Quadratic residues and non-residues for infinitely many Piatetski-Shapiro primes
本文证明了$\mathbb{N}^+$的每一个非空有限子集都是一个具有$1\leqslant c\leqslant243/205$的$[n^c]$形式的无穷多个素数的二次剩余集这一命题的一个定量版本。相应地，在合理的假设下，对于二次非剩余的情形，我们也可以得到类似的结果。这些结果推广了S.在某些方面，莱特。
2012-02-05 math.NT
Class Number of the Imaginary Quadratic Field and Quadratic Residues Identities
研究了模a素数$p=4n-1$的二次剩余和公式.我们将这个公式的一些条款与二次方程的根，并提供了一个详尽的分析，这些根的基础上的新概念。得到了二次剩余和的若干公式。最后，我们得到了几个涉及$h(-p)$的恒等式，$h(-p)$是虚二次域$\mathbb Q(\sqrt{-p}).$的类数
2023-01-08 math.NT
Quadratic residue patterns, algebraic curves and a K3 surface
本文扩展了二次剩余连续元组数量的研究结果，通过研究代数曲线及其雅可比簇，并证明了一个关于K3曲面点数与CM椭圆曲线点数关系的未发表定理。
2024-10-10 math.AG math.NT
Statistics of small prime quadratic non-residues
我们证明了$k$ -th最小素数二次非剩余模一个素数的平均值近似于$2k$ -th最小素数。
2022-12-30 math.NT
Quadratic residues that are not primitive roots
我们证明了任何满足$ϕ(p-1)\leq (p-1)/4$的素数$p$都包含两个连续的模$p$的二次非剩余，这两个非剩余都不是模$p$的原根.
2017-10-13 math.NT
Subset Sums of Quadratic Residues over Finite Fields
本文给出了有限域上二次剩余的$k$ -子集和个数的一个显式组合公式。
2017-02-10 math.NT
Characterizations of quadratic, cubic, and quartic residue matrices
我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，与$\mathbb{Q}$的二次扩展的复合中的素理想的分裂行为相关联，并证明了一个简单的准则表征这样的矩阵。我们还研究了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。
2015-12-21 math.NT
Sums of Quadratic residues and nonresidues
众所周知，当素数$p$全等于1模4时，二次剩余之和等于二次非剩余之和。本文对$p$全等于3模4的情形给出了类似的结果。
2015-12-02 math.NT
The largest cycles consist by the quadratic residues and Fermat primes
本文研究了由模素数的二次剩余构成的最大圈。我们给出了一些关于圈的最大长度的公式。特别地，给出了模Fermat素数的计算公式。
2016-01-27 math.NT
On the density of primes with a set of quadratic residues or non-residues in given arithmetic progression
令$\mathcal{A}$表示正整数的等差数列的有限集合，并且令$s \geq 2$是整数。如果$\mathcal{A}$的基数至少为2，并且$U$是从$\mathcal{A}$的每个元素取一定长度的等差数列$s$所形成的并集，则我们计算所有素数集合$p$的渐近密度，使得$U$是$p$的二次剩余（分别为二次非剩余）的集合。
2013-07-25 math.NT
On consecutive quadratic non-residues: a conjecture of Issai Schur
Issai Schur曾经问过是否有可能确定一个界限，最好是使用初等方法，这样对于所有素数p大于界限，模p的连续二次非剩余数的最大个数总是小于p的平方根.本文用初等方法证明了13是唯一一个连续二次非剩余数的最大个数小于p的平方根的素数.模p的余数超过p的平方根。
2003-05-21 math.NT
Products of quadratic residues and related identities
本文研究了二次剩余模奇素数的乘积，证明了涉及二次剩余的几个恒等式。例如，假设$p$是一个奇素数。证明了若$p\equiv5\pmod8$，则有$$\prod_{0<x<p/2,(\frac{x}{p})=1}x\equiv(-1)^{1+r}\pmod p,$$，其中$(\frac{\cdot}{p})$是Legendre符号，$r$是区间$(0,p/2)$中$4$模$p$的次幂剩余数.我们的工作涉及到类数公式、四次高斯和、Stickelberger同余式以及Dirichlet L-级数在负整数上的值。
