Contact graphs of ball packings
闭球填充的接触图是以球为顶点，切球对为边的图。我们证明了在$\mathbb{R}^3$中球的堆积（可能具有不同的半径）的接触图的平均度不大于$13.92$。我们还发现了新的上界的平均度接触图在$\mathbb{R}^4$和$\mathbb{R}^5$。
2021-07-20 math.CO math.MG
Ball packings in hyperbolic space
在双曲空间中，密度不能像我们在欧几里得空间中定义的那样由极限定义。我们描述了球填充的局部密度边界，我们讨论了不同的尝试来定义最佳安排在双曲空间。
2022-02-22 math.MG
Top dense hyperbolic ball packings and coverings for complete Coxeter orthoscheme groups
在$n$ -维双曲空间$\mathbf{H}^n$ $(n\ge2)$中，有$n$-型球（球）：球、时球和超球.如果$n=2,3$，我们知道球堆积密度的普遍上限，其中每个球的体积与相应的Dirichlet-Voronoi（D-V）细胞的体积有关。例如，在$\mathbf{H}^3$中，密度球填充是从由具有二面角$\fracπ{3}$的理想规则单形$T_{reg}^\infty$组成的$\{3,3,6\}$ Coxeter平铺导出的。这种堆积的密度是$δ_3^\infty\approx 0.85328$，这也为球堆积密度提供了一个非常粗略的上限。然而，对于全等球的“经典”球填充和球覆盖，没有“本质”的结果。本文的目的是寻找具有“经典球”的$\mathbf{H}^3$中的极值球排列。我们只考虑与广义的，所谓的{ \it完全Coxeter orthoschemes}及其扩展群相关的周期全等球安排（为了简单起见）。在定理1.1-1.2中，我们还分别给出了密度为$0.77147\dots$的齿球填充和密度为$1.36893\dots$的齿球覆盖的结构。两者都与扩展的Coxeter群$(5, 3, 5)$和所谓的双曲足球流形有关（参见图~）。3）。这些事实在晶体学中与富勒烯有着重要的关系。
2016-12-14 math.MG
Ball packings with high chromatic numbers from strongly regular graphs
受Bondarenko对Borsuk猜想的反例的启发，我们注意到一些强正则图提供了球填充的例子，它们的色数显著高于维数。特别地，从广义四边形得到了维数为$q^3-q^2+q$且色数为$q^3+1$的单位球填充，其中$q$是素数幂.这改进了以前球填充的色数的下界。
2016-05-25 math.CO math.MG
New Lower Bound for the Optimal Ball Packing Density in Hyperbolic 4-space
本文考虑$4$维双曲空间中的球填充。我们证明了由于L的存在，有可能超过约束的$4$维可实现堆积密度的上界。Fejes Tóth（Regular Figures，1964）.我们给出了七个例子horoball包装配置，产生更高的密度的$0.71644896\dots$，其中horoball的中心在理想的顶点，某些Coxeter单纯，并根据各自的Coxeter组的行动是不变的。
2014-08-22 math.MG
A candidate to the densest packing with equal balls in the Thurston geometries
在没有任何对称性假设的情况下，在$3$维常曲率空间中的球（或球）填充问题由Böröczky和Florian在\cite{BF64}中解决了双曲空间$\HYP$，并通过黑尔斯证明了著名的开普勒猜想\cite{H}在欧几里得空间$\EUC$中。本文的目的是推广的问题，找到其他$3$维齐性几何（Thurston几何）$$ \SXR,~\HXR,~\SLR,~\NIL,~\SOL, $$的球包装的传递对称群，所考虑的空间的离散等距群之一，球包装。此外，我们描述了一个候选的denner-geodesicball packing。迄今为止最大的密度是$\approx 0.85327613$，它不是通过用双曲空间$\HYP$的相等球填充来实现的。然而，它达到例如在$\overline{\bH}^3$的等球填充，其中等球的理想中心位于$\overline{\bH}^3$的绝对图形上，通过其Coxeter-Schläfli符号诱导正则理想单形平铺$(3,3,6)$。本文提出了一种密度为$\approx 0.87499429$的$\SXR$几何中的测地线球填充。极值构形在定理2.8中描述，我们的猜想和进一步的评论在第3节中总结。
2012-10-08 math.MG
