Integral trees with given nullity
E. Ghorbani, A. Mohammadian, B. Tayfeh-Rezaie
如果一个图的邻接矩阵的所有特征值都是整数，则称该图为整图。我们证明了，对于一个给定的零值大于1，只有100多个整树。同时证明了零值为2和3的整树是唯一的。
A graph is called integral if all eigenvalues of its adjacency matrix consist entirely of integers. We prove that for a given nullity more than 1, there are only finitely many integral trees. It is also shown that integral trees with nullity 2 and 3 are unique.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Maximum and minimum nullity of a tree degree sequence
图的零度是指图的邻接谱中特征值零的重数。本文利用匹配数和湮灭数的概念，给出了具有相同度序列的树的最小零度和最大零度的一个闭公式。构造这种最小零树和最大零树的算法。
The nullity of unicyclic signed graphs
本文引入了符号图的零性概念，并给出了具有悬挂树的符号图的零性的一些结果。分别刻画了零度为n-2; n-3; n-4; n-5的n阶单圈符号图.
On the tree cover number and the positive semidefinite maximum nullity of a graph
对于一个简单图$G=(V,E),$，令$\mathcal{S}_+(G)$表示实半正定矩阵$A=(a_{ij})$的集合，使得$a_{ij}\neq 0$若$\{i,j\}\in E$，$a_{ij}=0$若$\{i,j\}\notin E$ . $G$的最大半正定零性，记作$\operatorname{M}_+(G),$为$\max\{\operatorname{null}(A)|A\in \mathcal{S}_+(G)\}.$。$G$的树覆盖是作为$G$的导出子图出现的顶点不相交的简单树的集合，这些树覆盖$G$的所有顶点。$G$的树覆盖数，记作$T(G)$，是最小树覆盖的基数。已知图的树覆盖数和图的最大半正定零度对于外平面图是相等的，并且在2011年证明了对于所有图的$T(G)\leq M_+(G)$ [Barioli et al.，外平面图的最小半定秩和树覆盖数，$ Elec. J. Lin. Alg.,$ 2011]。我们证明了这个猜想对某些图族是成立的。进一步证明了$T(G)$的界，证明了若$G$是$n\geq 2$顶点上的连通外平面图，则有$\operatorname{M}_+(G)=T(G)\leq \left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$;若$G$是$n\geq 6$顶点上的连通外平面图，则有$\operatorname{M}_+(G…
The inverse nullity pair problem and the strong nullity interlacing property
本文研究了图论中的逆 $i$-零度对问题，针对完全图、环和树探讨了矩阵零度对的实现，并引入强零度交错性质及超图引理和反收缩引理作为构造矩阵的新工具。
Maximum nullity and zero forcing number on cubic graphs
设$G$是一个图。$G$的最大零值，用$M(G)$表示，被定义为当$G$的两个顶点$u_i$和$u_j$相邻时，其$a_{ij}\neq 0$对于$i\neq j$的所有实对称矩阵$A$上的最大可能零值。本文刻画了所有具有迫零数$3$的三次图.作为推论，证明了若迫零数为$3$，则有$M(G)=3$ .此外，我们还引入了一类三次图，它包含具有$M(G)=Z(G)=4$的图$G$。另外，我们还给出了一个算法，它把$G$的最大零值与$G$生成树的叶数联系起来。
A characterization of always solvable trees in the Lights Out game using the activation types of vertices
本文引入顶点激活类型概念，刻画了 Lights Out 游戏中始终可解的树的结构，证明其可分解为两个始终可解子树的连接图，并用最小划分基数刻画树的零度。
Spanning trees and even integer eigenvalues of graphs
