Percolating sets in bootstrap percolation on the Hamming graphs
对于任意整数$r\geqslant0$，图上的$r$ -邻居自举渗流是顶点的激活过程.该过程从一些初始激活的顶点开始，然后在每一轮中，具有至少$r$活动邻居的任何非活动顶点变为激活的。一组初始激活的顶点导致所有顶点的激活被称为一个激活集。用$m(G, r)$表示图$G$上的$r$ -近邻自举渗流过程的最小集.本文给出了$m(K_n^d, r)$的上下界，其中$K_n^d$是完全图$K_n$的$d$拷贝的笛卡尔积，完全图称为Hamming图.在其他结果中，我们表明，当$r$和$d$都以$r<n$和$d=o(\!\sqrt{r})$趋于无穷大时，$m(K_n^d, r)=\frac{1+o(1)}{(d+1)!}r^d$。
2019-05-06 math.CO
The solvable Graph of a finite-dimensional Lie Algebra
Lancaster University（兰卡斯特大学）
本文引入有限维李代数的可解图Γ_𝔖(L)，研究其基本性质、结构约束及实例，确定特定李代数可解图的度序列，提供计算框架，揭示与幂零图的异同，为李理论可解性研究提供新图形方法。
2025-11-11 math.CO math.GR math.RA
Solvable conjugacy class graph of groups
本文引入了与群$G$相关联的图$Γ_{sc}(G)$，称之为可解共轭类图（SCC-图），其顶点是$G$的非平凡共轭类，并且如果存在$x \in C$和$y \in D$使得$\langle x, y\rangle$可解，则两个不同的共轭类$C, D$相邻.我们讨论了SCC-图的连通度、围长、团数等性质。我们的一个结果是，只有100多个有限群的SCC-图具有团数$d$，并且我们用$d=2$明确地找到了这类群的列表.
2022-02-05 math.CO math.GR
Hamiltonian path and Hamiltonian cycle are solvable in polynomial time in graphs of bounded independence number
本文证明了在独立数不超过k的图中，哈密顿路径、哈密顿圈及新提出的Hamiltonian-$\ell$-Linkage问题均可在多项式时间内求解。
2025-04-01 cs.DM math.CO
Optimal pebbling of paths and cycles
当一个pebble可以用一系列允许的pebbling规则移动到任意指定的顶点时，pebbles到图的顶点的分布称为可解的。最优pebbling数是创建可解分布所需的最少pebbles数。我们提供了一个更简单的证明验证Pachter，Snevily和Voxman的确定的最佳pebbling路径数，然后适应这个证明中的想法，建立最佳pebbling循环数。最后，我们证明了格雷厄姆猜想的最优卵石版本。
2005-06-03 math.CO
Effects of edge addition or removal on the nullity of a graph
本文研究 Lights Out 游戏中图的闭邻接矩阵零度在单条边增删后的变化，证明正零度图可删边降零度，并刻画了总能可解图通过加边或删边提高零度的条件。
2024-09-06 math.CO
On the Pebbling Threshold Spectrum
一个图的顶点上的pebbles配置是可解的，如果我们可以通过一系列pebbling步骤将pebbles放置在任何给定的根顶点上。一个函数是一系列图的卵石阈值，如果一个随机选择的配置渐近更多的卵石几乎肯定是可解的，而一个渐近更少的卵石几乎肯定不是。在本文中，我们证明了图序列的pebbling阈值的谱跨越从n^{1/2}到n的整个范围。这回答了齐格诺、伊顿、赫尔伯特和凯尔的一个问题。在n以上的光谱是什么样的仍然是未知的。
2004-06-07 math.CO
Classifying character degree graphs with seven vertices
本文研究七个顶点的图，分类了有限可解群的素特征标次数图，完成了不连通图的分类，并证明了853个非同构连通图中有22个出现，44个仍未分类。
2023-08-02 math.CO math.GR
Improved Pebbling Bounds
