发表机构
School of Mathematics and Statistics, Beijing Jiaotong University; Hebei Provincial Key Laboratory of Mathematical Theory and Analysis for Network and Data Science, Beijing Jiaotong University（北京交通大学数学与统计学院; 北京交通大学河北省网络与数据科学数学理论与分析重点实验室）
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本文确定了稠密2-平衡多部图中偶环分解的阈值：对任意r≥2，C4分解阈值为2/3，C_{2k}（k≥3）分解阈值为1/2。
AI 中文摘要
设 $r\geq 2$ 为整数。若一个 $r$ 部图 $\Gamma$ 的顶点划分为 $V_1,\ldots,V_r$，且存在正整数 $n$ 使得对每个 $i\in[r]$ 有 $n\leq |V_i|\leq 2n$，则称其为 $2$-平衡的。对于整数 $\ell\geq3$，令 $C_\ell$ 表示长度为 $\ell$ 的环，并定义 $\hat{\delta}(\Gamma)=\min\{d_\Gamma(v,V_i)/|V_i|:i\in[r],\\ v\in V(\Gamma)\setminus V_i\}$。令 $\hat\delta^r_{C_\ell}$ 表示 $2$-平衡 $r$ 部图的 $C_\ell$-分解阈值，即最小的非负实数 $\delta$，使得对每个 $\varepsilon>0$，存在 $n_0$，使得每个 $C_\ell$-可除的 $2$-平衡 $r$ 部图 $G$，若 $\min_i|V_i|>n_0$ 且 $\hat\delta(G)\geq\delta+\varepsilon$，则 $G$ 允许 $C_\ell$-分解。我们证明：对每个 $r\geq2$ 和每个 $k\geq3$，有 $\hat\delta^{r}_{C_4}=\frac{2}{3}$ 且 $\hat\delta^{r}_{C_{2k}}=\frac{1}{2}$。
英文摘要
Let $r\geq 2$ be an integer. An $r$-partite graph $Γ$ with vertex partition $V_1,\ldots,V_r$ is $2$-balanced if there exists a positive integer $n$ such that $n\leq |V_i|\leq 2n$ for every $i\in[r]$. For an integer $\ell\geq3$, let $C_\ell$ denote the cycle of length $\ell$, and define $\hatδ(Γ)=\min\{d_Γ(v,V_i)/|V_i|:i\in[r],\ v\in V(Γ)\setminus V_i\}$. Let $\hatδ^r_{C_\ell}$ denote the $C_\ell$-decomposition threshold for $2$-balanced $r$-partite graphs, that is, the least nonnegative real number $δ$ such that, for every $\varepsilon>0$, there exists $n_0$ such that every $C_\ell$-divisible $2$-balanced $r$-partite graph $G$ with $\min_i|V_i|>n_0$ and $\hatδ(G)\geqδ+\varepsilon$ admits a $C_\ell$-decomposition. We prove that $\hatδ^{r}_{C_4}=\frac{2}{3}$ and $\hatδ^{r}_{C_{2k}}=\frac{1}{2}$ for every $r\geq2$ and every $k\geq3$.