2021-04-07 math.NT
Two_Generalizations_for_Quadratic_Residue_Codes_over_Finite_Fields
众所周知，有限域上的二次剩余码由于其较高的最小距离而成为一类有趣的循环码。设$g$是正整数，$p,p_{1},\ldots, p_{g}$是不同的奇素数，本文将长度为$p$的二次剩余码的构造推广为长度为$n=p_{1}\cdots p_{g}$的二次剩余码，并推广为有限域上长度为$p$的$m$次剩余码，其中$m\geq 2$是正整数.进一步得到了这类码是自正交码或互补对偶码的一个判别准则，并给出了相应的计数公式。特别地，确定了所有24个四元二次剩余码$[15,8]$的最小距离。
2020-01-07 math.NT
Quadratic Residues and Non-residues in Arithmetic Progression
设S是非负整数的有限非空子集的无限集。如果p是奇素数，令c（p）表示集合{T { \in } S：T { \subseteq } {1，.，p-1}，T是p}的一组二次剩余（分别为非剩余）。当S由所有非负整数的等差数列的集合以各种方式构造时，我们确定c（p）的尖锐渐近行为为p { \to } +{ \infty }.本文还建立了这一结果的推广和变化，并讨论了与这些结果有关的一些值得进一步研究的问题。
2012-04-17 math.NT
Quadratic Non-residues in Short Intervals
我们使用的Burgess界和组合筛获得的素数$p$在一个二元区间$[Q,2Q]$，其中一个给定的区间$[u+1,u+ψ(Q)]$不包含一个二次非剩余模$p$的数量上界。对于任何函数$ψ(Q)\to\infty$，该界都是非平凡的，如$Q\to\infty$。这是一个模拟的最小的二次非剩余模$p$上平均素数$p$，这对应于选择$u=0$的公知的估计。
2013-11-27 math.NT
Group schemes and local densities of ramified hermitian lattices in residue characteristic 2 Part I
对厄米特格（L，H）的局部-整体原理的阻碍可以通过计算（L，H）的质量来量化。质量公式将（L，H）的质量表示为局部因子的乘积，称为（L，H）的局部密度。局部密度公式是已知的，除了在一个分歧埃尔米特格的剩余特征2的情况下。设F是Q_2的有限非分歧域扩张。分支二次扩张E/F分为两种情况，我们称之为情况1和情况2。本文通过对一个合适的酉群构造一个光滑整群模型，得到了情形1中分歧厄米特格的局部密度公式。因此，本文结合W. T. GAN和J. - K. Yu，允许在情况1中计算厄米晶格（L，H）的质量公式。
2015-10-28 math.AG math.NT
Quadratic Residues and Non-Residues: Selected Topics
数论作为一门连贯的数学学科始于费马在1630年至1640年的十年中的工作，但现代数论，即从整数的基本性质出发对这门学科进行系统的和数学上严格的发展，始于1801年，当时出现了具有里程碑意义的文本高斯，算术研究。一个主要部分的研究涉及二次剩余和nonresidues。从高斯的这些基本贡献开始，对二次剩余和非剩余的研究，随后直接导致了许多关键的思想和技术，这些思想和技术在今天的数论中随处可见，这些讲座的主要目标是将这项研究作为一个窗口，通过它来观察这些思想和技术的发展。为了达到这个目标，我们将使用初等数论、解析数论和组合数论的方法，以及代数数理论的方法。
2016-10-21 math.NT
Exceptional designs in some extended quadratic residue codes
本文证明了长度为14的扩展三元二次剩余码和长度为18的扩展四元二次剩余码中存在3-设计。
2023-06-28 cs.IT math.CO math.GR
The distribution of spacings between quadratic residues, II
研究了当q的素除子个数趋于无穷大时，模q的平方间距的分布。Kurlberg和Rudnick在较早的论文中证明了无平方根q的间距分布是泊松分布，本文将这一结果推广到任意q。
1998-12-08 math.NT
Sumsets in quadratic residues
我们把表示二次剩余$R \subseteq \F_p$的所有集合$A \subseteq \F_p$描述为$R=A+A$和$R=A\hat{+} A$。此外，我们考虑的情况下，一个近似相等的$R \approx A+A$和$R \approx A\hat{+} A$，并证明了$A$有一个结构的情况下。
2013-05-17 math.CO math.NT
Conditional bounds for the least quadratic non-residue and related problems
