Yamabe systems, optimal partitions, and nodal solutions to the Yamabe equation
本文给出了闭黎曼流形$(M,g)$上Yamabe方程具有任意个数$\ell\geq 2$的正则最优剖分的存在条件.为此，我们研究了一类与Yamabe方程相关的弱耦合竞争椭圆型$\ell$方程组.我们证明了这个系统有一个最小能量的解决方案，如果$\dim M\geq 10$，$(M,g)$不是局部共形平坦的，并满足一个额外的几何假设，每当$\dim M=10$。此外，我们表明，极限配置文件的解决方案的组件空间分离的竞争参数去$-\infty$，从而产生一个最佳的分区。我们表明，这种分区耗尽整个流形，我们证明了两个接口和极限配置文件的规律性，连同一个自由边界条件。对于$\ell=2$的最佳分区得到的Yamabe方程的能量最小的符号变化的解决方案，正好有两个节点域。
2021-06-01 math.AP math.DG
Blow-up phenomena for the $σ_2$-Yamabe equation
Wuhan University（武汉大学）；Henan University（河南大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
研究针对\(n\geq27\)时\(\mathbb{S}^n\)上特定光滑度量，解决归一化\(\sigma_2\)-Yamabe方程相关问题。通过构造特定度量，克服线性化算子椭圆性可能丧失的困难，给出有限维约化中的四次轮廓确定端点维数\(n = 27\)。
2026-07-14 math.AP math.DG
Low energy nodal solutions to the Yamabe equation
给定$n$维球面上的一个等参函数$f$，我们考虑函数空间$w\circ f$，将圆球面上的Yamabe方程约化为$w$上的奇异常微分方程，其形式为$w" + (h(r)/\sin r)w'+λ(\vert w\vert^{4/n-2}w - w)=0$，其中$h$是一个单调函数，在$[0,π]$上恰好有一个零点，而$λ>0$是一个常数.为了获得光滑解，自然边界条件是$w'(0)=0$和$w'(π)=0$。我们证明了，对于任何正整数$k$存在一个解决方案，正是$k$零产生的解决方案，Yamabe方程的$k$连接等参超曲面作为节点集。证明的思想是考虑两个奇点$0$和$π$上的初值问题，然后解决相应的双射问题，在$h$的唯一零点处匹配$w$和$w'$的值.特别是，我们得到的解决方案，正好一个零，提供解决方案的Yamabe方程的低能量，这可以很容易地通过数值方法计算。
2019-11-28 math.AP math.DG
Local estimates for elliptic equations arising in conformal geometry
本文考虑具有全测地边界的流形上高阶曲率的Yamabe型问题。我们证明了与问题相关的完全非线性椭圆型方程解的局部梯度和二阶导数估计。
2011-12-13 math.AP math.DG
Supercritical elliptic problems on the round sphere and nodal solutions to the Yamabe problem in projective spaces
给定$n$维圆球面上的等参函数$f$，我们考虑$u=w\circ f$形式的函数，将具有$λ>0$和$1<p$的半线性椭圆问题\[ -Δ_{g_0}u+λu=λ | u\ | ^{p-1}u\qquad\text{ on }\mathbb{S}^n \]化为形式为$w'' + \frac{h(r)}{\sin r} w' + \fracλ{\ell^2}\ (| w|^{p-1}w - w\ )=0$的$[0,π]$中的奇异常微分方程，其中$h$是严格递减函数，在此区间内恰好有一个零点，$\ell$是几何常数.利用双重打靶法，结合这类常微分方程的振荡解的结果，我们得到了第一个问题的一系列变号解，这些解在与$f$相关的等参超曲面上是常数，并且在生成等参族的一个或两个焦点子流形上爆破.我们的方法也适用于当$p>\frac{n+2}{n-2}$，即，在超临界的情况下。此外，使用减少通过调和态射，我们证明了存在性和多重性的符号变化的解决方案的Yamabe问题的复杂和四元数空间，有一个有限的不相交的工会等参超曲面作为定期的水平集。
2019-08-21 math.AP
The zero scalar curvature Yamabe problem on noncompact manifolds with boundary