Lattice-like Packings and Coverings with Congruent Translation Balls and Cylinders in Sol geometry
Department of Algebra and Geometry, Institute of Mathematics, Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯理工大学数学研究所代数与几何系）
本文研究了在Sol空间中，利用等距平移球和圆柱进行类似晶格的包装与覆盖，并确定了相关密度的最优解。
2025-12-03 math.MG
Improving Rogers' upper bound for the density of unit ball packings via estimating the surface area of Voronoi cells from below in Euclidean d-space for all d>7
球填充问题要求单位球在d维欧几里得空间中的稠密填充。这个问题有其根源的几何，数论，它是一部分希尔伯特的第18个问题。1958年C. A.罗杰斯证明了一个非平凡的上界的密度单位球填充在d维欧几里得空间的所有d>0。1978年Kabatjanskii和Levenstein改进了大d的这个界。事实上，罗杰斯的界限是目前已知的43>d>3的最佳界限，在此之上，Kabatjanskiii-Levenstein界限接管。本文改进了Rogers关于欧氏d-空间中单位球填充密度的上界，其中d>7。我们这样做是通过估计从下面的表面积的Voronoi细胞在任何包装的单位球在欧几里德d-空间的所有d>7。
2001-10-18 math.MG
On densest packings of equal balls of $\rb^{n}$ and Marcinkiewicz spaces
我们调查，“一拉Marcinkiewicz”技术应用于（渐近）密度函数，如何稠密系统的相等领域的$\rb^{n}, n \geq 1,$可以在无穷远处分割，以允许计算其密度作为一个真正的限制，而不是limsup。等球堆积的密度是Marcinkiewicz意义下球系的特征函数的范数1。给出了密度球填充和最大密度完全饱和球填充的存在性定理的新的直接证明。
2008-12-09 math.MG
Optimal ball and horoball packings generated by $3$-dimensional simply truncated Coxeter orthoschemes with parallel faces
在本文中，我们考虑的球和horoball包装属于$3$维Coxeter平铺，是由简单的截断正交计划与平行面。本文的目的是确定双曲三维空间$\mathbb{H}^3$中所有Coxeter镶嵌的最优球和horoball填充排列及其密度。要求horoball的中心位于构成平铺的多面体细胞的理想顶点处，并且我们允许不同类型的horoball在各个顶点处。证明了上述情形的密度填充是由与$\{\infty;3;6;\infty \}$相关的horoball和密度为$\approx 0.8413392$的$\{\infty;6;3;\infty \}$平铺实现的.
2021-07-18 math.MG
Densest geodesic ball packings to $\mathbf{S}^2\!\times\!\mathbf{R}$ space groups generated by screw motions
本文研究了具有旋转点群的$\mathbf{S}^2\!\times\!\mathbf{R}$空间群的局部最优等球测地球填充，其生成元为螺旋运动。我们确定了上述空间群的密度单传递测地线球排列，并将其形象化，计算了它们的最佳密度和半径。密排堆积源自$\mathbf{S}^2\!\times\!\mathbf{R}$空间群$\mathbf{3qe.~I.~3}$，堆积密度为$\approx 0.7278$。E.莫尔纳已经表明，瑟斯顿几何有一个统一的解释，在真正的射影3球$\mathcal{PS}^3$。在我们的工作中，我们将使用这种$\mathbf{S}^2\!\times\!\mathbf{R}$几何的投影模型。
2014-07-04 math.MG
Apollonian Ball Packings and Stacked Polytopes
本文研究了维数为$d\ge 3$的Apollonian $d$ -球填充与堆叠$(d+1)$ -多面体之间的关系.对于$d=3$，我们证明了堆叠的$4$ -多面体的$1$ -骨架是阿波罗$3$ -球填充的切线图当且仅当没有六个$4$ -团共享一个$3$ -团.对于高维情形，我们得到了一些部分结果。
2013-12-23 math.CO math.MG
