Robustness of mKdV Breathers: A Numerical Perspective
Florida International University（佛罗里达国际大学）；Chongqing University（重庆大学）
通过数值模拟系统研究mKdV方程呼吸子解，证明其在多种扰动下稳定，并扩展至对称势的不可积情形，提供数值证据表明其可长期保持稳定。
2026-09-24 cs.NA math.AP math.NA
Orbital Stability Of A Sum Of Solitons And Breathers Of The Modified Korteweg-de Vries Equation
本文证明了修正的Korteweg-de Vries方程的孤子和呼吸子之和（mKdV）是轨道稳定的。轨道稳定性用H ^2表示。更准确地说，我们将证明，如果（mKdV）的解足够接近于在H^2意义下，在t=0时具有不同速度的孤子和呼吸子之和，那么它将保持接近于这个孤子和呼吸子之和，直到孤子的空间平移和呼吸子的空间或相位平移。由此，我们推导出在[49]中构造的（mKdV）的多呼吸子的轨道稳定性。作为轨道稳定性和逆散射方法得到的多呼吸子公式[51]的应用，我们导出了一个关于多呼吸子唯一性的结果。
2022-08-03 math.AP
Uniqueness of quasimonochromatic breathers for the generalized Korteweg-de Vries and Zakharov-Kuznetsov models
本文研究广义KdV与ZK模型的准单色呼吸子问题，利用Bell多项式推导椭圆PDE并结合de Giorgi型结果，证明mKdV是唯一存在此类空间局域呼吸子的幂次模型，且ZK模型中不存在这类呼吸子。
2024-04-13 math-ph math.AP math.MP
On the uniqueness of multi-breathers of the modified Korteweg-de Vries equation
本文考虑修正的Korteweg-de Vries方程（mKdV），证明了：给定（mKdV）的孤子和呼吸子的任意和P（速度不同），存在（mKdV）的解p，使得当t $\rightarrow$ + $\infty$时，p（t）- P（t）$\rightarrow$ 0，我们称之为多呼吸子.为了做到这一点，我们在H^2水平上工作（即使通常在H^1水平上考虑孤子）。我们将证明这种收敛发生在任何H^s空间中，并且这种收敛在时间上是指数快速的。我们还表明，所构造的多呼吸是唯一的，在两种情况下：在类的解决方案收敛到配置文件P比逆的多项式的足够大的程度在时间（我们将称之为一个超多项式收敛），或（没有假设的收敛速度），当所有的速度是积极的。
2022-08-04 math.AP
Dynamics of breathers in the Gardner hierarchy: universality of the variational characterization
本文给出了\emph{focusing} Gardner族方程的呼吸子解的一个新的变分刻画。该层次结构的特征在于非负索引$n$，并且$2n+1$表示相应PDE成员的顺序。本文首先证明了这类呼吸子的存在性，并且证明了它们是（2n+1）阶Gardner方程的解.然后我们证明了一个\emph{variational universality property}，在这个意义下，所有这些呼吸解满足\emph{same}四阶平稳椭圆型常微分方程，而不管层次成员的顺序。这一事实也将它们描述为我们在这里也构造的相同李雅普诺夫泛函的临界点。作为我们的方法的产品，我们发现呼吸的解决方案的（2n+1）阶mKdV方程的层次，以及各自的特征，他们作为解决方案的四阶固定椭圆型常微分方程。我们还扩展这些结果的一部分，定期设置，提出新的呼吸器解决方案的第5和第7 mKdV成员的层次结构。最后，我们证明了整个Gardner族的不适定性结果，通过适当地使用他们的呼吸解。
2019-01-29 math-ph math.AP math.MP
Stability of elliptic function solutions for the focusing modified KdV equation
本文研究了聚焦mKdV方程椭圆函数解的谱与轨道稳定性，基于MSW方法给出了亚谐波扰动下谱稳定的充要条件，并利用Darboux-Bäcklund变换构造呼吸子解以展示其动态行为及渐近性质。
2023-03-12 math-ph math.AP math.MP
Kink breathers on a traveling wave background in the defocusing modified Korteweg--de Vries equation
