具有不相交环的图的随机符号化的节点计数
Nodal count for a random signing of a graph with disjoint cycles
AI总结：
针对含不相交环的简单连通图及其支撑实对称矩阵，研究随机改变非对角元符号后的节点盈余，并在一般条件下证明其服从参数为 β 和 1/2 的二项分布。
摘要：
设 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点的简单连通图，并进一步假设 $G$ 具有不相交的环。设 $h$ 是支撑在 $G$ 上的实对称矩阵（例如离散 Schrödinger 算子）。$h$ 的特征值按递增顺序排列为 $λ_1 \le \cdots \le λ_n$，如果 $ϕ$ 是对应于 $λ_k$ 的特征向量，则节点（边）计数 $ν(h,k)$ 是满足 $h_{rs}ϕ_{r}ϕ_{s}>0$ 的边 $(rs)$ 的数量。节点盈余定义为 $σ(h,k)=ν(h,k)-(k-1)$。设 $h'$ 是 $h$ 的随机符号化，即通过改变 $h$ 的部分非对角元素的符号而得到的实对称矩阵。如果 $h$ 满足某个一般条件，我们证明对每个 $k$，节点盈余服从二项分布 $σ(h',k)\sim Bin(β,\frac{1}{2})$。证明的一部分沿用了第一作者与 Ram Band 和 Gregory Berkolaiko 在一个未发表的合作项目中提出的思想，该项目研究量子图上的类似问题。
英文摘要：
Let $G$ be a simple, connected graph on $n$ vertices, and further assume that $G$ has disjoint cycles. Let $h$ be a real symmetric matrix supported on $G$ (for example, a discrete Schrödinger operator). The eigenvalues of $h$ are ordered increasingly, $λ_1 \le \cdots \le λ_n$, and if $ϕ$ is the eigenvector corresponding to $λ_k$, the nodal (edge) count $ν(h,k)$ is the number of edges $(rs)$ such that $ h_{rs}ϕ_{r}ϕ_{s}>0$. The nodal surplus is $σ(h,k)= ν(h,k) - (k-1)$. Let $h'$ be a random signing of $h$, that is a real symmetric matrix obtained from $h$ by changing the sign of some of its off-diagonal elements. If $h$ satisfies a certain generic condition, we show for each $k$ that the nodal surplus has a binomial distribution $σ(h',k)\sim Bin(β,\frac{1}{2})$. Part of the proof follows ideas developed by the first author together with Ram Band and Gregory Berkolaiko in a joint unpublished project studying a similar question on quantum graphs.
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