Remarks on soft ball packings in dimensions 2 and 3
本文研究二维中心对称凸域和三维全等球体的软平移排布，引入软密度概念，证明三重旋转对称凸域的最大软密度由软格堆积取得，并证明FCC格在软球格堆积中具有局部最大软密度。
2024-04-02 math.MG
Non-uniform packings
我们推广了经典的概念，包装一个集的球半径相同的情况下，半径可能是不同的。在集合内没有重叠的这种球的最大数量被称为它的{ \em非均匀堆积数}。我们表明，非均匀的堆积数可以是上限的{ \em平均}半径的球，从而在熟悉的经典形式的界限。
2020-08-04 math.MG
Densest packings of translates of strings and layers of balls
令$L \subset {\Bbb R}^3$是单位球的并集，其中心位于$z$轴上，并且与距离$2d \in [2, 2\sqrt{2}]$等距。则由$L$的平移构成的${\Bbb R}^3$中的单位球的填充具有至多$π/(3d\sqrt{3-d^2})$的密度，对于单位球的特定格填充是相等的。设$L \subset {\Bbb R}^4$是单位球的并集，其中心位于$x_3x_4$坐标平面上，并且形成边长为$2$的正方形晶格或规则三角形晶格。则由$L$的平移构成的${\Bbb R}^4$中的单位球的填充具有至多$π^2/16$的密度，并且对于${\Bbb R}^4$中的单位球的密度格填充是相等的。这是${\Bbb R}^4$中单位球的第一类非格填充，并证明了这类填充密度的上界.我们证明的主要工具是${\Bbb R}^2$中关于$(r,R)$ -系统的一个定理。如果为$R/r \le 2 \sqrt{2}$，则与此$(r,R)$ -系统关联的Delone三角测量具有以下属性。Delone三角形的平均面积至少为$\min \{ V_0, 2r^2 \} $，其中$V_0$是非钝角Delone三角形的面积的下确界。这个一般定理也有应用在其他问题的包装：即为$2r^2 \ge V_0$这是足够的，只处理非钝角Delone三角形，这是在一般情况下，一个更容易的任务。本文还证明了L的一个未发表…
2017-06-16 math.MG
Packing and covering with balls on Busemann surfaces
本文证明了对Busemann曲面$({\mathcal S},d)$的任一紧子集$S$（特别是，对于任何具有测地度量的简单多边形）和任何正数$δ$，以$\mathcal S$为中心并覆盖集合$S$的半径为$δ$的封闭球的最小数目至多是以$S$为中心的半径为$δ$的不相交封闭球的最大数目的19倍：$ν(S) \le ρ(S) \le 19ν(S)$，其中$ρ(S)$和$ν(S)$是$δ$ -球对$S$的覆盖数和堆积数。
2017-03-09 cs.DM math.MG
The 3-ball is a local pessimum for packing
乌拉姆指出，球在所有凸的三维固体中具有最低的最佳填充分数。在这里，我们证明了任何原点对称的凸固体足够小的非球面可以包装在一个更高的效率比球。我们还表明，在4，5，6，7，8，和24维有原点对称的凸体的任意小的非球面，不能包装使用一个晶格，有效地球可以。
2014-08-02 cond-mat.soft math.FA math.MG
Lorentzian Coxeter systems and Boyd-Maxwell ball packings
在最近的研究无限根系，球填充的分形图案观察到，而可视化的根在仿射空间。在本文中，我们表明，所观察到的分形正是由博伊德和麦克斯韦描述的球填充。这种对应是一个更基本的结果的推论：给定洛伦兹空间中的考克斯特群的几何表示，权的极限方向集等于极限根集。此外，我们使用Coxeter复合物来描述相应的Boyd-Maxwell球填料的切线图。最后，我们列举了所有的Coxeter系统，产生Boe-Maxwell球填料。
2021-09-30 math.CO math.GR math.MG
Contact numbers for congruent sphere packings in Euclidean 3-space
继续Harborth（1974）和作者（2002）的研究，我们研究了以下两个关于球填充的基本问题。回想一下，单位球的任意有限堆积的接触图（即，是欧氏空间中的（简单）图，其顶点对应于填充元，并且如果对应的两个填充元彼此接触，则其两个顶点通过边连接。在欧氏空间中，求n个单位球的填充的接触图的最大边数是接触图的一个基本问题。我们的方法找到最大的接触数的下限和上限估计是一个组合的分析和组合的想法，它也是基于最近的一些结果的球包装。最后，我们还感兴趣的是上述问题的以下更特殊的版本。也就是说，让我们想象我们被给予一个格单位球，它的中心点在欧几里得3-空间中形成格L（并且某些单位球对彼此接触），然后让我们生成n个单位球的填充，使得n个单位球的每个中心都选自L。正如在一般情况下，我们感兴趣的是找到良好的估计，最大接触数的包装的n个单位球获得这种方式。