该研究利用雅可比椭圆θ函数刻画散焦mKdV方程的一般行波周期解，推导新的多参数解形式与对应Lax系统本征函数，最终得到描述行波背景上扭结呼吸子传播的新解析解。
2025-03-19 math-ph math.AP math.CA
The Gardner equation and the stability of multi-kink solutions of the mKdV equation
Grosse发现的散焦修正Korteweg-de Vries方程（mKdV）的多扭结解是全局$H^1$稳定的.以前由Zhidkov和Merle-Vega确定了单扭结情况下的稳定性。证明使用转换连接的mKdV方程与聚焦，加德纳方程，其中的稳定性和渐近稳定性在能量空间是已知的。我们推广了我们的结果，考虑的存在性，唯一性和动力学的广义多扭结的散焦，不可积gKdV方程，显示非弹性字符的4-扭结碰撞在某些制度。
2011-08-09 math-ph math.AP math.MP
Breather Solutions to the Cubic Whitham Equation
我们关心的是作为一个水波模型的界面波的立方Whitham方程的呼吸器解决方案的数值逼近。该模型结合了强非线性和水波问题的非局部特性。由孤立波的非弹性相互作用，该方程是不可积的。作为一个非局部模型，它在低频极限推广了著名的修正KdV（mKdV）方程，这是一个完全可积的模型。mKdV方程存在呼吸子解，即时间上周期的、空间上局部化的双参数解。最近的研究表明，这些呼吸解决方案自然出现的基态不变积分，这表明这种结构也可能存在于不可积模型，至少在近似意义上。在这项工作中，我们提出的数值证据表明，在不可积的情况下的立方Whitham方程，呼吸解决方案也可能存在。
2022-02-13 math.AP nlin.PS physics.flu-dyn
Improved uniqueness of multi-breathers of the modified Korteweg-de Vries equation
我们考虑（mKdV）的多呼吸子。以前，一个光滑的多呼吸器被构造，并证明是唯一的在两种情况下：第一，如果类的超多项式收敛到的轮廓，第二，假设所有的呼吸器的速度都是积极的（没有收敛速率）。这篇短文的目的是改进第二个结果：我们证明了当至多有一个速度为负或为零时，唯一性仍然成立。
2022-09-19 math.AP
Nonlinear stability of Gardner breathers
我们证明了Gardner方程（KdV和mKdV方程的自然推广）的呼吸子解是$H^2(\mathbb{R})$稳定的。通过变分方法，我们刻画了Gardner呼吸子作为一个新的Lyapunov泛函的极小值，并研究了相关的谱问题，通过$(i)$分析显式线性系的谱（\emph{spectral stability}），以及$(ii)$利用低正则性守恒律控制退化方向.
2017-09-22 math.AP
On the long time asymptotic behavior of the modified Korteweg de Vries equation with step-like initial data
本文研究了修正Korteweg de Vries方程（MKDV）$q_t+6q^2q_x+q_{xxx}=0$的解$q(x,t) $的长时间渐近性态，其初始值为q（x，t=0）->c_-（x->-无穷大）和q（x，t=0）->c_+（x-> +无穷大）.对于精确的激波初始数据q（x，t=0）=c_-（x<0）和q（x，t=0）=c_+（x>0），解发展出一个称为色散激波的振荡区，它连接两个常数区c_+和c_-。我们表明，色散冲击波所描述的调制周期行波解的MKDV方程的调制参数演变根据Whitham调制方程。振荡区域在$（x，t）平面的圆锥内扩展，定义为-6 c_{-} ^2+12 c_{+} ^2<x/t<4 c_{-} ^2+2 c_{+} ^2，t \gg 1。对于阶跃型的初始数据，我们证明了解在三个主要区域中长时间分解：-在恒定背景c_+上孤子和呼吸子以正速度传播的区域; -在可包含一般呼吸子的振荡区域中扩展的振荡区域; -在恒定背景c_-上以负速度传播的呼吸子区域。当振荡区域不包含呼吸器时，它与精确步骤初始数据获得的色散激波解相一致。相移与孤子、呼吸子和初始数据的辐射有关。这表明色散激波是一种相干结构，它与孤子、呼吸子和辐射以弹性方式相互作用。
2021-03-21 math-ph math.AP math.MP
Focusing mKdV equation: Two-phase solutions and their stability analysis
本文研究了聚焦mKdV方程的双相解及其稳定性，利用代数几何方法构造显式解，并通过修改的平方特征函数方法分析谱稳定性，首次建立了该方程双相解的严格稳定性理论。