设$(M^n,g),~n\ge 3$是具有紧边界的非紧完备黎曼流形，$f$是$\partial M$上的光滑函数.在本文中，我们表明，对于一大类这样的流形，存在一个度量的共形类$g$是完整的，有零数量曲率的$M$和中曲率$f$的边界。该问题等价于求一个具有临界Sobolev指数的非线性边界条件的椭圆型方程的正解。
2006-05-24 math.AP math.DG
Singular solutions to Yamabe-type systems with prescribed asymptotics
本文主要研究具有常数量曲率的紧致黎曼流形中一类临界增长的强耦合非线性椭圆方程组。利用胶合技术和扰动参数，我们证明了奇异解的存在性渐近于孤立奇点附近的福勒型解。
2020-09-03 math.AP
Nonuniqueness for a fully nonlinear boundary Yamabe-type problem via bifurcation theory
推广Escobar提出的边界Yamabe问题的一种方法是问一个紧带边流形上的给定度量是否可以共形变形，使其内部的$σ_k$ -曲率为零，而边界上的$H_k$ -曲率为常数。当限制为正$k$ -锥的闭包时，这是一个具有完全非线性Robin型边界条件的完全非线性退化椭圆边值问题.我们证明了一个一般的分歧定理，它使我们能够构建紧凑的黎曼流形$(X,g)$的例子，这个问题承认多个非位同解的情况下，当$2k<\dim X$。我们的例子都是这样的，它的诱导度量的边界是一个黎曼产品的圆形领域的爱因斯坦流形。
2018-09-01 math.AP math.DG
Boundary value problems for some fully nonlinear elliptic equations
本文研究了局部共形平坦紧流形上带边界的Yamabe问题的一个非线性形式。我们使用的主要技术是直接从边界$C^0$估计导出边界$C^2$估计。特别是，结果是一个概括的工作埃斯科瓦尔。
2006-04-04 math.AP math.DG
Phase separation, optimal partitions, and nodal solutions to the Yamabe equation on the sphere
本文研究了圆球面上Yamabe方程的最优M-划分问题。我们发现，有一个对应的解决方案，这个问题和最小能量的符号变化对称解决方案的Yamabe方程的球上精确M节域。通过研究球上一类弱耦合竞争椭圆型方程组最小能量解的极限轮廓，证明了最优划分的存在性。
2019-10-15 math.AP
Classification of singular radial solutions to the $σ_k$ Yamabe equation on annular domains
关于黎曼度量的Weyl-Schouten曲率张量的$k$阶初等对称函数，即所谓的$σ_k$曲率的研究，近年来在共形几何中取得了许多丰硕的成果。在这些研究中，变形保形因子被认为是一个完全非线性椭圆型偏微分方程的解决方案。近年来，在对偏微分方程解的解析行为的理解方面取得了重要进展。然而，这些解决方案的奇异性，这是很重要的，在描述共形几何中的许多重要问题，是很少了解。本文对所有可能的径向解进行了分类，特别是$σ_k$ Yamabe方程的\emph{singular}解，该方程描述了$σ_k$曲率等于常数的共形度量。虽然所涉及的分析是初等性质的，但这些结果对研究一般情况下的奇异解的行为具有指导意义。
2004-06-02 math.AP math.DG
A dual Yamabe flow and related integral flows
研究黎曼流上涉及Riesz势的非线性积分流，通过引入对偶Q曲率分析HLS临界区域的集中紧性现象，并在积分核匹配Green函数时将其视为对偶Yamabe流，证明了其在单位球及局部共形平坦流形上的收敛性。
2024-01-07 math.AP math.CA math.DG
Yamabe systems and optimal partitions on manifolds with symmetries
证明了当$G$是$M$的无穷轨道等距紧群时，闭黎曼流形$(M,g)$上Yamabe方程的正则最优$G$ -不变分拆的存在性，其中包含任意个数的$\ell\geq 2$.为此，我们研究了与Yamabe方程相关的弱耦合竞争椭圆型$\ell$方程组。我们发现，这个系统有一个最小的能量$G$不变的解决方案，非平凡的组件，我们表明，其组件的极限配置文件空间分离的竞争参数去$-\infty$，从而产生一个最佳的分区。对于$\ell=2$的最佳分区得到的能量最小的符号变化$G$不变的解决方案Yamabe方程正好有两个节点域。
2021-07-28 math.AP
The partial uniform ellipticity and prescribed problems on the conformal classes of complete metrics