对于图$G$，设$L(G)$和$Q(G)$分别是$G$的拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵，$τ(G)$是$G$的生成树个数.我们证明了，如果$G$有一个奇数的顶点和$τ(G)$是不可分的$4$，那么（i）$L(G)$没有偶数本征值，（ii）$Q(G)$没有整数本征值$λ\equiv2\pmod4$，和（iii）$Q(G)$最多有一个本征值$λ\equiv0\pmod4$，这样的本征值是简单的。作为一个结果，我们扩展了以前的结果由古特曼和Sciriha和Bapat的线性图的邻接矩阵的零。我们还证明了如果$τ(G)=2^ts$的$s$是奇数，则$Q(G)$的任何偶数特征值的重数至多是$t+1$ .除其他事项外，我们证明，如果$L(G)$或$Q(G)$有一个偶数特征值的重至少$2$，那么$τ(G)$是可分的$4$。作为这一结果的一个非常特殊的情况，Zhou等[On the nullity of connected graphs with least energy at least $-2$，Appl. Anal. 7（2013），250- 261]关于单圈图的线图的邻接矩阵的零性的讨论如下。
Zero Forcing Sets for Graphs
对于$n$顶点上的任何单图$G$，$G$的（半正定）最小秩被定义为所有（半正定）实对称$n\times n$矩阵中的最小可能秩，对于$i\neq j$，如果$ij$是$G$中的一条边，则这些矩阵在位置$(i,j)$中的项非零，否则为零.此外，$G$的（半正定）最大零度被定义为上述矩阵集合中的（半正定）矩阵的最大可能零度。本文研究了两个图参数，即$G$的迫零数$Z(G)$和正迫零数$Z_+(G)$，它们分别从上到下限定了最大零度和半正定最大零度。关于迫零数，我们引入了一些新的图族，它们的迫零数和最大零度是相同的。另外，我们建立了一类新的图的迫零数与路覆盖数之间的等式。此外，我们还建立了图的迫零数与图的色数之间的联系。关于正迫零数，我们在图中引入了迫树的概念，并建立了正迫零数与树覆盖数之间的联系。我们还研究了这些参数相吻合的图的家庭。此外，我们还给出了该参数与其它图参数，包括$G$的独立数和色数之间关系的一些新结果.
Nullspace Vertex Partition in Graphs
图的核点集是图的不变量。它由与$\{0,1\}$ -邻接矩阵的零空间向量的非零项相关联的那些顶点组成。图的其余顶点形成核心-禁止顶点集。对于具有独立核顶点的图，如二部极小构型和树，零空间诱导出一个定义良好的三部顶点划分。这个划分的部分是核心顶点集，它们的邻居和远程核心-禁止顶点。远核禁止顶点的集合是那些不与任何核顶点相邻的顶点。我们表明，这一套可以删除，保持零不变。我们证明了对于具有独立核点的图，定义与核点关联的边的邻接矩阵的子矩阵决定了邻接矩阵的零性。为了最大化具有指定零度的最优网络图的边数，我们确定哪些扰动构成图的邻接矩阵的核心顶点集在添加边时保持不变的充分条件。
Integral trees of odd diameters
如果一个图的邻接矩阵的所有特征值都是整数，则称该图为整图。最近，Csikvari证明了任何偶数直径的整树的存在性。在奇怪的情况下，整数树已经被构造成直径至多为7。本文证明了对每一个奇数n > 1，存在无穷多个直径为n的整树。
Forbidden subdivision in integral trees
该研究针对整树的结构性质，证明了所有特征值为整数的树不存在含7个顶点的细分边，为整树的结构刻画提供了新的禁用子结构结论。
Quadratic starlike trees
本文引入了二次图的概念，即特征值为整数或二次代数整数的图，并确定了九个无限的二次星形树族，它们就是包括整数星形树在内的所有二次星形树。从而完整地刻画了二次星形树，并给出了二次星形树的特征多项式的表示式。
On the extremal energy of integral weighted trees
令${\mathcal T}(n,m)$和${\mathcal F}(n,m)$分别表示分别具有正整数权重和固定总权重和$m$的$n$阶的加权树和森林的类。在本文中，我们确定了类${\mathcal T}(n,m)$和${\mathcal F}(n,m)$的最小能量。我们还确定了类${\mathcal F}(n,m)$的最大能量。在所有的情况下，我们的特征的加权图的能量达到这些极值。我们也解决了类似的最大能量和最小能量问题的类（0，1）加权树和森林。
Enumeration of Weighted Plane Trees
在加权树中，所有的边都被赋予正整数权。我们列举加权双色平面树根据他们的重量和边数。
Star-Shaped Integral Cartan-Type Matrices and an Egyptian-Fraction Classification of Affine Weighted Trees
本文研究加权星树的对称积分Z-矩阵，通过计算行列式、惯性、正定与仿射区域及仿射情形下的原始正零向量，将仿射条件化为单位分数方程，从而将仿射加权树的分类归结为有限埃及分数枚举。
