Distinguishing simple groups
图$Γ$的区别数$D(Γ)$是图$Γ$的顶点的划分的最小尺寸，使得没有$Γ$的非平凡自同构保持该划分。本文证明了如果图$Γ$的自同构群是简单的，则图$D(Γ)=2$是自同构群.这是通过为单群的所有可能作用建立区别数而得到的。
2020-06-12 math.CO
The point-thicknesses of complete multipartite graphs
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）
本文研究了完全多部图的点厚度，确定了其计算方法，并作为特殊情况探讨了完全图的点厚度。
2026-02-21 math.CO
Partitioning two-coloured complete multipartite graphs into monochromatic paths and cycles
证明了$k$ -部图$G$在$n$顶点上的任意完全图$G$，如果$k \ge 3$的边是双色的，则它可以被两条顶点不相交的不同颜色的单色路覆盖.我们证明这一点的必要假设下，最大的分区类的$G$包含最多$n/2$顶点。这推广了完全图和完全二部图的已知结果。其次，我们表明，在相同的情况下，所有的，但$o(n)$顶点的图可以覆盖两个顶点不相交的单色循环的不同的颜色，如果着色接近分裂着色被排除。由此，我们得出，整个图，如果足够大，可以覆盖有14个顶点不相交的单色循环。
2014-10-07 cs.DM math.CO
Decomposition of balanced multipartite tournaments into strongly connected tournaments
将一个有向图分解为具有固定结构或性质的子图是图论中的经典问题，也是网络和通信中的一个有用工具。一个有向图是强连通的，如果它包含从每个顶点到所有其他顶点的有向路。本文考虑多部竞赛图，研究了具有$c$部集的多部竞赛图划分为强连通$c$ -竞赛图的存在性.这是一个延续的研究开始于1999年的Muslimmann的存在性强连接的子竞赛图的多部比赛。
2018-12-15 math.CO
Distinguishing Polynomials of Graphs
本文引入图的区分多项式，证明区分着色数是关于颜色数的首一多项式，并计算圈和完全多部图的区分多项式，同时给出零根重数与轨道数的下界关系。
2024-03-28 math.CO
Distinguishing number of Urysohn metric spaces
结构的区别数是其元素的划分的最小尺寸，使得只有结构的平凡自同构保持划分的每个单元。证明了对于正实数的任意可数子集，当存在可数齐次Urysohn度量空间时，它的可区别数为2或可区别数为无穷大.虽然已知一个足够大的有限本原结构具有可区别数2，但除非它的自同构群是全对称群或交错群，无限情形是开放的，这些可数Urysohn度量空间进一步证实了所有本原齐次可数无限结构具有可区别数2或可区别数是无限的猜想。
2021-01-25 math.CO
Distinguishing Numbers and Generalizations
图的可区别数是由Albertson和Collins引入的，作为图中包含的对称性的度量。Tymoczko将这个定义扩展到集上的忠实群作用;将集作为图的顶点集，将群作为图的自同构群，可以恢复以前的定义。从那时起，一些作者研究了可区别数的性质以及概念的扩展。在本文中，我们首先回答几个开放的问题，有关的区别数。接下来，我们转向关于集合的笛卡尔幂的标号和可以通过标号获得的不同子群的推广。然后，我们介绍了一个新的偏序集分区，自然从区分数的理论，区分分区。然后，我们调查组可从分区笛卡尔权力的一组更详细，并显示如何原来的概念，可区分数的一个图可以恢复这种方式。接下来，我们介绍一个多项式和对称函数推广的区别数。最后，我们提出了大量的开放性问题和进一步研究的问题。
2019-04-07 math.CO
On multipartite posets
偏序集$\mathbf{P} = (X,\preceq)$是{ \em $m$ -partite}，如果$X$具有一个划分$X = X_1 \cup ... \cup X_m$，使得（1）每个$X_i$在$\mathbf{P}$中形成一个反链，并且（2）$x\prec y$暗示$x\in X_i$和$y\in X_j$，其中$i<j$。利用$m$及其二部子偏序集，构造性地初等地给出了$m$ -部偏序集序维数的一个紧渐近上界.
