Open Problems in Analysis of Boolean Functions
Ryan O'Donnell
布尔函数分析领域的开放问题列表，2012年2月为西蒙斯研讨会编译。
A list of open problems in the field of analysis of boolean functions, compiled February 2012 for the Simons Symposium.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Locally monotone Boolean and pseudo-Boolean functions
我们提出了局部版本的单调性的布尔和伪布尔函数：说，一个伪布尔（布尔）函数是p-局部单调的，如果没有它的偏导数的变化，在不同的元组在小于p的位置。事实证明，这个参数化概念为伪布尔（布尔）函数提供了一个单调性层次。局部单调性被证明是密切相关的晶格对应的经典偏导数通过置换衍生物的概念。更精确地说，p-局部单调函数被证明具有p-置换格导数，并且在对称函数的情况下，这两个概念重合。我们提供了与这两个概念相关的进一步结果，并给出了p-局部单调函数的分类，以及具有p-可置换导数的函数的分类，根据某些禁止的“部分”，即，用常量代替变量得到的函数。这种描述在p=2的特殊情况下是明确的。
Quasi-Random Influences of Boolean Functions
我们研究了布尔函数拟随机性质的等价类的层次结构。特别是，我们证明了一些属性之间的等价性，包括平衡的影响，频谱差异，局部强正则性，同态枚举的着色或加权图和超图与布尔函数以及$k$的第阶严格雪崩准则等。我们进一步构建家庭的拟随机布尔函数表现出我们的等价定理的性质，并分开我们的层次结构的水平。
Junta threshold for low degree Boolean functions on the slice
我们表明，一个布尔度$d$功能的切片$\binom{[n]}{k}$是一个军，如果$k \geq 2d$，这个界是尖锐的。我们证明了一个类似的结果$A$值度$d$函数的任意有限$A$，并为一个无限模拟的切片上的功能。
Self-Predicting Boolean Functions
如果布尔函数$g$使所有函数中的$f(X^{n})\neq g(Y^{n})$的概率最小化，则该布尔函数$g$被称为另一布尔函数$f$的最优预测器，其中$X^{n}$在汉明立方体上是均匀的，并且$Y^{n}$是通过以概率$δ$独立地翻转每个坐标从$X^{n}$获得的。本文是关于自预测函数，这是那些符合他们的最佳预测。
Boolean constant degree functions on the slice are juntas
我们表明，一个布尔度$d$功能切片$\binom{[n]}{k} = \{ (x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\} : \sum_{i=1}^n x_i = k \}$是一个军，假设$k,n-k$是足够大的。这推广了Nisan和Szegedy关于超立方体的一个经典结果.此外，我们表明，一个布尔度$d$函数可以依赖的最大坐标数是相同的切片和超立方体。
Stratification and enumeration of Boolean functions by canalizing depth
在过去的十几年里，布尔网络模型在计算系统生物学中越来越受欢迎。这些网络中的许多使用渠化布尔函数，这导致了对这些函数的研究的兴趣增加。一个函数的渠道化深度描述了有多少渠道化变量可以被递归地剔除，直到剩下一个非渠道化函数。在本文中，我们展示了如何每一个布尔函数有一个独特的代数形式，涉及扩展单项式层和一个定义良好的核心多项式。这概括了最近的工作嵌套canalizing函数的代数结构，它产生了分层的所有布尔函数的canalizing深度。其结果是，我们得到了封闭的公式的数量的n-变量布尔函数的深度为k，同时推广计数公式的渠化，嵌套渠化功能。
A Note on the Inversion Complexity of Boolean Functions in Boolean Formulas
