Friedgut--Kalai--Naor theorem for slices of the Boolean cube
Friedgut-Kalai-Naor定理指出，如果一个布尔函数$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$接近（在$L^2$ -距离中）一个仿射函数$\ell(x_1,...,x_n) = c_0 + \sum_i c_i x_i$，那么$f$接近一个布尔仿射函数（它必须依赖于最多一个坐标）。对于定义在$\binom{[n]}{k} = \{(x_1,...,x_n) \in \{0,1\}^n : \sum_i x_i = k \}$上的函数，我们证明了一个类似的定理.
2016-05-01 math.CO
Query complexity of Boolean functions on slices
研究了超立方体切片上布尔函数的确定性查询复杂度。超立方体$\{0,1\}^n$的$k^{th}$片$\binom{[n]}{k}$是具有汉明权重$k$的所有$n$位串的集合。我们发现，存在一个功能的平衡片$\binom{[n]}{n/2}$需要$n - O(\log \log n)$查询。我们给出了一个明确的功能平衡片需要$n - O(\log n)$查询的基础上独立集的约翰逊图。在权-2切片上，我们证明了硬函数与Ramsey图密切相关。此外，我们描述了一个简单的方法转换功能的超立方体上的功能平衡切片，同时保持几个复杂的措施。
2022-11-29 cs.CC math.CO
A structure theorem for almost low-degree functions on the slice
布尔函数$f \colon \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$的傅里叶-沃尔什展开是其作为多线性多项式的唯一表示。Kindler-Safra定理（2002）断言，如果在$f$的展开式中，超过次数$k$的系数的总权重非常小，则$f$可以近似为布尔值函数，该函数最多依赖于$O(2^k)$变量。在本文中，我们证明了一个类似的定理布尔函数的域是“切片”${{[n]}\choose{pn}} = \{x \in \{0,1\}^n\colon \sum_i x_i = pn\}$，其中$0 \ll p \ll 1$，关于他们的唯一表示为调和多线性多项式。我们表明，如果在表示的$f\colon {{[n]}\choose{pn}} \rightarrow \{0,1\}$，总重量超过度$k$是最多$ε$，其中$ε= \min(p, 1-p)^{O(k)}$，那么$f$可以$O(ε)$ -近似度$k$布尔函数的切片，这反过来又取决于$O(2^{k})$坐标。这证明了Filmus，Kindler，Mossel和Wimmer（2015）的猜想。我们的证明依赖于超收缩，以及一种新的移位过程。此外，我们表明，在Kindler-Safra定理的近似率可以提高从$ε+ \exp(O(k)) ε^{1/4}$到$ε+ε^2 (2\ln(1/ε))^k/k!$，这是紧的$ε$的依赖性，…
2019-01-25 cs.DM math.CO
FKN theorem for the multislice, with applications
Friedgut-Kalai-Naor（FKN）定理指出，如果$f$是布尔立方体上的一个接近1度的布尔函数，则$f$接近于独裁者，一个依赖于单个坐标的函数。作者把这个定理推广到了切片上，切片是由所有具有固定汉明重量的向量组成的布尔立方体的子集。我们将定理进一步扩展到多切片，即切片的多色版本。作为应用，我们证明了边-等周不等式的一个稳定性版本的参数设置，其中的最佳集是独裁者。
2018-09-10 cs.DM math.CO
A Dense Model Theorem for the Boolean Slice
本文解决了布尔立方体中间切片上的线性检验问题，通过证明中间切片的稠密模型定理，表明满足近似线性条件的函数必与真正线性函数相关，并进一步给出低次检验和有偏秩定理。
2024-08-01 math.CO
Query complexity of Boolean functions on the middle slice of the cube
本文研究布尔函数在中间层切片上的查询复杂度，证明存在一个函数即使已知输入中0和1数量相同，仍需查询除7位外的所有输入位，回答了Byramji的问题，并给出候选函数及与差异类型问题的联系。
2024-06-06 cs.CC math.CO
The Fourier Transform of Restrictions of Functions on the Slice
本文研究布尔超立方体切片上的傅里叶变换。证明了切片上函数的傅里叶系数与其限制条件的傅里叶系数之间的关系。作为应用，我们证明了一个Goldreich-Levin定理的切片上的函数的基础上的Kushilevitz-Mansour算法的布尔超立方体。
2021-11-05 cs.CC cs.DS math.CO
An Asymptotically Tight Bound on the Number of Relevant Variables in a Bounded Degree Boolean Function
我们证明了存在一个常数$C\leq 6.614$，使得每一个次数至多为$d$的布尔函数（作为$\mathbb{R}$上的多项式）是一个$C\cdot 2^d$ -junta，即它至多依赖于$C\cdot 2^d$变量.这改进了Nisan和Szegedy [计算复杂性4（1994）]的$d\cdot 2^{d-1}$上界。我们的证明使用了一种新的加权方案，我们根据变量出现的最高程度的单项式为变量分配权重。$C\cdot 2^d$的界紧到常数$C$，因为$2^d-1$的下界是由深度为$d$的一次性决策树实现的。我们稍微改善了下界，为每个正整数$d$，度$d$与$3\cdot 2^{d-1}-2$相关变量的函数。Shinkar和Tal独立观察到了类似的结构。