在广义黎曼假设的条件下，研究了数论中几个有趣量的显式和理论上的界。具体地说，我们改进了现有的显式界的最小二次非剩余和最小素数的等差数列。我们还改进了经典的条件界的$L$ -功能在$s=1$的Littlewood。特别地，我们推导出了$L(1,χ)$和$ζ(1+it)$的明确的上界和下界，并推导出了虚二次域的类数的明确的界。最后，我们改进了最小二次非剩余，更一般地说，最小$k$次幂非剩余的最佳已知的理论界。
2016-12-08 math.NT
A note on Linnik's Theorem on quadratic non-residues
我们提出了一个简短的，自包含的，纯组合证明林尼克定理：对于任何$\varepsilon > 0$存在一个常数$C_\varepsilon$，使任何$N$，有最多$C_\varepsilon$素数$p \leqslant N$，使最小的正二次非剩余模$p$超过$N^\varepsilon$。
2017-12-19 math.CO math.NT
On quadratic residue codes and hyperelliptic curves
一个长期存在的问题是开发用于纠错的“好的”二进制线性码。本文详细研究了利用二次剩余码和超椭圆曲线之间的联系对这个问题的攻击。编码理论用来解决的一个问题是：是否存在c<2，使得对于所有足够大的$p$和GF（p）的所有子集S，我们有|X_S（GF（p））|< cp？
2008-02-21 cs.IT math.AG math.CO
Quadratic residues and quartic residues modulo primes
本文研究了与模素数的二次剩余和四次剩余有关的积。设$p$是一个奇素数，$A$是任意整数。我们主要完全确定乘积$$f_p(A):=\prod_{1\le i,j\le(p-1)/2\atop p\nmid i^2-Aij-j^2}(i^2-Aij-j^2)$$模$p$ ;例如，如果$p\equiv1\pmod4$，则$$f_p(A)\equiv\begin{cases}-(A^2+4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=1, \\(-A^2-4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=-1,\end{cases}$$，其中$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号。我们还确定了$$\prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2+5ij+2j^2}\left(2i^2+5ij+2j^2\right) \ \text{and}\ \prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2-5ij+2j^2}\left(2i^2-5ij+2j^2\right)$$模$p$。
2020-09-10 math.NT
Simultaneous zeros of a Cubic and Quadratic form
我们验证了Emil Artin的一个猜想，对于任何$p$ -adic域上的三次型和二次型，只要剩余域的基数超过293。也就是说，具有至少14个变量的任何三次型和二次型都具有非平凡的$p$ -adic零，在剩余域上具有上述条件。证明中的一个关键步骤，涉及推广$p$ -adic最小化过程，由于W。M.施密特持有系统的形式的任意程度。
2010-01-07 math.AG math.NT
Applications of Lerch's theorem and permutations concerning quadratic residues
设$p$为奇素数。对于每一个具有$p\nmid a$的整数$a$，著名的Zolotarev引理说Legendre符号$(\frac{a}{p})$是$\Z/p\Z$的置换的符号，该置换通过乘以$a$而导出。弗罗贝纽斯将佐洛塔列夫的结果推广到了奇数的情形。在那之后，Lerch将这些推广到所有正整数。本文探讨了Lerch结果的一些应用。例如，我们研究涉及任意$k$次幂剩余模$p$和原根的幂$p$的置换。最后讨论了二次剩余模$p$的置换问题。特别地，我们确认了Sun提出的一些假设。
2019-02-08 math.NT
Quadratic non-residues and non-primitive roots satisfying a coprimality condition
令$q\geq 1$为任意整数，令$ ε\in [\frac{1}{11}, \frac{1}{2})$为给定的实数。本文证明了对所有满足$$ p\equiv 1\pmod{q}, \quad \log\log p > \frac{\log 6.83}{\frac{1}{2}-ε} \mbox{ and } \frac{ϕ(p-1)}{p-1} \leq \frac{1}{2} - ε, $$的素数$p$，存在一个二次非剩余$g$，它不是模$p$的原根，使得$gcd\left(g, \frac{p-1}{q}\right) = 1$ .