2025-10-14 math-ph math.AP math.MP
Soliton resolution and asymptotic stability of $N$-soliton solutions for the defocusing mKdV equation with a non-vanishing background
本文通过$\bar{\partial}$-非线性最速下降分析，解析证明了聚焦mKdV方程在对称非零背景下解的孤子分解猜想及$N$-孤子解的渐近稳定性。
2025-01-20 math-ph math.AP math.MP
Review on the stability of the Peregrine and related breathers
本文综述了三个重要的非线性薛定谔呼吸子：Peregrine，Kuznetsov-Ma和Akhmediev在能量空间中的稳定性。更准确地说，我们表明，这些呼吸子是不稳定的，根据标准定义的稳定性。合适的李雅普诺夫泛函的描述，以及它们的基本光谱特性。作为这些泛函的一阶变分的直接结果，我们也给出了这些NLS呼吸子所满足的相应的非线性常微分方程。最后讨论了每个呼吸子的全局稳定性概念。还简要地提到了一些悬而未决的问题。
2020-08-27 math-ph math.AP math.MP
Effective dynamics of double solitons for perturbed mKdV
我们表明，相互作用的双孤子解的扰动mKdV方程是接近$H^2$的双孤子以下的有效动力学获得的限制的mKdV哈密顿孤子的子流形的哈密顿方程。未扰动方程完全可积性的代数方面与孤立子稳定性相关的分析思想之间的相互作用是证明的核心。
2010-06-29 math-ph math.AP math.MP
Asymptotic stability of solitons for mKdV
我们证明了mKdV方程的孤波解的完全渐近稳定性结果。我们认为小扰动的孤波与多项式衰减在无穷远，并证明解决方案的柯西问题的发展，从这样的数据趋于一致，在实数线上，另一个孤波作为时间到无穷远。我们精确地描述了孤波背后的扰动的渐近性，表明它满足非线性修改的散射行为。这后一部分，我们的结果依赖于一个精确的研究小解的mKdV方程的渐近行为。
2015-03-31 math.AP
Asymptotics, frequency modulation, and low regularity ill-posedness for canonical defocusing equations
在最近的一篇论文中，Kenig，Ponce和Vega研究了聚焦非线性薛定谔（NLS），聚焦修正Korteweg-de Vries（mKdV）和复杂Korteweg-de Vries（KdV）方程的低正则性行为。使用孤立子和呼吸器的解决方案，他们证明了缺乏当地的适定性，这些方程低于各自的端点？在本文中，我们研究这些方程的散焦类似物，即散焦NLS，散焦mKdV，和真正的KdV，都在一个空间维度，合适的孤子和呼吸解决方案是不可用的。我们为每个这些方程类的修改后的散射解决方案，存在于全球的时间，是渐近的解决方案，相应的线性方程明确的相移。这些解决方案是用来证明缺乏当地的适定性在某些索伯列夫空间，在这个意义上说，依赖于初始数据的解决方案未能一致连续。特别是，我们表明，mKdV流是不一致连续的$L^2$拓扑结构，尽管存在全局弱解在这个规律。最后，我们研究了KdV方程在端点正则性$H^{-3/4}$，并构造了实KdV方程和复KdV方程的解。该构造提供了一个非平凡的时间区间$[-T,T]$和一个局部Lipschitz连续映射，该映射将$H^{-3/4}$中的初始数据取为对所有光滑数据唯一定义的分布解（$u \in C^0 ([-T,T]; $ H^{-3/4}）。证明使用广义Miura变换转移现有的端点正则性理论mKdV KdV。
2004-07-29 math.AP
Stability analysis of breathers for coupled nonlinear Schrodinger equations
本文研究了耦合非线性 Schrodinger 方程中非退化矢量孤子的谱稳定性和呼吸子的非线性稳定性，发现孤子在负 Krein 符号特征值下仍谱稳定，并利用 Lyapunov 方法证明了呼吸子的非线性稳定性。
2024-11-13 math-ph math.AP math.DS
Stability and instability of breathers in the $U(1)$ Sasa-Satusuma and Nonlinear Schrödinger models