2011-09-28 math.MG
Optimal Ball and Horoball Packings Generated by Simply Truncated Coxeter Orthoschemes with Parallel Faces in Hyperbolic $n$-space for $4 \leq n \leq 6$
本文研究双曲空间中截断Coxeter正交楔体的最优球与极限球填充，确定4至6维的填充构型、密度及Busemann参数，给出等距不变量描述。
2023-05-09 math.MG
Density bounds for unit ball packings relative to their outer parallel domains
University of Calgary（卡尔加里大学）；University of Pannonia（潘诺尼亚大学）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
本文证明了在欧几里得平面上，单位球包的最高密度由格点包获得，并推广了经典结果，同时给出了球面和双曲平面中等圆盘及欧几里得3空间中等球的精确上界。
2024-04-19 math.MG
Contact graphs of unit sphere packings revisited
三维欧氏空间中单位球的任意有限填充的接触图是其顶点对应于填充元且如果对应的两个填充元彼此接触则其两个顶点由边连接的（简单）图。关于接触图的一个最基本的问题是求n个单位球的填充的接触图的最大边数。本文改进了以前的估计，证明了欧氏空间中n个单位球的任意填充中的接触对数总是小于$6n-0.926n^{2/3}$ .而且，作为上述问题的自然扩张，我们建议研究接触三胞胎的最大数量（分别为，四元组）在欧氏3-空间中的n个单位球的任意包装中。特别是，我们证明了接触三胞胎（分别为，四元组）至多是$25/3n$（相应地，$11/4n$）。
2012-10-21 math.MG
A Proof of Fejes Toth's Conjecture on Sphere Packings with Kissing Number Twelve
在1969年，Fejes Toth提出，在欧几里得三维空间中，任何一个相等的球的堆积，使得每个球都被其他12个球接触，都是由六边形层组成的。本文验证了这一猜想。
2012-09-26 math.MG
New lower bound on ball packing density in high-dimensional hyperbolic spaces
本文通过应用稀疏邻域图中独立集的最新定理，提出了m维双曲空间中半径为R的球填充Bowen-Radin最大密度的新下界，在m趋于无穷大时相比基本覆盖界改进了Ω(m(R+ln m))倍。
2024-09-26 math.CO math.MG
Volumes and geodesic ball packings to the regular prism tilings in $\widetilde{\mathbf{S}\mathbf{L}_2\mathbf{R}}$ space
在第二作者之前的工作\cite{Sz13-1}中研究了$\SLR$空间中的规则棱镜和棱镜镶嵌之后，我们考虑了与这些镶嵌及其对称群$\mathbf{pq2_1}$相关的测地球填充问题。$\SLR$是八个Thurston几何之一，可以从所有行列式为1的$2\times 2$实矩阵的三维李群导出。本文考虑$\SLR$（甚至$\mathbf{SL_{\mathrm{2}}R})$）中的测地球面和球，如果它们的半径为$ρ\in [0, \fracπ{2})$，并确定它们的体积。此外，我们考虑了上述空间的棱柱，计算了它们的体积，定义了测地球填充的概念及其密度。我们开发了一个程序，以确定密度的dennial测地线球填充的平铺，或在本文中更准确地说，为他们的生成群$\mathbf{pq2_1}$（整数旋转参数$p,q$ ; $3\le p, \frac{2p}{p-2} <q$）。我们寻找上面的参数$p$和$q$，其中堆积密度尽可能大。现在我们的记录是$0.567362$ for $(p, q) = (8, 10)$。这些计算似乎是重要的，因为我们不知道最佳球包装，即在双曲空间$\HYP$。我们只知道密度上界0.85326，通过$\HYP$的horoball填充到其理想的正则单纯形平铺来实现。令人惊讶的是，对于在\cite{MSzV13}中的相同基团$\mathbf{pq2_1}$下的所谓的平移球…
2013-10-24 math.DG math.MG