2018-09-13 math.NT
Quadratic residues and difference sets
Sarkozy推测，除了有限多个例外，模素数$p$的二次剩余集不能表示为具有非单例集$A,B\subset F_p$的和集$\{a+b\colon a\in A, b\in B\}$。这个猜想的$A=B$案例最近由Shkredov建立。类似的差异问题仍然是开放的：它是真的，对所有足够大的素数$p$，二次剩余集模$p$是不是形式$\{a'-a"\colon a',a"\in A,\,a'\ne a"\}$与$A\subset F_p$？我们在这里攻击这个问题的一个可能更容易处理的变体，这是为了证明不存在$A\subset F_p$使得每个二次剩余都有一个\emph{unique}表示为具有$a',a"\in A$的$a'-a"$，并且没有非剩余以这种形式表示。我们给出了一些必要的条件，这样的$A$的存在，涉及的大部分素数的行为划分$p-1$。这些条件使我们能够排除范围$13<p<10^{18}$中的所有素数$p$（素数$p=5$和$p=13$是唯一的例外）。
2015-02-24 math.NT
Residues of quadratic Weyl group multiple Dirichlet series
本文研究有限不可约根系的 Chinta-Gunnells 平均在单短根极除子处的留数，给出由正交根子系平均表示的显式公式，并推广到有理函数域与 Gauss 域上的二次 Weyl 群多重 Dirichlet 级数。
2023-07-12 math.NT
Characterizations of the $d$th-power residue matrices over finite fields
在作者与D. Dummit和H. Kisilevsky的方法，我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，它与$\mathbb{Q}$的二次扩张的复合中素理想的分裂行为有关，并证明了一个刻画这类矩阵的简单准则.然后，我们分析了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。本文利用有限域上的一般$d$次幂剩余符号，构造并研究了这些剩余矩阵的有限域模拟，即“$d$次幂剩余矩阵”.
2018-09-26 math.NT
Counting Additive Decompositions of Quadratic Residues in Finite Fields
如果$S = \{a+b : a\in A, \ b \in B\}$，我们说一个集合$S$被相加地分解为两个集合$A$和$B$。A. Sárközy最近澄清说，一套$Q$的二次剩余模一个总理$p$没有非平凡的分解。虽然对这个猜想已经得到了各种各样的部分结果，但它仍然是开放的。在这里，我们得到了一个非平凡的上界的数量这样的分解。
2014-03-11 math.CO math.NT
The least quadratic residue and integers represented by quadratic forms
Stanford University（斯坦福大学）；University of Toronto（多伦多大学）
该研究针对模n的最小非平凡既约二次剩余ℓ(n)，从n的大小与素因子数维度建立近乎最优界，构造出ℓ(n)异常大的模，并将结果应用于推导有界判别式二元二次型表示不超过N的正整数的速率界。
2026-08-03 math.NT
Fekete polynomials, quadratic residues, and arithmetic
Fekete多项式将每个素数$p$与具有系数$-1$或$1$的多项式相关联，除了为0的常数项。这些系数反映了二次剩余模$p$的分布。这些多项式首先被认为是在19世纪的研究狄利克雷$L$ -功能。在本文中，我们引入了两个密切相关的多项式。然后，我们表示他们的特殊值在几个整数的某些类数和广义伯努利数。此外，我们还研究了这些多项式的分裂域和伽罗瓦群。特别地，我们提出了一个关于这些伽罗瓦群的结构的猜想。
2022-06-16 math.NT
$(1-2u^3)$-constacyclic codes and quadratic residue codes over $\mathbb{F}_{p}[u]/\langle u^4-u\rangle$
设有$u^4=u$的$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}+u^2\mathbb{F}_{p}+u^3\mathbb{F}_{p}$是有限非链环，其中$p$是$1$模$3$的素同余.本文研究了环$\mathcal{R}$上的$(1-2u^3)$ -常循环码，它们与循环码的等价性，并找到了它们的Gray象.为了说明这一点，给出了长度为$p=7$的$2^m$和长度为$p=19$的$3^m$的$(1-2u^3)$ -常循环码的例子。我们还讨论了环$\mathcal{R}$上的二次剩余码及其推广.定义了一个从$\mathcal{R}$到$\mathbb{F}_{p}^4$的Gray映射，该映射保持了自对偶性，并由扩展的二次剩余码给出了$\mathbb{F}_{p}$上的自对偶和形式自对偶码.
