Universality of nodal count distribution in large metric graphs
度量（量子）图上的拉普拉斯算子的本征函数由于图的非平凡拓扑而具有过多的零。这个数称为节点盈余，是一个介于0和图的第一个贝蒂数$β$之间的整数。研究了图的本征函数的可数无限集上的节点剩余值的分布。我们猜想，这个分布收敛到高斯的任何序列的图的增长$β$。我们证明了这一猜想的几个特殊的图序列和测试它的各种著名的图形家庭的数字。精确计算的分布是可能的公式表示的节点盈余分布作为一个整体的高维环面。
2022-04-29 math-ph math.MP
Dynamics of nodal points and the nodal count on a family of quantum graphs
我们研究了量子图（具有薛定谔型微分算子的度量图）上本征函数零点的性质。使用工具，如散射的方法和特征值交织不等式，我们推导出几个公式的第n个特征函数的零点的数量的频谱的图和它的一些子图。在一个特殊的情况下，所谓的二面角图，我们证明了一个明确的公式，只使用的边缘的长度，完全绕过有关图形的特征值的信息。从散射问题解的零点动态的角度解释了这些结果。
2010-08-03 math-ph math.MP
Stability of nodal structures in graph eigenfunctions and its relation to the nodal domain count
讨论了简单图、有限图和连通图上离散薛定谔算子的特征向量的节点域。柯朗著名的节点域定理适用于本例，并为特征向量的节点域的数目设定了一个上限：将谱安排为非递减序列，并用$ν_n$表示第$n$个特征向量的节点域的数目，柯朗定理保证节点亏量$n-ν_n$是非负的。(The以上适用于通用特征向量。对于具有零分量的本征向量，应特别注意。）目前的工作的主要结果是，一般的特征向量的节点亏损等于一个Morse指数的能量泛函，其值在其相关的临界点的特征值相吻合。最近在量子图[arXiv：1103.1423]和$R^d$ [arXiv：1107.3489]中有界域中的Dirichlet Laplacian的背景下讨论了节点亏与能量泛函在其临界点处的稳定性的关联。目前的工作适应这一结果的离散情况。离散情况下能量泛函的定义需要特殊的设置，与[arXiv：1103.1423，arXiv：1107.3489]中使用的设置有很大不同，这里详细介绍。
2011-10-17 math-ph math.MP
The Nodal Count {0, 1, 2, 3,...} Implies The Graph is a Tree
Sturm振荡定理指出Sturm-Liouville算子在区间上的第n个本征函数有n-1个零点（节点）。这个结果被推广到所有的度量树图，并证明了一个类似的定理离散树图。我们证明了离散图和度量图的逆定理。也就是说，如果对于所有n，图的第n个特征函数有n-1个零，那么图是树。我们的证明使用最近获得的连接图的节点计数和其本征值的磁稳定性。在证明的过程中，我们表明，不可能所有（甚至几乎所有，在度量的情况下）的本征值表现出抗磁行为。此外，我们开发了一个概念的“离散化”版本的度量图，并证明了它们的节点计数相关的度量图。
2013-04-19 math-ph math.MP
Anomalous nodal count and singularities in the dispersion relation of honeycomb graphs
我们研究了所谓的双密度图的节点数，并表明它表现出一个异常：节点盈余永远不等于0或$β$，图的第一个Betti数。根据磁-磁定理，这意味着这样的图的磁谱（色散关系）的带在磁参数的倒易空间的基本域的“通常”对称点处没有最大值或最小值。在寻找失踪的极值，我们证明了一个必要条件，光滑的临界点内发生的倒易基本域。利用这个条件，我们确定的极值的最大阿贝尔覆盖的图（蜂窝图是一个重要的例子）的色散关系中的奇点。特别是，我们的研究结果表明，异常的节点计数是一个迹象的存在的圆锥点的色散关系的最大通用覆盖。此外，我们发现，圆锥点是目前在色散关系的图形的对称性比以前的调查所需的少得多。
2015-11-15 math-ph math.MP
Nodal count of graph eigenfunctions via magnetic perturbation
我们建立了在磁扰动下本征值的稳定性与相应本征函数零点个数之间的联系。也就是说，我们考虑图上离散拉普拉斯算子的特征函数，并计算特征函数改变符号（具有“零”）的边的数量。已知第$n$个本征函数具有$n-1+s$这样的零点，其中“节点盈余”$s$是0和图上的循环数之间的整数。然后，我们扰动的拉普拉斯算子的弱磁场和视图的$n$ -th本征值作为扰动的函数。证明了该函数在零场有一个临界点，临界点的Morse指数等于无扰图的第$n$个本征函数的结点剩余$s$.