An extended correction to ``Combinatorial Scalar Curvature and Rigidity of Ball Packings,'' (by D. Cooper and I. Rivin)
David Glickenstein向作者指出，标题论文中（密切相关的）引理1.2和3.2的证明是不正确的。这两个引理的陈述都是正确的，本文的目的是给出一个正确的论证。这个论点本身就很有意思。
2003-02-20 math.GT math.MG
Packing and covering balls in graphs excluding a minor
证明了对任意整数$t\ge 1$，存在一个常数$c_t$，使得对任意$K_t$ -minor-free图$G$，以及$G$中球的集合$S$，$G$中与$S$中所有球相交的顶点集的最小尺寸至多是$c_t$乘以$S$中顶点不相交球的最大数目.这是由Chepoi，Estellon和Vaxès在2007年在可平面图和具有相同半径的球的特殊情况下证明的。
2020-07-28 cs.DM math.CO math.MG
Simply transitive geodesic ball packings to $S^2 \times R$ space groups generated by glide reflections
$S^2 \times R$几何形状可以由球面$\bS^2$和实数线$\bR$的直积导出。J. Z. Farkas对$S^2 \times R$的空间群进行了分类并给出了完整的列表。$S^2 \times R$流形由E. Molnár和J. Z. Farkas通过相似性和同构。在Schummai中，我们研究了$S^2 \times R$空间中的测地球及其体积，并引入了测地球填充及其密度的概念，确定了$S^2 \times R$的广义Coxeter空间群的密度测地球填充.本文研究了具有Coxeter点群的$S^2 \times R$空间群的局部最优球填充，并且至少有一个生成元是滑移反射。我们确定了上述空间群的密度单传递测地线球排列，并计算了它们的最佳密度和半径。密排堆积的密度为$\approx 0.80407553$，与欧几里德结果$\fracπ{\sqrt{18}} \approx 0.74048$相比，可能是令人惊讶的。E. Molnár证明了齐性3-空间在实射影3-球面$\mathcal{PS}^3(\bV^4,\BV_4, \mathbb{R})$中有统一的解释。在我们的工作中，我们将使用这种$S^2 \times R$几何的投影模型。
2012-06-04 math.GR math.MG
Non-periodic geodesic ball packings to infinite regular prism tilings in $\SLR$ space
在\cite{Sz13-1}中，我们定义并描述了$\SLR$空间中的{ \it正则无限或有界} $p$-棱柱镶嵌.证明了对于整数参数$p,q;~3 \le p$，$ \frac{2p}{p-2} < q$，存在无穷多个正则无限$p$ -π面-面棱柱镶嵌$\cT^i_p(q)$和无穷多个正则有界$p$-π非面-面棱柱镶嵌$\cT_p(q)$.此外，在\cite{MSz14}和\cite{MSzV13}中，我们通过$\cT_p(q)$的指数为2的旋转子群确定了它的对称群，记为$\mathbf{pq2_1}$，并研究了相应的测地线和平移球填充.本文研究了正则无穷或有界$p$ -棱柱镶嵌的结构，证明了对于每个参数，其基图的侧曲线都是欧氏圆的弧。此外，我们还研究了由$\SLR$几何中的正无穷$p$ -正无穷面-面棱柱镶嵌$\cT^i_p(q)$导出的全等正非周期棱柱镶嵌的非周期测地球填充。我们发展了一个确定上述非周期最优测地球填充的密度的方法，并将此算法应用于它们。我们寻找上面的参数$p$和$q$，其中堆积密度尽可能大。现在，我们得到了$(p, q) = (29,3)$的最大密度$\approx 0.626606$，它大于相应的周期测地球填充在群$\mathbf{pq2_1}$下的最大密度.在我们的工作中，我们将使用由E. {Moln在\cite{M97}。
2014-03-13 math.MG
The Strong Dodecahedral Conjecture and Fejes Toth's Conjecture on Sphere Packings with Kissing Number Twelve
本文简述了欧氏空间中关于球面填充的两个定理的证明。第一个是K。Bezdek强十二面体猜想：半径为1的球的堆积中的每个有界Voronoi胞的表面积至少是半径为1的正十二面体的表面积。第二个定理是L。Toth的接触猜想，它断言在三维空间中，任何全等球的包装，使得每个球都被其他12个球接触，都由六边形层组成。这两个证明都是计算机辅助的。这些定理的完整证明出现在作者的著作《稠密球填充》和相关的预印本中