我们考虑Sasa-Satsuma（SS）和非线性薛定谔（NLS）方程沿直线，在1+1维。这两个方程都是正则可积的$U(1)$模型，具有孤子、多孤子和呼吸子解，例如见Yang。对于这两个方程，我们认识到四个不同的本地化呼吸模式：Sasa-Satsuma的SS，和NLS的Satsuma-Yajima，Kuznetsov-Ma和Peregrine呼吸。关于这些解的稳定性知之甚少，主要是因为它们的复结构不符合Grillakis-Shatah-Strauss的经典孤子行为。在本文中，我们找到了自然的$H^2$变分特征，并证明了Sasa-Satsuma呼吸子是$H^2$非线性稳定的，改进了先前由Pelinovsky和Yang证明的线性稳定性。此外，在SS的情况下，我们提供了另一种理解的SS解决方案作为一个呼吸，而不仅仅是作为一个嵌入的孤子。证明的方法是基于使用一个基于$H^2$的李雅普诺夫功能，在精神的第一和第三作者，这个时候扩展到向量值的情况下。我们还提供了另一个严格的理由，其余三个非线性模式（萨摩，矢岛，Peregrine y库兹涅佐夫-马）的不稳定性，在其相应的线性变分结构的研究（作为临界点的一个合适的李雅普诺夫泛函）的基础上，并补充最近证明的不稳定性结果，例如在一份文件中由第三作者。
2021-02-22 math-ph math.AP math.MP
Non dispersive solutions of the generalized KdV equations are typically multi-solitons
我们考虑广义Korteweg-de Vries方程（gKdV）的解，它在某种意义上（在[18]的精神中）是非色散的，并且仍然接近于多孤子。我们证明了这些解必然是纯多孤子。特别是对于Korteweg-de Vries方程（KdV）和修正的Korteweg-de Vries方程（mKdV），我们得到了多孤子和多呼吸子的非色散特性。
2020-07-03 math.AP
Numerical study of the stability of the Peregrine breather
游隼呼吸器作为深水中的流氓波模型被广泛讨论。我们在这里提出了一个详细的数值研究的扰动的游隼呼吸作为一个解决方案的非线性薛定谔（NLS）方程。我们首先解决的调制不稳定性的常数模解NLS。然后，我们数值研究了线性和完全非线性环境下Peregrine呼吸子的局部和非局部扰动。结果表明，该解决方案是不稳定的所有考虑的扰动。
2015-07-24 math.AP nlin.SI
Stability of the multi-solitons of the modified Korteweg-de Vries equation
建立了修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程的$N$ -孤子解的非线性稳定性. $N$ -孤子解是mKdV在（正、负）时间无穷远处的整体解，其形式为速度为$0<c_1<\cdots< c_N$的$1$ -孤子之和，证明依赖于$N$ -孤子的变分特征.我们证明了$N$ -孤子在$N$第一守恒量的固定约束下实现$(N+1)$ -次mKdV守恒量的局部极小值.为此，我们构造了一个以$N$-孤子为临界点的泛函，证明了该泛函在扩展的时间轴上保持线性化的谱性质，分析了线性化算符在$1$孤子附近的无穷远谱。在我们的分析中的主要新成分是一个新的运营商身份的基础上广义西尔维斯特惯性律和递归运营商的mKdV方程。
2020-10-02 math.AP
Asymptotic stability of breathers in some Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators
考虑弱耦合非谐振子的哈密顿链。众所周知，如果耦合足够弱，则系统允许在空间中指数局部化的周期解族（呼吸子）。本文证明了这类解在能量空间中的渐近稳定性。证明是基于两个步骤：第一，我们使用正则扰动理论，把系统在一个适当的正规形在附近的呼吸，第二，我们使用色散，以证明渐近稳定性。结果的主要限制在于，现场电位的非线性部分需要在原点有一个8阶的零点。从技术的角度来看，该理论不同于哈密顿偏微分方程，由于事实上，呼吸是不是一个相对平衡的系统。
2012-09-05 math.AP
Weak Continuity of Dynamical Systems for the KdV and mKdV Equations
本文研究了H^{-3/4}（R）中KdV方程和H^{1/4}（R）中修正KdV方程的动力系统的弱连续性.这一课题在研究这类方程的其他性质如有限时间爆破、渐近稳定性和孤波的不稳定性等方面具有重要的应用价值。从局部适定性理论的观点来看，这里考虑的空间是相应方程的边界索伯列夫空间。我们首先用[5]方法的一个变体证明了mKdV方程的弱连续性，然后用mKdV系统的类似结果和广义Miura变换证明了KdV方程的弱连续性.
