Chaotic Geodesics in Carnot Groups
对角线上有1的实4 × 4上三角矩阵群具有左不变的次黎曼（或卡诺-卡拉西奥多里）结构，其基本分布对应于超对角线。我们证明了相应的次黎曼测地流是不完全可积的。这提供了具有不可积测地线流的卡诺群（分次幂零李群，其生成子空间支持不变的次黎曼结构）的第一个例子。我们应用这一结果来证明，中心化相应的二次“量子”哈密顿在通用包络代数为这个群体是“尽可能小”。
1997-04-25 dg-ga math.DG
No Periodic normal Geodesics in $J^k(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$
空间的$k$-喷流的$n$真正的功能，一个真正的变量$x$承认的结构卡诺集团，然后有一个相关的哈密顿测地流。在任何哈密顿流中，一个自然的问题是周期解的存在性。$k$喷流的空间有周期测地线吗？本研究将证明次黎曼测地线流的可积性，刻画并分类$k$喷注空间中的次黎曼测地线，并证明它们决不是周期的。
2022-05-13 math.DG math.DS
SubRiemannian geometry on the sphere $\mathbb{S}^3$
本文首先介绍了四元数的概念，然后定义三维球面为长度为1的四元数的集合。四元数群在$\mathbb{S}^3$上诱导出非交换李群的结构。这个群是紧的，在这种情况下得到的结果与在海森堡群的情况下得到的结果非常不同，海森堡群是一个非紧的李群。像海森堡群的情况下，我们引入了一个不可积分布的领域和度量它使用两个非交换的左不变向量场。这样，$\mathbb{S}^3$就成为一个次黎曼流形。已知群$SU(2) $与球面$\mathbb{S}^3$同构，并表示其中元素为矩阵的次黎曼流形的一个例子。本文的主要问题是研究这类流形上的水平曲线连通性及其测地线。本文利用拉格朗日方法研究了${\mathbb S}^3$上具有最小弧长的水平曲线的连通性定理。我们证明了对于${\mathbb S}^3$中的任意两点，存在一条连接这两点的测地线。
2008-09-26 math.DG
Chaotic subRiemannian geodesic flow in $J^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$
本文研究$J^2(\u211d^2,\u211d)$空间的次黎曼测地流，通过阿贝尔子群的哈密顿作用构造约化哈密顿量$H_\u03bc$，证明其对部分参数不具备亚纯可积性，进而推导出原测地流的亚纯不可积结论。
2023-09-14 math.DG math.DS
Left-invariant Sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesics and integrability
我们提供了第一个已知的家庭的例子，可积齐次黎曼结构承认严格异常测地线。这些例子是通过分析次黎曼恩格尔结构的等价问题得到的。利用次黎曼Engel流形上标准标架的结构函数和共轭时的估计，给出了严格反常的判别准则。
2018-05-02 math.DG math.OC
Strictly abnormal geodesics with a degeneracy point in the interior of their domain
针对一类秩为2的次黎曼流形中带内点退化的异常曲线，提出证明其为长度极小曲线的方法，并发现严格异常测地线的局部长度极小性会随度量改变而丧失。
2025-05-16 math.DG math.OC
Branching of regular abnormal geodesics in sub-Riemannian manifolds of rank two
SISSA（的里雅斯特高等研究学院）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Inria, Laboratoire Jacques Louis-Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，法国研究与数字发展署，雅克-路易· Lions 实验室）
该研究针对二阶次黎曼流形，探究正则异常测地线的分支问题，给出两类新现象的实例，丰富了次黎曼几何中测地线分支的相关研究。
2026-08-03 math.DG
Duality on geodesics of Cartan distributions and sub-Riemannian pseudo-product structures
给定一个具有Cartan分布的五维空间，这些异常测地线构成另一个具有锥结构的五维空间。然后指出，如果把圆锥结构看作一个控制系统，那么圆锥结构的异常测地线空间自然地与原空间一致。本文在更广泛的框架下，即在控制系统的对偶和次黎曼伪积结构的框架下，对反常测地线的对偶性进行了讨论。我们还考虑了锥结构的能控性，给出了正规测地线和非正规测地线上的约束Hamilton方程。
2014-03-24 math.DG
A note on Carnot geodesics in nilpotent Lie groups
证明了分次幂零李群中的严格反常测地线。我们构造了这样一个群，其中某些卡诺测地线是严格反常的;事实上，它们在任何子群中都不是正规的。在步骤2的情况下，我们还证明了这些测地线总是光滑的。我们的主要技术是基于正常和异常曲线的方程，我们推导出（任何李群）明确的结构常数。
1995-05-21 math.DG
Abnormal Geodesics in 2D-Zermelo Navigation Problems in the Case of Revolution and the Fan Shape of the Small Time Balls
在这篇文章中，基于两个案例研究，我们讨论了在平面Zermelo导航问题的异常测地线的作用。这样的曲线是可达性集的极限曲线，在电流强的域中。该问题被设置在几何时间最优控制的框架中，其中的控制是船舶的航向角，在这种情况下，异常曲线被示出为分离的时间最小曲线和时间最大曲线，并且都是小时间最小化和最大化。我们描述了小时间极小球。当时间较长时，在异常方向上会出现一个尖点奇异性，对应于非光滑图像上的一个共轭点。它被解释为时间极小值函数的正则性。
2022-01-11 math.DG