2012-11-19 math.MG
On the maximum size packings of disks with kissing radius 3
拉斯洛·费杰斯·托特和阿拉达·赫普斯提出了以下接吻数问题的推广。给定$\mathbb{R}^d$中的一个球，考虑一个球族与它接触，另一个球族与第一个球族接触。求出在这个排列中球的最大可能个数，条件是没有两个球相交于内部，并且所有球全等。他们表明，飞机上的磁盘的答案是$19$。他们还解释说，如果有三个家庭的磁盘，而不是两个，答案是$37$。本文证实了这一猜想。
2022-05-31 math.CO math.MG
Geodesic ball packings generated by rotations and monotonicity behavior of their densities in $\mathbf{H}^2\!\times\!\mathbf{R}$ space
本文研究 $\mathbf{H}^2\\!\times\\!\mathbf{R}$ 空间中由旋转生成的空间群的等半径测地线球填充，提出确定局部最密构型密度的程序，并分析无穷系列空间群中密度的单调性，利用射影模型进行可视化。
2024-07-30 math.MG
Even More Infinite Ball Packings from Lorentzian Root Systems
Boyd（1974）提出了一类由反演生成的无限球填充。后来，麦克斯韦（1983）用洛伦兹空间中的根系解释了博伊德的构造。特别地，他证明了类空权向量对应于球填充当且仅当相关的Coxeter图是“水平$2$”。在麦克斯韦的工作中，单根形成了考克斯特群的表示空间的基础。在最近的几项研究中，考虑了更一般的根系，其中单根仅要求是正独立的。本文提出了一个几何形式的“层次”的根系，以取代麦克斯韦的图论“层次”。“然后我们证明麦克斯韦的结果自然地扩展到更一般的具有正独立单根的根系。特别是，空间样的极端射线的山雀锥对应于一个球包装当且仅当根系是$2$的水平。我们还提出了一个部分分类的水平$2$根系，即考克斯特$d$ -多面体的水平$2$与$d+2$方面。
2015-09-21 math.CO math.GR math.MG
Optimal densities of packings consisting of highly unequal objects
令$Δ$为单位球的$\mathbb R^n$的最佳堆积密度。我们表明，使用两种尺寸的球的最佳填充密度接近$Δ+ (1 - Δ) Δ$的半径的比率趋于无穷大。更一般地说，如果$B$是一个实体，而$D$是一个有限的实体集，那么由来自$\{rB\} \cup D$的实体的全等拷贝组成的填充的最优密度$Δ_{\{rB\} \cup D}$收敛于$Δ_D + (1 - Δ_D) Δ_{\{B\}}$，因为$r$趋于零。
2016-03-03 math.MG
Simultaneous packing and covering in sequence spaces
我们采用Klee（1981）的一种构造方法来寻找$\ell_p$（$1\leq p<\infty$）中单位球的一种填充，这种填充是有效的，因为将每个球的半径扩大到任何$R>2^{1-1/p}$都覆盖了整个空间.我们表明，值$2^{1-1/p}$是最佳的。
2008-06-27 math.FA math.MG
New lower bound for the optimal congruent geodesic ball packing density of screw motion groups in $\mathbf{H}^2\!\times\!\mathbf{R}$ space
该研究利用$\boldsymbol{\rm H}^2\boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rm R}$的射影模型，得到了螺旋运动群生成的全等测地球堆积的新密度纪录约0.80529，还开发了确定对应最优堆积半径的程序。
2024-07-31 math.MG
Periodicity and Circle Packing in the Hyperbolic Plane
本文证明了给定一个固定的半径$r$，在双曲平面的“零”半径$r$ -圆填充上支撑的等距不变概率测度集在半径$r$ -圆填充空间上的所有等距不变概率测度空间中是稠密的.所谓周期堆积，我们指的是具有上有限对称群的堆积。作为推论，我们证明了在双曲平面的半径为$r$ -填充的空间上等距不变概率测度所达到的最大密度是周期填充密度的上确界.我们还证明了最大密度函数随半径连续变化。
2003-09-03 math.GR math.MG