本文讨论了布尔公式中表示布尔函数的NOT算子的最小数目问题。在电路复杂性理论中，计算布尔函数$f$的布尔电路中的最小“非”门数称为$f$的求逆复杂度。在1958年，马尔可夫确定了每个布尔函数的反演复杂度，并特别证明了$\lceil \log_2(n+1) \rceil$“非”门足以计算任何关于$n$变量的布尔函数。据我们所知，布尔公式中的反演复杂度没有结果，即，在表示布尔函数的布尔公式中，非运算符的最小数目。本文在对电路复杂性进行研究的基础上，指出可以通过自变量来确定布尔公式中每个布尔函数的求逆复杂性。
A Survey of Cameron-Liebler Sets and Low Degree Boolean Functions in Grassmann Graphs
本文从结合方案视角综述 Hamming 图、Johnson 图和 Grassmann 图上的 Cameron-Liebler 集与低次布尔函数研究，涵盖有限几何、布尔函数分析、设计理论、编码理论与密码学中的代表性结果。
On Symmetric Pseudo-Boolean Functions: Factorization, Kernels and Applications
该研究证明对称伪布尔函数可等价表示为幂级数或因式分解，其核对应至少一个n维仿射超平面，并将结果应用于自旋玻璃、量子信息与张量网络领域的相关函数分析。
Combinatorial method of polynomial expansion of symmetric Boolean functions
提出了一种新的对称布尔函数的多项式展开方法。该方法对小数值集的对称布尔函数是有效的，对初等对称布尔函数具有线性复杂性，而已知方法对这类函数的复杂性是二次的.所提出的方法是基于组合卢卡斯定理的后果。
A quantum algorithm to estimate the Gowers $U_2$ norm and linearity testing of Boolean functions
我们提出了一个量子算法来估计一个布尔函数的Gowers $U_2$范数，并将其扩展为第二个算法来区分线性布尔函数和布尔函数是$ε$ -远离线性布尔函数的集合，这似乎比经典的BLR算法表现得更好。最后，我们概述了一个算法来估计Gowers $U_3$范数的布尔函数。
Essential arity gap of Boolean functions
研究了本质元间隔为2的布尔函数.我们使用全合取范式代替Zhegalkin多项式，这使我们能够简化证明，并获得几个组合的结果，有关布尔函数与一个给定的arity间隙。
Collectively canalizing Boolean functions
本文研究源于系统生物学的集体渠化布尔函数，分析渠化变量集的数量与类型对函数行为的影响，提出渠化强度新度量，并将其与平均敏感度相联系。
Some Extensions of the Inversion Complexity of Boolean Functions
在计算布尔函数的布尔电路中，“非”门的最小数量称为该函数的求逆复杂度。1957年，A. A.马尔可夫确定了每一个布尔函数的反演复杂度，并证明了$\lceil\log_{2}(d(f)+1)\rceil$“非”门是计算任何布尔函数$f$的必要和充分条件（其中$d(f)$是在所有变量值的元组链上从1到0的值变化的最大数量）。本文研究了任意基上的布尔电路，该基由所有单调函数（权为零）和有限个非空非单调函数集（权为单位）组成。证明了布尔函数$f$的非单调门数的最小充分实现等于$\lceil\log_{2}(d(f)+1)\rceil - O(1)$。类似地推广了A. A.得到了布尔函数系的逆复杂性的马氏性。
A combinatorial problem about binary necklaces and attractors of Boolean automata networks
众所周知，长度为n的林登字并不比相同长度的周期项链多。本文考虑了一个类似的问题，另外，项链必须没有一些禁止的因素。这个问题涉及到一个不同的背景下，有关的行为，特别是离散动力系统，即布尔自动机网络。本文给出了一个支持以下观点的形式化论证：在网络结构中增加圈交叉点会导致网络吸引子数量的指数减少。
Submodular Goal Value of Boolean Functions
