The random graph
Peter J. Cameron
Erdans和Rényi证明了一个矛盾的结果，即存在唯一的（且高度对称的）可数无限随机图。这个图，和它的自同构群，形成本调查的主题。
Erdős and Rényi showed the paradoxical result that there is a unique (and highly symmetric) countably infinite random graph. This graph, and its automorphism group, form the subject of the present survey.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Erdős-Ko-Rado theorem for twisted Grassmann graphs
我们提出了一个“现代”的方法来研究Q-多项式距离正则图的Erdens-Ko-Rado定理，并将其应用于van Dam和Koolen在2005年发现的扭曲Grassmann图。
Subcubic graphs of large treewidth do not have the edge-Erdős-Pósa property
该研究证明树宽不小于2500的次立方图不满足边-Erdős-Pósa性质，为图论中相关性质的研究提供了新结论。
An Erdős-Stone type result for high-order spectra of graphs
该研究在极值图论Erdős-Stone定理及Nikiforov的谱版本基础上，推导出了适用于图高阶谱的张量谱版本的Erdős-Stone型结果。
On the Erdos-Sos Conjecture for Graphs on n=k+4 Vertices
Erdens-Sós猜想指出，如果$G$是一个简单的图，其阶为$n$，平均度大于$k-2,$，则$G$包含每棵树的阶为$k$。本文证明了对$n=k+4$，Erdens-Sós猜想成立.
A note on Erdős-Diophantine graphs and Diophantine carpets
丢番图是整数网格$\mathbb{Z}^{2}$上的一组点，其中所有相互的欧几里得距离都是整数。我们还谈到丢番图。在这种语言中，丢番图是完全丢番图。由于Erdans和Anning的一个著名定理，存在不包含在较大图中的完全丢番图。我们称之为Erdens-Diophantine图。丢番图的一个特殊类别是丢番图地毯。这些是整数网格子集的平面三角剖分。给出了Erdens-Diophantine图的一个有效构造，并刻画了Diophantine地毯的色数.
Random multilinear maps and the Erdős box problem
利用随机多线性映射，给出了完全$d$ -部$d$ -一致超图的极值数估计问题的Erdans盒问题的新下界，从而改进了Gunderson，Rödl和Sidorenko的工作.
On the Erdős-Gyárfás conjecture in claw-free graphs
Erdens-Gyárfás猜想指出，每个最小度至少为3的图都有一个长度为2的幂的圈。由于这个猜想已经被证明是遥不可及的，霍布斯问埃尔德什-吉亚法斯猜想是否在无爪图中成立。在本文中，我们得到了一些关于这个问题，特别是对立方无爪图。
An Erdős-Gallai type theorem for vertex colored graphs
在研究奇圈自由超图时，Gyamari和Lemons介绍了经典的关于$P_k$ -free图的Erdés和Gallai定理的着色版本。他们证明了任何一个顶点着色正确且没有端点颜色不同的长为$2k+1$的路的图$G$至多有$2kn$边。我们表明，Erdés和Gallai的原始尖锐的上界$kn$持有他们的问题，以及。我们还介绍了这个问题的一个版本的树，并提出了一个推广的Erdens-Sós猜想。
String graphs have the Erdős-Hajnal property
弦图是平面上曲线的交图。证明了存在一个绝对常数$c>0$，使得如果$G$是$n$顶点上的一个串图，则$G$包含一个大小至少为$n^{c}$的团或独立集.
Connectivity of graphs that do not have the edge-Erdős-Pósa property
本研究针对不具备边-Erdős-Pósa性质的图的连通性问题，证明可假设这类图连通，并在小闭性质和通用反例假设下强化为2-连通，推进了图论相关性质的研究。
Disproof of a conjecture of Erdős and Simonovits on the Turán number of graphs with minimum degree 3
1981年，Erdans和Simonovits证明了对任何二部图$H$，我们有$\mathrm{ex}(n,H)=O(n^{3/2})$当且仅当$H$是$2$ -退化的.后来，埃尔德什出价250美元买一个证明，500美元买一个反例。本文通过对任意$\varepsilon>0$找到一个$3$ -正则二部图$H$，证明了这个猜想是错误的，它具有$\mathrm{ex}(n,H)=O(n^{4/3+\varepsilon})$ .