Visualization of sphere and horosphere packings related to Coxeter tilings generated by simply truncated orthoschemes with parallel faces
在本文中，我们描述和可视化的dennial球和horoball包装配置属于简单的截断$3$维双曲Coxeter正交格式的平行面。这些美丽的包装排列描述并展示了上述正交方案和相应的考克斯特群的非常有趣的结构。我们使用$3$维双曲空间$\boldsymbol{H}^3$的Beltrami-Cayley-Klein球模型进行可视化，并使用Python软件制作了图片。
2021-10-26 math.MG
Periodic Planar Disk Packings
给出了环面中等圆盘的堆积是局部极大稠密的几个条件，其中环面定义为平面与二维格的商。本文提出了一个猜想，即任何严格堵塞的填充，其图不完全由三角形组成，且环面格是标准三角形格，其密度至多为$\frac{n}{n+1}\fracπ{\sqrt{12}}$，其中$n$是填充圆盘的个数.几类集体堵塞包装提出的猜想举行。
2013-01-07 math.MG
3-dimensional Combinatorial Yamabe Flow in Hyperbolic Background Geometry
本文研究了双曲背景几何中的三维组合Yamabe流。对于三维流形的三角剖分，证明了：如果每个顶点上的四面体个数至少为23，则存在实球填充或虚球填充，它们的（扩展）组合数量曲率为零，即每个顶点上的（扩展）立体角等于4π.在这种情况下，如果这样的球填充是真实的，那么（扩展的）组合Yamabe流以指数方式快速收敛到该球填充。此外，我们证明了，没有真正的或虚拟的球包装消失（扩展）组合标量曲率，如果事件的四面体的数量，每个顶点是最多22。
2018-05-27 gr-qc math.DG math.GT
Locally optimal 2-periodic sphere packings
球体填充问题是一个古老的难题。我们考虑在晶胞中有m个球的填充（m-周期填充）。对于m = 1（格填充）的情形，Voronoi证明了存在多个不等价的局部最优解，并给出了一个算法来枚举它们，而且这种计算已经在d = 8维的情形下实现。本文将Voronoi方法推广到m > 1，并给出了一个计算任意维上所有局部最优2-周期球填充的方法，只要有n个局部最优2-周期球填充.我们在d = 3，4和5中实现了这一计算，并表明在这些维度中没有2-周期填充超过最佳晶格的密度。在d = 6中执行部分枚举。
2019-11-12 cond-mat.stat-mech math.MG math.NT
The number of touching pairs of congruent sphere packings in Euclidean 3-space
本文研究三维空间中n个全等球堆积的最大接触数c(n)，证明其极小刚性，确定n=6至9时的精确值，并给出一般下界及面心立方晶格情形下的上界与渐近公式。
2026-09-28 math.CO math.MG
Dense periodic packings of tetrahedra with small repeating units
我们提出了一个单参数家庭的定期包装的正四面体，包装分数$100/117\approx0.8547$，这是简单的意义上说，他们是传递和他们的重复单元只涉及四个四面体。填料的建设的灵感来自于一个数值搜索的结果，产生了类似的包装。我们提出了一个分析结构的包装和描述其性质。我们还提出了一个传递包装与两个四面体的重复单元和包装分数$\frac{139+40\sqrt{10}}{369}\approx0.7194$。
2010-03-19 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
The sphere packing problem in dimension 8
本文证明了欧几里得空间$\mathbb{R}^8$中单位球填充的密度不大于$E_8$ -格填充的密度。
2017-04-04 math.MG math.NT
Exact Constructions of a Family of Dense Periodic Packings of Tetrahedra
正四面体（五种柏拉图立体之一）的密排包装的确定正引起人们的极大关注，包装记录被打破的速度之快和出现的迷人的包装结构证明了这一点。在这里，我们提供了最一般的分析配方，以构建致密的周期性包装的四面体与四个基本细胞的粒子。这种分析的结果在六个参数的家庭密集四面体包装，包括作为特殊情况下，最近发现的“二聚体”包装的四面体，包括已知的密度为$ϕ= 4000/4671 = 0.856347...$的密集包装。这项研究强烈地表明，后一组包装是所有包装与四粒子的基础。在所有的填充中，它们是否是四面体的密集填充是一个悬而未决的问题，但我们对这个问题给出了一些评论。此外，我们描述了一个程序，提供估计的最大密度的四面体包装，这可能有助于评估候选密集包装的包装效率的上限。
