The Super Catalan Numbers $S(m, m + s)$ for $s \leq 4$
Xin Chen, Jane Wang
我们给出了一个组合的解释，使用格路径的超级Catalan数$S(m, m+s)$为$s \leq 3$和一个单独的解释为$s = 4$。
We give a combinatorial interpretation using lattice paths for the super Catalan number $S(m, m+s)$ for $s \leq 3$ and a separate interpretation for $s = 4$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hankel determinants for convolution powers of Catalan numbers
Catalan数的卷积幂的Hankel行列式$\left(\frac{r}{2(i+j)+r}\binom{2(i+j)+r}{i+j}\right)_{0\leq i,j \leq n-1}$被Rehler和Rehler与Krattenthaler考虑过。我们通过寻找移位的周期连分数来计算$r\le 31$的这些行列式，这些移位的周期连分数是在Sulanke和Xin的连分数方法的应用中产生的。其中包括一些特殊情况下的Escherichler的插图。我们还给出了这些行列式的多项式特征。同样的技术用于评估汉克尔行列式$\left(\binom{2(i+j)+r}{i+j}\right)_{0\leq i,j \leq n-1} $。得到类似的结果。
Black Cell Capacity in Catalan polyominoes
本文研究了加泰兰多边形中黑色单元格容量的分布，并推导了相关生成函数。
Free self-decomposability and unimodality of the Fuss-Catalan distributions
研究了Fuss-Catalan分布$μ(p,r)$，$p\geq1$，$0<r\leq p$的自由无限可除性，自由自分解性，自由正则性和单峰性.证明了Fuss-Catalan分布$μ(p,r)$是自由自分解的当且仅当$1 \leq p=r \leq 2$ .
Combinatorics of certain higher $q,t$-Catalan polynomials: chains, joint symmetry, and the Garsia-Haiman formula
高阶$q,t$ -加泰罗尼亚多项式$C^{(m)}_n(q,t)$可以组合地定义为包含在某些三角形中的格路径的加权和，或者代数地定义为由$n$的分区索引的有理函数的复杂和。本文证明了这两个定义对所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的等价性。我们还给出了所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的联合对称性$C^{(m)}_n(q,t)=C^{(m)}_n(t,q)$的双射证明。证明是基于一个通用的方法来证明联合对称性，解剖的对象的集合成链，然后从一个联合的初始点和终点的对称性的联合对称性的完整的对象集。进一步的结果包括所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的单峰结果和$C^{(m)}_n(q,t)$中系数的具体公式。对于某些有理斜率$q,t$ -Catalan多项式，我们给出了类似的结果.
Generalized Path Pairs and Fuss-Catalan Triangles
路对是对卡塔兰数的一种修改，它提供了卡塔兰数的另一种组合解释。更一般地，长度$n$和距离$δ$的路径对的数量对应于夏皮罗所谓的加泰罗尼亚三角形的$(n-1,δ-1)$条目。本文将路径对$(γ_1,γ_2)$的概念扩展到$γ_1$和$γ_2$可能具有不同长度的情形，并对$γ_2$中的垂直步串施加整除条件.这创建了一个两参数的整数三角形族，它推广了加泰罗尼亚三角形，并有资格作为许多参数选择的正确Riordan数组。特别是，我们使用广义路径对提供一个新的组合解释的形式$d(t) = C_k(t)^i$，$h(t) = t \kern+1pt C_k(t)^k$，其中$1 \leq i \leq k$和$C_k(t)$是一些序列的Fuss-Catalan数（一些$k \geq 2$）的生成函数的每一个适当的Riordan阵列$\mathcal{R}(d(t),h(t))$中的所有条目。封闭的公式，然后提供了广义路径对的数量在更广泛的参数范围内，以及为弱路径对的数量与固定数量的非初始交叉点。
A Combinatorial Approach to the Symmetry of $q,t$-Catalan Numbers
\emph{$q,t$-Catalan numbers} $C_n(q,t)$是$q$和$t$中的多项式，当$q=t=1$。这些多项式与表示论、代数几何和对称函数有着重要的联系。Haglund和Haiman发现了$C_n(q,t)$的组合公式，作为Dyck路径的加权和（或者等价地，包含在楼梯形状中的整数分区）。本文对联合对称性质$C_n(q,t)=C_n(t,q)$进行了组合研究。我们猜想一些结构分解的戴克对象到“相互相反”的子集合，导致在某些情况下的双射解释联合对称性。一个关键的新思想是构建无限链的分区是独立的$n$，但同时诱导联合对称的所有$n$。利用这些方法，我们组合地证明了对于$0\leq k\leq 9$和所有的$n$，全度$\binom{n}{2}-k$的$C_n(q,t)$中的项具有所需的对称性.