A binary tree representation for the 2-adic valuation of a sequence arising from a rational integral
我们提出了一个二叉树，描述了2-adic估值的一个序列的系数所产生的评价的合理的积分。
Helmholzian Spectra of Graphs: Novel Properties
本文研究图的亥姆霍兹矩阵的谱性质，提出图亥姆霍兹谱的分类及性质，探讨其在图积中的应用及相关边界条件。
Ordered forests, permutations and iterated integrals
我们构造了一个由形式置换生成的从堆序树代数到拟对称函数代数的显式霍普夫代数同构，它是装饰有根树的Connes-Kreimer代数到shuffle代数的自然投影的提升.这种同构给出了一种将Connes-Kreimer代数的测度指标特征提升为shuffle代数的测度指标特征的通用方法，这种方法已经在\cite{Unterberger}中在粗糙路径理论的框架中引入，称为所谓的傅立叶正规排序算法。
Inversion of integral series enumerating planar trees
我们考虑一个整数级数f（X，t），它依赖于标号平面有根树集合X的选择.我们证明了它的逆的复合是形式f（Z，t）的另一个树集Z，从X推出。这个证明是独立的，虽然受到了二次运算的Koszul对偶理论的启发。
Matchings on trees and the adjacency matrix: A determinantal viewpoint
设$G$是一棵有限树。对于$G$的任何匹配$M$，令$U(M)$为未被$M$覆盖的顶点集。令$\mathcal{M}_G$是$G$的均匀随机最大尺寸匹配。本文分析了$U(\mathcal{M}_G)$的结构。我们首先证明了$U(\mathcal{M}_G)$是一个行列式过程。我们还表明，对于大多数顶点的$G$，过程$U(\mathcal{M}_G)$在该顶点的一个小的邻域可以很好地近似的基础上，一个更大的邻域相同的顶点。然后，我们表明，$U(\mathcal{M}_G)$的归一化香农熵也可以很好地近似使用的局部结构的$G$。换句话说，在树的领域中，$U(\mathcal{M}_G)$的归一化香农熵--即$G$的最大大小匹配数的归一化对数--是Benjamini-Schramm连续参数。通过建立$U(\mathcal{M}_G)$与$G$的邻接矩阵之间的新关系，证明了$U(\mathcal{M}_G)$是一个行列式过程.这一结果揭示了一个新的事实，即在一棵树上，由最大尺寸匹配发现的顶点数等于邻接矩阵的零值。一些证明是基于引入一个新的微扰参数，我们称之为温度，然后定义$\mathcal{M}_G$的正温度模拟，所谓的单体-二聚体模型，并让温度为零的良好建立的方法。
Trees with a large Laplacian eigenvalue multiplicity
本文研究了树的Laplacian特征值的重数问题。对于树，大于$1$的整数拉普拉斯特征值是简单的，并且拉普拉斯特征值$1$的重数以前已经得到了很好的研究。在这里，我们考虑其他（非整数）拉普拉斯特征值的重数。我们给出了一个上界，并确定了树的顺序$n$有一个重数是接近上界$\frac{n-3}{2}$，并强调了特殊的作用的代数连接。
Planar trees, free nonassociative algebras, invariants, and elliptic integrals
我们考虑绝对自由的非结合代数，更一般地说，绝对自由代数（可能无限）许多多线性运算。这样的代数被描述的标记约化平面有根树。这允许应用组合技术来研究它们的希尔伯特级数及其系数的渐近性。这些代数满足Nielsen-Schreier性质，并且它们的子代数也是自由的。然后，我们研究了特征为0的域上在线性群作用下的不变量子代数，它们的自由生成元集和它们的Hilbert级数。它已经证明，除了在平凡的情况下，代数的不变量是从来没有numerical生成。在重要的部分情况下，不变量代数的希尔伯特级数及其自由生成元集的生成函数用椭圆积分表示。
Graded Algebras, Algebraic Functions, Planar Trees, and Elliptic Integrals
本文综述了分次代数及其Hilbert级数的有关结果。给出了Hilbert级数$H(R,t)$与系数为指数有界的非负整数的任意幂级数$a(t)$非常接近的广义生成分次结合代数$R$的简单构造.然后总结了具有多项式单位元的代数的相关事实。进一步讨论了如何求${\mathbb Q}(t)$上有理/代数/超越的级数$a(t)$的问题。应用Fatou的一个经典结果，我们得出结论：如果一个代数生成的分次代数有有限的Gelfand-Kirillov维数，则它的Hilbert级数是有理的或超越的.特别地，同样的二分法也适用于具有多项式恒等式的代数的希尔伯特级数。我们展示了如何使用平面有根树产生代数幂级数。最后，我们综述了非对易不变量理论的一些结果，这些结果表明我们可以得到各种代数函数甚至椭圆积分的Hilbert级数。