2010-04-30 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math.MG
Packing d-dimensional balls into a d+1-dimensional container
针对将 d 维单位半径球平移装入 d+1 维最小轴平行盒、任意方向盒或凸体的问题，提出基于加权图最短 Hamilton 路径归约的常数因子近似算法，并给出 O(n^((d-1)/d)) 的体积界。
2024-01-17 cs.CG math.MG
Exponential improvements for superball packing upper bounds
我们证明了对于所有固定的$p > 2$，$\mathbb{R}^n$中单位$\ell_p$ -球的平移堆积密度至多为$2^{(γ_p + o(1))n}$与$γ_p < - 1/p$ .这是自van der Corput和Schaake（1936）以来高维数的首次指数改进。
2020-02-13 math.CO math.MG
Perfect, strongly eutactic lattices are periodic extreme
我们引入了一个参数空间的周期点集，给出了作为工会的$m$翻译的点格。在这篇文章中，我们研究了球填充密度函数的行为，并得到了局部最优性的充分条件。使用这些标准，我们证明了完美的，强共规格不能局部改进，以产生更大的密度周期性球包装。这特别适用于在维度$d\leq 8$和$d=24$中的已知的晶格球填充。
2010-05-25 math.MG math.NT
Dense ball packings by tube manifolds as new models for hyperbolic crystallography
本文提出具有旋转对称的管/蛛网流形 $Cw(2z)$，利用 Coxeter 正交格式群与计算机构造分析双曲等大球稠密堆积及其密度，为双曲晶体学和材料模型提供新模型。
2023-10-02 math.GT math.MG
Computability questions in the sphere packing problem
我们考虑的集的尺寸，有一个最佳的球包装与特殊的正则性（分别是一个格，或一个周期集与一个给定的限制的数量的翻译，或任意的周期集）。我们表明，所有这些集都是甲骨文可计算的，给定一个甲骨文，以增加柯尔莫哥洛夫复杂性的一组相关的球形代码。
2022-12-09 cs.IT math.IT math.LO
A non-lattice periodic point set beating the optimal lattice packing-covering constant in dimension five
Universität Rostock（罗斯托克大学）；MSM Programing d.o.o.（MSM程序有限公司）
本文构造了五维空间中一个2-周期非格点集，其填充-覆盖常数低于已知最优格常数，证明五维填充-覆盖问题的最优解并非格。
2026-09-28 math.CO math.MG
A Riemannian Variational and Spectral Framework for High-Dimensional Sphere Packing: Barrier-Dynamics Reconciliation, Periodic Rigidity, and Discrete-Time Guarantees
该文提出一个统一框架，调和周期球堆积的势垒几何模型与可证明收敛的离散动力学，证明势垒到KKT一致性、周期刚性及谱投影内部轨迹方法的局部线性收敛。
2025-09-25 math.MG math.OC
Sphere Packings in Euclidean Space with Forbidden Distances
本文研究了带禁止距离约束的欧几里得空间球体填充问题，证明了特定维度下偶幺模极值格的唯一最优性，并开发了一维情况下寻找周期性配置的算法。
2025-02-21 math.CA math.MG math.NT
Strict Periodic Extreme Lattices
如果一个格不能局部地被修改以产生更好的周期球填充，则该格被称为周期极值。如果它的球填充密度是周期点集中的孤立局部最优值，则称它为严格周期极值。本文证明了一个格是周期极值的充要条件是它是极值的，即格是局部最优的。此外，我们证明了格是严格周期极值当且仅当它是极值且非浮动的。
2012-11-23 math.MG math.NT