An analogue of the Erdős-Gallai theorem for random graphs
近年来，许多经典极值定理的变体在随机环境中得到了证明。本文在随机图中推广了Erdens-Gallai定理，作为对已有结果的补充。特别地，我们确定了$G(N,p)$的无$P_n$子图中的最大边数，直到一个常数因子，实际上对于$N,n$和$p$的所有值.我们的工作也受到最近的进展的大小拉姆齐数的道路。
De Bruijn-Erdős type theorems for graphs and posets
德布鲁因和埃尔德什的一个经典定理断言，平面上任何由n个点组成的非共线集合至少确定n条不同的直线。我们证明了这一定理的一个类似物持有图。限制我们的注意力可比图，我们得到了一个版本的De Bruijn-Erdés定理的偏序集（偏序集）。此外，在这种情况下，我们有一个改进的界限的行数取决于高度的偏序集。还确定了极端构型。
Erdős-Gyárfás Conjecture for $P_8$-free graphs
一个图是$P_8$ -free的，如果它在八个顶点上不包含同构于路$P_8$的诱导子图. 1995年，Erds和Gyárfás证明了每个最小度至少为3的图都包含一个长度为2的幂的圈。本文证明了关于无$P_8$图的一个猜想：在每一个最小度至少为3的无$P_8$图中，存在一个长为4或8的圈.
Erdős-Pósa property of $A$-paths in unoriented group-labelled graphs
本文研究无向群标记图中A路径的埃罗什-波萨性质，证明了特定条件下该性质的半积分和完整形式。
Stability and Erdős--Stone type results for $F$-free graphs with a fixed number of edges
极值图论的一个基本问题是问：“在一个无$F$的图中，在$n$顶点上的最大边数是多少？”最近Alon和Shikhelman提出了一个更一般的子图计数版本。他们考虑了确定固定图$T$在$F$ -free图上$n$顶点的最大拷贝数的问题。在这个更一般的上下文中，我们不再计算边，也很自然地会问，在一个没有$F$的图中，$T$的最大拷贝数是多少，这个图有$m$边，并且对顶点数没有限制。Frohmader在另一种情况下，当$T$和$F$都是完全图时，确定了答案。我们证明这个问题的结果类似于Erdens-Stone定理，Erdens-Simonovits定理，和稳定性定理的Erdens-Simonovits。
Erdős-Pósa property for labelled minors: 2-connected minors
在20世纪60年代，Erdens和Pósa证明了图中的圈存在packing-covering对偶。作为图小项目的一部分，Robertson和Seymour极大地扩展了这一点：当且仅当$H$是可平面图时，图中的$H$ -展开存在这样的对偶性（这包括之前关于$H=K_3$的结果）。我们考虑了点标号图和子图，并给出了$2$连通标号图$H$的一个刻画.
