Conditional estimates on the argument of Dirichlet $L$-functions with applications to low-lying zeros
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
在广义黎曼假设下，利用Beurling-Selberg极值函数对Dirichlet L-函数的论点均值和均方进行界估，并应用于低处零点结果的证明及获得新的零点比例下界。
2026-03-31 math.NT
Low-lying zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions: Lower order terms for extended support
本文研究了至多为$X$的导体实本征标上的Dirichlet $L$ -函数的低零点的$1$能级密度.在广义Riemann假设下，我们给出了该量在$\log X$的降次幂上的渐近展开式，当相应的偶检验函数$ϕ$的Fourier变换的支集包含在$(-2,2)$中时，该渐近展开式是有效的.我们发现了一个相变时的上确界$σ$的支持$\hat ϕ$达到$1$，在主项和低阶项。一个新的低阶项出现在$σ=1$涉及量$\hat ϕ(1)$，类似于Rudnick在函数域情况下分离的低阶项。
2016-01-25 math.NT
Unconditional estimates on the argument of Dirichlet $L$-functions with applications to low-lying zeros
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文基于Selberg的结果，研究狄利克雷L函数的论估计，并证明了足够大的素数q对应的L函数最低非平凡零点高度小于1075·2π/log q，同时给出了首个零点位置的下界。
2026-04-12 math.NT
One level density of low-lying zeros of families of $L$-functions
本文证明了$L$ -函数族的低位零点的一些一级密度结果。更具体地说，正在考虑的家庭是$L$ -功能的全纯赫克特征型的水平1和重量$k$扭曲的二次狄利克雷字符和三次和四次狄利克雷$L$ -功能。
2010-03-01 math.NT
Linear statistics of low-lying zeros of L--functions
我们考虑Dirichlet $L$ -函数的标度零点的线性统计，并证明了前几阶矩收敛于高斯矩。高斯矩的数量取决于所考虑的特定统计量。在随机矩阵理论中也发现了同样的现象，其中我们考虑了酉群中矩阵的标度本征相位的线性统计。在这种情况下，高阶矩不再是高斯的。我们猜想，这也发生在狄利克雷$L$ -功能。
2002-12-04 math.NT
Low-lying zeros of quadratic Dirichlet L-functions, hyper-elliptic curves and Random Matrix Theory
Katz和Sarnak将二次Dirichlet L函数的低位零点的统计量证明为酉辛系综特征值的标度极限。鲁宾斯坦在他的博士论文中发现，在傅里叶域中原点的某个邻域内，n能级密度与此一致。1998年的论文。在博士学位期间，人们试图扩大社区。Peng Gao（2005）的论文，其在GRH下给出了密度作为复杂的组合因子，但它是否与随机矩阵理论因子一致仍然是开放的。对于n最多为7，这一点最近被莱文森和米勒证实。我们解决这个问题的所有n，而不是直接做的组合，但通过传递到一个函数域的模拟，L函数相关的超椭圆曲线给定的亏格g在一个领域的q个元素。我们表明，在这种情况下的答案与高的组合因子一致的控制误差。然后，我们采取的限制大有限域大小q到无穷大，并使用Katz Sarnak等分布定理，它确定了单值的Frobenius共轭类的超椭圆系综与组USp（2 g）。进一步采取限制大亏格g到无穷大允许我们确定高的组合因子与RMT答案。
2013-05-06 math.NT
Low-Lying Zeros on the Critical Line for Families of Dirichlet $L$-Functions
本文通过引入高维Mellin变换，克服了短区间内Selberg磨光器计算中的交叉项障碍，证明了Dirichlet $L$-函数族在临界线上低零点数量的新下界。
2026-06-05 math.NT
Type-I contributions to the one and two level densities of quadratic Dirichlet $L$--functions over function fields
利用比率猜想，给出了函数域上二次Dirichlet $L$ -函数零点的一级和二级密度的含低阶项的精确公式.我们将各种术语表示为$0$型、I型和II型贡献。当检验函数的傅里叶变换的支持被充分限制时，我们严格计算类型- $0$和类型-I项，并确认它们与所示的答案相匹配。当放宽对支持的限制时，我们的结果表明，II型贡献在两个能级密度中变得重要。
2020-01-10 math.NT
The prime number race and zeros of Dirichlet $L$-functions off the critical line. III
我们表明，对于任何$q\ge 3$和不同的减少残留$a,b \pmod q$，存在某些假设的Dirichlet $L$ -功能的零组位于临界线意味着$π(x;q,a)<π(x;q,b)$为一组真正的$x$的渐近密度为1。
2012-04-30 math.NT
Distribution of residues modulo $p$ using the Dirichlet's class number formula
设$p$为奇素数。本文利用虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$的Dirichlet类数公式，研究了$2$或$3$或$4$的倍数为模$p$的二次剩余数和非剩余数，它们都位于区间$[1, p-1]$内.
