Minimum-weight Cycle Covers and Their Approximability
一个图的圈覆盖是一组圈，使得每个顶点恰好是一个圈的一部分。L-圈覆盖是指每个圈的长度都在集合L中的圈覆盖。我们研究如何以及L-循环覆盖的最小重量可以近似。对于无向图，我们设计了一个多项式时间的近似算法，该算法对所有的集合L都达到一个常数的近似比。另一方面，我们证明了问题不能近似的因子为2-eps的某些集合L。对于有向图，我们提出了一个多项式时间的近似算法，达到了O（n）的近似比，其中$n$是顶点的数量。这是渐近最优的：我们证明了这个问题不能近似在一个因子O（n）内。为了对比最小权重的循环覆盖的结果，我们表明，计算最大权重的L-循环覆盖的问题，至少在原则上，可以任意近似。
2007-05-02 cs.CC cs.DM cs.DS
On the Price of Independence for Vertex Cover, Feedback Vertex Set and Odd Cycle Transversal
用$vc(G)$、$fvs(G)$和$oct(G)$分别表示图$G$中最小点覆盖、最小反馈点集和最小奇圈断面的大小.人们可能会问，当在图中寻找这些集合时，如果我们要求它们是独立的，它们可能会大多少;也就是说，独立的代价是什么？若$G$有一个独立集的顶点覆盖、反馈顶点集或奇圈截线，则分别用$ivc(G)$、$ifvs(G)$或$ioct(G)$表示这类集的最小尺寸.类似于最近关于连通性代价的研究（Hartinger et al. EuJC 2016），我们研究了当图$G$属于无$H$图类时，对于哪些图$H$，$ivc(G)$、$ifvs(G)$和$ioct(G)$的值分别根据$vc(G)$、$fvs(G)$和$oct(G)$有界。我们发现完整的分类顶点覆盖和反馈顶点集和一个几乎完整的分类奇循环横截（受三个非等价的开放情况）。我们还研究了当图$G$属于$H$ -free图类时，对于哪些图$H$，$ivc(G)$，$ifvs(G)$和$ioct(G)$的值分别等于$vc(G)$，$fvs(G)$和$oct(G)$。我们发现一个完整的分类的顶点覆盖和几乎完全分类的反馈顶点集（受一个开放的情况下）和奇循环横截（受三个开放的情况下）。
2019-10-11 cs.DM cs.DS math.CO
Facial diagrams and cycle double cover
Computer Science Institute of Charles University（查理大学计算机科学研究所）
通过研究立方图在任意曲面上的圆2单元嵌入，探讨环双覆盖猜想。分析扭操作并推导奇边数量的界限。
2026-05-02 cs.DM math.CO
Homomorphisms of Cayley graphs and Cycle Double Covers
本文研究了MattDeVos的猜想：如果存在一个从Cayley图Cay（M，B）到另一个Cayley图Cay（M '，B'）的图同态，则每个具有（M，B）-流的图都具有（M '，B'）-流。这个猜想最初是由流-张力对偶性激发的。我们表明，自然加强这一猜想并不适用于所有情况下，但我们猜想，它仍然适用于一个有趣的子类，我们证明了在这个方向的部分结果。我们还表明，原来的猜想意味着存在一个有向的循环双覆盖与少量的循环。
2019-01-10 cs.DM math.CO
On Approximating Restricted Cycle Covers
一个图的圈覆盖是一组圈，使得每个顶点恰好是一个圈的一部分。L-圈覆盖是指每个圈的长度都在集合L中的圈覆盖。一个边权图的圈覆盖的权是它的边的权之和。我们接近解决计算L-圈覆盖的复杂性和可逼近性。一方面，我们证明了对于几乎所有的L，计算有向图和无向图的最大权的L-圈覆盖是APX-困难和NP-困难的。即使边的权重被限制为0和1，我们的大多数硬度结果仍然成立。另一方面，我们表明，计算L-圈覆盖的最大重量的问题，可以近似在一个因素为2无向图和8/3的情况下，有向图。这对任意集合L成立。
2007-10-08 cs.CC cs.DM
Low Congestion Cycle Covers and their Applications