2007-06-11 math.CO
Monochromatic connected matchings in 2-edge-colored multipartite graphs
图$G$中的匹配$M$是连通的，如果$M$的所有边都在$G$的相同分量中。继Jubuczak之后，已经有许多结果使用簇图中关于大图的规则划分的大连通匹配的存在性来证明这些图中存在长路径和其他结构。证明了$2$ -边着色多部图中单色连通匹配的大小的Ramsey型精确界。此外，我们证明了这样的匹配的稳定性定理。
2021-10-13 math.CO
Complete multipartite graphs that are determined, up to switching, by their Seidel spectrum
已知完全多部图是由其距离谱而不是由其邻接谱决定的。一个图$G$在多个顶点上的赛德尔谱并不决定该图，因为通过赛德尔转换从$G$得到的任何图都具有相同的赛德尔谱。我们认为$G$是由它的赛德尔谱，直到开关，如果任何具有相同的频谱的图切换等价于一个图同构于$G$。证明了具有与完全$k$ -部图相同的谱的图是完全$k$-部图的交换等价图，并且如果不同的划分集的大小是$p_1,\ldots, p_l$，并且每个大小的划分集至少有三个$p_i$，$i=1,\ldots, l$，则$G$由其Seidel谱确定，直到交换.讨论了完全三部图由其Seidel谱确定的充分条件，并对顶点数大于18的完全三部图提出了一个猜想。
2019-02-07 math.CO
Reciprocal distance energy of complete multipartite graphs
本文首先计算了一类特殊分块矩阵在某些情况下的能量。作为结果，我们得到了完全多部图的倒易距离能量，并给出了完全多部图的各种能量。其次，我们证明了在所有n阶完全k部图中，完全分裂图的倒数距离能量最小，而Turan图的倒数距离能量最大。最后，证明了当2 \le m \le 7时，完全二部图km，m的倒易距离能量随着边的删除而减小，而当8 \le m时，倒易距离能量随着边的删除而增大.另外，我们还证明了完全三部图的倒易距离能量在边删除的情况下不会增加
2022-04-21 math.CO
Some results on triangle partitions
我们证明了着色置换图、完全多部图、距离遗传图、k-模置换图和k-部图的补图（当k固定时）中的三角形填充问题存在有效的算法。我们证明了二部置换图上C_4-packing的一个有效算法，并证明了二部图上C_4-packing是NP-完全的。我们刻画了具有三角形划分的偶图。
2011-04-20 math.CO
Distinguishing subgroups of the rationals by their Ramsey properties
一个整数系数的线性方程组在实数子集S上是划分正则的，如果只要S\{0}是非着色的，则该系统的解包含在一个色类中.人们知道有一个无限的线性线性方程组，它在R上是正则的，但在Q上不是正则的，最近有人证明（回答了一个长期悬而未决的问题），人们也可以用这种方式区分Q和Z。我们的目的是证明从Z到Q的过渡并不尖锐：存在Q的子群的无限链，每个子群都有一个系统在其上是划分正则的，但在其前身上不是。我们实际上证明了一些更强的东西：我们的主要结果是，如果R和S是Q的子环，且R不包含在S中，则存在一个系统在R上是划分正则的，但在S上不是。这意味着，例如，上面的链可以被认为是不可数的。
2014-05-02 math.CO
Distinguishing Primitive Permutation Groups
设$G$是作用在集合$V$上的置换群。如果固定$π$的每个单元的$G$的唯一元素是标识，则$V$的分区$π$是区分的。$G$的可区分数目是可区分分区中的单元的最小数目。证明了若$G$是本原置换群，且$|V|\ge336$是本原置换群，则它的可区别数为2.