Avoidance of vincular patterns by Catalan words
本文研究Catalan词回避vincular模式(1,2)或(2,1)的计数问题，给出若干显式公式及困难情形的生成函数，利用函数方程求解。
A note on super Catalan numbers
我们证明了超Catalan数是Krawtchouk多项式的特殊值，通过推导出一个表达式的超Catalan数在一个有符号的集合。
On super Catalan polynomials
我们提出了一个超Catalan数$(2m)!(2n)!/2m!n!(m+n)!$的$q$ -模拟，它也推广了由于Fürlinger和Hofbauer，对于$λ=0$和$λ=1$的$q$ -Catalan数$c_n(λ)$。当$m=2$。
Super-Catalan Numbers of the Third and Fourth Kind
超卡塔兰数是卡塔兰数的推广，定义为$T(m,n) = \frac{(2m)!(2n)!}{2m!n!(m+n)!}$。寻找$T(m,n)$的组合解释是一个开放的问题。对于$m=3,4$，我们使用一个通用的形式解决了这个问题;对于$m=5$，不存在这样的解决方案。
A weighted interpretation for the super Catalan numbers
超Catalan数$T(m,n)=(2m)!(2n)!/2m!n!(m+n)!$是推广Catalan数的整数。除了$m$的几个值之外，对于$T(m,n)$没有已知的组合解释。我们给出了一个加权的解释$T(m,n)$和开发一种技术，将这种加权的解释到一个传统的组合解释的情况下$m=2$。
Refinements of the braid arrangement and two parameter Fuss-Catalan numbers
本文研究了 $\mathbb{R}^n$ 中辫排列的细化排列 $\mathcal{A}_n^{(m)}$，证明其区域数为双参数 Fuss-Catalan 数，并建立了区域与 decorated Dyck paths 的双射，同时计算了特征多项式。
The Super Patalan Numbers
引入了超Patalan数，它是超Catalan数在Gessel意义下的推广，并证明了一些与超Catalan数类似的性质.超级帕塔兰数推广了超级加泰罗尼亚数，类似于帕塔兰数推广加泰罗尼亚数的方式。
A combinatorial interpretation for a super-Catalan recurrence
Nicholas Pippenger和Kristin Schleich最近给出了二阶超Catalan数（u_{n}）_{n>=0}=（3，2，3，6，14，36，.）的组合解释：它们计算n个内部顶点上的“对齐立方树”。这里我们给出递归u_{n} = Sum_{k=0} ^{n/2-1}（{n-2}choose{2k} 2^{n-2-2k} u_{k}）的组合解释：它通过深内部顶点的数量来计数这些树，其中深内部意味着“既不是叶子也不与叶子相邻”。
Super Catalan Numbers and Fourier Summation over Finite Fields
本文研究了奇特征有限域上单位圆上的多项式求和，得到了一个不依赖无穷过程的纯代数积分理论。尽管如此，有很强的相似之处，经典的积分理论在一个圆圈，我们表明，超级加泰罗尼亚数和密切相关的有理数谎言的核心，这两个理论。这给了这些至今还有些神秘的数字一个统一的解析意义。我们的推导利用了三重对称的色几何之间的欧几里德和相对论几何，我们发现，傅立叶求和公式，我们在这两个不同的设置是紧密相连的。
Catalan number sequences and generalized action graphs
该研究探讨作用图与多类卡特兰相关序列的关联，证明作用图无法推广至卡特兰三角、$(a,b)$-卡特兰数及内三角，同时提出了为超级卡特兰数构造作用图的猜想方法。
Enumeration on polyominoes determined by Catalan words avoiding $(\geq,\geq)$
本文研究了避免 $(\geq,\geq)$ 模式的 Catalan 字关联的 Motzkin polyomino，推导了基于长度、面积、半周长等参数的生成函数及闭式表达式，并将结果表示为三项式系数的线性组合。
On a New Congruence in the Catalan Triangle