通过计算线性化算子的大特征值，阐明了二阶完全非线性方程如何接近一致椭圆性。这为理解完全非线性椭圆型和抛物型方程的结构提供了一种有效的新方法。作为应用，我们解决了一个完全非线性版本的Loewner-Nirenberg问题和一个非紧完全版本的完全非线性Yamabe问题。我们的方法是微妙的拓扑障碍。
2022-10-10 math.AP math.DG
Yamabe-type equations on Carnot groups
本文研究一类卡诺群上的含临界非线性项的依赖于一个实正参数的椭圆型方程。作为我们结果的一个特例，我们证明了定义在{Heisenberg群} $\mathbb{H}^n=\mathbb{C}^n\times \mathbb{R}$的光滑有界区域$D$上的次椭圆临界方程至少存在一个非平凡解.我们的方法是基于纯变分方法和局部序列弱下连续的论点。
2017-05-29 math.AP
Type II ancient compact solutions to the Yamabe flow
我们构造了Yamabe流的新的II型古紧解。我们的解决方案是旋转对称的，收敛，作为$t \to -\infty$，塔的两个领域。它们的曲率算子改变了符号。我们允许两个时间相关的参数在我们的antimerian。我们使用扰动理论，通过不动点的论点，根据尖锐的估计古代解决方案的近似线性方程和仔细估计的误差项，使我们能够作出正确的选择参数。我们的技术可以被看作是一个抛物模拟胶合两个精确解的重新标度方程，即球，与狭窄的圆柱形颈部，以获得一个新的古老的解决方案Yamabe流。本文中的技术可以推广到$n$球的粘合。
2012-10-22 math.AP math.DG
Existence and properties of ancient solutions of the Yamabe flow
设$n\ge 3$和$m=\frac{n-2}{n+2}$。我们构造了方程$v_t=(v^m)_{xx}+v-v^m$，$v>0$，在$\mathbb{R}\times (-\infty,T)$中对某些$T\in\mathbb{R}$的$5$参数，$4$参数，$3$参数的古解.这个方程是在Yamabe流的研究中提出的。我们得到了该方程古解的各种性质，包括古解的精确衰减率为$|x|\to\infty$。证明了$3$参数古解和$4$参数古解都是$5$参数古解的奇异极限解。
2016-06-11 math.AP math.DG
Slowly converging Yamabe flows
本文利用极限度量的Morse理论性质刻画了收敛的体积归一化Yamabe流的收敛速率。如果极限度量是Yamabe泛函的可积临界点（例如，当临界点是非退化的时，这成立），则我们证明了流以指数速度收敛。在一般情况下，我们利用一个合适的Lojasiewicz-Simon不等式证明，最慢的流将收敛多项式。当极限度量满足Adams-Simon型条件时，我们证明了存在流以多项式速率精确收敛到它。最后，我们通过构造明确的例子来表明这种情况确实发生了;这些似乎是几何流的缓慢收敛解的第一个例子。
2015-02-26 math.AP math.DG
A priori estimates for finite-energy sign-changing blowing-up solutions of critical elliptic equations
证明了在维数为$n \ge 3$的闭黎曼流形$(M,g)$上Schrödinger-Yamabe型临界方程有限能量变号解的精确逐点爆破估计.这是薛定谔-山部型方程正解的所谓$C^0$ -理论的推广。为了处理符号变化的情况下，我们开发了一种方法相结合的证明，\emph{a priori}气泡树分析与有限维减少，并减少证明获得尖锐的\emph{a priori}爆破估计的线性问题。
2021-12-14 math.AP
On local behavior of singular positive solutions to nonlocal elliptic equations
研究了具有分数阶容量为零的奇异集的分数阶Yamabe方程正解的局部性态。
2017-07-07 math.AP
The Boundary Yamabe Problem, II: General Constant Mean Curvature Case
