Polyhedral Finsler spaces with locally unique geodesics
本文研究Finsler PL空间，即从赋范空间中切出的单形所粘成的单纯复形。我们感兴趣的是Finsler PL空间类的局部唯一测地线（对于由欧氏单形构成的复形，这个性质等价于局部CAT（0））。虽然非欧几里德赋范空间永远不满足CAT（0），但它们有许多共同的特征。特别地，一个整体化定理成立：在单连通Finsler PL空间中，测地线的局部唯一性蕴涵着整体唯一性。然而，这里的情况更加微妙：一些基本的凸性性质并不延伸到PL Finsler的情况。
2013-08-26 math.MG
Fast convergence of empirical barycenters in Alexandrov spaces and the Wasserstein space
这项工作建立了快速收敛速度的经验重心在一个大类的测地空间的曲率界的意义上的亚历山德罗夫。更具体地说，我们表明，参数的收敛速度是可以实现的自然条件下，其特征在于从一个重心的测地线的双向扩展。这些结果在很大程度上推进了国家的最先进的关于这个问题的收敛速度和各种空间覆盖。特别是，我们的结果适用于无限维空间，如2-Wasserstein空间，其中的测地线的双可拓性转化为康托洛维奇潜力的规律性。
2021-07-12 math.MG math.ST stat.TH
Comparison and Rigidity Theorems for geodesic curvatures in two dimensional Alexandrov spaces
本文研究了二维Alexandrov空间边界的测地曲率，证明了比较和刚性定理，扩展了已知的曲率上界和下界结果。
2026-01-07 math.DG math.MG
Absolutely continuous curves in extended Wasserstein-Orlicz spaces
本文将作者[Lis 07]关于Wasserstein空间中绝对连续曲线的特征的一个结果推广到更一般的一类空间：在扩展的Polish空间（一般不可分）上构造的具有Wasserstein-Orlicz距离的概率测度的空间，最近在[AGS 14]中讨论过.最后给出了Wasserstein-Orlicz空间在测地线上的一个应用。
2014-02-28 math.MG
On the Differential-Geometric Equivalence of Hellinger-Kantorovich and Cone-Wasserstein Spaces
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Emory University（埃默里大学）
本文通过构造从 HK 测地线到锥上 Wasserstein 测地线的显式等距映射，建立了 HK 空间与锥 Wasserstein 空间的局部黎曼几何等价性，并利用该等价性近似计算 HK 空间上的平行传输，同时推导了欧几里得度量锥上的协变导数和平行传输的闭式表达式。
2026-05-23 math.MG math.PR
Sharp Poincaré interpolation along Wasserstein geodesics
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
研究沿二次瓦瑟斯坦测地线的庞加莱常数的尖锐插值不等式，设\(\mu_i\)为\(\kappa_i\)-强对数凹概率测度及最优位移插值\((\mu_t)\)，给出不等式估计并刻画等式情况，用两端点博赫纳方法证明，解决了相关奇函数问题。
2026-09-02 math.FA math.MG math.PR
Characterization of Gromov-type geodesics
已知紧致度量空间的所有等距类的集合$\mathcal{M}$是一个测地空间，该集合具有Gromov-Hausdorff距离$d_\mathcal{GH}$。然而，在$\mathcal{M}$中没有已知的测地线结构表征。在本文中，我们提供了两个这样的特征。我们首先证明了每个Gromov-Hausdorff测地线实际上是某个紧度量空间的Hausdorff超空间中的测地线，我们称之为Hausdorff测地线。受此特征的启发，我们进一步阐明了Hausdorff测地线和Wasserstein测地线之间的结构连接：每个Hausdorff测地线都等价于所谓的Hausdorff位移插值。这种等价性使我们能够建立每一个Gromov-Hausdorff测地线是动态的，这是我们在最优输运理论中与动态最优耦合类比发展的一个概念。除了$\mathcal{M}$中的测地线外，我们还研究了紧度量测度空间的同构类的集合$\mathcal{M}^w$上的测地线。Sturm在$\mathcal{M}^w$上构造了一族Gromov型距离，记作$d_{\mathcal{GW},{p}}^\mathrm{S}$（对于$p\in[1,\infty)$），并证明了$(\mathcal{M}^w,d_{\mathcal{GW},{p}}^\mathrm{S})$也是一个测地空间.我们感兴趣的是$d_{\mathcal{GW},{…