2019-01-29 math.NT
Statistics for low-lying zeros of symmetric power L-functions in the level aspect
从能级的角度研究了对称幂L函数的低零点的一能级和两能级密度。它使我们能够完全确定某些具有指定符号的函数方程的对称幂L函数族的对称型。我们还计算了一级密度的矩，并展示了Hughes和Rudnick发现的模拟高斯行为。
2007-03-26 math.NT
Low-lying zeros in families of Maass form L-functions: an extended density theorem
本文研究素数水平Maass形式L函数族低零点密度，将可容许支撑从(-3/2,3/2)扩展到(-15/8,15/8)，并假设大密度猜想可至(-2,2)，方法基于Kutznetsov迹公式、大筛法及四次矩界。
2025-05-24 math.NT
Selberg's Central limit theorem for quadratic Dirichlet L-functions over function fields
本文研究了固定有限域$\mathbb{F}_q$上亏格为$δ$的超椭圆曲线所对应的Dirichlet $L$ -函数的辛族中中心值$L\left(\frac{1}{2}, χ_D\right)$在极限为$δ\to \infty$时的对数.无条件地，我们表明，分布的$\log \big|L\left(\frac{1}{2}, χ_D\right)\big|$是渐近有界以上的高斯分布的平均$\frac{1}{2}\log °(D)$和方差$\log °(D)$。对该族中的低位零点的分布作了一个适当的假设，得到了完全高斯分布。
2021-05-23 math.NT
Zeros of $L$-functions and large partial sums of Dirichlet coefficients
该研究针对满足弱广义Ramanujan猜想的$L$-函数，证明其Dirichlet系数的大偏和会排斥低零点远离临界线，拓展并定量改进了前人相关研究成果。
2024-08-07 math.NT
Low-lying zeros of L-functions for Quaternion Algebras
Katz和Sarnak的密度猜想预测，对于L函数的自然族，位于实轴附近的零点分布由对称群决定。在全定四元数代数上有界解析导体的自守形式的泛族的情况下，我们确定了一类受限制的检验函数的相关分布.特别是它导致非平凡的结果，在中心点的非零密度。
2020-10-29 math.NT
Lower order terms for the one-level densities of symmetric power $L$-functions in the level aspect
在前一篇论文中，作者确定了对称幂L-函数在水平方面的低零点的一级密度的主要项。本文找到了这些一能级密度的低阶项，并利用SU（2）的不可约表示的特征--切比雪夫多项式，大大减少了在这种情况下的组合困难。%
2008-06-18 math.NT
Densities of bounded primes for hypergeometric series with rational parameters
[10]已知一个具有有理参数的超几何级数是$p$ -底有界的素数集合具有Dirichlet密度。我们建立了一个公式，这个狄利克雷密度和猜想，这是罕见的密度大。本文证明了关于参数的乘子等于$p = 2q^r + 1$形式的素数的超几何级数的这个猜想，其中$q$是奇素数，并建立了这种情况下有界素数密度的上界.一般案件仍然悬而未决。本文是第一位上市作者在2018年冬季学期教授的本科研究课程的成果。
2018-03-28 math.NT
On the Low-lying zeros of Hasse-Weil L-functions for Elliptic Curves
本文得到了一类椭圆曲线的Hasse-Weil L函数的低零点的无条件密度定理。从这一点与黎曼假设这些L函数，我们推断的优数为27/14（这是严格小于2）的平均秩的椭圆曲线在家庭考虑。这个上界的平均秩使我们能够推导出，在相同的假设下，一个积极的比例的椭圆曲线具有代数秩等于他们的分析秩和有限的Tate-Shafarevic群。这种味道的陈述以前已知的附加假设下的GRH的Dirichlet L函数和对称平方L函数，这是删除本文。