本文利用迭代格式和摄动方法完全解决了Han-Li猜想，即具有非空光滑边界的紧致流形$ (M, \partial M, g) $上具有给定常数量曲率和常中曲率的一般边界Yamabe问题，$ \dim M \geqslant 3 $ .等价于证明了$ -\frac{4(n -1)}{n - 2} Δ_{g} u + R_{g} u = λu^{\frac{n+2}{n - 2}} $在$ M $中的实正光滑解的存在性，$ \frac{\partial u}{\partial ν} + \frac{n-2}{2} h_{g} u = \frac{n-2}{2} ζu^{\frac{n}{n - 2}} $在$ \partial M $上具有某些常数$ λ, ζ\in \mathbb{R} $。在满足齐次Robin条件的共形拉普拉斯算子的第一特征值$ η_{1} $的符号的情况下，求解了边值Yamabe问题.纯量曲率$ R_{g} $和中曲率$ h_{g} $的符号在该存在性结果中发挥了重要作用。与经典方法相比，外尔张量和边界点的分类在证明中没有作用。此外，该方法不具有尺寸特异性。关键步骤包括非线性椭圆型偏微分方程和非线性边界条件的新单调迭代格式，扰动共形Laplacian算子的引入，构造光滑超解的精细胶合技巧和局部Yamabe型方程解的存在性.
2023-02-20 math.AP math.DG
Asymptotic behavior of positive solutions of some nonlinear elliptic equations on cylinders
建立了半圆柱上一类非线性椭圆型方程正解的定量渐近性态。这统一了对Yamabe方程、Hardy-Hénon方程等半线性椭圆型方程的孤立奇点的研究。
2020-10-10 math.AP
A degree theory for second order nonlinear elliptic operators with nonlinear oblique boundary conditions
本文对具有非线性斜边值条件的二阶完全非线性椭圆算子引入了一个整数值度。我们也给出了某些非线性椭圆型方程的Yamabe问题的边界和反射问题的解的存在性的应用。
2015-09-08 math.AP
Symmetry Breaking and Moduli for Ancient Yamabe Flows on the Sphere
Hanyang University（汉阳大学）；University of Bath（巴斯大学）
对于每个n≥3，构造了单位球面上不可数多个II型古Yamabe流，它们互不共形等价且非旋转对称，具有不定Ricci曲率，后向极限为有限个球面的楔和。
2026-10-26 math.AP math.DG
The Gursky-Streets equations
Gursky-Streets在$σ_2$ -Yamabe问题的背景下，在紧致黎曼四维流形的固定共形类中的共形度量空间上引入了形式黎曼度量。Gursky-Streets度量的测地线方程是一个完全非线性退化椭圆型方程，Gursky-Streets证明了扰动方程的一致$C^{0, 1}$正则性. Gursky-Streets应用Guan-Wang流的结果和抛物光滑化证明了$σ_2$ -Yamabe问题的解是唯一的。其中一个关键因素是Chang-Yang的$\cF$ -泛函在（光滑）测地线上的凸性，这是基于Gursky-Streets度量和B. Andrews关于具有正里奇曲率的流形。本文建立了Gursky-Streets方程的一致$C^{1, 1}$正则性。作为应用，我们可以严格地建立基于Gursky-Streets度量的几何结构，特别是$\cF$ -泛函沿$C^{1, 1}$测地线的凸性.这特别给出了$σ_2$ -Yamabe问题解的唯一性的一个直接证明。
2017-07-15 math.AP math.DG
Compactness of solutions to higher order elliptic equations
利用局部积分方程的爆破分析方法证明了高阶临界椭圆型方程在位势只有非退化零点的条件下解的紧性。其次，对应于流形上Yamabe方程的Schoen Weyl张量消失猜想，我们建立了解在爆破点处的位势的Laplacian消失率。
2021-08-26 math.AP
Compactness of solutions to nonlocal elliptic equations
证明了含区域分数拉普拉斯算子的临界半线性椭圆型方程的所有非负解局部泛有界。这与标准的分数拉普拉斯算子情况形成强烈对比。其次，我们考虑具有非负位势的分数阶临界椭圆型方程。我们证明了紧的解决方案提供的潜力只有非退化零。对应于流形上Yamabe方程的Schoen Weyl张量消失猜想，我们建立了解在爆破点处的位势的Laplacian消失率。
2017-07-05 math.AP
Qualitative properties of positive singular solutions to nonlinear elliptic systems with critical exponent