2021-05-17 math.MG
Optimal transport in competition with reaction: the Hellinger-Kantorovich distance and geodesic curves
我们讨论了有限非负测度空间上的距离的一个新概念，它可以看作是著名的Kantorovich-Wasserstein距离的推广。新的距离是基于由Onsager算子给出的动力学公式，该算子是描述质量的产生和吸收的Wasserstein扩散部分和附加反应部分的总和。我们提出了一个完整的表征的距离和它的性质。事实上，这个距离可以等价地用一个在锥空间上的最优输运问题来描述，这个锥空间是在基础度量空间上的。给出了测地曲线的一种构造方法，并讨论了它们的性质。
2015-10-02 math.AP math.MG
On the reach of isometric embeddings into Wasserstein type spaces
本文研究了测地度量空间X到p-Wasserstein空间及Orlicz-Wasserstein空间的等距嵌入的可达性，证明了多测地线导致局部可达性为零，而CAT(0)空间可达性无穷，并扩展至持续同调图空间。
2023-07-03 math.MG
Busemann Functions in the Wasserstein Space: Existence, Closed-Forms, and Applications to Slicing
本文研究了Wasserstein空间中Busemann函数的存在性与计算，推导了一维分布和高斯测度的闭式表达式，并应用这些结果定义了新的切片Wasserstein距离。
2026-03-11 cs.LG math.MG stat.ML
Duality and quotient spaces of generalized Wasserstein spaces
本文利用Liero，Mielke和Savaré在[21]中的思想，建立了由Picolli和Rossi引入的广义波兰度量空间上的广义Wasserstein距离$W_1^{a,b}$的Kantorovich对偶.作为结果，我们给出了$W_1^{a,b}$与平坦度量一致的另一个证明，这是[25]的一个主要结果，因此我们得到了一个独立有趣的结果：对于每个波兰度量空间$X$，$\left(\mathcal{M}(X), W^{a,b}_1\right)$是测地空间.证明了紧群$G$在波兰度量空间$X$上的等距作用下，$(\mathcal{M}^G(X),W_p^{a,b})$与$(\mathcal{M}(X/G),W_p^{a,b})$等距同构，以及广义Wasserstein空间的Gromov-Hausdorff收敛和等变格罗莫夫-豪斯多夫收敛的几个结果.后一个结果分别在[22]，[14]和[8]中对标准Wasserstein空间得到了证明.
2019-06-09 math.DS math.FA math.MG
Improved geodesics for the reduced curvature-dimension condition in branching metric spaces
本文证明了在满足约化曲率维数条件CD*（K，N）的度量测度空间中，对于中间时刻，在满足CD*（K，N）的临界凸性不等式的概率测度的Wasserstein空间中总是存在测地线，并且沿着这些测地线的测度的密度有一个上界.这个上界依赖于端点测度的密度的界、Ricci曲率的下界K、维数的上界N以及端点测度的支集的并集的直径。
2012-02-29 math.AP math.DG math.FA
Gradient flow formulation of diffusion equations in the Wasserstein space over a metric graph
本文对度量图上的最优输运的研究有两个贡献。首先，我们证明了一个Benamou-Brenier公式的Wasserstein距离，建立了静态和动态最优输运的等价性。其次，在Jordan-Kinderlehrer-Otto的精神下，我们证明了McKean-Vlasov方程可以表示为概率测度的Wasserstein空间中自由能的梯度流。这些结果的证明是基于仔细的正则化参数，以规避度量图中出现的一些困难，即分支的测地线和失败的半凸熵泛函在Wasserstein空间。
2022-04-29 math.AP math.MG math.PR
Sliced optimal transport: is it a suitable replacement?