无桥图$G$的圈覆盖是$G$中的简单圈的集合，使得每个边$G$至少出现在一个圈上。圈覆盖计算的共同目标是最小化所有圈的总长度。受分布式计算应用的启发，我们引入了\emph{low-congestion}循环覆盖的概念，其中循环集合中的所有循环都是\emph{short}和近似\emph{edge-disjoint}。形式上，图$G$的$(d,c)$ -圈覆盖是$G$中的圈的集合，其中每个圈的长度至多为$d$，并且每条边参与至少一个圈和至多$c$圈。先验地，不清楚的是，甚至存在享有小重叠和短循环长度的循环覆盖，也不清楚是否可以有效地找到它们。也许相当令人惊讶的是，我们证明了以下几点：每一个无桥图直径$D$承认$(d,c)$ -循环覆盖，其中$d = \tilde{O}(D)$和$c=\tilde{O}(1)$。这些参数在多对数项下是存在紧的。此外，我们展示了如何扩展我们的结果，以实现普遍最优的循环覆盖。令$C_e$是覆盖$e$的最短循环的长度，令$OPT(G)= \max_{e \in G} C_e$。证明了每个无桥图都有$(d,c)$ -圈覆盖，其中$d = \tilde{O}(OPT(G))$和$c=\tilde{O}(1)$ .我们证明了低拥塞周期覆盖在不同的弹性计算设置的有用性。例如，我们考虑一个拜占庭故障模型，在每一轮中，对手选择一个单一的消息，并以任意的方式损坏。我们提供…
2018-12-24 cs.DC cs.DM
Well-Covered Graphs Without Cycles of Lengths 4, 5 and 6
一个图G是好覆盖的，如果它的所有极大独立集具有相同的基数。假设在其顶点上定义权重函数w。则G是w-良好覆盖的，如果所有的极大独立集具有相同的权。对于每个图G，使得G是w-良好覆盖的权函数的集合w是向量空间。给定一个输入图G没有长度为4，5和6的圈，我们多项式特征向量空间的权重函数w，G是w-良好覆盖的。设B是G在二分图B_{X}和B_{Y}的顶点集上的导出完全二部子图.设存在一个独立集S，使得S与B_{X}的并和S与B_{Y}的并都是G的极大独立集.则B是G的生成子图，它产生限制w（B_{X}）=w（B_{Y}）.已知对于每个权函数w，如果G是w-良好覆盖的，则满足上述限制。在特殊情况下，其中B_{X} ={x}且B_{Y} ={y}，我们说xy是相关边。关联边的识别和子图的生成是一个NP完全问题。然而，我们提供了一个多项式算法，用于识别生成的子图的输入图没有周期的长度为5，6和7。我们还提出了一个多项式算法识别相关的边缘在输入图没有周期的长度为5和6。
2012-10-25 cs.DM math.CO
Physical Zero-knowledge Proofs for Flow Free, Hamiltonian Cycles, and Many-to-many k-disjoint Covering Paths
在本文中，我们描述的协议，使用一个标准的扑克牌，以提供一个完美的声音零知识证明的哈密顿循环和流动自由的难题。后者可以很容易地扩展到提供一个多对多的k-不相交路径覆盖的零知识证明协议。
2022-02-08 cs.CR cs.DM
Approximate cycle double cover
本文研究圈双覆盖猜想，通过给出三次图嵌入中奇异边最小数量的非平凡上界，并设计高效算法寻找满足这些上界的嵌入，从而推进了对该猜想的近似刻画。
2025-11-10 cs.CC cs.DM math.CO
Partitioning two-coloured complete multipartite graphs into monochromatic paths and cycles
证明了$k$ -部图$G$在$n$顶点上的任意完全图$G$，如果$k \ge 3$的边是双色的，则它可以被两条顶点不相交的不同颜色的单色路覆盖.我们证明这一点的必要假设下，最大的分区类的$G$包含最多$n/2$顶点。这推广了完全图和完全二部图的已知结果。其次，我们表明，在相同的情况下，所有的，但$o(n)$顶点的图可以覆盖两个顶点不相交的单色循环的不同的颜色，如果着色接近分裂着色被排除。由此，我们得出，整个图，如果足够大，可以覆盖有14个顶点不相交的单色循环。
2014-10-07 cs.DM math.CO
6-cycle double covers of cubic graphs
无向图的圈双覆盖（CDC）是指图的圈的集合，使得图的每条边恰好属于两个圈。我们描述了一个建设性的方法来生成所有的三次图，有6-CDC（一个CDC，其中每个周期的长度为6）。作为该方法的一个应用，我们证明了所有这类图都有一个Hamilton圈。方向感是图上的边标记，遵循全局一致的方案，并且已知可以大大降低几个分布式问题的复杂性。在[9]中，研究了方向感的一个特殊实例，称为弦方向感（CSD），并分析了允许恰好具有k个标签的CSD（最小CSD）的k-正则图类。我们现在证明了几乎所有的三次图都有一个6-CDC，唯一的例外是K4。