Three Graphs and the Erdős-Gyárfás Conjecture
给出了与\EGC \有关的三个图。这些图是从Buckyball图、Petersen图和Tutte-Coxeter图衍生出来的。第一个图是Heckman和Krakovski \cite{planar}在他们最近的工作中提出的一个问题的部分答案的平面版本的猜想。另外两个图看起来是已知的最小的三次图，对于$m \leq 4$和$m \leq 5$没有$2^m$ -圈。
On Erdős-Ko-Rado for random hypergraphs II
用$\mathcal{H}_k (n,p)$表示随机$k$ -图，其中$\{1... n\}$的每个$k$ -子集以概率$p$存在，与其他选择无关。或多或少地回答了Balogh，Bohman和Mubayi的问题，我们证明：存在一个固定的$\varepsilon >0$，使得如果$n=2k+1$和$p> 1-\varepsilon$，那么w. h. p.（即，概率趋于1的$k\rightarrow \infty$），$\mathcal{H}_k (n,p)$具有“Erdless-Ko-Rado性质.“我们还提到一个类似的随机版本的Sperner定理。
A conjecture of Erdős on graph Ramsey numbers
图$G$的Ramsey数$r(G)$是最小$N$，使得完全图的边在$N$顶点上的每个红-蓝着色包含$G$的单色副本。确定或估计这些数字是组合学的核心问题之一。拉姆齐理论中最古老的结果之一是Erdenses和Szekeres在1935年证明的，即具有$m$边的完全图的Ramsey数至多为$2^{O(\sqrt{m})}$。出于这一估计的动机，Erd在四分之一个多世纪以前提出，存在一个绝对常数$c$，使得对于任何具有$m$边且没有孤立顶点的图$G$，$r(G) \leq 2^{c\sqrt{m}}$。在这篇短文中，我们证明了这个猜想。
A variant of the Erdos-Renyi random graph process
我们考虑一个自然的变种的Erdens-Rényi随机图过程中，$k$顶点是特殊的，从来没有放在同一个连接组件。该模型本身是自然和有趣的，但实际上是由组合数据融合问题，本身是连接到图论中的一些重要问题的启发。我们将证明当特殊顶点的数目大致为$n^{1/3}$时发生相变，其中$n$是顶点的数目。
Enhancing the Erdős-Lovász Tihany Conjecture for graphs with independence number two
令$s\ge2$和$t\ge2$为整数。一个图$G$是$(s,t)$ - \emph{splittable}，如果$V(G)$可以被划分成两个集合$S$和$T$，使得$χ(G[S])\geq s$和$χ(G[T])\geq t$。著名的Erdens-Lovász Tihany猜想从1968年开始指出，每个图$G$的色数$χ(G)=s+t-1$大于它的团数$ω(G)$是$(s,t)$ -可裂的。本文证明了独立数为2的图的Erdens-Lovász Tihany猜想的一个增强版本。也就是说，对于每个具有$χ(G)=s+t-1>ω(G)+1$的图$G$是$(s,t+1)$ -可分裂的。有例子表明，这一结果是最好的可能。
Erdös-Gallai-type results for conflict-free connection of graphs
边有色图中的一条路称为\emph{a conflict-free path}，如果只在它的一条边上使用一种颜色.一个边有色图称为\emph{conflict-free connected}，如果在每对不同的顶点之间存在一条无冲突的路。连通图$G$的\emph{conflict-free connection number}，用$\mathit{cfc}(G)$表示，定义为使$G$无冲突连通所需的最小颜色数。本文给出了图的无冲突联络数的Erdös-Gallai-型结果。
A random coloring process gives improved bounds for the Erdős-Gyárfás problem on generalized Ramsey numbers
Erdens-Gyárfás数$f(n, p, q)$是给完全图$K_n$的边着色所需的最小颜色数，使得它的所有$p$ -团至少跨越$q$颜色。本文对$p, q$和大$n$的许多固定值，改进了$f(n, p, q)$的最佳上界.我们的证明使用了一个随机着色过程，我们分析使用所谓的微分方程方法建立动态浓度。
Treewidth of the Kneser Graph and the Erdős-Ko-Rado Theorem
树宽是一个重要的和众所周知的图参数，衡量一个图的复杂性。Kneser图Kneser（n，k）是顶点集为$\binom{[n]}{k}$的图，如果两个顶点不相交，则它们相邻。我们确定，对于大值的n关于k，确切的树宽的Kneser图。在这样做的过程中，我们还证明了一个加强的Erdens-Ko-Rado定理（对于大n关于k）时，允许一些不相交的对k-集。
The Erdős-Hajnal property for graphs with no fixed cycle as a pivot-minor