本文引入切片Monge--Kantorovich度量族，证明其完备性、对偶性及非测地线性质，并指出在多数情况下与经典度量非双Lipschitz等价，故不适合直接替代经典度量。
2024-05-28 math.MG math.OC math.PR
Locality of centred tangent cones in the Wasserstein space
Università di Pisa（比萨大学）
本文研究了Wasserstein空间中中心切锥的局部性质，通过移除重心后，揭示了中心测度场与向量子空间的关系。
2026-02-28 math.MG
Self-Intersection of Optimal geodesics
设$(X,d,m)$是测地度量测度空间.考虑$L^{2}$ -Wasserstein空间中的测地线$μ_{t}$。然后，当$s$变为$t$时，$μ_{s}$的支撑和$μ_{t}$的支撑必须重叠，只要密度上的上界保持不变。我们给出了一个更精确的制定这个自相交属性。我们认为每个$t$的一组时间的测地线属于支持的$μ_{t}$，我们证明了$t$是一个点的勒贝格密度为1，在积分意义上。我们的结果适用于满足$\mathsf{CD}(K,\infty)$的空间。不需要非支化性质。
2013-06-12 math.AP math.MG
Markov Type constants, flat tori and Wasserstein spaces
令$M_p(X,T)$表示度量空间$X$的时间$T$处的马尔可夫型$p$常数，其中$p \ge 1$。我们证明了$M_p(Y,T) \le M_p(X,T)$在以下每一种情况下：（a）$X$和$Y$是测地空间，$Y$通过有限片局部等距覆盖被$X$覆盖，（b）$Y$是$X$通过有限等距群的商，（c）$Y$是$X$上的$L^p$ -Wasserstein空间。作为（a）的一个应用，我们证明了所有紧致平坦流形都有马尔可夫型$2$，且$1$为常数.特别地，具有其内在度量的圆具有马尔可夫类型$2$，其中$1$恒定。这就回答了S. I. Ohta和M.皮乔特部分（b）和（c）暗示了$\mathbb R^d$上$L^p$-Wasserstein空间的Markov型常数的新上界。这些界限由A. Andoni，A. Naor和O.内曼它们意味着一定的限制双Lipschitz嵌入雪花到这样的Wasserstein空间。
2017-01-20 math.MG
Absolutely continuous and BV-curves in 1-Wasserstein spaces
本研究将p-Wasserstein空间绝对连续曲线的叠加原理推广到p=1情形，引入BV曲线放宽提升概念并证明其可由对应概率测度表示，还将结果应用于离散场景的测地线与连续性方程研究。
2023-12-16 math.AP math.FA math.MG
Interpolated measures with bounded density in metric spaces satisfying the curvature-dimension conditions of Sturm
我们在概率测度的Wasserstein空间中构造测地线，沿着该测地线，所有测度的密度都有一个由测地线端点的密度决定的上界。使用这些测地线，我们表明，一个局部Poincaré不等式和措施的收缩性质遵循的里奇曲率界定义的Sturm。我们还证明了一个大类的凸泛函，一个局部Poincaré不等式隐含的功能的弱位移凸性。
2011-11-23 math.AP math.DG math.FA
Non-branching geodesics and optimal maps in strong CD(K,{\infty})-spaces
我们证明了在度量测度空间中，熵泛函是K-凸沿每个Wasserstein测地线之间的任何最优输运两个绝对连续的措施，有限的二阶矩生活在一个非分支的测地线集。作为推论，我们得到在这些空间中，任何两个具有有限二阶矩的绝对连续测度之间只存在一个最优输运计划，并且该计划由一个映射给出。这些结果适用于Ricci曲率下有界的度量测度空间，特别是Ricci曲率下有界的黎曼流形的Gromov-Hausdorff极限.