考虑一个由分布在$n$阶连通图的顶点上的卵石构成的结构。一个pebbling步骤包括从一个给定的顶点移除两个pebble，并将一个pebble放置在相邻的顶点上。一个图上的鹅卵石分布称为可解的，如果它可以使用一系列鹅卵石步骤将鹅卵石放置在任何给定的顶点上。一个图的pebbling数，记为$f(G)$，是使$G$上的每个$f(G)$ pebbles的配置都是可解的最小pebbles数。我们得到了几个一般的pebbling数的上界，改进了以前的结果。
2005-10-03 math.CO
$\boldsymbol{2}$-Neighbor Bootstrap Percolation on Odd Graphs
School of Mathematics（数学学院）；Institute for Research in Fundamental Sciences (IPM)（基础科学研究院）
研究奇数图上$2$-邻居引导渗透的最小渗透集大小，给出上下界并证实一个猜想。
2026-10-20 math.CO
Degree 2 vertices in minimal prime graph complements
本文研究极小素图补图中二度顶点的结构，证明其结构为有限重复的5-cycle，属于reseminant图类。
2025-11-30 math.CO
Combinatorial foundations for solvable chaotic local Euclidean quantum circuits in two dimensions
Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
本文证明二维网格Z²具有测地线可定向性，为设计二维欧几里得格子上的精确可解混沌量子电路提供了理论基础。
2026-10-28 math.CO math.MG quant-ph
More algorithmic results for problems of spread of influence in edge-weighted graphs with and without incentives
本文研究边加权社交网络中的影响力传播，证明最优目标集即使在完全图上也不可近似，并给出最优目标向量与退化阈值分配的困难性及多项式时间算法结果。
2024-02-29 cs.DM math.CO
Pebbling number of polymers
本文研究了由单体单元经点附着构成的聚合物图的pebbling数，通过定义pebbling配置和步骤，探讨了使任意配置可解的最小pebble数量。
2024-02-20 math.CO
Detecting an induced net subdivision
{ \em net}是一个由三角形$C$和另外三个顶点组成的图，每个顶点的度为1，并且与$C$中的相邻顶点相邻，并且所有顶点都与$C$的不同顶点相邻。本文给出了一个多项式时间算法来检验一个输入图是否有一个导出子图，而导出子图是一个网的一个剖分。与许多类似的问题不同，这个问题似乎不能通过应用“三棵树”子程序来解决。
2013-09-08 cs.DM math.CO
Squares of Low Maximum Degree
图H是图G的平方根，如果G可以通过在H中距离为2的任意两个顶点之间添加一条边而从H获得。平方根问题是决定给定的图是否允许平方根的问题。这个问题是唯一已知的是NP-完全的弦图和多项式时间可解的非平凡的小封闭的图形类和非常有限的其他图形类。我们证明了平方根对于最大度为5的图是O（n）-时间可解的，对于最大度不超过6的图是O（n^4）-时间可解的。
2016-08-27 cs.DM cs.DS math.CO
On the complete width and edge clique cover problems
一个完全图是其中每两个顶点相邻的图。对于图$G=(V,E)$，$G$的完全宽度是最小$k$，使得存在$k$独立集$\mathtt{N}_i\subseteq V$，$1\le i\le k$，使得由$G$通过在集$\mathtt{N}_i$，$1\le i\le k$内的某些顶点之间添加一些新边而得到的图$G'$是完全图。图的完全宽度问题是决定给定图的完全宽度是否至多为$k$。本文研究完全宽度问题。我们证明了完全宽度问题在$3K_2$ -free二部图上是NP-完全的，在$2K_2$ -free二部图和$(2K_2,C_4)$ -free图上是多项式可解的。作为一个副产品，我们得到了以下新的结果：边团覆盖问题是NP-完全的$\overline{3K_2}$ -free的共二部图和多项式可解的$C_4$ -free的共二部图和$(2K_2, C_4)$ -free的图。我们还给出了$k$ -探针完全图的一个特征，这意味着完全宽度问题允许一个至多$2^k$顶点的核。这为边团覆盖问题允许至多$2^k$顶点的核这一已知事实提供了另一个证明。最后我们确定了所有具有小完全宽度$k\le 3$的图。