本文针对 Catalan 三角形中的数 C(2n,k) 建立新的交错卷积公式，引入 M 和并借助数 T(n,j) 的组合解释，证明该和可被三阶 Fuss-Catalan 数及中心二项式系数整除。
Congruences on sums of super Catalan numbers
本文证明了Apagodu最近提出的超Catalan数（Gessel命名）的双和上的两个同余。
A supercongruence involving cubes of Catalan numbers
本文主要证明了Catalan数立方截尾级数的一个超同余，推广了孙志伟的一个结果。
Some observations about super Catalan numbers, corresponding orthogonal polynomials, and their q-analogues
本文综述了矩是超Catalan数倍数的多项式，并探讨了两种不同的q-模拟。
Supercongruences for the Catalan-Larcombe-French numbers
在Catalan-Larcombe-French序列的背景下，我们发展了Stienstra-Beukers超同余理论。我们也给出了一些应用到其他序列。
Proof of Sun's supercongruence involving Catalan numbers
我们确认了一个包含Catalan数的代数超同余，它是Sun的100个同余公开证明之一。利用超几何级数恒等式和符号求和方法证明了该定理。
On a New Alternating Convolution Formula for the Super Catalan Numbers
我们提出了一个新的交替卷积公式的超Catalan数，这是作为两个已知的二项式恒等式的推广。我们证明了这个公式的推广使用辅助和，递归关系，归纳。利用一种新的方法证明了一个关于超Catalan数的有趣整除性结果。
Computationally Efficient Bounds for the Sum of Catalan Numbers
容易计算的下限和上界的加泰罗尼亚数的总和。下界被证明是严格的比上界，这是以前被宣布为只是一个渐近。这些边界的平均值被证明也是一个上界，经验表明，该平均值是优于前一个上界的一个因素大于（9/2）。
The Raney Numbers and $(s,s+1)$-Core Partitions
Raney数$R_{p,r}(k)$是Catalan数的两参数推广。本文得到了Raney数的一个递推关系，它是Catalan数的递推关系的推广。使用这种递归关系，我们证实了一个猜想Amdeberhan提出的关于枚举的$(s,s+1)$核心分区$λ$的部分是倍数的$p$。然后，我们给出了一个新的组合解释的Raney数$R_{p+1,r+1}(k)$与$0\leq r<p$的$(kp+r,kp+r+1)$核心分区$λ$的部分是$p$的倍数。
$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements
本文推导$q$-超级Catalan数的组合恒等式，引入Narayana型细化并证明其$\gamma$-正性及$q$-模拟的$q$-$\gamma$-正性，推广已知恒等式。
Sums of squares of Krawtchouk polynomials, Catalan numbers, and some algebras over the Boolean lattice
将Krawtchouk多项式的值写成矩阵，我们考虑沿列的加权部分和。对于一般情况下，我们找到一个身份，在对称的情况下，产生这样的部分和的公式。沿着列的完全平方和涉及“超级加泰罗尼亚”数。我们还寻找涉及加泰罗尼亚数的特定值（矩阵项）。在这项工作中考虑和开发的属性被应用到各种尺寸的计算，描述了一些 *-代数结构的布尔格的基础上包含/超集关系代数表示使用zeon [零平方元素]。
Catalan paths, Quasi-symmetric functions and Super-Harmonic Spaces
研究了非常数拟\break对称函数生成的理想的闭包上的形式幂级数环$\Q[[x_1,x_2,...]]$的商环$R$.我们表明，希尔伯特基的商是自然索引的加泰罗尼亚路径（无限戴克路径）。我们还给出了从$(0,0)$到线$y=x-k$以上的与Catalan路相关的理想的过滤。本文还研究了非常数拟对称多项式生成的理想上的$n$变量多项式环的商环$R_n$.我们证明了$R_n$的维数是由$n$ th Catalan数上界的.