2008-06-15 math.NT
The prime number race and zeros of Dirichlet L-functions off the critical line, II
我们继续我们的审查的影响，某些假设的配置零的狄利克雷$L$ -功能说谎的临界线（“障碍”）上的相对大小的功能$π_{q,a}(x)$。这里$π_{q,a}(x)$是级数$a \mod q$中素数$\le x$的个数。特别地，我们构造屏障，使得$π_{q,1}(x)$同时大于或同时小于每个$k$函数$π_{q,a_i}(x)$（$1\le i\le k$）。我们还构造障碍，使得对于大的$x$，只有少量的$r!$可能的函数$π_{q,a_i}(x)$（$1\le i\le r$）排序发生;见定理5.1。
2019-10-20 math.NT
Zeros of Dirichlet L-functions over Function Fields
随机矩阵理论已经成功地模拟了物理和数学中的许多系统，并且通常一个领域的分析和结果指导另一个领域的发展。休斯和鲁德尼克计算了固定素导体$Q$的原始狄利克雷$L$ -函数族的低位零点的$1$ -能级密度统计，作为$Q \to \infty$，并验证了随机矩阵理论预测的酉对称性。我们计算了$\mathbb{F}_q(T)$上Dirichlet $L$ -函数族的$1$ -和$2$ -水平统计量.而Hughes-Rudnick的结果受到其测试函数的傅里叶变换的支持的限制，我们的测试函数是周期性的，我们的结果只受到其傅里叶系数的衰减条件的限制。我们证明了主项符合么正对称性，并分离出误差项。最后，我们讨论了一个$\mathbb{F}_q(T)$ -类似蒙哥马利的假设素数分布在等差数列，Fiorilli和米勒表明，将消除的休斯-Rudnick结果的限制。
2014-04-09 math.NT
Low-lying zeros of $L$-functions for Maass forms over imaginary quadratic fields
研究虚二次域$F$上Hecke-Maass型的$L$ -函数族的$1$ -或$2$ -能级密度.对于在$\left(-\frac 32, \frac 32\right)$中支持Fourier变换的测试函数，我们证明了当$\mathrm{N}(\mathfrak{q})$趋于无穷大时，Hecke-Maass形式在无平方级$\mathfrak{q}$的$F$上的$1$ -能级密度与正交随机矩阵系综的密度一致.对于满能级$F$上的Hecke-Maass形式，当Laplace本征值趋于无穷大时，我们证明了对于$1$ -和$2$ -能级密度的类似陈述.
2020-03-29 math.NT
Low-lying zeroes of Maass form $L$-functions
Katz-Sarnak密度猜想指出，自守$L$ -函数族零点分布的标度极限与酉群$U(N)$的经典子群特征值分布的标度极限一致。这个猜想经常通过计算特定的统计量来测试，例如一级密度，它在中心点附近的归一化零点处用紧支持的傅里叶变换来评估测试函数。Iwaniec、Luo和Sarnak研究了权$k$和水平$N$的尖瓣新形式的一级密度。在极限为$kN \to\infty$的情形下，证明了在$(-2,2)$支持的傅里叶变换下，这些族具有与正交型相一致的单能级密度.超过$(-1,1)$是重要的，因为三个正交基团对于高达$(-1,1)$的支持是不可区分的，但是对于任何更大的支持是可区分的。我们研究了$\mathbb{Q}$上的另一类${\rm GL}_2$自守形式：Maass形式.为了便于分析，我们在库兹涅佐夫公式中使用光滑的权重函数，除了其他限制之外，该函数在原点处消失以订购PDMATHAMBMV。对于在$\left(-2 + \frac{2}{2M+1}, 2 - \frac{2}{2M+1}\right)$中支持Fourier变换的测试函数，我们无条件地证明了当特征值趋于无穷大时，第一级Maass形式的低零点的一级密度仅与正交矩阵的标度极限的一级密度一致.