最近，Deshpande等人引入了一种新的布尔函数复杂性度量。我们将此度量称为函数的“目标值”。根据与$f$相关的单调次模效用函数定义$f$的目标值。如Deshpande等人所示，证明布尔函数$f$具有小的目标值可以得到求解$f$的随机布尔函数求值问题的良好近似算法。此外，如果$f$具有小的目标值，则其指示$f$的复杂性的两个其他度量（其平均情况决策树复杂性和其平均情况证书复杂性）之间的密切关系。在本文中，我们详细探讨了目标价值测度。我们提出的任意和特定的布尔函数的目标值的界限，并提出的措施的性质的结果。我们比较目标值的措施，以前研究过的其他布尔函数的复杂性的措施。最后，我们讨论了一些开放的问题，我们的工作引起的。
Coarse and Sharp Thresholds of Boolean Constraint Satisfaction Problems
在Molloy的概率模型下研究了随机约束满足问题的阈值性质。我们给出了一个充分条件存在的一个尖锐的阈值，导致（布尔约束）的一个必要和充分的存在的一个尖锐的阈值的情况下，约束模板的应用具有相等的概率，从而解决了一个开放的问题的Creameru和Daude。
Classification of Boolean Functions where Affine Functions are Uniformly Distributed
非线性布尔函数的分类问题是理论计算机科学领域中一个长期存在的问题。在本文中，已作出努力，以实现所有n-变量布尔函数的系统分类，其中只有一个仿射布尔函数属于每个类。提出了两种不同的方法来实现这种分类。第一种方法是一个递归的过程，它使用的笛卡尔积集从一个变量的布尔函数的集合开始，并在第二种方法的分类是通过一组不变的位位置相对于仿射函数属于该类实现。不变比特位置还提供关于类/子类的大小和对称性属性的信息，使得类/子类的成员满足某些类似属性。
The Boolean Functions Computed by Random Boolean Formulas OR How to Grow the Right Function
在它们的许多用途中，增长过程（概率放大）被用于从不可靠的组件构建可靠的网络，并推导出各类函数的复杂性界限。因此，确定这样的过程的初始条件是一个重要的和具有挑战性的问题。在本文中，我们用初始条件刻画了增长过程，并导出了Valiant（1984）等结果成立的条件。首先，我们完全描述了使用线性连接词的增长过程。第二，通过扩展Savicksman（1990）的分析，通过“限制引理”，我们刻画了使用单调连接词的增长过程，并表明我们的技术也适用于使用其他连接词的增长过程。此外，我们还得到了几个增长过程的收敛速度的显式界，包括Savickstrom（1990）研究的增长过程。
Complexity of limit-cycle problems in Boolean networks
布尔网络是相互作用实体的一般模型，可应用于基因调控等生物现象。吸引子起着核心作用，并且实体更新的时间表是先验未知的。本文给出了与更新计划的存在相关的问题的计算复杂性的结果，使得某些极限环长度是可能的或不可能的。我们首先证明，给定一个布尔网络并行更新，知道它是否有至少一个长度为$k$的极限环是$\text{NP}$ -完全的。在块序贯更新计划上添加存在量化并不改变问题的复杂性类别，但下面的交替给我们带来了多项式层次上的一个级别：给定布尔网络，知道是否存在块序贯更新计划，使得它没有长度为$k$的极限环是$Σ_2^\text{P}$ -完全的。
Linear Programming Formulation of the Boolean Satisfiability Problem
在本文中，我们提出了一种新的，基于图的建模方法和多项式规模的线性规划（LP）制定的布尔可满足性问题（SAT）。最后通过一个数值例子说明了该方法。
Landscape Boolean Functions
本文定义了一类定义在$\mathbb{F}_2^n$上的布尔函数和广义布尔函数，它们的值在$\mathbb{Z}_q$中（主要考虑$q=2^k$），我们称之为景观函数（其类包含广义弯曲、半弯曲和平台），并找到了它们的完全特征。特别是，我们表明，以前公布的广义弯曲和plateaued布尔函数的特征，实际上是这种更一般的设置的特殊情况。此外，我们提供了一个归纳建设的景观功能，有任何数量的非零沃尔什-阿达玛系数。我们还完全刻画了广义平台函数的二阶导数和四阶矩。