2016-03-10 math.NT
Number of Non-negative Integer Solutions of the Equation ax+by+cz=n and its Relation with Quadratic Residues
2000年，A. Tripathi使用母函数获得了方程ax + by = n的非负解（x，y）的数量公式，其中a、b和n均为正整数。我们把这个过程推广到方程ax + by + cz = n的解的个数。这个公式使我们在方程ax + by + cz = n的解的个数和二次剩余之间找到了令人惊讶的联系。作为我们工作的结果，我们能够证明高斯和西尔维斯特在十九世纪的两个基本结果之间的等价性，这两个结果通常被认为是独立的。
2019-09-23 math.NT
Fourier optimization, the least quadratic non-residue, and the least prime in an arithmetic progression
本文提出一种Fourier优化框架，在GRH假设下改进了估计模素数的最小二次非剩余和算术级数中最小素数这两个数论经典问题的渐近界。
2025-08-12 math.CA math.NT
Arithmetic Dijkgraaf-Witten invariants for real quadratic fields, quadratic residue graphs, and density formulas
本文针对实二次域整数环，利用素数间的二次剩余图简化了 Hirano 的模 2 算术 Dijkgraaf-Witten 不变量公式，回答了 Ken Ono 的问题，并进一步给出了相应不变量的密度公式。
2023-08-10 math.NT
Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues
本文研究了乘法定义的集合，如无平方整数，二次非剩余或原根，在加法描述的集合，如和集或希尔伯特立方体中的等分布.特别是，我们表明，如果一个固定的任何比例小于$40\%$的所有数字的一个给定的二进制位长度的数字，那么剩余的一组仍然具有渐近预期的squarefree整数的数量。其次，我们研究了模大素数$p$的原根的分布，建立了Hilbert立方体在原根集中的最大维数的一个新的上界，改进了作者以前的一个结果.最后，我们研究了有限域上的和集，并在基数足够大的情况下，渐近地找到了这种和集中的二次剩余和非剩余的期望个数。这大大改进了Dartyge，Mauduit和Sárközy最近的结果。我们的方法引入了一些新的思想，结合了各种方法，如指数和特征和的界，数的几何和加法组合。
2016-01-18 math.NT
Quadratic residues and a new infinity of orders for which a conjecture of Ryser about Circulant Hadamard matrices holds
对任何正整数$k$，使得$k>1,$存在无穷多个奇整数$h$，它们具有$ω(h) =k$不同的素除子因子，使得不存在$n=4h^2.$阶的循环Hadamard矩阵$H$。此外，我们的主要结果意味着，对所有奇数$h$，对于$1< h < 10^{13}$，不存在$n=4h^2.$阶的循环Hadamard矩阵
2014-11-09 math.NT
Power residues, digit expansions and relative class numbers
本文综述了模素数幂剩余分布与相对类数的联系，重点在二次和六次幂剩余，狄利克雷类数公式及几何在推广中起关键作用。
2025-09-25 math.NT
A new theorem on quadratic residues modulo primes
令$p>3$为素数，令$(\frac{\cdot}p)$为勒让德符号。设$b\in\mathbb Z$和$\varepsilon\in\{\pm 1\}$。本文主要证明了$$\left|\left\{N_p(a,b):\ 1<a<p\ \text{and}\ \left(\frac ap\right)=\varepsilon\right\}\right|=\frac{3-(\frac{-1}p)}2,$$，其中$N_p(a,b)$是正整数$x<p/2$与$\{x^2+b\}_p>\{ax^2+b\}_p$的个数，而$\{m\}_p$与$m\in\mathbb{Z}$是$m$模$p$的最小非负剩余.