2016-12-23 cs.DM math.CO
Lights Out On A Random Graph
我们考虑广义游戏熄灯发挥图和调查以下问题：对于一个给定的正整数$n$，什么是概率，一个图均匀随机选择的一组图与$n$顶点产生一个普遍可解的游戏熄灯？当$n \leq 11$时，我们通过确定游戏对于每个具有$n$顶点的图是否普遍可解来精确计算这个概率。我们通过使用1，000，000次试验应用蒙特卡罗方法，用$n \leq 100$近似每个正整数$n$的概率。我们还对连通图进行了类似的计算。
2022-08-08 math.CO math.PR
Contagious Sets in Dense Graphs
我们研究了无向图中的激活过程，称为自举渗透：一个顶点是活跃的，如果它属于一组初始激活的顶点，或者如果在某个点上，它至少有r个活跃的邻居，对于一个阈值r，这是相同的所有顶点。传染集是一个顶点集，其激活结果是整个图都是活动的。设m（G，r）是n阶图G中最小传染集的大小.我们研究密度条件，确保m（G，r）= r的所有r >= 2。关于最小度，我们证明了保证存在这样一个最小可能传染集当且仅当G的最小度至少为（k-1）/k * n.此外，我们研究了激活传播的速度，并提供了严格的上界，直到所有节点都被激活，在这样的图轮数。我们还调查了什么平均度断言存在小的传染集。对于n >= k >= r，我们用M（n，k，r）表示满足m（G，r）>k的n-顶点图G的最大边数.我们确定M（n，k，2）和M（n，k，k）的精确值，假设n与k相比足够大。
2015-11-17 cs.DM math.CO
Classifying Prime Character Degree Graphs With Eight Vertices
Kent State University（肯特州立大学）
本文致力于分类具有八个顶点的素数特征度图，通过现有结果和构造开发通用算法，对八顶点图进行分类，发现37个连通图出现，56个图不出现，206个图尚未分类。
2026-10-16 math.CO math.GR
Equitable coloring of corona products of cubic graphs is harder than ordinary coloring
一个图是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小$k$被称为$G$的\emph{equitable chromatic number}，并且它被表示为$χ_{=}(G)$。本文研究了三次图的冠的$χ_=$的确定问题。虽然三次图的冠的普通着色问题在多项式时间内是可解的，但对这类图的均匀着色问题则是NP-难的。我们提供了多项式可解的情况下，冠的三次图，并证明了在一般情况下的NP-硬度。作为一个副产品，我们得到了一个简单的线性时间算法的公平着色，使用$χ_=(G)$或$χ_=(G)+1$颜色的图。我们的算法是最好的，除非$P=NP$。因此，三次冠似乎是唯一已知的一类图的公平着色是困难的比普通着色。
2014-09-02 cs.DM math.CO
Avoidable Vertices and Edges in Graphs
图中的顶点是单纯的，如果它的邻域形成团。我们考虑单纯顶点的概念的三个推广：可避免的顶点（也称为\textit{OCF} -顶点），单纯路径，以及它们的共同推广可避免的路径，这里介绍。我们提出了一个一般性的猜测存在的可避免的道路。如果这个猜想成立，那么它就意味着Ohtsuki、Cheung和Fujisawa在1976年得出的关于可避免顶点存在性的结果，以及Chvátal、Sritharan和Rusu在2002年得出的关于单纯路径存在性的结果。反过来，这两个结果推广了Dirac的经典结果弦图的单纯顶点的存在性。我们证明了每个有边的图都有一条可避免的边，从而解决了猜想的第一个公开案例。我们指出，在一个图和它的最小三角形之间的密切关系，避免顶点，并确定新的算法使用的避免顶点，导致新的多项式可解的情况下，最大重量团问题的类图同时推广弦图和圆弧图。最后，我们观察到，证明的情况下，猜想有有趣的后果，高度对称的图：在顶点传递图的每一个诱导的两个边缘的道路接近一个诱导圈，而在边传递图的每一个三边的道路接近一个循环和每一个诱导的三边的道路接近一个诱导圈。
2019-07-28 cs.DM math.CO
More on graph pebbling number
本文研究了特定图的pebbling数，并探讨了两图的corona与邻域corona操作的pebbling数。
2024-02-15 math.CO
Arc-disjoint out- and in-branchings in compositions of digraphs