研究了强耦合临界椭圆方程组在孤立奇点附近局部解的渐近性态。当维数小于等于5时，证明了任意奇异解渐近于旋转对称Fowler型解.这一结果推广了Caffarelli，Gidas和Spruck [1]研究经典Yamabe方程渐近性质的著名工作。此外，我们推广了Marques [11]在非齐次情形下的类似结果，即度量不一定共形平坦的情形。
2018-03-12 math.AP
Asymptotic approach to singular solutions for the CR Yamabe equation
Università di Parma（帕尔马大学）；Università di Pisa（比萨大学）
研究海森堡群中福兰德 - 斯坦 - 索伯列夫嵌入次临界逼近最优函数紧致性损失，防边界爆破时中心对称最大化器集中于中心，获远离极点爆破率与渐近轮廓，建立近临界索伯列夫问题对应渐近。
2026-07-24 math.AP
Gradient estimates for a nonlinear parabolic equation and Liouville theorems
在光滑度量测度空间上建立了非线性抛物型方程正光滑解的局部椭圆梯度和抛物梯度估计。作为应用，我们确定了各种条件的方程的系数和增长的解决方案，保证非平凡的正光滑解的非存在性的许多特殊情况下的非线性方程。特别地，我们应用梯度估计讨论了完备黎曼流形和光滑度量测度空间的Yamabe型问题。
2018-12-01 math.AP math.DG
Nonlinear elliptic equations on Carnot groups
本文研究一类卡诺群上的椭圆型方程，它依赖于一个实正参数，且具有次临界非线性项（临界情形参考G. Molica Bisci和D. Repovenian，Carnot群上的Yamabe型方程，势能分析。46：2（2017），369-383; arXiv：1705.10100 [math.AP]）。作为我们结果的一个特例，我们证明了定义在Heisenberg群$\mathbb{H}^n=\mathbb{C}^n\times \mathbb{R}$的光滑有界区域$D$上的一个次椭圆方程至少存在一个非平凡解.主要的方法是基于变分方法。
2017-06-17 math.AP
Classification of positive entire solutions of the CR Yamabe equation on the Heisenberg group
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
该研究完成了海森堡群上临界CR Yamabe方程正整体解的维度分类，通过利用Green表示的推论、共形协变性等，在无能量界的类中隔离出气泡流形，解决了欧氏方法无法适用的问题。
2026-09-04 math.AP math.DG
Singular limit and exact decay rate of a nonlinear elliptic equation
对于任意的$n\ge 3$，$0<m\le (n-2)/n$，以及满足$α\leβ(n-2)/m$的常数$η>0$，$β>0$，$α$，我们证明了$\frac{n-1}{m}Δv^m+αv +βx\cdot\nabla v=0$，$v>0$在$\R^n$，$v(0)=η$中的径向对称解的存在性.当$0<m<(n-2)/n$，$n\ge 3$，$α=2β/(1-m)>0$满足时，证明了上述椭圆型方程的径向对称解$v$满足$\lim_{|x|\to\infty}\frac{|x|^2v(x)^{1-m}}{\log |x|} =\frac{2(n-1)(n-2-nm)}{β(1-m)}$ .特别地，当$m=\frac{n-2}{n+2}$，$n\ge 3$，$α=2β/(1-m)>0$时，度量$g_{ij}=v^{\frac{4}{n+2}}dx^2$是Yamabe流在$\R^n$上的定常孤子解，我们得到了$\lim_{|x|\to\infty}\frac{|x|^2v(x)^{1-m}}{\log |x|}=\frac{(n-1)(n-2)}β$ .当$0<m<(n-2)/n$，$n\ge 3$，和$2β/(1-m)>\max (α,0)$，我们证明了$\lim_{|x|\to\infty}|x|^{α/β}v(x)=A$为一些常数$A>0$。对于$β>0$或$α=0$，我们证明了上…
2011-07-14 math.AP math.DG
On a nonlinear Laplace equation related to the boundary Yamabe problem in the upper-half space