证明了对任意整数$k$，存在$\varepsilon > 0$，使得对任意n-顶点图$G$，不存在与$C_k$同构的子子图，存在不交集$A,B \subseteq V(G)$，使得$|A|,|B| \geq \varepsilon n$，以及$A$与$B$是完全的或反完全的.这证明了类似的Erdens-Hajnal猜想的类图没有图的子同构$C_k$。
On a theorem of Erdős and Simonovits on graphs not containing the cube
立方体Q是通常的具有12条边的8-顶点图。本文给出了关于立方体的Turán数的Erdés和Simonovits定理的一个新证明。也就是说，证明了e（G）< n^{8/5}+（2n）^{3/2}对任意n-顶点无立方图G成立.我们的目的是提供一个独立的阐述。我们还指出了最有名的结果，并提供二分版本。
On the Erdös-Lovász Tihany Conjecture for Claw-Free Graphs
1968年，Erdös和Lovász证明了：对每个图$G$和所有整数$s,t\geq 2$使得$s+t-1=χ(G) > ω(G)$，存在$G$的顶点集的一个划分$(S,T)$使得$χ(G|S)\geq s$和$χ(G|T)\geq t$ .对于一般的图，只有当$s$和$t$都很小时猜想才成立.近年来，对稳定数为2的图\cite{quasi-line}、线图\cite{line}和拟线图\cite{quasi-line}等几类特殊的图证明了该猜想。本文研究了无爪图的猜想，并给出了一些进展。
Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza
一个具有$C$颜色集的完全图的边染色称为完全平衡的，如果任意顶点与$C$中每种颜色的相同数目的边关联。Erdwors和Tuza问在$1993$是否为任何图形$F$上的$\ell$边缘和任何完全平衡着色的任何足够大的完全图使用$\ell$颜色包含彩虹副本的$F$。这个问题是重申Erdés在他的清单“一些我最喜欢的问题周期和着色”。我们回答这个问题的否定，大多数集团$F=K_q$给出明确的建设各自的完全平衡着色。此外，我们回答了一个相关的问题，关于完全平衡染色的颜色比在图$F$中的边的数量的完全图。
Erdős-Gallai-type results for total monochromatic connection of graphs
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个图的全染色是{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点通过一条路连接，且该路的边和内部顶点具有相同的颜色.对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，用$tmc(G)$表示，定义为$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。本文研究了$tmc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了它们.
A Variation of the Erdős-Sós Conjecture in Bipartite Graphs
Erdens-Sós猜想指出，每一个平均度大于$k-2$的图包含所有$k$阶树作为子图。本文考虑上述猜想的一个变形：研究对于给定的整数$n\ge m$和$k\ge l$，不包含所有$(k,l)$ -二部树的$(n,m)$ -二部图的最大尺寸.特别地，我们确定了不包含所有$(n,m)$-二部树作为子图（或不包含所有$(k,2)$ -二部树作为子图）的$(n,m)$ -二部图的最大尺寸.此外，所有这些极值图的特征。
Improved Erdős-Pósa inequalities for odd cycles in planar graphs
本文改进了平面图中奇圈的埃罗什-波萨不等式，证明其比值不超过4，优于之前的6。
Ramsey-finiteness for graph pairs: A complete solution to the Burr-Erdős-Faudree-Schelp conjectures
本文证明了两个1981年的猜想，探讨了图对的Ramsey有限性，并反驳了Burr的更强猜想，同时重新表述了Faudree的定理。
Enhancing the Erdős-Lovász Tihany Conjecture for line graphs of multigraphs
在本文中，我们证明了一个增强版本的Erdens-Lovász Tihany猜想的线图的多重图。也就是说，对于每个图$G$，其色数$χ(G)$大于它的团数$ω(G)$，并且对于非负整数$\ell$，任何两个整数$s,t \geq 3.5\ell+2$具有$s+t = χ(G)+1$，存在顶点集$V(G)$的一个划分$(S,T)$，使得$χ(G[S])\geq s$和$χ(G[T])\geq t+\ell$。特别地，当$\ell=1$时，我们可以对任何$s,t\geq4$获得相同的结果。当$\ell=0$ .