2009-12-12 math.AP
Traveling periodic waves and breathers in the nonlocal derivative NLS equation
本文研究非局部导数NLS方程，证明散焦与聚焦版本非零常数背景的稳定性，用Hirota双线性方法刻画行波周期波并构造呼吸子，给出含N个孤立波的一般呼吸子闭合行列式解。
2025-01-26 math-ph math.AP math.DS
Soliton resolution for the modified KdV equation
在某些加权索伯列夫空间中，对初始条件建立了聚焦修正Korteweg-de vries（mKdV）方程的孤子解.我们的方法是基于非线性最速下降法及其通过$\bar{\partial}$ -衍生物的重新制定。从不动点的观点出发，对任意固定的$ \textrm{v} $，给出了精确的沿轨迹$x=\textrm{v}t$的渐近公式.为了将渐近性扩展到低正则性空间中的初始数据的解，我们通过PDE技术应用全局逼近。作为长时间渐近性的副产品，我们还得到了包含孤子和呼吸子的非线性结构的渐近稳定性。
2019-10-09 math.AP
Arbitrarily high-order conservative schemes for the generalized Korteweg-de Vries equation
针对广义Korteweg-de Vries（KdV）方程，提出了一类新的任意高阶守恒数值格式.该方法基于标量辅助变量（SAV）方法。通过引入标量辅助变量，将方程转化为一个等效系统，能量转化为两个二次项之和。因此，二次保持龙格-库塔法将在离散时间流（假设空间变量是连续的）中保持所有三个不变量（动量，质量和重新表述的能量）。通过傅立叶伪谱空间离散化，该方案在时空全离散意义下精确地保持了第一和第三不变量（动量和能量）。离散质量具有光谱精度的精度。数值实验表明，该格式在模拟mKdV方程呼吸子时是有效的。
2022-05-23 cs.NA math.AP math.NA
Nonlinear stability of vector multi-solitons in coupled NLS and modified KdV equations
该研究证明耦合NLS和修正KdV方程的多孤子（含呼吸子）在特定Sobolev空间中非线性稳定，并给出Lyapunov泛函负特征值个数，方法基于可积性，同时推广至经典方程及李代数框架。
2025-10-14 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear stability of 2-solitons of the Sine-Gordon equation in the energy space
本文证明了sine-Gordon方程（SG）的2-孤子解在问题的自然能量空间中是轨道稳定的。我们研究的解是SG的{ \it 2-扭结，扭结-反扭结和呼吸子}。为了证明这个结果，我们将使用由隐函数定理实现的Bäcklund变换。这些转换将使我们能够减少的稳定性的三个解决方案的情况下，真空解决方案，在精神上以前的结果Alejo和第一作者，这是做的情况下，标量修改Korteweg-de Vries方程。然而，我们将看到SG由于其向量值特征而呈现出若干困难。我们的结果改进了Alejo等人的结果，并首次给出了SG 2-孤子在能量空间中稳定性的严格证明。
2018-01-30 math-ph math.AP math.MP
Multisolitons for the cubic NLS in 1-d and their stability
对于一维空间中的三次非线性薛定谔方程（NLS）和修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程，我们考虑了纯$N$孤子态的集合${\bf M}_N$及其相应的多孤子解.我们证明了（i）集合${\bf M}_N$是一致光滑流形，（ii）对于每个$s>-\frac12$，${\bf M}_N$态在$H^s$中是一致稳定的.在我们的分析中的一个主要工具是一个迭代的Backlund变换，它允许我们非线性地添加一个多孤子到现有的孤子自由状态（孤子添加地图）或替代地删除一个多孤子从多孤子状态（孤子删除地图）。这些映射的性质和正则性得到了广泛的研究。
2020-08-31 math.AP
Global solutions and stability properties of the 5th order Gardner equation
在本文中，我们在$\mathbb{R}$中处理了五阶Gardner方程的初值问题，给出了在$H^2(\mathbb{R})$中的局部适定性结果.作为局部结果的结果，除了$H^2$ -能量守恒律，我们能够证明在$H^2(\mathbb{R})$的整体适定性结果。最后，给出了索伯列夫空间$H^2(\mathbb{R})$中五阶Gardner呼吸子解的稳定性结果.
2019-01-14 math.AP
Long-time asymptotics and stability for the sine-Gordon equation
本文研究了sine-Gordon方程$$f_{tt}-f_{xx}+\sin f=0.$$的长时间动力学和稳定性。首先，我们利用黎曼-希尔伯特问题的非线性最速下降法计算了初始条件属于某个加权索伯列夫空间的sine-Gordon方程解的长时间渐近性。其次，我们研究了sine-Gordon方程的渐近稳定性。已知能量空间中sine-Gordon方程渐近稳定性的障碍是小呼吸子的存在，而小呼吸子的存在又与摆动扭结的出现密切相关.结合长时间渐近性和一个精细逼近论证，我们分析了加权能量空间中sine-Gordon方程的渐近稳定性性质.我们的稳定性分析给出了一个标准的重量是尖锐的端点，使渐近稳定性举行。
2022-02-15 math.AP