本文考虑具有Neumann边界条件的非线性椭圆型方程\begin{align*} \begin{cases} Δu=a|u|^{m-1}u\,\,\mbox{ in }\,\,\rnp\\ \dfrac{\partial u}{\partial t}=b|u|^{η-1}u+f\,\,\mbox{ on }\,\,\partial\rnp. \end{cases} \end{align*}.对于$a,b\neq 0$，$m>\frac{n+1}{n-1}$，$(n>1)$，$η=\frac{m+1}{2}$和小数据$f\in L^{\frac{nq}{n+1},\infty}(\partial\rnp)$，$q=\frac{(n+1)(m-1)}{m+1}$，我们证明了问题是可解的.更准确地说，我们建立的存在性，唯一性和连续依赖的边界数据$f$在函数空间$\X^{q}_{\infty}$，其中\[\|u\|_{\X^{q}_{\infty}}=\sup_{t>0}t^{\frac{n+1}{q}-1}\|u(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\partial\rnp)}+\|u\|_{L^{\frac{q(m+1)}{2},\infty}(\rnp)}+\|\nabla u\|_{L^{q,\infty}(\rnp)}. \]作为一个直接的后果，我们得到的局部正则性$C…
2021-07-14 math.AP
Topics in elliptic problems: from semilinear equations to shape optimization
本文综述椭圆问题中的多个主题，涵盖Lane-Emden方程及其系统的变号解、混合相互作用梯度系统的非平凡解，以及最优划分问题，并指出若干开放问题。
2024-03-11 math.AP
Bubbling and regularity issues in geometric non-linear analysis
物理学和几何学中出现的许多椭圆和抛物变分问题（金斯堡-朗道方程、调和映射、杨-米尔斯场、Ω-瞬子、Yamabe方程、一般的几何流.）拥有一个临界尺寸，其中不变组（相似，共形群）的行为。在所有这些不同的情况下，这个共同的特征产生相同的非线性效应。人们观察到一个严格的分裂空间之间的几乎线性政权和一个占主导地位的非线性政权有两个主要特点：它需要一个量化的能量和产生沿可求长物体的特殊几何利益（测地线，极小曲面，J-全纯曲线，特殊拉格朗日流形，平均曲率流.）。
2003-04-24 math.AP
Exact solutions and bifurcation curves of nonlocal elliptic equations with convolutional Kirchhoff functions
本文研究了具有卷积Kirchhoff函数的一维Kirchhoff型非局部椭圆方程，建立了其精确解 $u_λ$ 及以解的无穷范数定义的分岔曲线 $λ(α)$。
2024-03-21 math.AP
Exact Asymptotic Behavior of Singular Positive Solutions of Fractional Semi-Linear Elliptic Equations
本文证明了具有孤立奇点的分数阶半线性方程$$(-Δ)^σu = u^p~~~~~~~~in ~~ B_1\backslash \{0\}$$的奇异正解的精确渐近性态，其中$σ\in (0, 1)$和$\frac{n}{n-2σ} < p < \frac{n+2σ}{n-2σ}$。
2018-05-10 math.AP
Equivariant solutions to the optimal partition problem for the prescribed Q-curvature equation
本文研究Einstein流形上预定Q-曲率方程的最优分割问题，利用余一维群作用精确描述解域，证明对称解存在性，并给出Paneitz-Branson算子及Yamabe问题变号解的多重性结果。
2023-05-11 math.AP math.DG
Exact Jacobi elliptic solutions of the $abcd$-system
本文研究描述水面小振幅长波长重力波的abcd-系统，构造了以雅可比椭圆函数cnoidal表示的精确周期行波解，为解的稳定性研究和数值分析提供基础。
2024-02-27 math.AP
Compactness of conformal metrics with constant $Q$-curvature. I
研究了$\ge 5$维光滑紧致黎曼流形上四阶常$Q$ -曲率方程非负解的紧性.若$Q$ -曲率等于$-1$，则证明了所有解是泛有界的.若$Q$ -曲率为$1$，且Paneitz算子的核为平凡，Green函数为正，则在局部共形平坦（LCF）流形或维数为$\le 9$的流形上建立了泛能量界.此外，假设另外一个积极的质量型定理成立的Paneitz运营商，我们证明了紧性$C^4$。当Yamabe不变量为正时，最近在LCF流形或$\le 7$维流形上证明了正质量型定理。我们还证明了，为尺寸$\ge 8$，外尔张量消失在可能的爆破点的爆破解决方案的序列。这意味着当Weyl张量在任何地方都不为零时，紧性在$\ge 8$维中得到。为了克服四阶椭圆型方程的困难，我们开发了一个爆破分析程序通过积分方程。