2009-11-04 math.CO math.GR
Distinguishing actions of symmetric groups and related graphs
群$G$在集合$X$上的作用的区别数$D(G,X)$是$X$的划分的最小大小，使得$G$中没有元素非平凡地作用于$X$上保持该划分。本文给出了对称群$S_n$对任意$n\geq 3$的所有作用的区别数。这使我们能够描述所有自同构群与一个对称群同构的图的区别数。我们的描述解决了一些开放的问题，提出了不同的作者在早期的论文就这一主题。
2020-09-19 math.CO math.GR
Distinguishing number and distinguishing index of join of two graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个带有$d$标签的顶点标签（边标签），该标签仅由平凡自同构保持。本文研究了两个图$G$和$H$的联的可区别数和可区别指数，$G+H$。证明了$0\leq D(G+H)-max\{D(G),D(H)\}\leq z$，其中$z$依赖于$V(G)$和$V(H)$的适当划分所生成的导出子图的个数.证明了若$G$是$n \geq 2$阶连通图，则除$D'(K_2+K_2)=3$外，还有$D'(G+ \cdots +G)=2$.
2017-02-07 math.CO
Bounding the distinguishing number of infinite graphs
一个集合V的置换群G是k-可区分的，如果存在V的一个划分为k个部分，使得只有G中的单位置换固定该划分的所有单元。使（G，V）是k-可区别的最小基数k是它的可区别数。特别地，一个图X是k-可区别的，如果它的自同构群Aut（X）在X的顶点上的作用的可区别数至多为k。文献中的各种结果表明，当一个无限图不具有某些性质时，通常某些有限子图也是类似的缺陷图。本文证明了：只要无限连通图X是k-不可区分的（对给定基数k），则它包含一个有限半径球B，其可区分数至少为k.此外，这个下界不能被锐化，因为对于任何大于3的整数k，存在一个无限的、局部有限的、连通图X，它不是k-可区分的，但其中每个有限半径的球都是k-可区分的。本文的后半部分证明了非本原图X的一个大的可区别数可追踪到一个不可分块或Aut（X）在相应的不可分系统上的诱导作用的一个大的可区别数。无限本原图的可区别数在作者与Tom W.塔克
2013-02-18 math.CO
Choosability of multipartite hypergraphs
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文研究了多重部超图的可选择性，证明了在特定条件下，此类超图可以被高效着色。
2025-12-24 math.CO
Cyclic hamiltonian cycle systems of the complete multipartite graph: even number of parts
图$Γ$的哈密顿圈系统（简称HCS）是将图$Γ$的边划分为哈密尔顿圈.当$Γ$的所有顶点的循环置换下HCS是不变的时，HCS是循环的;循环HCS的存在性问题已经由Buratti和Del Fra在2004年完全解决，当$Γ$是完全图$K_v$，$v$奇数时，以及由Jordan和Morris在2008年完全解决，当$Γ$是完全图减去$1$ -因子$K_v-I$，$v$偶数时。在这项工作中，我们提出了一个完整的解决方案的存在性问题的循环HCS的$Γ= K_{m\times n}$，完全多部图，当部分$m$的数量是偶数。我们还给出了$Γ$的循环对称HCS存在的充分必要条件;图$Γ$的对称HCS的概念已经在2004年由Akiyama，Kobayashi和Nakamura引入，用于$Γ=K_v$，$v$奇数，在2011年由Brualdi和Schroeder引入，当$Γ= K_v-I$，$v$偶数时，以及最近由Schroeder引入，当$Γ$是完全多部图时。
2015-04-28 math.CO
Distinguishing density and the Distinct Spheres Condition
若图$G$的可区别数为2，则存在图的顶点集的一个划分，使得$G$的非平凡自同构不固定这两个部分.这样的划分称为$G$的2-可区别着色，并且部分称为其颜色类。如果$G$允许这样的着色，那么通常可以找到另一个颜色类，其中一个颜色类在某种意义上是稀疏的。在这种情况下，我们说$G$具有2-可区别密度零。一个极端的例子是一个无限图，它允许一个2-可区别染色，其中一个色类是有限的。如果一个图$G$包含一个顶点$v$，使得对于所有的$n \in \mathbb N$，任何两个与$v$等距的不同顶点都有不相等的$n$ -球面，那么我们说$G$满足不同球面条件.本文证明了一个一般性结果：满足相异球面条件的可数连通图是密度为零的2-可区别图。我们提出了两个证明，一个使用确定性着色，另一个（仅适用于局部有限图）使用随机着色。从这个结果，我们推出几个重要的家庭的可数无限和连通图是2-可区别的密度为零，包括那些是局部有限的和原始的。进一步证明了任意具有无限运动和次二次增长的连通图是2-可区别的且密度为零。