2014-01-20 math.NT
Partition-theoretic formulas for arithmetic densities, II
在早期的工作推广1977年定理的阿拉迪，作者证明了一个分区理论公式计算算术密度的某些子集的正整数$\mathbb N$作为极限值的$q$ -系列作为$q\to ζ$单位根（而不是使用通常的狄利克雷级数计算密度），取代乘法结构的$\mathbb N$类似结构的整数分区$\mathcal P$。在最近的工作中，王获得了广泛的推广阿拉迪的原始定理，其中素数子集的算术密度计算为由狄利克雷卷积产生的狄利克雷级数的值。在这里，作者证明了王的扩展有一个分区理论的类似物，以及产生新的$q$系列密度公式的任何子集的$\mathbb N$。要做到这一点，我们概述了理论的$q$ -系列密度计算的第一原则，基于一个统计，我们称之为“$q$ -密度”的一个给定的子集。这个理论反过来又产生了无穷多个算术密度的进一步公式。
2021-04-06 math.CO math.NT
The prime number race and zeros of Dirichlet L-functions off the critical line
令$π_{q,a}(x)$表示级数$a$模$q$中素数$\le x$的数目。我们研究微妙的不平等，在这些功能，与$q$固定和变量$a$（有时被称为“总理种族问题”）。对于许多三元组$(q,a,b)$，无条件地知道差值$π_{q,a}(x) - π_{q,b}(x)$的符号变化无限频繁，尽管可能有明显的偏向一个符号（切比雪夫在1853年首次观察到）。对于三个或更多素数计数函数的比较，类似的结果都需要ERH（Dirichlet L函数模$q$的扩展黎曼假设）的假设。在本文中，我们表明，ERH的假设是，在某种意义上，必要的。也就是说，我们证明，任何四重$(q,a,b,c)$与$a,b,c$互质$q$，存在某些假设配置的零Dirichlet L函数说谎的临界线意味着六个可能的顺序之一的三个功能$π_{q,a}(x), π_{q,b}(x), π_{q,c}(x)$不发生在所有足够大的$x$。
2019-10-20 math.NT
Murmurations of Dirichlet characters
本文研究两族 Dirichlet 特征的群聚密度，分别给出与实验相符的群聚函数及类似 Zubrilina 密度的普适性，并解释其与辛族 L 函数 1 层密度相变的联系。
2024-11-30 math.NT
Low-lying zeros in families of elliptic curve $L$-functions over function fields
本文研究了定义在$\mathbb{F}_q(T)$上的椭圆曲线的二次和三次扭曲上的$L$ -函数族的低零点。特别是，我们提出了精确的表达式的痕迹的高功率的Frobenius类在这些家庭的期望值的重点是较低的顺序行为。作为应用，我们得到了单能级密度的结果，并证明了这些椭圆曲线族具有正交对称型。在二次扭曲的家庭，我们的结果完善了以前的工作Comeau-Lapointe。此外，在这种情况下，我们发现一个低阶项的一级密度让人想起Rudnick在超椭圆系综中发现的偏差项。另一方面，我们的调查是第一个处理这些问题的家庭的三次扭曲的椭圆曲线，在这种情况下，它原来是更复杂的孤立低阶项，由于更大程度的取消之间的低阶贡献。
2021-09-30 math.NT
One-level density estimates for Dirichlet L-functions with extended support
该研究无条件地将本原Dirichlet特征对应的L(s,χ)低位零点1级密度的检验函数傅里叶支撑范围扩展至[-2-50/1093,2+50/1093]，突破了此前需依赖深刻猜想的限制，并给出了对L(s,χ)非零性的相关推论。
2023-01-04 math.NT
Surpassing the Ratios Conjecture in the 1-level density of Dirichlet $L$-functions
利用$Q/2 < q\leq Q$研究了模$q$的所有特征标族中Dirichlet $L$ -函数的低零点的$1$ -水平密度.对于测试功能，其傅立叶变换支持$(-3/2, 3/2)$，我们计算这个数量超出了平方根消除扩展所产生的$L$ -功能比猜想的康瑞，农民和Zirnbauer。我们发现了一个新的低阶项的存在，这是不预测这个强大的猜想。这是第一个家庭的1级密度确定得足够好，看到一个术语，这是不是预测的比率猜想，并证明了指数的误差项$Q^{-\frac 12 +ε}$在比率猜想是最好的可能。当测试函数的傅里叶变换的支持度限制在区间$[-1,1]$内时，我们也给出了更精确的结果。最后，我们展示了如何自然的分布上素数分布在等差数列允许一个扩展的支持。最有力的猜想是蒙哥马利的猜想，这意味着比率猜想的预测适用于任何有限支持，直至错误$Q^{-\frac 12 +ε}$。