有向图$D$中的出分支$B^+_u$（入分支$B^-_u$）是$D$的连通生成子有向图，其中除顶点$u$（称为根）外的每个顶点的入度（出度）为1。$D$中的{ \bf good $\mathbf{(u,v)}$ -pair}是一对没有共同弧的分支$B^+_u,B^-_v$。证明了判定一个有向图是否有好偶是NP-完全的。一个有向图是{ \bf semicomplete}，如果它没有不相邻的顶点对。{ \bf半完全合成}是通过用任意有向图$H_x$代替$S$的每个顶点$x$而从半完全有向图$S$获得的任何有向图$D$。最近，作者给出了具有良好$(u,v)$ -对的半完全有向图的完全分类，其中$u,v$是$D$的指定顶点.对于给定的半完全有向图$D$和$D$的顶点$u,v$，他们给出了一个多项式算法，该算法要么在$D$中产生一个好的$(u,v)$ -对，要么证明$D$具有这样的对.本文给出了如何利用半完全有向图的结果来完全解决判定给定的半完全合成$D$，对于$D$的给定顶点$u,v$是否有好的$(u,v)$ -对的问题。我们的解决方案意味着问题是多项式可解的所有半完全组合物。特别地，我们的结果意味着存在一个多项式算法来判定给定的拟传递有向图$D$对于$D$的给定顶点$u,v$是否具有好的$(u,v)$ -对。这证实了Bang-Jensen和Gutin在1998年提出的一个猜想。
2023-02-16 math.CO
Some Necessary and Sufficient Conditions for Diophantine Graphs
Ain Shams University（艾因夏姆斯大学）
本文定义并研究极大丢番图图 $D_n$，计算其独立数、全度顶点数和团数，为丢番图标号的存在性提供必要条件。
2024-12-29 math.CO math.NT
On the characterization of graphs with tree 3-spanners
本文解决了刻画满足$σ(G)=3$的图这一长期公开问题，证明判定$σ(G)\leq 3$是多项式可解的。
2025-02-06 math.CO
Finding k partially disjoint paths in a directed planar graph
{ \it部分不相交路径问题}是：{ \it给定：}一个有向图，顶点$r_1,s_1,\ldots,r_k,s_k$，和来自$\{1,\ldots,k\}$的$\{i,j\}$对的集合$F$，{ \it找到：}对于每个$i=1,\ldots,k$，有向$r_i-s_i$路径$P_i$，使得如果$\{i,j\}\in F$，则$P_i$和$P_j$是不相交的。我们表明，固定$k$，这个问题是可解的多项式时间，如果有向图是平面的。更一般地说，这个问题是可解的多项式时间嵌入在一个固定的紧凑表面上的有向图。此外，可以为每个边指定$\{1,\ldots,k\}$的子集，该子集规定哪些$r_i-s_i$路径被允许穿过该边。
2015-04-01 math.CO math.OC
Exact certification of the coordinate fields of the triangle-free Exoo-Ismailescu unit-distance graphs EI17 and EI19 (HoG 51375, 51376): a solvable-non-solvable dichotomy (origami vs. S20) and the Laman-number conjecture
CEFET-RJ（里约热内卢联邦技术教育中心）；Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)（里约热内卢州立大学）
研究对无三角形的Exoo-Ismailescu单位距离图EI17和EI19坐标场进行精确认证，通过分析其自由角多项式的伽罗瓦群，发现EI19可折纸构造，EI17不可解不能用根式表示，呈现可解 - 不可解二分法，还给出认证流程并关联拉曼数与伽罗瓦群。
2026-07-29 math.CO math.MG
Acyclicity in Edge-Colored Graphs
边着色图中的行走$W$称为适当着色（PC），如果$W$中的每对相邻边都是不同的颜色.在边着色图中引入并研究了五种类型的PC无圈性，使得$i$型PC无圈图是$i+1$型、$i=1,2,3,4.$型PC无圈图的真超集。前三种类型分别等价于不存在PC圈、PC迹和PC游动。虽然可以在多项式时间内识别类型1、2和3的图，但是令人惊讶的是，识别类型4的图的问题甚至对于2-边着色图（即，当仅使用两种颜色时）。关于类型5的相同问题对于所有边着色图都是多项式时间可解的。利用这五种类型，我们研究了求两个顶点之间内部顶点不交PC路的最大数目和满足两个顶点之间所有PC路的顶点的最小数目问题的难处理性和易处理性之间的边界。