2022-10-06 math.NT
On the distribution of quadratic residues
该研究运用加性组合方法探究素数域平方数集合的分布，得出当前该集合间隔数的最佳上界，且将结果拓展至小倍增集合，推进了二次剩余分布相关研究。
2023-08-27 math.CO math.NT
Quadratic residues and domino tilings
该研究发现多米诺骨牌平铺数公式与Legendre符号公式的相似性，探究二者关联并证明了用多米诺骨牌平铺表示Jacobi符号的公式，搭建起数论与组合数学间的新联系。
2024-02-01 math.CO math.NT
Upperbound for Dimension of Hilbert Cubes contained in the Quadratic Residues of $\mathbb{F_p}$
本文考虑不含任何原根的有限域$\mathbb{F_p}$中Hilbert立方体维数的界问题。我们表明，这样的希尔伯特立方体的尺寸是$O_ε(p^{1/8+ε})$的任何$ε> 0$，匹配什么可以推导出从经典的伯吉斯估计的特殊情况下，希尔伯特立方体是一个等差数列。我们还考虑了避免区间的乘法希尔伯特立方体的维数的双重问题。
2021-08-06 math.NT
Infinite series of $3$-designs in the extended quadratic residue code
本文证明素数$r$下$\mathbb{F}_{r^2}$上扩展二次剩余码中存在$3$-设计的无穷级数。
2024-06-05 cs.IT math.CO math.GR
When the number of divisors is a quadratic residue
设$q > 2$为素数，定义$λ_q := \left( \fracτ{q} \right)$，其中$τ(n)$为$n$的约数，$\left( \frac{\cdot}{q} \right)$为Legendre符号。当$τ(n)$是模$q$的二次剩余时，则$\left( λ_q \star \mathbf{1} \right) (n)$可以接近于$n$的约数。这是这项工作的目的是比较平均值的功能$λ_q \star \mathbf{1}$的$τ$众所周知的平均顺序。证明表明，结果严重依赖于$\left( \frac{2}{q} \right)$的值。本文还利用某些光滑曲线附近的整数点理论的深刻结果，给出了$q=5$情形下短和的一个界。
2017-01-09 math.NT
Distribution of residues modulo $p$ using the Dirichlet's class number formula
设$p$为奇素数。本文利用虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$的Dirichlet类数公式，研究了$2$或$3$或$4$的倍数为模$p$的二次剩余数和非剩余数，它们都位于区间$[1, p-1]$内.