2011-10-24 math-ph math.MP
Remarks on "Resolving isospectral `drums' by counting nodal domains"
在[3]中，作者研究了Conway和Sloane发现的等谱平坦4-环面T^ \pm（a，b，c，d）的4参数族.通过计算节点域的特定方法，他们能够通过计算相对于几个显式元组（a，b，c，d）的相应节点序列来区分这些环面（数值上）。在本文中，我们通过分析证明它们的结点数区分任何不同的正实数的4元组来确认[3]中表达的期望。
2007-09-24 math-ph math.MP math.SP
Nodal Count for Orthogonally Invariant Ensembles
本文研究了带符号完全图上随机矩阵特征向量的节点计数，证明了正交不变系综（特别是GOE）在矩阵尺寸趋于无穷大时，节点计数分布收敛于特征值分布的极限律（半圆律），从而反驳了预测其呈高斯行为的猜想。
2025-11-04 math-ph math.MP math.SP
The Spectral Position of Neumann domains on the torus
拉普拉斯本征函数的Neumann域形成节点域的自然对应物。一个本征函数对它的一个节点区域的限制是该区域的第一狄利克雷本征函数。这个简单的观察是基本的，在许多工作的节点域。我们考虑Neumann域的类似性质。即，给定拉普拉斯本征函数$f$及其Neumann域$Ω$，$\ .f\ |_Ω$在$Ω$的Neumann谱中的位置是什么？目前的文件对待这个频谱的位置问题的二维环面。我们完全解决它的可分离的本征函数的环面和补充我们的解析解与随机波的环面上的数值。这些结果回答了文献[37，8]中的问题，并引起了新的问题。
2019-10-09 math-ph math.MP
Resolving isospectral "drums" by counting nodal domains
在过去的几十年里，提出了几种类型的系统，以表明存在{\it度量}不同的{ \it等谱}系统。一个重要的类包括拉普拉斯Beltrami运营商对平坦环面在$\mathbb{R}^n$与$n\geq 4$。我们建议，频谱模糊性可以通过比较节点序列（本征函数的节点域的数量，通过增加本征值排列）来解决。在情况下的等谱平坦环面在四维-其中一个4参数的家庭的等谱对是已知的-我们提供启发式的参数支持的数值模拟来支持猜想，isospectrality解决的节点计数。因此-人们可以{ \it count}鼓的形状（如果它被设计为四维平面环面.）。
2005-04-24 math-ph math.MP nlin.CD
Average Nodal Count and the Nodal Count Condition for Graphs
本文修正图上实对称矩阵平均节点数的既有猜想，给出更紧的可达上下界，并完整刻画常数对角矩阵满足节点数条件的图类。
2024-04-04 math-ph math.CO math.MP
Stability of eigenvalues of quantum graphs with respect to magnetic perturbation and the nodal count of the eigenfunctions
我们证明了量子图上磁节定理的一个类似结果：量子图上薛定谔算符的$n$ -次本征函数的零点$ϕ$的个数与算符受磁势扰动的$n$ -次本征值的稳定性有关.更精确地说，我们认为$n$ -th本征值作为磁扰动的函数，并表明其Morse指数在零磁场等于$ϕ- (n-1)$。
2013-12-22 math-ph math.MP math.SP
Counting open nodal lines of random waves on planar domains
我们计算光滑平面区域上随机波{ \em open}节线数目的渐近期望。我们发现对于长能量窗$[0,λ]$和短能量窗$[λ,λ+1]$，开放节线的期望数目与$λ$成正比，渐近地为$λ\to\infty$。我们的结果与Blum，Gnutzmann和Smilansky \cite{BGS}在物理学文献中的预言是一致的。
2009-03-17 math-ph math.MP math.PR
Trace formula for counting nodal domains on the boundaries of chaotic 2D billiards
给定二维量子台球的狄利克雷本征函数，边界域计数是节点线与边界的交叉点的数量。我们研究由这些数字定义的整数序列，根据本征函数的能量排序。基于Berry随机波模型的一个变体，我们导出了边界域计数序列的半经典迹公式。该公式由一个Weyl光滑部分和一个依赖于经典周期轨道及其几何形状的振荡部分组成。这个跟踪公式的预测支持非洲台球计算的数值数据。
2010-07-28 math-ph math.MP nlin.CD
Morse theory for discrete magnetic operators and nodal count distribution for graphs