2018-01-08 math.CO
On the number of linear multipartite hypergraphs with given size
对于任何给定的整数$r\geqslant 3$，令$k=k(n)$是具有$r\leqslant k\leqslant n$的整数。一个超图是$r$ -一致的，如果每条边都是$r$顶点的集合，如果两条边至多相交于一个顶点，则称超图是线性的。令$A_1,\ldots,A_k$是具有$|A_i|=n_i\geqslant 1$的$[n]$的给定$k$ -划分。一个$r$ -一致超图$H$称为{PDMATHABMVPDMATHABMR-partite}，如果每条边$e$满足$|e\cap A_i|\leqslant 1$（对于$1\leqslant i\leqslant k$）.本文在边数为$m(n)=o(n^{\frac{4}{3}})$时，渐近地确定了$n\to\infty$顶点上的线性$k$ -部$r$ -一致超图的个数.对于$k=n$，它是顶点集$[n]$上具有$m=o(n^{ \frac{4}{3}})$边的线性$r$ -一致超图的个数。
2021-07-11 math.CO
On the rectilinear crossing number of complete balanced multipartite graphs and layered graphs
本文研究完全平衡 r 部图 K_n^r 与相邻层全连接的分层图 L_n^r，通过构造直线画法给出二者直线交叉数的上界。
2025-01-09 cs.CG math.CO
On the size multipartite Ramsey numbers involving complete graphs
该研究聚焦大小多部拉姆齐数m_j(H,G)，推导了基于H色数和G阶数的通用下界，给出大最大度图G对应的m_j(K_m,G)紧下界，还确定了m_j(K_m,K_{1,n})的数量级及多类特殊情形下的精确值。
2024-07-10 math.CO
Partitioning 3-edge-colored complete equi-bipartite graphs by monochromatic trees under a color degree condition
$r$边有色图$G$的单色树划分数，记为$t_r(G)$，是最小整数$k$，使得只要$G$的边用$r$颜色着色，$G$的顶点最多能被$k$顶点不相交的单色树覆盖.一般来说，确定这个数字是非常困难的。对于2-边着色完全多部图，Kaneko，Kano和Suzuki给出了$t_2(K(n_1,n_2,...,n_k))$的精确值.本文证明了：若K（n，n）是3-边着色的，使得每个顶点的色度为3，则$t_3(K(n,n))=3.$
2008-01-03 math.CO
Heroes in oriented complete multipartite graphs
该研究针对有向图的英雄图刻画问题，证明拟传递有向图的英雄图与竞赛图一致，证否了有向多部图相关猜想，并给出有向完全多部图英雄图的近乎完整刻画。
2023-12-11 cs.DM math.CO
On distinguishing special trees by their chromatic symmetric functions
1995年，Stanley提出了图$G$的色对称函数$X_{G}(x_{1},x_{2},\ldots)$.它是一个单项对称函数的和，使得对于$G$的每个顶点着色，恰好有一个这些和项。$X_{G}(x_1,x_{2},\ldots)$是否能区分顶点数相同的非同构树的问题，在一般情况下仍然是一个悬而未决的问题。对于特殊的树木，它已经被证明。2008年，马丁、莫林和瓦格纳证明了蜘蛛和一些毛毛虫。我们通过分离叶子和它们的邻居来分解一棵树，并对剩余的森林做同样的事情，直到剩下一个度不大于$1$的森林。对于顶点数相同的非同构树$G$和$H$，以及它们的叶分解中每个子图的叶数和叶邻居数的特殊性质，我们证明了色对称函数区分图。我们的想法是找到独立的分区的$G$和$H$分别与块的最大基数为$G$以及为$H$。这些基数对于图$G$和$H$是不同的，它们具有特殊的叶分解性质。此外，我们给出了明确的公式，这样的一个最大的块的独立分区的星形连接和蜘蛛的基数。
2017-02-27 math.CO
Uniquely Distinguishing Colorable Graphs
本文定义并研究唯一可区分着色图，提出1型与2型分类，刻画非连通图、树及二部图结构，并据此确定 G∪G 与 G 的可区分色数关系。
2023-08-15 math.CO