2009-04-17 cs.DM
Weighted Well-Covered Graphs without Cycles of Length 4, 5, 6 and 7
一个图是良好覆盖的，如果每个极大独立集具有相同的基数。覆盖良好的图的识别问题是co-NP-完全的。设w是定义在G的顶点上的权函数。则G是w-良好覆盖的，如果G的所有极大独立集都具有相同的权.一个图是w-良好覆盖的权函数的集合w是一个向量空间。我们证明了，如果输入图不包含长度为4，5，6和7的圈，则可以在多项式时间内找到输入图是w-良好覆盖的权函数的向量空间。
2010-09-16 cs.CC cs.DM
Cycles in the burnt pancake graphs
饼图$P_n$是对称群$S_n$在由前缀反转生成的$n$元素上的Cayley图。$P_n$已被证明具有使其成为并行处理器的有用网络方案的属性。例如，它是$(n-1)$ -正则的，顶点可传递的，并且可以用$6\leq\ell\leq n!$在其中嵌入长度为$\ell$的循环。焦饼图$BP_n$是使用前缀反转作为生成元的带符号置换群$B_n$的凯莱图，具有类似的性质。实际上，$BP_n$是$n$ -正则的和顶点传递的。在本文中，我们证明了$BP_n$有每个周期长度$\ell$与$8\leq\ell\leq 2^n n!$。所给的证明是利用$BP_n$的递归结构的构造性证明。我们还提出了一个完整的表征$BP_n$中的所有$8$ -周期的$n \geq 2$，这是最小的周期嵌入在$BP_n$，通过呈现其规范形式的产品的前缀反转生成器。
2019-07-24 cs.DM math.CO math.GR
Minimum Reload Cost Cycle Cover in Complete Graphs
重载成本是指当边着色图遍历两个不同颜色的边之间的内部顶点时，沿着边着色图上的路径发生的成本。Galbiati等人[1]引入了最小可重装载成本循环覆盖问题，即寻找一组覆盖所有顶点的顶点不相交循环，并且具有最小的可重装载成本。他们证明了这个问题是强NP-困难的，并且对于任何$ε> 0$，即使当颜色的数量为2时，该问题在$1/ε$中也是不可逼近的，重新加载成本是对称的，并且满足三角不等式。在本文中，我们研究了完全图中具有均匀或近似均匀2-边染色的问题，这是具有两种颜色的边染色，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，分别为$||c_1(v)| -|c_2(v)|| \leq 1$或$||c_1(v)| -|c_2(v)|| \leq 2$，其中$c_i(v)$是具有与$v$关联的颜色$i$的边的集合。通过证明单色圈覆盖的存在性，证明了除了顶点数小于13的完全图之外，在几乎相等2-边着色的完全图上，最小重载代价为零.此外，我们提供了一个多项式时间的算法，构造一个单色循环覆盖在完全图的公平2-边染色，除了可能在一个完全图有四个顶点。除了某些特殊情况外，我们的算法还可以在几乎均匀2-边染色的完全图中找到单色圈覆盖。
2021-08-31 cs.DM
Sharp threshold for hamiltonicity of random geometric graphs
对于任意的$\ell_p$范数，我们证明了随机几何图$\mathcal G(n,r)$包含Hamilton圈的性质在$r=r(n)=\sqrt{\frac{\log n}{α_p n}}$处具有一个尖锐的阈值，其中$α_p$是单位圆盘在$\ell_p$范数下的面积。该证明是构造性的，并给出了一个线性时间算法，用于找到$\RG$ a.a.s.的Hamilton圈，为某些固定$ε> 0$提供了$r=r(n)\ge\sqrt{\frac{\log n}{(α_p -ε)n}}$。
2006-07-07 cs.DM
The Complexity of Determining Existence a Hamiltonian Cycle is $O(n^3)$
将有向图的Hamilton圈问题映射到匹配覆盖二部图上。在此基础上，证明了判定图中存在哈密尔顿圈的条件是$O(n^3)$ .
2007-06-19 cs.CC cs.DM cs.DS