New second-order optimality conditions in sub-Riemannian Geometry
本文通过分析次黎曼测地线问题中扩展端点映射的二阶展开，推导出新的二阶必要最优性条件，并利用所得ODE将异常极值曲线分为2-正规与2-异常两类，同时给出Goh条件的新推导及异常极值曲线分段C²正则性的证明。
2023-06-17 math.DG math.OC
Sympletic reduction of the sub-Riemannian geodesic flow for metabelian nilpotent groups
本文研究导子群为阿贝尔群的幂零李群上的次黎曼正规哈密顿流，通过辛约化建立正规轨迹与多项式哈密顿量的对应，并给出可积性判据及全局长度极小化条件。
2023-09-22 math-ph math.DG math.DS
Spectrum and abnormals in sub-Riemannian geometry: the 4D quasi-contact case
我们证明了四维准接触情形下次黎曼（sR）Laplacian的谱与动力学之间的关系，包括波迹展开、尖锐/改进的Weyl定律、奇性传播和量子遍历性.一个关键的作用，在所有的结果中发挥了异常测地线的存在，并代表了第一次出现这些次黎曼谱几何。
2019-09-01 math.DG math.DS math.SP
Variational aspects of the geodesic problem in sub-Riemannian geometry
研究了具有分布$\mathcal D\subset T\M$的流形$\mathcal M$的两个子流形$\mathcal P$和$\mathcal Q$中端点自由变化的水平曲线空间的局部几何.我们给出了一个不同的证明，在更一般的情况下，由Bismut（大偏差和Malliavin演算，Birkhauser，1984年）的结果，说明正常的极值，不正常的是临界点的次黎曼行动功能。我们使用拉格朗日乘子方法在希尔伯特流形设置，这导致了异常极值（端点映射的临界点）的曲线的特征，其中的线性约束未能定期。最后，我们描述了刘和Sussmann的结果的修改，该结果显示了一个点和一个子流形之间的正常极值的足够小的部分的全局距离最小化属性。
2000-05-23 math.DG
On the Structure of Sub-Riemannian Geodesic Orbit Manifolds
Liaoning Normal University（辽宁师范大学）；Ningbo University（宁波大学）；Southeast University（东南大学）；Shandong University of Science and Technology（山东科技大学）
该研究探讨齐次次黎曼流形的结构，证明其满足Goh条件且无严格异常长度极小化器，并分类了特定紧致连通单连通次黎曼测地线轨道流形，推广了相关黎曼分类成果。
2026-10-09 math.DG
Interior singularity and branching of geodesics in real-analytic sub-Riemannian manifolds
Università degli Studi dell’Aquila（阿奎拉大学）；Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA)（国际高等研究院）；Unité de Mathématiques Appliquées, ENSTA, Institut Polytechnique de Paris（巴黎理工学院应用数学系）
研究实解析子黎曼流形中严格异常极小测地线的正则性和分支特性，通过构造例子解决长期未解问题，并在 Carnot 组中证明非光滑和分支极小测地线的存在。
2026-04-30 math.DG math.MG
Sharp measure contraction property for generalized H-type Carnot groups
证明了秩为$k$，维数为$n$的H型卡诺群满足$\mathrm{MCP}(K,N)$当且仅当$K\leq 0$和$N \geq k+3(n-k)$ .后一个整数与卡诺群的测地线维数一致。同样的结果也适用于本文中介绍的广义H型卡诺群的较大类，并明确计算最优综合。这构成了最大的一类卡诺群，其曲率指数与测地维数一致。我们强调广义H-型卡诺群有步骤2，包括所有的corank 1群，并在一般情况下，承认异常极小化曲线。作为推论，我们证明了广义H型卡诺群上二次代价的Wasserstein测地线的绝对连续性。
2017-11-06 math.AP math.DG math.MG
Homotopy properties of horizontal loop spaces and applications to closed sub-riemannian geodesics
给定一个流形$M$和一个真子丛$Δ\subset TM$，我们研究了水平基点自由圈空间$Λ$的同伦性质，即速度约束于$Δ$的绝对连续映射$γ:S^1\to M$空间（例如：接触流形中的欧氏纽结）.我们研究的一个关键技术成分是证明基点映射$F:Λ\to M$（映射到每个循环的基点）是$Λ$上$W^{1,2}$拓扑的Hurewicz纤维化。利用这一结果，我们表明，即使空间$Λ$可能有深奇性（例如：常数回路形成一个奇异流形同胚$M$），它的同伦可以很好地控制。特别是，我们证明$Λ$（具有$W^{1,2}$拓扑）具有CW-复形的同伦类型，它包含在标准基点自由环空间中（即没有非完整约束的回路空间）是同伦等价的，因此它的同伦群可以计算为：对于所有的$k\geq 0.$，都有$π_k(Λ)\simeq π_k(M) \ltimes π_{k+1}(M)$。这些拓扑结果在本文的第二部分中得到应用，闭次黎曼测地线的存在性问题。在一般情况下，我们证明了如果$(M, Δ)$是紧致次黎曼流形，则$π_1(M)$中的每个非平凡同伦类都可以用闭的次黎曼测地线表示.在接触的情况下，我们证明了推广著名的Lyusternik-Fet定理的最小-最大结果：如果$(M, Δ)$是一个紧凑的，接触流形，那么$Δ$上的每个次黎曼度量至少有一个封闭的次黎曼测地线。这一结果是基于上述拓扑结果与异常环（$Λ$的奇点）附近的Pal…
2018-12-05 math.AT math.DG math.MG