On The Toric Ideals of the Coloured Graphs of Reduced Words
本文研究由阶梯分拆索引的伪多部图，给出其一般色多项式，并利用分拆恒等式构造与顶点正常着色相关的仿射环面理想，证明其射影版本可由卡通图实现。
2023-10-26 math.CO
Edge-colorings of graphs avoiding complete graphs with a prescribed coloring
给定图$F$和整数$r \ge 2$，$F$的边集的划分$\widehat{F}$至多分成$r$类，以及图$G$，定义$c_{r, \widehat{F}}(G)$为$G$的边的$r$ -着色的数目，所述$G$的边不包含$F$的副本，使得由着色引起的边划分与$F$的边同构。我们认为$\widehat{F}$是应该避免的着色模式。主要的问题是，对于一个足够大的$n$，找到（极值）图$G$ $n$顶点最大化$c_{r, \widehat{F}}(G)$。这个问题推广了Erd{ \H o}s和Rothschild的问题，他们最初询问了不包含单色团的着色的数量（这等价于$F$是团并且分区$\widehat{F}$包含单个类的情况）。本文利用Hölder不等式和Zykov对称化证明了：对于任何$r \geq 2$，$k \geq 3$和团$K_k$的任何模式$\widehat{K_k}$，存在一个完全多部图是极值图.此外，如果模式$\widehat{K_k}$至少有两个类，除了两个非常小的模式（在三个或四个顶点上），每个极值图必须是一个完全多部图。在$r=3$和$\widehat{F}$是彩虹三角形的情况下（即，其中$F=K_3$和每个部分是单点的），我们证明了一个极图必须是几乎完全图.仍然为$r=3$，我们扩展了Alon，Balogh，Keevash和Sudakov的单色模式的结果，一些模…
2016-05-27 math.CO
Polarity on $H$-split graphs
本文研究两类推广分裂图的图类上的 $(s,k)$-极性划分，给出判定算法及极小极性障碍阶数的上界。
2023-04-22 math.CO
Colouring Complete Multipartite and Kneser-type Digraphs
本文研究有向图双色数及其列表版本，推广了Lovász和Alon的结果，确定了Kneser图、Borsuk图及完全多部图的（列表）双色数渐近界，并给出Sabidussi定理的有向类比。
2025-04-20 math.CO
Achievable multiplicity partitions in the inverse eigenvalue problem of a graph
与图$G$相关联的是所有实值对称矩阵的集合$\mathcal{S}(G)$，当图的对应顶点相邻时，这些实值对称矩阵的非对角项精确地为非零，并且对角项可以自由选择。如果$G$有$n$顶点，则$\mathcal{S}(G)$中任何矩阵的特征值的重数划分为$n$ ;这称为重数划分。我们研究图的多重分区只有两个整数是可能的。刻画了图$G$的特征，其中在$\mathcal{S}(G)$中存在一个矩阵，且其划分为$[n-2,2]$.我们找到了图族$G$，其中有一个矩阵在$\mathcal{S}(G)$与重划分$[n-k,k]$的$k\geq 2$。我们主要研究完全多部图的推广。我们提供了一些方法来构造家庭的图与给定的多重分区从较小的这样的图。我们还给出了在多重划分$[n-k,k]$的$\mathcal{S}(G)$中具有矩阵的图的构造，以显示刻画这些图的复杂性。
2020-10-31 math.CO math.SP
Interval colorings of complete balanced multipartite graphs
一个图$G$称为完全$k$ -部（$k\geq 2$）图，如果它的顶点可以被划分成$k$独立集$V_{1},...,V_{k}$，使得$V_{i}$中的每个顶点都与$1\leq i<j\leq k$的$V_{j}$中的所有其他顶点相邻.完全$k$ -部图$G$是完全平衡$k$ -部图，如果$|V_{1}| = |V_{2}| =... = |V_{k}|$ .一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。本文证明了一个完全平衡$k$ -部图$G$是区间可着色的当且仅当$nk$是偶图。证明了如果$nk$是偶数且$(k-1)n\leq t\leq ((3/2)k-1)n-1$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$允许区间$t$ -染色.此外，若$k=p2^{q}$，其中$p$是奇数，且$q\in \mathbb{N}$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$对每个满足$(k-1)n\leq t\leq (2k-p-q)n-1$的正整数$t$都有区间$t$ -染色.