On graph classes with logarithmic boolean-width
布尔宽度是最近引入的图形参数。当用布尔宽度参数化时，许多问题是固定参数可处理的，例如“最小加权支配集“（MWDS）问题可以在给定宽度$k$的布尔分解的$O^*(2^{3k})$时间内求解，因此对于所有可以在多项式时间内找到宽度$O(\log n)$的布尔分解的图类，MWDS可以在多项式时间内求解。我们研究了具有布尔宽度$O(\log n)$的图类和在$O^*(2^{O(k)})$中可解的问题，结合这两个结果来设计多项式算法。我们证明了对于梯形图、循环置换图、凸图、Dilworth- $k$图、圆弧图和$k$ -退化图的补图，可以在多项式时间内找到宽度为$O(\log n)$的布尔分解.我们还证明了圆形$k$ -梯形图具有布尔宽度$O(\log n)$，并在给出圆形$k$ -梯形交模型的条件下找到了这样的分解。对于许多图类，我们还证明了它们包含布尔宽度的图$Θ(\log n)$。进一步，我们应用\cite{boolw2}的结果给出了一个新的多项式时间算法，解决了Proskurowski和Telle \cite{TP97}提出的所有顶点划分问题.这扩展了Kratochvíl，Manuel和Miller \cite{KMM95}以前的结果表明，一个大的子集的顶点划分问题是多项式可解的区间图。
Influence and interaction indexes for pseudo-Boolean functions: a unified least squares approach
伪布尔函数（或合作对策）的Banzhaf幂指数和交互指数自然地出现在该函数的标准最小二乘逼近中，作为指定次数的伪布尔函数的首项系数。我们首先观察到，如果我们考虑仅依赖于指定变量的伪布尔函数的近似，则该性质仍然成立。然后，我们表明，Banzhaf影响指数也可以从后者的近似问题。考虑到这个近似问题的某些加权版本，我们引入了一类加权Banzhaf影响指数，分析其最重要的性质，并指出加权Banzhaf影响指数和相应的加权Banzhaf相互作用指数之间的相似之处。我们还讨论了从规定的影响重构伪布尔函数的问题，并指出加权和非加权情况下非常不同的行为。
Partial Order on the set of Boolean Regulatory Functions
逻辑模型已成功地用于描述监管和信号网络，而不需要定量数据。然而，现有的数据不足以充分定义一个独特的模型，使得给定模型的参数化成为一项困难的任务。在这里，我们专注于与给定的监管结构，即所有单调的非退化布尔函数的集合兼容的布尔函数集的表征。然后，我们提出了一套原始的规则，以本地探索在这个集合中的任何函数的直接相邻函数，而不显式地生成整个集合。此外，我们提供的监管职能和相应的动态之间的关系。最后，我们通过重新审视Mendoza和Xenarios的T辅助细胞分化模型的概率布尔网络来说明这种方法的有用性。
Fast FPT algorithms for vertex subset and vertex partitioning problems using neighborhood unions
我们引入了图形参数布尔宽度，涉及到一个图的切割的不同工会的邻居的数量。布尔宽度类似于秩宽度，秩宽度与邻域的$GF[2]$ -和（1+1=0）的数量有关，而不是用于布尔宽度的布尔和（1+1=1）。我们给出了算法的NP-硬顶点子集和顶点划分问题，FPT参数化时，无论是布尔宽度，秩宽度或宽度，与运行时单指数在任一参数，如果给定相关的最佳分解。为了比较布尔宽度与秩宽度或ck-width，我们首先证明对于任何图，其布尔宽度的平方根永远不会大于其秩宽度。接下来，我们展示了一类图，Hsu-网格，我们可以解决NP-难问题在多项式时间，如果我们使用正确的参数。${1/10}n^2$顶点上的$n \times \frac{n}{10}$ Hsu网格具有布尔宽度$Θ(\log n)$和秩宽度$Θ(n)$。此外，这样的图的任何最优秩分解将具有布尔宽度$Θ(n)$，即在最优布尔宽度中呈指数。一个主要的开放问题是近似布尔宽度比由秩宽度算法给出的更好[Hlinaonnovich和Oum，2008]
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