2018-11-19 cs.CC math.CO
The paired construction for Boolean functions on the slice
本文研究Johnson概形切片上由两个对立基本函数求和得到的配对布尔函数，通过初等方法确定了其精确多项式次数，证明在n=2k且偶次数t∉{0,k}时配对函数是已知最小非零布尔函数，优于t-pencils。
2025-10-03 math.CO
Convex Influences
本文对高斯空间上的对称凸集引入了一个新的影响概念，我们称之为“凸影响”。我们发现，这种新的概念的影响股票的单调布尔函数$f: \{\pm1\}^n \to \{\pm1\}.$我们的主要结果凸的影响变量的影响的许多熟悉的属性给高斯空间类似的许多重要结果的影响单调布尔函数。这些包括（鲁棒）极值函数的特征，庞加莱不等式，卡恩-卡莱-线性定理，一个尖锐的阈值定理卡莱，一个稳定版本的Kruskal-卡托纳定理由于O 'Donnell和Wimmer，和一些部分结果对高斯空间模拟Friedgut的junta定理。我们的凸影响的结果的证明使用非常不同的技术比类似的证明布尔影响$\{\pm1\}^n$。总体上，我们的结果将高斯空间中对称凸集与单调布尔函数之间的类比从$\{\pm1\}^n$推广到了$\{\pm1\}$
2021-09-07 cs.CC math.CO math.PR
Invariance principle on the slice
我们证明了布尔立方体切片上函数的一个不变原理，该切片是所有具有汉明重量k的向量{0，1}^n的集合。我们的不变原理表明，一个低度，低影响函数在切片上，在整个布尔立方体，高斯空间具有相似的分布。我们的证明依赖于分析和概率，代数和组合学的思想的结合。我们的结果意味着一个版本的大多数是最稳定的切片上的功能，版本的Bourgain的尾界，和版本的Kindler-Safra定理。作为Kindler-Safra定理的一个推论，我们证明了Wilson定理关于t-相交集族的一个稳定性结果，改进了Friedgut的一个结果.
2016-02-21 math.CO math.PR
Towards a Proof of the Fourier--Entropy Conjecture?
The total influence of a function is a central notion in analysis of Boolean functions, and characterizing functions that have small total influence is one of the most fundamental questions associated with it. The KKL theorem and the Friedgut junta theorem give a strong characterization of such functions whenever the bound on the total influence is $o(\log n)$ . However, both results become useless when the total influence of the function is $ω(\log n)$ . The only case in which this logarithmic barrier has been broken for an interesting class of functions was proved by Bourgain and Kalai, who …
2020-05-07 cs.DM math.CO
Boolean functions on high-dimensional expanders
本文开创高维扩展器上的布尔函数分析，提出基于随机游走的定义与近似特征空间分解，将Friedgut-Kalai-Naor定理推广到该稀疏模型，并证明其可作为布尔切片的去随机化。
2024-01-17 cs.CC math.CO
Low Soundness Linearity Testing on the Half-Slice
The University of Iowa（爱荷华大学）；Stanford University（斯坦福大学）；University of California, Riverside（加州大学河滨分校）
研究布尔半切片上线性性质的低可靠性测试，通过新的稠密模型定理和Krawtchouk多项式界，改进了查询复杂度和一致性结论。
2026-05-26 cs.CC cs.DM cs.DS
Hypercontractivity on High Dimensional Expanders: a Local-to-Global Approach for Higher Moments
超压缩性是布尔函数分析中最有力的工具之一。最初是在离散超立方体上研究的，近年来人们对扩展到$p$偏置立方体，切片或格拉斯曼等设置的兴趣越来越大，其中超收缩的变体已经发现了许多突破性的应用，包括Khot的2-2博弈猜想的解决方案（Khot，Minzer，Safra FOCS 2018）。在这项工作中，我们开发了一个新的理论hypercontractivity的高维扩展（HDX），一个重要的类的扩展复合物，最近看到了同样令人印象深刻的应用在编码理论和近似采样。我们的结果导致一个新的理解的结构上的布尔函数的HDX，包括一个紧密的类似的KKL定理和一个新的表征的非扩展集。与以前满足超压缩性的设置不同，HDX可以是不对称的，稀疏的，并且远离产品，这使得传统证明技术的应用具有挑战性。我们处理这些障碍，引入了两个新的工具的独立利益：一个新的显式组合傅立叶基础HDX的行为以及限制下，和一个新的本地到全球的方法分析更高的时刻。有趣的是，与同样适用于所有类型的扩展复合体的类似二阶矩方法不同，我们的工具本质上依赖于单纯结构。这表明了一个新的区分高维膨胀剂的基础上，他们的行为超过第二时刻。
2021-11-24 cs.CC cs.DM math.CO