Matchings Avoiding Partial Patterns
我们发现，匹配避免某些部分模式计数的3-Catalan数。我们给出了一个特征的12312-避免匹配在相应的振荡tableaux的限制。我们还发现了一个双射之间的施罗德路径没有峰值在第一级和匹配避免这两个模式12312和121323。这样的物体可以用超卡塔兰数或小施罗德数来计数。超Catalan数的一个改进是通过固定匹配中的交叉数得到的。在Wilf等价意义下，我们发现模式12132，12123，12321，12231，12213等价于12312.
Catalan numbers and a conjecture on the maximum composition length of a Kac module
本文通过递归方法证明了关于 Kac 模最大 composition 长度的猜想，结果表明该长度是一个 Catalan 数。
Schreier Sets of Intervals, Super-Schreier Sets, and Catalan Numbers
该数学研究定义区间型施赖尔集、$k$-超级施赖尔集，证明其计数序列分别满足特定特征多项式对应的递推关系与带多项式余项的斐波那契型递推。
Macdonald polynomials and operators and Catalan Combinatorics
我们的主要目的与这些说明是介绍的组合和对称函数工具，涉及到描述的庞加莱多项式的三重分级Khovanov-Rozansky同源的环面链接，又名。这些链接的（简化）超多项式。
An Algebraic Interpretation of the Super Catalan Numbers
本文在一般域上通过SO(2)不变的代数积分推广多项式积分，并以此赋予超Catalan数代数解释。
Super FiboCatalan Numbers and their Lucas Analogues
本文定义超级FiboCatalan数和广义FiboCatalan数，并通过证明其Lucas类似物为非负整数系数多项式，从而证明这些数均为整数。
Refinements of two identities on $(n,m)$-Dyck paths
对于具有$n \geq 1$和$0 \leq m \leq n$的整数$n, m$，$(n,m)$ -Dyck路径是整数格$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$中的格路径，其使用向上步骤$(0,1)$和向下步骤$(1,0)$，从原点$(0,0)$到点$(n,n)$，并且精确地包含线$y=x$下方的$m$向上步骤。经典的Chung-Feller定理指出$(n,m)$ -Dyck路的总数与$m$无关，等于$n$次Catalan数$C_n=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ .对于具有$1 \leq k \leq n$的任何整数$k$，令$p_{n,m,k}$为具有$k$峰值的$(n,m)$ -Dyck路径的总数。Ma和Yeh证明了对于$0 \leq m \leq n$，$p_{n,m,k}$ = $p_{n,n-m,n-k}$，对于$1 \leq m \leq n-2$，$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}=p_{n,m+1,k}+p_{n,m+1,n-k}$。本文给出了这两个结果的双射证明。利用我们的双射，我们还得到了数$p_{n,m,k}$和$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}$根据开始和结束步骤的精确计数结果。
The centers of spin symmetric group algebras and Catalan numbers
推广了Farahat-Higman关于对称群的工作，刻画了整自旋对称群超代数的偶中心Z_n的结构，从而得到了自旋FH-代数的泛代数.建立了奇Jucys-Murphy元与Catalan数之间的联系，并利用它确定了自旋FH-代数和偶中心Z_n的代数生成元。