Erdos-Hajnal for graphs with no 5-hole
Erdos-Hajnal猜想说，对于每个图H，存在c>0，使得每个不包含H作为诱导子图的图G具有至少|G| ^c的团或独立集。我们证明了当H是一个长度为5的圈时，这是真的。我们还证明了几个进一步的结果：例如，如果C是一个圈，H是一个森林的补图，则存在c>0使得每个不包含C，H作为诱导子图的图G都有一个团或稳定的基数集至少为|G| ^c.
A local approach to the Erdős-Sós conjecture
Erdés和Sós的一个著名猜想指出，每一个平均度大于$k - 1$的图包含所有以$k$为边的树作为子图。我们证明，如果嵌入树的大小与图的大小呈线性关系，并且树的最大度是次线性的，则埃尔德什-索斯猜想大致成立。
An Erdős-Gallai-type theorem for keyrings with larger number of leaves
密钥环是通过将$r\ge0$叶附加到其一个顶点而从循环获得的图。Sidorenko证明了一个Erdens-Gallai型定理：每个阶为$n$且大小大于$\frac{(k-1)n}{2}$的图包含一个大小至少为$k$且$r$叶为$r\le\frac{k-1}2$的密钥环（定理1.4，An Erdens-Gallai-type theorem for keyrings，Graphs Combin.，2018年）。本文证明了Sidorenko定理对更大的$r$也成立，从而完善了密钥环的Erdens-Gallai型定理.
Erdös-Ko-Rado theorems for chordal and bipartite graphs
由Holroyd、Spencer和Talbot提出的Erdös-Ko-Rado定理的一个较新的推广，以下面的方式定义了图的Erdös-Ko-Rado性质：对于图G和一个正整数r，称G是r-EKR，如果所有大小为r的独立点集的族中没有相交子族大于最大星，本文证明了：如果G是弦图的不交并，且至少包含一个单点，则G是r-EKR，如果$r$，其中μ（G）是极大独立集的最小尺寸.我们还将证明完全图链的Erdös-Ko-Rado结果，完全图是一类通过将路径的边爆破成完全图而得到的弦图。我们还考虑了梯形图和树的类似问题，并证明了这些图的初步结果。
The principal Erdős--Gallai differences of a degree sequence
识别单图度序列的Erdens-Gallai准则涉及一组不等式。给定一个固定度序列，我们考虑这些不等式两边的差的列表。这些差异出现在不同的背景下，包括分裂和阈值图的特征，我们在这里调查他们的用途。然后，对这些图族的性质进行了扩展，证明了度序列的主Erdens-Gallai差的最后一项和最大项在图补下是保持不变的，并且在度序列的优化序和Rao序下是单调的.
Erdős-Lovász Tihany Conjecture for graphs with forbidden holes
图中的洞是长度至少为$4$的诱导圈。令$s\ge2$和$t\ge2$为整数。一个图$G$是$(s,t)$ -可分裂的，如果$V(G)$可以被划分成两个集合$S$和$T$，使得$χ(G[S ]) \ge s$和$χ(G[T ]) \ge t$ . 1968年著名的Erdens-Lovász Tihany猜想指出，每个具有$ω(G) < χ(G) = s + t - 1$的图$G$是$(s,t)$ -可分裂的。这个猜想是困难的，很少有相关的结果是已知的。然而，它已被证明是真实的线图，拟线图，图与独立数$2$。本文证明了每个具有$α(G)\ge3$，$ω(G) < χ(G) = s + t - 1$且在$4$和$2α(G)-1$之间没有洞的图$G$是$(s,t)$ -可裂的，其中$α(G)$表示图$G$的独立数.
