The nullity of unicyclic signed graphs
Yi-Zheng Fan, Yue Wang, Yi Wang
本文引入了符号图的零性概念，并给出了具有悬挂树的符号图的零性的一些结果。分别刻画了零度为n-2; n-3; n-4; n-5的n阶单圈符号图.
In this paper we introduce the nullity of signed graphs, and give some results on the nullity of signed graphs with pendant trees. We characterize the unicyclic signed graphs of order n with nullity n-2; n-3; n-4; n-5 respectively.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Further results on the nullity of signed graphs
图的零度是指图的谱中特征值为零的重数。一个带符号的图是一个图，它的每一条边都有一个符号。本文得到了符号图的特征多项式的系数定理，给出了两个关于有割点的符号图的零值的公式。作为上述结果的应用，我们研究了双圈符号图$Γ(\infty(p,q,l))$的零度，得到了不平衡双圈符号图的零度集，从而确定了双圈符号图的零度集.
The Nullity of Bicyclic Signed Graphs
设Γ是一个符号图，A（Γ）是Γ的邻接矩阵.Γ的零度是A（Γ）的谱中特征值零的重数。本文刻画了零度为n-2或n-3的n阶符号图，并引入了一种保持零度的图变换。作为应用，我们确定了n阶不平衡双圈符号图的零度为n-3或n-4，以及n阶符号双圈符号图（包括简单双圈图）的零度为n-5。
An upper bound on the nullity of signed graphs
本文证明了符号图的零度的一个上界，并给出了相应的极符号图的完全刻画。
Unicyclic signed graphs with maximal energy
设$x_1, x_2, \dots, x_n$是阶为$n$的符号图$Γ$的特征值. $Γ$的能量定义为$E(Γ)=\sum^{n}_{j=1}|x_j|.$。令$\mathcal{P}_n^4$通过连接负圆$(C_4,{\overlineσ})$的顶点与路径$P_{n-4}$的终端顶点来获得。本文证明了对于$n=4,6$和$n \geq 8,$，$\mathcal{P}_n^4$是除圈$C_5^+, C_7^+.$以外的所有连通单圈$n$ -顶点带号图中能量最大的图
No signed graph with the nullity $η(G,σ)=|V(G)|-2m(G)+2c(G)-1$
设$G^σ=(G,σ)$是一个带符号图，$A(G,σ)$是它的邻接矩阵.用$m(G)$表示$G$的匹配数。令$η(G,σ)$为$(G,σ)$的零值。He et al. [Bounds for the matching number and cyclomatic number of a signed graph in terms of rank，Linear Algebra Appl. 572（2019），273- 291]证明了$$|V(G)|-2m(G)-c(G)\leqη(G,σ)\leq |V(G)|-2m(G)+2c(G),$$，其中$c(G)$是$G$的循环空间的维数。同一篇文章分别刻画了达到下界和上界的符号图。本文证明了不存在零值符号图$|V(G)|-2m(G)+2c(G)-1$。我们还证明了对于给定的$c(G)$，存在无穷多个零度为$|V(G)|-2m(G)+2c(G)-s,~(0\leq s\leq3c(G), s\neq1)$的带号图.
Signed graphs with exactly two main eigenvalues: The unicyclic case
本文研究了基图为单环的有向图的主特征值性质，并提出若干开放性问题。
On the Estrada index of unicyclic and bicyclic signed graphs
本文研究符号图Estrada指标的极值问题，刻画了具有最大Estrada指标的单圈符号图，并在具有配对性质的不平衡图类以及不平衡完全二部符号图中确定了取得最大Estrada指标的图。
The nullity of the net Laplacian matrix of a signed graph
本文研究连通符号图的净拉普拉斯矩阵零度，证明了其上下界，并完全确定了零度达到边界时的连通符号图与符号仙人掌图的结构特征。
Two-connected signed graphs with maximum nullity at most two
有符号图是一对$(G,Σ)$，其中$G=(V,E)$是具有$V=\{1,\ldots,n\}$和$Σ\subseteq E$的图（其中允许平行边，但不允许循环）。$Σ$中的边称为奇数，$E$中的其他边称为偶数。通过$S(G,Σ)$，我们表示所有对称$n\times n$矩阵的集合$A=[a_{i,j}]$，其中如果$i$和$j$相邻并且仅由偶数边连接，则$a_{i,j}<0$，如果$i$和$j$相邻并且仅由奇数边连接，则$a_{i,j}>0$，如果$i$和$j$由偶数边和奇数边连接，则$a_{i,j}\in \mathbb{R}$，如果$i\not=j$和$i$和$j$不相邻，则$a_{i,j}=0$，并且$a_{i,i} \in \mathbb{R}$用于所有顶点$i$。符号图$(G,Σ)$的参数$M(G,Σ)$和$ξ(G,Σ)$分别是任何矩阵$A\in S(G,Σ)$的最大零值和任何矩阵$A\in S(G,Σ)$的最大零值，该矩阵具有强Arnold假设。在以前的文章中，我们给出了带有$M(G,Σ)\leq 1$的符号图$(G,Σ)$和带有$ξ(G,Σ)\leq 1$的符号图的一个刻画。本文用$M(G,Σ)\leq 2$刻画了$2$ -连通符号图$(G,Σ)$，用$ξ(G,Σ)\leq 2$刻画了$2$ -连通符号图$(G,Σ)$.