2019-01-15 math.AP math.DG
On the exact multiplicity of stable ground states of non-Lipschitz semilinear elliptic equations for some classes of starshaped sets
本文证明了一个自治的特征值型非Lipschitz半线性椭圆型方程的平坦和紧支撑稳定解的精确多重性，根据所涉及的非线性项的维数N和两个指数$0<α<β<1$.在空间域$Ω$上进行适当的假设，在该空间域中制定问题以避免这些解的可能连续体，并且相反地，根据域$Ω$的性质来确保解的确切数目。我们的研究结果也澄清了一些以前的工作在文献中。证明的主要技术是Pohozhaev的类型身份和一些类型的变分方法参数。
2018-08-12 math.AP
Exact Jacobi elliptic solutions of some models for the interaction of long and short waves
本文研究 Nguyen 等人提出的长波与短波相互作用模型，证明其一般精确周期行波解由雅可比椭圆函数给出且唯一，从而说明此前得到的同步解也是唯一的。
2023-11-29 math.AP
Uniqueness, non-degeneracy, and exact multiplicity of positive solutions for superlinear elliptic problems
本文利用打靶法与比较定理，研究变号权超线性方程正解的非退化性与精确多重性，完善了Feltrin和Zanolin的结果，并讨论数值算例与开放问题。
2025-04-23 math.AP
Exact blow-up profiles for the parabolic-elliptic Keller-Segel system in dimensions $N\ge 3$
针对 $N\ge 3$ 维 Keller-Segel-Patlak 系统，论文借助无界系数非线性方程的零点数论证及 ODE 构造的后向自相似解，确定了解的精确爆破剖面并解决了公开问题。
2024-06-11 math.AP
Exact behavior around isolated singularity for semilinear elliptic equations with a log-type nonlinearity
研究半线性椭圆型方程\begin{equation*} -Δu=u^α|\log u|^β\quad\text{in }B_1\setminus\{0\}, \end{equation*}，其中$B_1\subset\mathbb{R}^n$与$n\geq 3$，$\frac{n}{n-2} < α< \frac{n+2}{n-2}$和$-\infty<β<\infty$ .我们的主要结果表明，上述方程的非负解$u\in C^2(B_1\setminus\{0\})$要么在原点有可去奇点，要么表现为\begin{equation*} u(x) = A(1+o(1)) |x|^{-\frac{2}{α-1}} \left(\log \frac{1}{|x|}\right)^{-\fracβ{α-1}}\quad\text{as } x\rightarrow 0, \end{equation*} with \begin{equation*} A=\left[\left(\frac{2}{α-1}\right)^{1-β}\left(n-2-\frac{2}{α-1}\right)\right]^{\frac{1}{α-1}}. \end{equation*}
2018-04-12 math.AP
Elliptic Weingarten surfaces: singularities, rotational examples and the halfspace theorem
通过相空间分析，证明了满足任意椭圆型Weingarten方程$W(κ_1,κ_2)=0$的旋转曲面在$\mathbb{R}^3$中有17种可能的定性行为，并研究了这些例子的奇异性.作为这一分类的整体应用，我们证明了一般有穷级椭圆型Weingarten方程的一个锐半空间定理，以及至多具有两个奇点的尖椭圆型Weingarten球面的一个分类.在$W$不是椭圆的情况下，我们对丘成桐关于旋转椭球唯一性的问题给出了否定的回答.