2014-04-02 math.NT
One-level density of quadratic twists of $L$-functions
本文在广义黎曼假设和Ramanujan-Petersson猜想下，仅用二次Dirichlet L-函数的函数方程改进自守L-函数二次扭曲低位零点的一级密度结果。
2022-12-01 math.NT
Non-vanishing and One Level Density for Dirichlet $L$-functions Along Short Averages
本文研究Dirichlet L-函数中心值在短区间和算术级数中平均的非零比例，证明在短平均下可超过1/2-δ，并在广义黎曼假设下利用单层密度方法获得超过1/2的非零比例。
2025-11-10 math.NT
Notes on Low discriminants and the generalized Newman conjecture
推广Polya，de Bruijn和Newman的工作，我们允许向后热方程变形二次Dirichlet L-函数的零点.存在一个实常数Λ_Kr（推广了de Bruijn-Newman常数Λ），使得对于时间t>=Λ_Kr，所有这样的L-函数的零点都在临界线上;对于时间t<Λ_Kr，存在偏离临界线的零点。在GRH下，Λ_Kr<=0，我们提出了补充猜想0<=Λ_Kr.根据Csordas et.本文利用二次Dirichlet L-函数的低位零点证明了-1.13* 10^{-7}<Λ_Kr。在最后一节中，我们开发了一个精确的定义，这是出于随机矩阵理论的考虑。无穷多个Low判别式的存在意味着0<=Λ_Kr。
2013-04-10 math.NT
The Landau-Selberg-Delange method for products of Dirichlet $L$-functions, and applications, I
本文提出了一种改进的Landau-Selberg-Delange方法，用于处理Dirichlet L-函数乘积的部分和渐进行为，扩展了经典结果并改进了相关分布理论。
2025-11-19 math.NT
1- and 2-Level Densities for Rational Families of Elliptic Curves: Evidence for the Underlying Group Symmetries
继Katz-Sarnak，Iwaniec-Luo-Sarnak和Rubinstein之后，我们利用1-和2-层密度研究了Q（t）上单参数有理椭圆曲线族的低零点分布.模标准结构，小支持密度同意Katz和Sarnak的预测。此外，密度证实了曲线的L-函数的行为方式与在临界点有r个零一致，正如伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想所预测的那样。通过研究一些常数符号族的2-能级密度，我们发现了椭圆曲线族的第一个例子，我们可以区分SO（偶）和SO（奇）对称。
2003-10-12 math.NT math.SP
Zeros of partial sums of $L$-functions
考虑一类乘法函数$f: \mathbb N \rightarrow \mathbb C$ .设$F(s)= \sum_{n=1}^\infty f(n)n^{-s}$为相应的Dirichlet级数，$F_N(s)= \sum_{n\le N} f(n)n^{-s}$为截断的Dirichlet级数。在这种情况下，我们得到新的Halász型结果的对数平均值的$f$。更确切地说，我们证明估计的总和$\sum_{n=1}^x f(n)/n$的大小$|F(1+1/\log x)|$，并表明这些估计是尖锐的。作为我们的平均值估计的结果，我们建立非平凡的零自由区域，这些部分和$F_N(s)$。特别地，我们研究了数域$K$的Dedekind zeta函数的部分和的零分布。更准确地说，我们给出了一些改进的结果，零的数量高达高度$T$以及新的零密度结果的零的数量高达高度$T$，躺在右边的$\Re(s) =σ$，其中$σ> 1/2$。
2018-07-29 math.NT
Some Results in the Theory of Low-lying Zeros: Determining the 1-level density, identifying the group symmetry and the arithmetic of moments of Satake parameters