2019-01-29 math.NT
Biases Towards the Zero Residue Class for Quadratic Forms in Arithmetic Progressions
本文研究了二元二次型表示整数向零剩余类的偏向，证明该偏向多源于渐近展开的次级项，对未证情形提出猜想，并给出相关分布结果与数值数据。
2023-11-20 math.NT
Beyond the Riemann Hypothesis bounds: A pair-correlation approach to the least prime in arithmetic progression and the smallest quadratic non-residue
Università di Padova（帕多瓦大学）；Max-Planck-Institut für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）
研究算术级数中最小素数与最小二次非剩余问题，结合广义黎曼假设中零点水平位置与对关联视角，在相关假设下建立更精确估计，为狄利克雷L函数对关联现象与经典问题提供新联系。
2026-07-17 math.NT
Quadratic Residue Codes over $\mathbb{Z}_{121}$
Indian Institute of Technology Ropar（印度技术学院罗帕尔分校）
本文研究了特定长度的循环码，探讨了二次剩余码的性质及其扩展码的Gray映射，并展示了其大置换自同构群，为置换解码提供了可能。
2026-03-25 cs.IT math.IT math.NT
A computable formula for the class number of the imaginary quadratic field $Q(\sqrt{-p}), \ p=4n-1$
通过对$p=4n-1.$形式的素数的二次剩余的特殊计数，得到了虚二次域$Q(\sqrt{-p}$的类数$h$的计算公式，并给出了二次剩余和的计算公式.
2021-03-27 math.NT
A conjecture of Sárközy on quadratic residues, II
用$\mathcal{R}_p$表示每个素数$p$的$\mathbf{F}_p$中所有二次剩余的集合。A. Sárközy断言，对于所有足够大的$p$，没有子集$\mathcal{A},\mathcal{B}\subseteq\mathbf{F}_p$与$|\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|\geqslant2$满足$\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathcal{R}_p$。在本文中，我们表明，如果这样的子集$\mathcal{A},\mathcal{B}$确实存在，那么至少有$(\log 2)^{-1}\sqrt p-1.6$元素在$\mathcal{A}+\mathcal{B}$有唯一的表示，应该有\begin{align*} \frac{1}{4}\sqrt{p}< |\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|< 2\sqrt{p}-1. \end{align*}这细化了以前的界限得到的I.E. Shparlinski，I.D. Shkredov和Y.- G. Chen和X.- H.燕.此外，如果$\mathcal{A}+\mathcal{B}$中的元素很少有唯一表示，我们还建立了$|\mathcal{A}|,|\mathcal{B}|$和附加能量$E(\mathcal{A},\mathcal{B})$的界限。
2022-02-06 math.NT
Quadratic residues and related permutations and identities
设$p$是一个奇素数。本文研究了模$p$的二次剩余及其相关的置换、同余和恒等式。如果$a_1<\ldots<a_{(p-1)/2}$是$1,\ldots,p-1$中所有模$p$的二次剩余，则列表$\{1^2\}_p,\ldots,\{((p-1)/2)^2\}_p$（$\{k\}_p$是$k$模$p$的最小非负剩余）是$a_1,\ldots,a_{(p-1)/2}$的置换，并且我们证明了这个置换的符号是$1$或$(-1)^{(h(-p)+1)/2}$，根据$p\equiv3\pmod 8$或$p\equiv7\pmod 8$，其中$h(-p)$是虚二次域$\mathbb Q(\sqrt{-p})$的类数.为了实现这一点，我们评估产品$\prod_{1\le j<k\le(p-1)/2}(\cotπj^2/p-\cotπk^2/p)$通过狄利克雷的类数公式和伽罗瓦理论。我们还获得了一些新的身份的正弦和余弦函数，例如，我们确定的确切值$$\prod_{1\le j<k\le p-1}\cosπ\frac{aj^2+bjk+ck^2}p$$的任何$a,b,c\in\mathbb Z$与$ac(a+b+c)\not\equiv0\pmod p$。
2019-07-09 math.CO math.NT
The distribution of spacings between quadratic residues
我们研究了模q的平方之间的间距的分布，其中q是平方自由的和高度复合的，在极限的素数因子的数量q趋于无穷大。我们发现，所有的相关函数是泊松分布，这意味着最近的邻居之间的间距，归一化为具有单位平均值，有一个指数分布。
1999-01-07 math-ph math.MP math.NT