2022-03-08 math.AP math.CA math.DG
Uniqueness and nondegeneracy of sign-changing radial solutions to an almost critical elliptic problem
研究了半线性椭圆型方程\begin{align*} Δu-u+|u|^{p-1}u=0\quad{\rm{in}}\ \mathbb{R}^N,\quad u\in H^1(\mathbb{R}^N), \end{align*}的变号径向解，其中$1<p<\frac{N+2}{N-2}$，$N\geq3$ .众所周知，该方程存在唯一的正径向解和具有精确$k$节点的变号径向解。本文证明了当$p$接近于$\frac{N+2}{N-2}$时，这种变号径向解也是唯一的。此外，这些解是非退化的，即，线性化算子的核恰好是$N$维的。
2015-10-15 math.AP
On the Homotopy Classification of Elliptic Operators on Manifolds with Edges
我们得到了一类椭圆算子模稳定同伦流形的边缘（这是在某种意义上最简单的一类流形与非孤立奇点）。我们证明了算子可由流形的K-同调群分类。为此，我们构造了与K-同调正合列同构的椭圆理论正合列。证明的主要部分是使用半经典量子化的边界映射的计算。
2005-03-29 math.AP math.KT math.OA
Further study on periodic solutions of elliptic equations with a fractional Laplacian
得到了几个含分数拉普拉斯算子的线性方程周期解的存在性定理。证明了含分数阶Laplacian算子的半线性椭圆型方程的所有周期的下界不大于某个正常数。建立了Hamilton恒等式、Modica型不等式和周期解的能量估计。
2018-10-19 math.AP
Non degeneracy for solutions of singularly perturbed nonlinear elliptic problems on symmetric Riemannian manifolds
给出了对称黎曼流形（M，g）的奇摄动非线性椭圆问题的非退化变号解关于参数：正数ε和对称度量g的一般性结果.利用这些结果，我们得到了非退化解的数目的一个下界。
2011-06-02 math.AP
Exact solution to the Dirichlet problem for degenerating on the boundary elliptic equation of Tricomi-Keldysh type in the half-space
本文利用Fourier变换和相似方法，求解了半空间中Tricomi，Gellerstedt和Keldysh方程的推广的多维椭圆型方程的Dirichlet问题，在方程退化的边界超平面上的边界条件下，解以一个简单核的积分形式给出，该简单核近似于Tricomi-Keldysh型方程的恒等式和自相似解特别是，这个公式包含一个泊松公式，它给出了半空间的拉普拉斯方程的狄利克雷问题的解决方案。如果给定的边界值是一个广义的缓慢增长的函数，狄利克雷问题的解可以写成这个函数与核的卷积（如果卷积存在）。
2016-03-18 math-ph math.AP math.MP
Unique continuation property and local asymptotics of solutions to fractional elliptic equations
研究了具有Hardy型位势的分数阶椭圆型方程解的渐近性。利用Almgren型单调性公式、分离变量和blow-up参数，描述了具有与分数Hardy不等式相关的齐次奇异位势的线性和半线性分数阶椭圆型方程解在奇异点附近的精确行为.从而得到了分数阶椭圆型方程的唯一延拓性质。
2013-07-14 math.AP
On semilinear elliptic equations with borderline Hardy potentials
本文研究了一类系数与Hardy不等式最佳常数有关的椭圆型方程解在平方反比势奇点附近的渐近性态.由于存在边界Hardy势，必须引入适当的变分设置以提供方程的弱公式化。一个Almantee型单调性公式被用来确定解的精确渐近行为。
2012-09-21 math.AP