2016-09-12 cs.DM math.CO
On the complexity of the identifiable subgraph problem, revisited
一个至少有一条边的二分图$G=(L,R;E)$称为可识别的，如果对于每个顶点$v\in L$，由它的非邻居导出的子图具有基数匹配$|L|-1$ . $G$的$\ell$ -子图是$G$的导出子图，它是通过删除$L$中的某些顶点及其所有邻居而得到的.可识别子图问题是判定给定的二部图是否包含可识别的$\ell$ -子图的问题。我们发现，可识别的子图问题是多项式可解的，随着版本的问题，其中的任务是删除尽可能少的顶点$L$连同所有的邻居，使所产生的$\ell$ -子图是可识别的。我们还补充了一个已知的APX硬度结果的互补问题，其中的任务是最小化剩余顶点的数量在$L$，通过显示两个参数化的问题的变体是W[1]-硬。
2016-03-20 cs.CC cs.DM math.CO
Induced Minor Models. II. Sufficient conditions for polynomial-time detection of induced minors
University of Fribourg（弗里堡大学）；University of Warsaw（华沙大学）；University of Primorska（滨海大学）；Université d’Orléans（奥尔良大学）；INSA Centre Val de Loire（中央卢瓦尔河谷国立应用科学学院）
该研究针对$H$-诱导子式包含问题（$H$-IMC）的计算复杂性，探究图$H$的性质与多项式时间求解的关联，确定四类满足条件的无限图族，还证明输入图不含长诱导路径时该问题对任意固定$H$可多项式时间求解，并推出顶点数≤5的图中仅三个情形仍未决。
2025-10-28 cs.CC cs.DM cs.DS
Contagious Sets in Expanders
我们考虑以下激活过程中的无向图：一个顶点是活跃的，如果它属于一组最初激活的顶点，或者如果在某个点上，它至少有$r$活跃的邻居，其中$r>1$是激活阈值。\emph{contagious set}是一个集合，其激活结果是整个图都处于活动状态。给定一个图$G$，令$m(G,r)$是传染集的最小尺寸。计算$m(G,r)$是NP难的。已知对每个$d$ -正则或几乎$d$ -正则的$n$顶点图，有$m(G,r) \le O(\frac{nr}{d})$ .我们认为这样的图，另外具有扩展属性，参数化的频谱间隙和/或周长的图形。我们的结果的一般味道是，足够强的扩展（例如，$λ(G)=O(\sqrt{d})$，或周长$Ω(\log \log d)$）意味着$m(G,2) \le O(\frac{n}{d^2})$（更一般地，$m(G,r) \le O(\frac{n}{d^{r/(r-1)}})$）。显著较弱的扩展性质足以暗示$m(G,2)\le O(\frac{n \log d}{d^2})$。例如，我们证明了这一点的图的围长至少为7，并为图与$λ(G)<(1-ε)d$，提供了图没有4-圈。通过考虑具有$p \simeq \frac{d}{n}$和$d > \log n$的二项随机图$G(n,p)$，可以得到近似$d$ -正则扩张图.对于这样的图，我们证明了$Ω(\frac{n}{d^2 \lo…
2014-02-10 cs.DM math.CO
Maximum independent queen set on polyominoes is NP-complete
Ludwig Maximilian Universität München（慕尼黑路德维希-马克西米利安大学）
研究多联骨牌上皇后图的独立集问题INDQUEENS，证明其为NP完全问题，证实相关猜想，且因归约简约进一步证明是#P完全的，还证明了多联骨牌上的INDROOKS虽是多项式时间可解但也是#P完全的。
2026-07-28 cs.CC math.CO
Stackelberg Vertex Cover on a Path
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
研究路径上Stackelberg顶点覆盖问题，提出线性时间与空间复杂度的动态规划算法。
2023-09-22 cs.DM cs.GT math.CO
On Detecting $H$-Induced Minors for Small $H$