虽然随机矩阵理论已经成功地模拟了大量的L-函数族，但它经常看不到一族的算术。在某些情况下，这需要一个扩展的理论，插入算术因素取决于家庭，而在其他情况下，这些因素导致的贡献消失的限制，因此没有检测到。我们回顾了与最重要的统计量之一，在中心点附近的零的n级密度相关的一般理论。根据Katz Sarnak密度猜想，每个L函数族都有一个对应的对称群，使得当导体趋于无穷大时中心点附近的零点的行为与矩阵大小趋于无穷大时特征值接近1的行为一致。我们展示了如何进行这些计算，强调技术，方法和障碍，以改善结果，充分考虑详细的狄利克雷字符的家庭。然后，我们描述了我们如何可以关联到每个家庭的对称常数，以及如何确定一个化合物家庭的对称群的成分的对称性。这些计算解释了行为的显著普遍性，其中主要项与算术无关（只有佐竹参数的前两个矩对极限有贡献;类似于中心极限定理，更高的矩只在收敛速率中被感觉到）。最后，我们探讨在家庭的椭圆曲线的低阶项。我们提出的证据支持一个猜想，即在一个参数的家庭没有复乘的平均二阶矩，当适当地看待，负偏置，并结束与讨论的后果，这种偏见的分布上的低洼零，特别是这种偏见和观察到的家庭中的多余的秩之间的关系。
2016-02-02 math.NT
Sato-Tate theorem for families and low-lying zeros of automorphic $L$-functions
我们考虑由朗兰兹函性原理产生的数域上的某些自守表示族。设$G$是数域$F$上的一个可约群，该数域在无穷远处允许离散级数表示.设$^{L}G=\hat G \rtimes \mathrm{Gal}(\bar F/F)$是相关的$L$ -群，$r:{}^L G\to \mathrm{GL}(d,\mathbb{C})$是不可约的连续同态且不通过$\mathrm{Gal}(\bar F/F)$因式分解.正在考虑的家庭由离散自守表示的$G(\mathbb{A}_F)$给定的重量和水平，我们让重量或水平增长到无穷大。我们建立了一个定量的Plancherel和定量的Sato-Tate等分布定理，这些家庭的Satake参数。这概括了早期的结果在这个问题上，特别是Sarnak [Progr.数学70（1987），321- 331.]和Serre [J.Amer.Math.Soc.10（1997），no.1，75- 102.]。作为应用，我们研究了相关的$L$ -函数族$L(s,π,r)$的低位零点的分布，从函性原理假设这些$L$ -函数是自守的.我们发现，1-能级密度的分布与酉系综，辛系综和正交系综之一的本征值的1-能级密度的分布相吻合，符合Katz Sarnak理论。我们提供了一个标准的基础上Frobenius-舒尔指标来确定这种对称类型。如果$r$与它的对偶$r^\vee$不同构，则对称类型为…
2014-11-15 math.LO math.NT math.RT
Symplectic $n$-level densities with restricted support
在本文中，我们证明了另一种形式，由我们在早期的文件中，从经典紧群$USp(2N)$矩阵的特征值的$n$ -水平的密度是更好地适合于比较的推导$n$ -水平的密度在家庭的Dirichlet $L$ -功能与实二次字符比传统的行列式随机矩阵公式。以前的作者已经发现巧妙的证明，在一定条件下的$n$ -水平的密度的零点同意与行列式的随机矩阵结果的领导秩序项，但在这里，我们表明，比较是更直接的，如果使用更合适的形式的随机矩阵结果。为了支持$[1,-1]$和$[-2,2]$中的检验函数，我们与现有的数论结果进行了比较。为了支持$[-3,3]$没有严格的数论结果是已知的$n$水平的密度，但我们推导的密度在这里使用随机矩阵理论的希望，这可能会使路径到一个严格的数论结果更清晰。
2016-03-17 math-ph math.MP math.NT
The Low Lying Zeros of a GL(4) and a GL(6) family of L-functions
我们调查了讨论了L函数的GL（4）族和GL（6）族的（k --> oo）极限统计量（s，phi x f）：f in H_k（1）}和{L（s，phi乘以sym^2 f）：f in H_k（1）};其中φ是固定的偶Hecke-Maass尖点形式，H_k（1）是全模群的权为k的全纯尖点形式空间H_k（1）的Hecke特征基. Katz和Sarnak猜想，中心点附近的零点的行为应该可以用经典紧群的特征值在1附近的行为来很好地模拟。通过研究1-和2-能级密度，我们发现潜在的辛和SO（甚至）对称性的证据，分别。这应该与Iwaniec-Luo-Sarnak以前对族{L（s，f）：f in H_k（1）}和{L（s，sym^2f）：f in H_k（1）}的结果形成对比，在那里他们分别找到了正交和辛对称的证据。目前的例子表明之间的关系的对称类型的家庭和它的扭曲，这将进一步研究在随后的文件。上面的GL（4）和GL（6）族都有偶函数方程，并且都不是从正交族中自然分裂出来的。一个民间传说猜想指出，这样的家庭必须是辛，这是正确的第一家庭，但错误的第二。因此，低位零点理论不仅仅是函数方程符号的理论。这些家庭的分析表明，它是二阶矩的佐竹参数，确定对称群。
2006-03-20 math-ph math.MP math.NT