2013-07-15 math.DG math.MG
Disintegrated optimal transport for metric fiber bundles
Michigan State University（密歇根州立大学）；The University of Tokyo（东京大学）；RIKEN Center for Advanced Intelligence Project (AIP)（理化学研究院先进智能项目中心）
本文提出了一种新的双参数度量族，用于度量纤维束上的概率测度，证明其完备性、分离性和测地性，并展示了其在最优运输中的新贡献。
2026-02-14 math.MG math.OC
Sectional Curvature for Kantorovich-Wasserstein and Hellinger-Kantorovich Geometries
University of Bonn（波恩大学）；Institute for Applied Mathematics（应用数学研究所）
推导了黎曼流形上有限测度空间在Hellinger-Kantorovich度量下的截面曲率显式公式，揭示了负的“提升部分”和正的“扭曲部分”，并应用于多维环面。
2026-07-17 math.DG math.FA math.MG
Isometric rigidity of the Wasserstein space over the plane with the maximum metric
本文研究了配备最大范数度量的分支空间上的 $p$-Wasserstein 空间，证明了对所有 $p\geq1$ 这些空间均具有等距刚性，并揭示了其与欧氏度量及一维情况在刚性上的显著差异。
2025-05-21 math-ph math.FA math.MG
Convergence rates for empirical barycenters in metric spaces: curvature, convexity and extendible geodesics
本文利用经验过程技术给出了一般条件下紧致测地度量空间上经验（广义）重心的收敛速度。我们的主要假设被称为方差不等式，并提供了一个强有力的连接在该领域的经验过程和度量几何的中心概念通常的假设。研究了非正和非负Aleksandrov曲率空间中方差不等式的有效性。在这最后一种情况下，我们表明，方差不等式举行提供测地线，从一个重心，可以扩展一个常数因子。我们还将方差不等式与强测地凸性联系起来。虽然不限于这种设置，我们的结果主要是在$2$ -Wasserstein空间的背景下进行讨论。
2019-05-31 math.MG math.PR math.ST
On Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations in the Wasserstein space and the Vanishing Viscosity Limit
Università di Padova（帕多瓦大学）
本文研究了Wasserstein空间中Hamilton-Jacobi方程的粘性解及其粘性消失极限，提出了统一框架并证明了最优收敛速率。
2026-01-21 math.AP math.MG math.OC
A geometric study of Wasserstein spaces: Hadamard spaces
最优输运使人们能够在任何（不太疯狂的）度量空间X上的（在无穷远处足够小的）概率测度的集合上构造一个度量，称为其Wasserstein空间W（X）。本文研究了当X是Hadamard空间时W（X）的几何，即当X是Hadamard空间时，$X$具有整体非正截面曲率且局部紧.虽然我们知道--除了直线的情况-- W（X）不是非正弯曲的，但我们的结果表明W（X）具有类似于X的大尺度性质。特别地，我们定义了W（X）的测地线边界，这使我们能够证明一个不可嵌入性结果：如果X具有可见性，则欧氏平面不允许在W（X）中进行等距嵌入。
2013-02-06 math.DG math.MG
Isometric Rigidity of Metric Constructions with respect to Wasserstein Spaces
本文研究度量空间关于p-Wasserstein空间的等距刚性，证明可分裂Hilbert空间的空间非刚性，并证明无限射线、紧致非分支测地空间上的无限半柱面及小直径紧致空间的球面纬悬在相应条件下具有等距刚性。
2024-10-18 math.DG math.MG
Isometries and isometric embeddings of Wasserstein spaces over the Heisenberg group