Enumeration of k-Exceedance Lattice Paths with an Application to Comparing Chains of Order Statistics
我们列举了从$(0,0)$开始并终止于$(m,n)$的单调格路径的数目，其中第一个$k$步骤的$l$位于线$y=x\ (0\leq k\leq m\leq n)$之下。这些封闭的公式包括的条款是一个产品加泰罗尼亚数，选票数和二项式系数。然后，我们将组合公式应用于故障分析，通过推导出一个概率分布，比较性能的一个$k$ -出-$m$系统的一个$k$ -出- $n$系统的连续的，独立的，同分布的随机变量。最后，我们提供了$k,m,n$的几个特殊情况下的渐近性，并留下其他的猜测。
Skeletal generalizations of Dyck paths, parking functions, and chip-firing games
该研究引入由Catalan数计数的k-骨架路径与对应生成树数的k-骨架停车函数，将其推广到非整数参数的梯形路径族，建立参数变化下的双射，关联芯片射击、组合表示论与热带几何。
Planar Kinematics: Cyclic Fixed Points, Mirror Superpotential, k-Dimensional Catalan Numbers, and Root Polytopes
本文证明了$\mathbb{CP}^{k-1}$中$n$点的位形空间$X(k,n)$中在一定循环作用下固定的点是平面运动学广义散射方程（PK）的解。在第一部分中，我们给出了一个建设性的上界：我们表明，这些解决方案注入到某些非周期的k元子集的$\{1,\ldots, n\}$，因此，他们的数量是有界的林登字的数量与k个1的和n-k个零。这个证明使用了$G(n-k,n)$的镜像超势和$X(k,n)$上的广义CHY势之间的某种令人惊讶的联系。我们还检查了最近的猜想，广义双伴随振幅评估$k$维Catalan数PK的几个例子，包括$k=3$和$n\leq 40$和$(k,n)=(6,13)$。然后，我们将CEGM广义双伴随标量振幅直接重新表示为${\rm Trop}^+ G(k,n)$上的拉普拉斯变换型积分，并使用它来评估PK上的振幅，目的是展示GFD如何粘合在一起。首先研究了平面运动学点的两个极小格多面体邻域。其中之一，秩分级根多面体$\mathcal{R}_{k,n}$，在$k=2$的情况下，是标准A型根多面体的投影。另一个，表示为$Π_{k,n}$，在$k=2$的情况下，是一个退化的协面体。我们检查，包括$\mathcal{R}_{3,9}$和$\mathcal{R}_{4,9}$，$\mathcal{R}_{k,n}$的相对体积是多维加泰罗尼亚数$C^{(k)}_{n-k}$，暗示对…
Fibonacci, Motzkin, Schroder, Fuss-Catalan and other Combinatorial Structures: Universal and Embedded Bijections
由计数序列$\{a_n\}_{n\ge 0}$和普通生成函数$G_\mathcal{F}=\sum_{n\ge0} a_n x^n$构成的组合结构$\mathcal{F}$是正代数的，如果$G_\mathcal{F}$满足多项式方程$G_\mathcal{F}=\sum_{k=0}^N p_k(x)\,G_\mathcal{F}^k $，且$p_k(x)$是$x$中的非负整数系数多项式.我们表明，每个这样的家庭是与一个规范的PDMATHAMT岩浆。具有$\mathbf{n}=(n_1,\dots, n_k)$的$\mathbf{n}$ -magma是一对$\mathcal{M}$和$\mathcal{F}$，其中$\mathcal{M}$是一组组合结构，$\mathcal{F}$是$n_i$ -ary映射的元组$f_i\,:\,\mathcal{M}^{n_i}\to \mathcal{M}$ .范数是一个超加性大小映射$||\cdot||\,:\, \mathcal{M}\to \mathbb{N} $。若赋范$\mathbf{n}$ -magma是自由的，则证明了具有相同计数序列的所有正代数族$\mathcal{F}_i$之间存在递归的、保范的、泛双射.一个自由的$\mathbf{n}$ -岩浆定义使用一个普遍的映射原则。我们陈述了一个定理，它提供了一个组合的方法来证明，如果一…