Durham University（杜伦大学）；ENS de Lyon, CNRS（里昂高等师范学院，法国国家科学研究中心）
研究解决小H的诱导 minor 检测问题，通过设计算法和证明NP难性，完成五顶点H的分类并回答开放问题。
2026-04-27 cs.CC cs.DS math.CO
Few Induced Disjoint Paths for $H$-Free Graphs
图$G=(V,E)$中的路$P^1,\ldots,P^k$是相互诱导的，如果任意两个不同的$P^i$和$P^j$既没有公共点也没有相邻点.对于一个固定的整数$k$，$k$诱导的不相交路径问题是决定一个具有指定顶点的$k$对$(s_i,t_i)$的图$G$是否包含$k$相互诱导的路径$P^i$，使得每个$P^i$从$s_i$开始并在$t_i$结束.而非诱导的版本是众所周知的多项式时间可解的每个固定整数$k$，一个经典的结果，从文献中指出，即使$2$诱导不相交的路径是NP完全的。我们证明了新的复杂性结果的$k$ -诱导不相交的路径，如果输入被限制为$H$ -自由图，即，没有一个固定的图$H$作为一个诱导子图的图。我们比较我们的结果与复杂二分法诱导不相交的路径，变体$k$是输入的一部分。
2022-06-13 cs.CC cs.DM cs.DS
On the Generation, Structure, and Symmetries of Minimal Prime Graphs
本文继续研究有限可解群的素图。有限群G的素图或Gruenberg-Kegel图具有由G的阶素除子组成的顶点和从素数p到q的边当且仅当G包含阶为pq的元素。自从2015年发现了可解群的素图的一个简单的纯图论特征以来，这些图已经从图论的角度进行了更详细的研究。在本文中，我们将探讨这些图的几个新的方面。我们刻画了正则同格图，研究了任意基图的同格图的自同构。然后，我们研究了最小素图在较大的顶点集上的一个新的正则图建设的基础图和证明结果的素数图的性质下的图的产品。最后，我们给出了从一个给定的极小素图得到一个新的极小素图的第一种不同于顶点复制的新方法。
2022-10-25 math.CO math.GR
Graph-theoretical search for integrable multistate Landau-Zener models
School of Physics and Electronics, Hunan University（湖南大学物理与电子学院）
通过图论方法系统搜索多态Landau-Zener模型的可积性，发现特定图结构可能推翻原有猜想。
2025-12-17 cond-mat.mes-hall math-ph math.CO
Ordering without forbidden patterns
设F是一组有序模式，即，顶点是线性排序的图。图H的顶点的F-自由序是V（H）的线性序，使得F中没有模式作为导出有序子图出现。我们用ORD（F）表示判定问题，询问输入图是否允许F-自由序;我们也用ORD（F）表示允许F-自由序的图类。Damaschke（和其他人）观察到，许多自然图类可以描述为小模式（具有三个或四个顶点）的集合F的ORD（F）。Damaschke还指出，对于许多由三个顶点的模式组成的集合F，ORD（F）是多项式时间可解的已知算法或其简单的修改。通过证明所有这些问题都可以在多项式时间内求解，我们完成了这幅图。事实上，我们提供了一个单一的主算法，即，我们在多项式时间内解决问题$ORD_3$，其中输入是至多三个顶点的模式集F和图H，并且问题是决定H是否允许顶点的F-自由排序。我们的算法证明非成员的一个禁止的子结构，从而提供了一个单一的禁止结构表征的所有图类描述的一些ORD（F）与F组成的模式，最多有三个顶点。Duffus、Ginn和Rodl已经证明了许多问题ORD（F）（F由较大的模式组成）是NP完全的，我们添加两个简单的例子。我们还讨论了一个二部版本的问题，BORD（F），其中的输入是一个二部图H与固定的二分的顶点，我们给出了一组F的二部模式。我们还描述了一些有向图排序问题和算法的例子。我们猜想，对于每一个禁止模式集F，ORD（F）是多项式或NP-完全的。
2014-08-07 cs.DM cs.DS math.CO
Rooted Almost-binary Phylogenetic Networks for which the Maximum Covering Subtree Problem is Solvable in Linear Time
本文研究近二叉系统发育网络，利用规范分解和栅栏连接性质刻画了$δ^\ast(N)=η^\ast(N)$的条件，提出了一类可线性时间求解最大覆盖子树问题的新网络。
2023-05-24 cs.DM math.CO q-bio.PE