The Erdős-Hajnal Property for the six-vertex Graph with Edge Set $\{ab,bc,cd,de,af,bf,df\}$
本研究证明了边集为{ab,bc,cd,de,af,bf,df}的6顶点图具有Erdős-Hajnal性质，采用迭代稀疏化方法完成证明。
A bipartite version of the Erdős $-$ McKay conjecture
一个古老的猜想Erdés和McKay指出，如果所有齐次集在$n$ -顶点图是$O(\log n)$阶，那么图包含诱导子图的每个大小从$\{0,1,\ldots, Ω(n^2)\}$。我们证明了一个二部类似的猜想：如果所有的平衡齐次集的$n \times n$二部图的顺序$O(\log n)$然后图包含诱导子图的每个大小从$\{0,1,\ldots, Ω(n^2)\}$。
On the stability of the Erdős-Ko-Rado theorem
以一定的概率删除Kneser图的边：在多大的概率下，这个随机图的独立数等于Kneser图本身的独立数？我们证明了这个问题在某些制度的一个尖锐的阈值结果。由于Kneser图中的一个独立集与一个一致相交族相同，这给了我们一个Erdens-Ko-Rado定理的随机模拟。
A note on Erdös-Faber-Lovász Conjecture and edge coloring of complete graphs
一个线性超图是相交的，如果任意两个不同的边恰好有一个公共顶点，一个$n$ -拟簇是一个相交的线性超图，它的$n$边最多包含$n$顶点，并且每个顶点至少包含在两条边中. Erdös-Faber-Lovász猜想指出任何$n$ -拟簇的色数至多为$n$。本文利用完全图的一种特殊的边染色证明了一个新的无限类$n$ -拟簇猜想的正确性。
Erdős-Ko-Rado theorem in Peisert-type graphs
本研究针对Peisert型图中的EKR定理问题，证明Paley图的EKR定理可推广到几乎所有Peisert型伪Paley图，并建立了同类稳定性结果，拓展了该定理的适用范围。
The Erd\H os-Sós conjecture in dense graphs
该研究证明了稠密图中的Erdős–Sós猜想，即当n足够大且k不小于γn时，边数超标的n顶点图包含所有k顶点树，还解决了Erdős与Graham关于树的多色拉姆齐数的51年难题。
A Generalization of the Erdös-Ko-Rado Theorem
本文研究了文献[8]中定义的局部Kneser图的一些性质。在这方面，作为Erd ${\rm \ddot{o}}$ s-Ko-Rado定理的推广，我们刻画了局部Kneser图的最大独立集.其次，我们给出了它们的色数的一个上界。
Erdős-Gallai-type results for the rainbow disconnection number of graphs
设$G$是一个非平凡的连通边有色图。如果$G$的边切割$R$没有两个边被着色为相同的颜色，则将其称为彩虹切割。一个边有色图$G$称为彩虹不连通图，如果对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个将它们分开的$u-v$彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为$rd(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文研究了$rd(G)$的Erdens-Gallai型结果，并完全解决了它们.
Erdős-Gallai-type results for colorful monochromatic connectivity of a graph
边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称MC-着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。\emph{monochromatic connection number}，记作$mc(G)$，定义为图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。这些概念是由Caro和Yuster提出的，他们得到了一些很好的结果。本文研究了$mc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了这两类问题.