On the permanental nullity and matching number of graphs
对于具有$n$顶点的图$G$，令$ν(G)$和$A(G)$分别表示$G$的匹配数和邻接矩阵.定义$G$的永久多项式为$π(G,x)={\rm per}(Ix-A(G))$。用$η_{per}(G)$表示的$G$的永久零性是$π(G,x)$的零根的重数。本文利用Gallai-Edmonds结构定理导出了一个简明的公式，它揭示了图的永久零度与匹配数之间的关系。此外，我们还证明了图$G$有$η_{per}(G)=0$的一个充要条件。作为应用，我们证明了$n$顶点上的单圈图$G$满足$n-2ν(G)-1 \le η_{per}(G) \le n-2ν(G)$，图的线图的永久零度为零或1，因子临界图的永久零度总是零.
On the Signed Complete Graphs with Maximum Index
设$Γ=(K_{n},H^-)$是一个符号完全图，其负边导出一个子图$H$ . $Γ$的指数是其邻接矩阵的最大特征值。本文研究了当$H$是单圈图时$Γ$的指数.我们证明了在所有负边诱导一个$k$阶单圈图并使指数最大化的$n>5$阶符号完全图中，负边诱导一个三角形，其余顶点都悬垂在三角形的同一顶点上.
Degree similar and net-degree similar signed graphs
该研究将度相似概念扩展至符号图，证明符号树由度相似类唯一确定但不由净度相似类确定，构造了（净）度相似符号图，解决了Godsil和Sun关于单圈图问题的净度版本。
Zero forcing for sign patterns
我们引入了迫零的一个新的变体--带符号迫零.经典的迫零数提供了一个上界的最大零的矩阵与给定的图（即零-非零模式）。我们的新变体提供了一个类似的边界与给定的符号模式的矩阵的最大零。这允许我们计算，例如，一个Z-矩阵的最大零值，它的图是L（K_{n}），一个团的线图。
Multiplicity Bounds for Arbitrary Eigenvalues of Connected Signed Graphs
本文研究了连通有向图任意特征值的多重性界，通过环长建立了精确上界，并给出了极值族的交换等价条件。
Spanning trees and even integer eigenvalues of graphs
对于图$G$，设$L(G)$和$Q(G)$分别是$G$的拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵，$τ(G)$是$G$的生成树个数.我们证明了，如果$G$有一个奇数的顶点和$τ(G)$是不可分的$4$，那么（i）$L(G)$没有偶数本征值，（ii）$Q(G)$没有整数本征值$λ\equiv2\pmod4$，和（iii）$Q(G)$最多有一个本征值$λ\equiv0\pmod4$，这样的本征值是简单的。作为一个结果，我们扩展了以前的结果由古特曼和Sciriha和Bapat的线性图的邻接矩阵的零。我们还证明了如果$τ(G)=2^ts$的$s$是奇数，则$Q(G)$的任何偶数特征值的重数至多是$t+1$ .除其他事项外，我们证明，如果$L(G)$或$Q(G)$有一个偶数特征值的重至少$2$，那么$τ(G)$是可分的$4$。作为这一结果的一个非常特殊的情况，Zhou等[On the nullity of connected graphs with least energy at least $-2$，Appl. Anal. 7（2013），250- 261]关于单圈图的线图的邻接矩阵的零性的讨论如下。
A graph minors characterization of signed graphs whose signed Colin de Verdière parameter $ν$ is two
有符号图是一对$(G,Σ)$，其中$G=(V,E)$是具有$V=\{1,...,n\}$和$Σ\subseteq E$的图（其中允许平行边，但不允许循环）。$Σ$中的边称为奇数，其他边称为偶数。通过$S(G,Σ)$，我们表示所有对称$n\times n$矩阵的集合$A=[a_{i,j}]$，如果$i$和$j$仅由偶数边连接，则$a_{i,j}<0$，如果$i$和$j$仅由奇数边连接，则$a_{i,j}>0$，如果$i$和$j$由偶数边和奇数边连接，则$a_{i,j}\in \mathbb{R}$，如果$i\not=j$和$i$和$j$不相邻，则$a_{i,j}=0$，并且$a_{i,i} \in \mathbb{R}$用于所有顶点$i$。符号图$(G,Σ)$的参数$ν(G,Σ)$是具有强Arnold性质的半正定矩阵$A\in S(G,Σ)$的最大零值。用$K_3^=$表示由$(K_3,\emptyset)$通过向每个偶数边并行添加一个奇数边而获得的带符号图。本文证明了符号图$(G,Σ)$有$ν(G,Σ)\leq 2$当且仅当$(G,Σ)$没有子同构于$(K_4,E(K_4))$或$K_3^=$ .
On Sign-Invertible Graphs
设$G$是一个图，$A$是它的邻接矩阵.一个图$G$是可逆的，如果它的邻接矩阵$A$是可逆的，并且$G$的逆是一个具有邻接矩阵$A^{-1}$的加权图。符号图$(G,σ)$是具有特殊权函数$σ: E(G)\to \{-1,1\}$的加权图。一个图是符号可逆的，如果它的逆是一个有符号图。一个符号可逆图总是幺模的。图的逆有有趣的组合利益。本文研究了图的逆，给出了符号可逆图的一种组合描述，为符号可逆图的刻画提供了一种工具。作为应用，我们刻画了具有唯一完美匹配的符号可逆二部图和圈秩秩不超过2的符号可逆图。作为这些特征的推论，一些关于树（Buckley，Doty和Harary在1982年）和具有唯一完美匹配的单圈图（Kalita和Sarma在2022年）的早期结果直接遵循。
On Spectra of $\mathbb{T}$-Gain Digraphs
该研究发展了$\boldsymbol{\top}$-增益有向图的增益邻接、拉普拉斯等矩阵的谱理论，扩展了相关经典结果，确定了单圈有向图的谱，并刻画了圈平衡等性质。
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