The Strip-Decomposition of m-Dyck Paths
由Bergeron和Pr{é}ville-Ratelle引入的$m$格$\mathcal{T}_{n}^{(m)}$被定义为具有广义旋转序的$m$路的偏序集，并构成了经典Tamari格$\mathcal{T}_{n}$的Fuss-Catalan推广.虽然对于$\mathcal{T}_{n}$已知许多组合实现，但目前还没有$\mathcal{T}_{n}^{(m)}$的进一步组合实现。本文将$m$-Dyck路分解为Dyck路的$m$ -元组，并对这些$m$ -元组作了一定的修改，从而推测得到的Dyck路的$m$ -元组将$\mathcal{T}_{n}^{(m)}$实现为$\mathcal{T}_{n}$与自身的$m$ -折叠直积的导出子集.我们能够证明这一猜想的$n\leq 3$，并提供必要条件，$m$ -元组的Dyck路属于这一实现。然而，对于$n\geq 5$，没有充分条件已知。
Ideals of Quasi-Symmetric Functions and Super-Covariant Polynomials for S_n
本文的目的是研究环Q[x_1，..]的商环R_n x_n]在非常数齐次拟对称函数生成的理想J_n上。本文证明了R_n的维数由n阶Catalan数C_n给出。这也是超协变多项式空间SH_n的维数，定义为J_n关于给定标积的正交补。我们构造了R_n的一个基，它的元素自然地被Dyck路所索引.这使得我们可以用具有给定因子数的Dyck路的个数来理解SH_n的Hilbert级数。
Factors of Alternating Convolution of the Gessel Numbers
Gessel数$P(n,r)$是从$(0,0)$到$(n+r, n+r-1)$的平面中具有$(1, 0)$和$(0,1)$步的路径的数目，这些路径从不接触集合$\{(x,x)\in \mathbb{Z}^2: x\geq r\}$中的任何点。我们证明了Gessel数$P(n,r)$和超Catalan数$S(n,r)$之间有密切的关系.利用新的和，证明了Gessel数$P(n,r)$的交错卷积总是可被\frac{1}{2} $S(n,r)$整除.
On fault tolerance of (n,k)-star networks
$(n,k)$ -星形网络的容错性由其$h$ -超级连通性$κ_s^{(h)}$或$h$ -超级边缘连通性$λ_s^{(h)}$来衡量。Li { \it等人} [应用数学计算。248（2014），525-530; Math.Sci. Lett. 1（2012），133-138]测定了$0\leq h\leq n-k$的$κ_s^{(h)}$和$λ_s^{(h)}$。本文确定了$n-k\leq h \leq n-2$的$κ_s^{(h)}=λ_s^{(h)}=\frac{(h+1)!(n-h-1)}{(n-k)!}$。
The freeness of Ish arrangements
Isharrangement由Armstrong引入，对Garsia和Haiman的$q,t$ -Catalan数给出了新的解释。阿姆斯特朗和罗兹表明，有一些惊人的相似之处之间的施安排和伊什安排，并提出了一些问题。其中之一是，伊什安排是否是一个自由的安排或没有。在本文中，我们证明了Ish-arrangement是超可解的，因此是自由的。此外，还给出了删除的Ish排列是自由的一个充要条件。
Supersaturation in union-closed families of sets
该数学研究证明了特定大小并族中k-链数量的极小化条件，明确了极小化族的唯一存在范围，为并族理论提供了关键结论。
The Combinatorics of Motzkin Polyominoes
该研究探讨Motzkin多联骨牌的组合性质，建立其与Motzkin路径、受限Catalan字等的双射关系，推导多参数生成函数、渐近式与闭式表达，并证明相关三项式关系。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。