该研究建立欧氏空间与海森堡群最优输运映射的关联，刻画海森堡群上p-Wasserstein空间的测地线结构与度量秩，证明其等距刚性，完善了该类空间的几何性质研究。
2025-07-15 math-ph math.FA math.MG
Isometric rigidity of Wasserstein spaces over Euclidean spheres
本文研究欧氏范数距离下球面上 Wasserstein 空间的等距群，借助均方误差函数模拟位移插值，证明二次情形及 $\mathbb{S}^1$ 上 $1\leq p<2$ 情形的等距刚性。
2024-09-09 math-ph math.FA math.MG
Optimal Transport and Ricci Curvature: Wasserstein Space Over the Interval
本文讨论了测地测度空间上的最优输运的概念和相应的（2-）Wasserstein距离。然后，我们研究位移凸性的熵泛函的空间上的概率测度。特别地，我们给出了广义Ricci界的Lott-Villani-Sturm概念与光滑流形的经典概念一致的详细证明.证明了广义Ricci界在格罗莫夫-豪斯多夫收敛下是保持的。特别是，我们详细研究了空间的概率测度的间隔，$P(X)$配备Wasserstein度量$d^W$。我们表明，这个度量空间是等距的希尔伯特空间，$L^2[0,1]$，这使得具体的计算，相反的通常状态的最优输运理论的事务的一个完全凸的子集。我们明确地证明了$(P(X),d^W)$有消失的Alexandrov曲率，并给出了一个易于工作的表达式，在这个空间上的熵泛函。此外，我们研究有限维Gromov-Hausdorff近似这个空间，并使用这些来构建一个措施的极限空间，熵措施首先考虑冯Renesse和Sturm。我们研究的措施，特别是解释为什么人们会期望它有广义里奇下界的性质。然后，我们表明，这实际上是不正确的。我们还讨论了找到一个不同的措施，承认广义里奇下界的可能性和后果。
2012-04-15 math.DG math.MG math.PR
Ricci curvature of finite Markov chains via convexity of the entropy
研究了离散空间上马尔可夫链的里奇曲率的一个新概念。这个概念依赖于熵的测地凸性，类似于洛特、斯特姆和维拉尼为测地测度空间引入的概念。为了适用于离散设置，沃瑟斯坦度量的作用由不同的度量接管，具有连续时间马尔可夫链是熵的梯度流的性质。利用这个概念的里奇曲率，我们证明离散类似物的基本结果由巴克里-埃默里和奥托-维拉尼。此外，我们证明了张量化下的里奇曲率的界限。作为特例，我们得到了离散超立方体的锐里奇曲率的下界.
2012-06-22 math.DG math.FA math.MG
Statistical Mechanics of Learning on Product Wasserstein Manifolds
Curlvee Technolabs（库尔维科技公司）；C-DAC（印度高级计算发展中心）；Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）
该研究将结构约束重定义为几何先验，提出在乘积Wasserstein流形上开展学习，开发相关算法，实验表明其可提升学习系统的泛化能力、稳定性并缓解贫瘠高原问题。
2026-08-06 cs.AI cs.LG math.MG
The Z-Gromov-Wasserstein Distance
本文提出Z-格罗莫夫-沃瑟斯坦距离，作为度量测度空间的广义概念，统一了多种现有距离方法并保留了其关键性质。
2025-12-31 cs.LG math.MG
HV Geometry for Signal Comparison
本文在信号空间上构建同时度量水平与垂直形变的 Riemannian 几何，支持不连续和带符号信号，证明测地线性质并给出数值计算方法。
2023-04-23 math.DG math.MG math.OC
Sharp measure contraction property for generalized H-type Carnot groups
证明了秩为$k$，维数为$n$的H型卡诺群满足$\mathrm{MCP}(K,N)$当且仅当$K\leq 0$和$N \geq k+3(n-k)$ .后一个整数与卡诺群的测地线维数一致。同样的结果也适用于本文中介绍的广义H型卡诺群的较大类，并明确计算最优综合。这构成了最大的一类卡诺群，其曲率指数与测地维数一致。我们强调广义H-型卡诺群有步骤2，包括所有的corank 1群，并在一般情况下，承认异常极小化曲线。作为推论，我们证明了广义H型卡诺群上二次代价的Wasserstein测地线的绝对连续性。
2017-11-06 math.AP math.DG math.MG