Erdős-Gyárfás Conjecture for $P_{10}$-free Graphs
本文证明每个最小度至少为三的无$P_{10}$图都含有长度为4或8的圈，从而验证了Erdős-Gyárfás猜想在该图类中成立。
An Erdős problem on random subset sums in finite abelian groups
本文研究了有限阿贝尔群中随机子集和的问题，证明了当群阶为素数时，子集和的最小规模下界。
Hereditary unigraphs and Erdős--Gallai equalities
给出了遗传单图的结构和度序列的特征，遗传单图的每个诱导子图都是其度序列的唯一实现。遗传的唯一图的类适当地包含阈值和母元图，并且这里给出的特征自然地推广了已知的这些其他类的图。利用$k$的值列表刻画了遗传单图的度序列，对于该值列表，$k$第Erdens-Gallai不等式对图序列成立且相等.使用典型的Tyshkevich分解，我们展示了这个列表中描述的结构之间的所有实现的任意图形序列。
Erdos-Ko-Rado theorem for the group $\textrm{PSU}(3,q)$
本文考虑群$\textrm{PSU}(3,q)$的乱序图，其中$q$是素数幂.我们计算这个乱序图的所有特征值，并使用这些特征值来证明$\textrm{PSU}(3,q)$具有Erdens-Ko-Rado性质，并且如果$q\neq 2, 5$具有另一个性质，我们称之为{ \textsl Erdens-Ko-Rado模性质}。
Erdős-Sós via random cyclic orderings
本文基于 GPT-6 Astra 的近期工作，用随机循环排序简化证明了 Erdős-Sós 猜想，并给出了有向图反定向树猜想的另一证明。
A Note on Turán Numbers and the Erdős-Stone-Simonovits Theorem
本文围绕极值图论核心课题Turán数展开，既介绍该领域相关知名结果，又以原创方式证明Erdős-Stone-Simonovits定理。
Embeddings of weighted graphs in Erdős-type settings
组合学中的许多最近的结果关注集合的大小和由集合中的点对确定的距离的数量之间的关系。这个问题的一个扩展考虑具有指定距离模式的集合内的配置。在本文中，我们使用图论的方法来证明，一个足够大的集合$E$必须包含至少$C_G|E|$不同的副本，任何给定的加权树$G$，其中$C_G$是一个常数只依赖于图$G$。
On a question of Erdős and Nešetřil about minimal cuts in a graph
本文回答了 Erdős 和 Nešetřil 的问题，证明了对于足够大的 n，n 个顶点的图中包含极小顶点割的最大数量不超过 1.8899^n。
Parity linkage and the Erdős-Pósa property of odd cycles through prescribed vertices in highly connected graphs
我们证明了以下每个充分连通图$G$，$G$的任何顶点子集$S$，和给定的整数$k$：有$k$不相交的奇循环在$G$每个包含一个顶点的$S$或有一个集合$X$的最多$2k-2$顶点，使$G-X$不包含任何奇循环，包含一个顶点的$S$。我们通过Kawarabayashi和Reed关于奇偶- $k$ -链接图的结果（Combinatorica 29，215-225）的推广证明了这一点。从这个结果很容易推出其他几个著名的关于高连通图中奇圈的Erdens-Pósa性质的结果。这分别加强了Rautenbach和Reed（Combinatorica 21，267-278）的结果。
The edge-Erdős-Pósa property
Robertson和Seymour证明了包含固定图$H$作为子图的图族具有Erdens-Pósa性质当且仅当$H$是平面图。我们表明，这是不再正确的边缘版本的Erdens-Pósa属性，甚至失败时，$H$是一个任意的大路径宽度或长梯子的次立方树。这回答了Raymond、Sau和Thilikos的一个问题。
On the random version of the Erdős matching conjecture
Kneser超图${\rm KG}^r_{n,k}$是一个$r$ -一致超图，其顶点集由$\{1,\ldots,n\}$的所有$k$ -子集组成，且任何$r$顶点的集合构成一条边，如果它们对应的$k$ -集是两两不相交的.随机Kneser超图${\rm KG}^r_{n,k}(p)$是${\rm KG}^r_{n,k}$的生成子超图，其中${\rm KG}^r_{n,k}$的每条边以概率$p$彼此独立地保留。${\rm KG}^2_{n,k}$的随机子图的独立数最近在Bollob{á}s，Narayanan，and Raigorodskii（2016），Balogh，Bollob{á}s，and Narayanan（2015），Das and Tran（2016），and Devlin and Kahn（2016）的一系列作品中得到了解决。证明了即使对于非常小的$p$值，Erdens-Ko-Rado定理的随机对应物仍然有效。本文推广了这一结果，研究了随机Kneser超图${\rm KG}^r_{n,k}(p)$的独立数.广义地说，当$k$比$n$小得多时，我们将证明，即使对于$p$的极小值，Erdés匹配猜想的随机模拟也是正确的。
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