错能力的灵活实用的擦除码，以提高数据的持久性和可用性，即使在灾难性的情况下也是如此。通过灵活和实用，我们的意思是代码设置可以适应未来的需求和实际实现，并在安全性，资源使用和性能之间进行合理的权衡。代码有三个参数。Alpha会线性增加存储开销，但会以指数方式增加恢复数据的可能路径。另外两个参数甚至在不需要额外存储的情况下进一步提高了容错性。因此，纠缠存储系统可以提供高可用性，持久性和额外的完整性：更难以不可检测地修改数据。我们评估了几种冗余方案在不可靠环境中的性能，并表明α纠缠码是灵活和实用的代码。值得注意的是，它们在代码局部性方面表现出色，因此，它们降低了修复成本，并减少了对可用性差的存储位置的依赖。我们的解决方案在许多灾难恢复场景中优于Reed-Solomon码。
2018-10-06 cs.CR cs.DC cs.IT
Optimal Locally Repairable Codes and Connections to Matroid Theory
PB级分布式存储系统目前正在向擦除码过渡，以实现更高的存储效率。像Reed-Solomon这样的经典代码对于分布式环境来说是非常次优的，因为它们在单一故障事件中的开销很高。局部可修码是一类新的具有修复效率的码族。特别是，LRC最小化参与单个节点修复的节点的数量，在此期间，它们生成小的网络流量。两个大规模分布式存储系统已经实现了不同类型的LRC：Windows Azure存储和Facebook使用的Hadoop分布式文件系统RAID。LRC的基本界限，即给定代码局部性的最佳可能距离，是最近发现的，但很少有明确的结构存在。在这项工作中，我们提出了一个明确的和最佳的LRC，是简单的构造。我们的建设是基于分组里德所罗门（RS）编码符号，以获得RS编码符号在一个更大的有限域。然后，我们将这些RS符号分成小组，并使用简单的本地代码重新编码它们，提供低修复局部性。为了分析码的最优性，我们得到了关于由代码生成器矩阵表示的拟阵的一个新结果。
2013-11-06 cs.IT math.IT
A construction of Maximally Recoverable LRCs for small number of local groups
本文提出一种在较小有限域上构造最大可恢复局部重建码（MR LRCs）的新方法，推广了Hu和Yekhanin的构造，适用于局部组数量较少的实际场景，提高了容错与存储效率。
2023-05-11 cs.IT math.IT
An Upper Bound On the Size of Locally Recoverable Codes
在{ \em局部可恢复}或{ \em可修复}码中，码字的任何符号都可以通过仅读取少量（恒定）的其它符号来恢复。本地可恢复性的概念在分布式存储领域非常重要，其中最常见的错误事件是单个存储节点故障（擦除）。一个共同的目标是通过从尽可能少的其他存储节点下载数据来修复节点。本文从码的长度、大小和局部性三个方面给出了码的最小距离的界。与以前的界限不同，我们的界限来自一个非常简单的分析，并取决于所使用的字母表的大小。事实证明，二进制单纯形码满足我们的界限与平等，因此单纯形码是第一个例子，一个最佳的二进制局部可修复的代码家庭。我们还提供了基于随机编码和级联码的可扩展性结果，这些结果在数值上被验证为接近我们的界限。
2015-03-26 cs.IT math.IT
Simplex Queues for Hot-Data Download
在云存储系统中，热数据通常在多个节点上复制，以便适应多个用户的同时访问以及增加系统的容错。最近的云存储研究已经提出使用可用性代码，这是一类特殊的擦除代码，作为存储热数据的更有效的存储方式。这些代码可以从多个小型不相交的服务器组中恢复数据。恢复组的数量称为可用性，每个组的大小称为代码的位置。到目前为止，我们对代码局部性和可用性如何影响数据访问时间的了解非常有限。从这些系统下载数据涉及多个并行操作的fork-join队列，这使得访问时间的分析成为一个非常具有挑战性的问题。在本文中，我们提出了一个近似分析的存储系统中，采用单工码，这是一个重要的，在一定意义上的最佳类的可用性代码的数据访问时间。我们考虑和比较三种策略，在分配下载请求的服务器，第一个积极利用存储的可用性更快的下载，第二个只实现负载均衡，最后一个采用存储的可用性只为热数据下载，而不会产生任何负面影响的冷数据下载。
2018-04-17 cs.IT cs.PF math.IT
Universal and Dynamic Locally Repairable Codes with Maximal Recoverability via Sum-Rank Codes
局部可修码（LRC）被认为是相等或不相等的地方，当地的距离和当地的字段大小。一个显式的两层结构与秩和外码，具有不相交的本地组和实现最大可恢复性（MR）的所有家庭的本地线性码（MDS或不）同时，到指定的最大局部性$ r $。此外，局部线性码（因此局部、局部距离和局部场）可以被有效地和动态地修改，而无需全局重新编码或架构或外码的改变，同时保留MR属性，容易地适应存储中的新配置或新的热和冷数据。此外，可以添加、删除或更新本地组和文件组件，而无需全局重新编码。该构造需要大小大致为$ g^r $的全局字段，用于$ g $局部组和最大或指定局部性$ r $。对于相同的地方，这些全球领域是小于以前的MR-LRC时，$ r \leq h $（全球奇偶校验）。对于不平等的地方，他们提供了一个指数字段大小减少所有以前最知名的MR-LRC。对于有界的地方和大量的本地组，给定的建设的全球擦除校正的复杂性是相媲美的Tamo-Barg码或Reed-Solomon码与本地复制，而本地修复是有效的本地代码的笛卡尔积。当$ r=1 $和$ h = 0 $分别满足一定条件时，从给定的构造中恢复出具有局部复制和笛卡尔积的Reed-Solomon码.给定的构造还可以适于为所有类型的层级和参数提供层级MR-LRC。最后，子扩展子码和和秩交替码的引入，以获得进一步的指数字段大小的减少，在较低的信息速率为代价。
2019-04-24 cs.IT math.IT
Optimal pure quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes from matrix-product construction
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Institut Universitari de Matemàtiques i Aplicacions de Castelló（卡斯特利翁数学与应用大学研究所）；Universidad de Valladolid（巴利亚多利德大学）；IMUVA-Mathematics Research Institute（IMUVA数学研究所）
本文针对量子存储的删除错误修复需求，以矩阵积码为基础，构造出满足类Singleton界的最优纯量子$(r,δ)$-局部可修复码族，为量子存储系统提供了高效的纠错方案。
2026-08-25 cs.IT math.IT