2012-11-22 cs.DM math.CO
Even cycle decomposition thresholds for dense multipartite graphs
School of Mathematics and Statistics, Beijing Jiaotong University（北京交通大学数学与统计学院）；Hebei Provincial Key Laboratory of Mathematical Theory and Analysis for Network and Data Science, Beijing Jiaotong University（北京交通大学河北省网络与数据科学数学理论与分析重点实验室）
本文确定了稠密2-平衡多部图中偶环分解的阈值：对任意r≥2，C4分解阈值为2/3，C_{2k}（k≥3）分解阈值为1/2。
2026-10-06 math.CO
Laplacian $\{-1,0,1\}$- and $\{-1,1\}$-diagonalizable graphs
本文研究了能被 $\{-1,0,1\}$ 或 $\{-1,1\}$ 矩阵对角化的 Laplacian integral 图，引入 balanced 向量作为组合工具刻画其性质，并给出了 9 顶点以内可对角化连通图的完整列表。
2024-10-26 math.CO
An Asymptotically Sharp Bound on the Maximum Number of Independent Transversals
该研究针对给定边密度的多部图，证明了独立横贯最大数的渐近紧上界，推进了图论中独立横贯计数问题的研究。
2024-01-31 math.CO
Graph Varieties in High Dimension
我们研究了任意维射影空间中有限图$G$的所有嵌入作为点和线安排的\emph{picture space} $X^d(G)$，继续了以前在平面情况下的工作。图片空间承认一个自然的分解成光滑的拟投射子品种称为\emph{cellules}，索引分区的顶点集的$G$，和不可约组件的$X^d(G)$对应的细胞是最大的关于分区的偏序一般弱于细化。我们研究这部分的顺序和它的特征为特定的图的一般性质。我们的结果包括完整的组合描述的不可约组件的图片空间的完全图和完全多部图，任何环境尺寸$d$。此外，我们还给出了$G$的嵌入中边的方向相互约束的最小环境维数的两个图论公式。
2011-06-22 math.AG math.CO
Erdős-Pyber theorem for hypergraphs and secret sharing
用一个小的显式常数给出了Erdens-Pyber定理的一个新的构造性证明，该定理认为图的$n$顶点上的边可以划分为完全二部子图，使得每个顶点最多被覆盖$O(n/\log n)$次.将该定理推广到一致超图。对于图和一致超图的分数划分，给出了具有较小常数值的相似界。我们发现，这些后者的常数不能改善超过1.89的因素，甚至分数覆盖任意完全多部子图或子超图。在图的每个顶点连接到至少$n-m$其他顶点的情况下，我们证明了完全二部图的边的分数覆盖的存在性，使得每个顶点被覆盖最多$O(m/\log m)$次，只有一个稍微差的显式常数。这个结果也推广到一致超图。我们的结果给出了基于图和一致超图的秘密共享方案复杂度的新的改进的界，同时也指出了该方法的局限性。
2013-11-20 cs.CR math.CO