Polynomial representation for the expected length of minimal spanning trees
在本文中，我们研究了一个积分公式的多项式被积函数，该积分公式给出了边在区间[0，1]上均匀分布的图的最小生成树的期望长度。特别是，我们推导出多项式的系数的一般公式，并将其应用于表达的基础图形的结构方面的前几个系数，例如顶点，边缘和周期的数量。
Grassmann Integral Representation for Spanning Hyperforests
给定一个超图G，我们在顶点集上引入一个Grassmann代数，并证明了一类Grassmann积分允许在生成超森林上展开。特殊情况下提供了生成函数的根和无根的生成（超）森林和生成（超）树。这些结果都是Kirchhoff矩阵树定理的推广。此外，我们表明，一类积分描述无根生成（超）森林是由一个理论与基础的OSP（1| 2）超对称性。
On the $p$-Schatten Energy of Bipartite Graphs
给出了$p$ -Schatten能量的Coulson积分公式和Coulson-Jacobs公式。利用这个公式，我们通过一个拟序比较了不同树的$p$ -Schatten能量，并建立了所有树之间路的极大性。
Exponents and bounds for uniform spanning trees in d dimensions
均匀生成树是一种统计模型，它是通过在给定的图（例如d维立方晶格的一部分）上取所有生成树的集合而获得的，每个不同的树具有相等的概率。这类树的一些性质可以通过图上的拉普拉斯矩阵，利用格拉斯曼积分得到。我们用它来获得精确的指数，这些指数的幂律衰减的概率，树的k个不同的分支通过接近每两个不同的点，作为网格的大小趋于无穷大。
On the entropy of spanning trees on a large triangular lattice
用两种不同的方法，一种是代数的，一种是图形的，计算了一个大的三角形格上的生成树的熵S_{tri}的二重积分。两种方法都得到了相同的结果S_{tri} = [1/（2 Pi）]^2 \int_0^{2 Pi} dθ \int_0^{2 Pi} d θ ln [6-2 cos（θ）-2 cos（θ+ π）] = [3（\sqrt 3）/Pi]（1 - 5^{-2} + 7^{-2} - 11^{-2} + 13^{-2} -.）
A Fast 3-Approximation for the Capacitated Tree Cover Problem with Edge Loads
针对带边负载的容量树覆盖问题，提出基于LP最优求解及线性时间舍入拆分的O(m log n)时间3-近似算法，并证明LP整性间隙恰为3。
From Trees to All Loops: The Combinatorial Geometry of Two-Site Cosmological Wavefunctions
本文通过布尔格结构重新表述了双位点宇宙学波函数系数的移位树分解，并利用有限差分算子和最大链展开给出了全圈公式的几何解释。
A Generalized Grassmann-Pfaffian Framework for Monomer-Dimer and Spanning Trees
本文提出了一种广义格拉斯曼-帕菲夫框架，用于单体-二元和生成树问题，结合贝雷林积分和生成函数方法，扩展了Hafnian和Pfaffian的理论应用。
Colored graphs, Gaussian integrals and stable graph polynomials
高斯积分的渐近展开通常可以解释为某些组合对象（具有附加数据的图）的生成函数。在这篇文章中，我们讨论了一个通用的方法，所有这些情况下使用有色图。我们证明了此类图的生成幂级数满足与高斯积分相同的偏微分方程组，并且该系统的形式幂级数解是唯一的。通过生成幂级数的亏格展开得到了解。这种展开的初始项是树的相应生成函数。这一项的结果方程等价于由初始条件定义的梯度映射的反演问题。亏格展开的高阶项的方程是线性的。这些方程的解可以通过将初始条件和初始项（树展开式）代入一些泛多项式（g>1）来显式表示，这些泛多项式是稳定闭图的生成函数。(For g=1而不是多项式出现对数。）稳定图多项式满足一定的递推关系。文[1]中的某些结果是在一维情况下或多或少通过直接求解微分方程得到的。在这里，我们提出纯粹的组合证明。
Conjugation, loop and closure invariants of the iterated-integrals signature
本文刻画了路径迭代积分签名中在起点移动下保持不变的环路不变量，并将其与路径拼接群上的共轭不变量及适用于分段线性轨迹的闭合不变量建立联系。
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