本文研究了离散磁算子的Morse理论，发现临界子流形维度与平面连杆构型空间相关，并计算了其Morse指数，同时探讨了平均节点盈余分布的二项特性及在Betti数趋于无穷时的高斯收敛猜想。
2023-05-24 math-ph math.CO math.MP
Nodal count for a random signing of a graph with disjoint cycles
针对含不相交环的简单连通图及其支撑实对称矩阵，研究随机改变非对角元符号后的节点盈余，并在一般条件下证明其服从参数为 β 和 1/2 的二项分布。
2024-03-01 math-ph math.MP math.SP
A lower bound for nodal count on discrete and metric graphs
根据Sturm的一个著名定理，振动的弦被其第N个本征函数的零点精确地分成N个节点区间。柯朗指出，斯特姆弦定理的一半适用于膜理论：第N个本征函数不能有超过N个域。他还举了一个例子，一个本征函数高的频谱与最小数目的节点域，从而排除存在一个非平凡的下限。Sturm结果的一个类似物的离散化的区间讨论了Reinmacher和Krein。区间的离散化是一种简单形式的图，即链图。但对于更复杂的图形又能说些什么呢？自90年代初以来，人们就知道量子树上薛定谔算子的一般本征函数的节点计数也是精确的（其中每条边都被标识为实数线的间隔，并且在顶点上强制执行一些匹配条件）：第N个本征函数的零将树划分为精确的N个子树。我们在两个方向上讨论这个结果的两个推广。一个处理相同的连续薛定谔算子，但一般的图（即非树）和另一个处理离散薛定谔算子的组合图（树和非树）。我们得到的结果适用于这两种类型的图：第N个特征函数的节点域的数量由N-L限制，其中L是将图与树（定义为循环空间的维数或图的基本群的秩）区分开的链接的数量。我们还表明，如果它的genericity条件下降，节点计数可以任意远低于相应的本征函数的数量。
2007-11-23 math-ph math.CO math.MP
Nodal domains on isospectral quantum graphs: the resolution of isospectrality ?
我们提出并讨论了非等距的等谱量子图。这些图是最近引进的R2中的等谱域的类似物，并且都是基于Sunada等谱域的构造。在介绍了这些图的一些性质之后，我们讨论了一些支持猜想的例子，即通过计算相应本征函数的节点域，可以解决等谱模糊性。
2006-12-17 math-ph math.MP nlin.CD
Nodal domains a la Courant
设$H(\Om_0)=-Δ+V$是有界区域$\Om_0\subset \mathbb R^d$上的Schrödinger算子.设$\Om_\ell$（$\ell \in \{1,...,k\}$）是$\Om_0$的两两不相交的子集，而$H(\Om_\ell)$又是相应的具有Dirichlet边界条件的薛定谔算子.本文研究了$H(\Om_0)$谱与$H(\Om_\ell)$谱之间的关系。特别地，我们得到了相关的谱计数函数的一些不等式，这些不等式可以被解释为柯朗节点定理的推广。对于实现平等的情况，我们证明了相反的结果。特别地，我们使用位势理论的方法将$\Om_\ell$与$H(Ω_0)$的某些本征函数的节点域联系起来。
2004-03-02 math-ph math.MP math.SP
Nodal portraits of quantum billiards: Domains, lines, and statistics
我们提出了一个全面的审查节点域和量子台球线，强调定量比较的理论研究结果的实验。节点的统计示出区分不仅经常和混乱的经典动力学，但也不同的几何形状的台球系统本身之间。我们讨论，特别是，如何随机叠加的平面波可以模拟混沌本征函数和突出的连接的复杂形态的节线渗流理论和Schramm-Loewner演化。计算节点域的各种方法-使用迹公式、图论和差分方程-也举例说明。节点模式涉及振动板和膜上的波，声学和电磁模式，波函数的“粒子在一个盒子”，以及在铁磁体的集群和域，从而强调了多样性-和深远的影响-的问题。
2017-09-12 math-ph math.AP math.MP
On Pleijel's nodal domain theorem for quantum graphs
我们建立了Pleijel定理在紧致度量图上的度量图对应定理，该度量图对应于一类算子的$n$阶本征函数的节点域数$ν_n$的渐近性，这类算子包括具有$L^1$ -势和各种顶点条件的薛定谔算子以及具有自然顶点条件的$p$ -Laplacian算子，并且对边的长度没有任何假设，图的拓扑结构，或者顶点处本征函数的行为。{除此之外，这些结果还证明了序列$(\frac{ν_n}{n})_{n\in\mathbb N}$的累加点，它们总是形成$(0,1]$的有限子集。这在几个方向上扩展了以前已知的结果，即对于拉普拉斯算子的某些实现，$ν_n\sim n$ \textit{generically}。特别是，在特殊情况下的拉普拉斯算子的自然条件下，我们表明，对于图的合理依赖的边长，可以找到本征函数上的${ν_n}\not\sim {n}$，但在这种情况下，即使是一组点的积累可能取决于本征基的选择。
2020-12-10 math-ph math.MP math.SP
