Continuation of the exponentially small transversality for the splitting of separatrices to a whiskered torus with silver ratio
研究了近可积哈密顿系统中具有两个快频率的双曲环面的不变流形的指数小分裂，其中双曲部分由摆给出.我们考虑一个频率比为银数$Ω=\sqrt{2}-1$的环面。我们证明了Poincaré-Melnikov方法可以用来建立4个横截同宿轨道到须环的存在性，并提供了对扰动参数$\varepsilon$的依赖满足周期性的分裂的横截性的渐近估计。我们还证明了连续的横截性的同宿轨道的所有足够小的值$\varepsilon$，推广以前已知的黄金数的结果。
2014-09-17 math.DS
A methodology for obtaining asymptotic estimates for the exponentially small splitting of separatrices to whiskered tori with quadratic frequencies
本文的目的是对扰动的3自由度哈密顿系统中分离面的分裂提供渐近估计，该系统与频率比为二次无理数的二维须环（不变双曲环）相关联.我们证明了渐近估计对扰动参数的依赖性是由一些满足周期性的函数描述的，并且其行为强烈依赖于频率的算术性质。
2014-07-24 math.DS
Exponentially small splitting of separatrices and transversality associated to whiskered tori with quadratic frequency ratio
研究了近可积哈密顿系统中具有两个频率的须状（双曲）环面的不变流形的分裂问题，其中双曲部分由摆给出。我们考虑具有快速频率向量$ω/\sqrt\varepsilon$的环面，其中$ω=(1,Ω)$的频率比$Ω$是二次无理数。应用Poincaré-Melnikov方法，我们对Melnikov势的主谐波进行了仔细的研究。这使我们能够提供一个渐近估计的最大分裂距离，并显示存在横向同宿轨道的须环面的横向分裂的渐近估计。这两个估计在$\varepsilon$中都是指数小的，指数中的函数相对于$\ln\varepsilon$是周期性的，并且可以从$Ω$的连分数中显式地构造。通过这种方式，我们强调了我们的结果对$Ω$的算术性质的强依赖性。特别是，二次比率$Ω$与1-周期或2-周期的连分数（称为金属和金属色的比率分别），我们提供了准确的上限和下界的分裂。最大分裂距离的估计对于$\varepsilon$的所有足够小的值都是有效的，并且对于$\varepsilon$的大多数值可以建立横向性，不包括在谐波的主导发生变化的一些过渡值周围的小间隔，并且可能发生分叉。
2015-12-15 math.DS
Asymptotic series for the splitting of separatrices near a Hamiltonian bifurcation
这是一个渐近公式的证明，它描述了指数小分裂的一般分析家庭的面积保持映射附近的哈密顿鞍中心分歧。作为一个特殊的情况，并结合早期关于Hénon映射的Stokes常数的工作（Gelfreich，Sauzin（2001）），它意味着当不动点的乘数接近1时，保面积Hénon族中的分离面的指数小横截性。
2008-06-14 math.DS
Splitting of separatrices for rapid degenerate perturbations of the classical pendulum
本文研究了具有$g(τ)=\sum_{|k|>1}g^{[k]}e^{ikτ}$、$2π$ -周期函数和$μ,\varepsilon \ll 1$的快速扰动摆$H(x,y,t)=\frac{1}{2}y^2+(\cos(x)-1)+μ(\cos(x)-1)g\left(\frac{t}{\varepsilon}\right)$的分裂距离.这类系统经历指数小分裂，当$μ\ll 1$时，已知Melnikov函数实际上给出了$g^{[\pm 1]}\neq 0$提供的分裂函数的渐近表达式。我们的研究集中在案例$g^{[\pm 1]}=0$上，主要有两个原因。一方面，分裂的一般理解，因为目前的结果失败的扰动一样简单的$g(τ)=\cos(5τ)+\cos(4τ)+\cos(3τ)$。另一方面，在Arnold的原始扩散模型中，有理数频率$p/q$的环面的不变流形的分裂的研究导致考虑具有$ g(τ)=\sin\left(p\cdot\frac{t}{\varepsilon}\right)+\cos\left(q\cdot\frac{t}{\varepsilon}\right), $的类哈密顿算子，其中，对于大多数$p, q\in\mathbb{Z}$，扰动满足$g^{[\pm 1]}\neq 0$。正如预期的那样，Melnikov函数在这种情况下不是分裂的正确近似。为了解决这个问题，我们使用分…
2023-02-15 math.DS
Exponentially small splitting of separatrices associated to 3D whiskered tori with cubic frequencies
本文研究了一类近似可积哈密顿系统中具有三个频率的须状（双曲）环面的不变流形的分裂问题，该系统的双曲部分由摆给出。我们考虑一个具有快速频率向量$ω/\sqrt\varepsilon$的三维环面，其中$ω=(1,Ω,\widetildeΩ)$是一个三次无理数，它的两个共轭是复数，$ω$的分量生成场$\mathbb Q(Ω)$。一个典型的例子是三次黄金向量，由满足$Ω^3=1-Ω$和$\widetildeΩ=Ω^2$的（实数）$Ω$给出。对于这样的三维频率向量，连分数的标准理论不能应用，所以我们开发了一种方法来确定小因子$\langle k,ω\rangle$，$k\in{\mathbb Z}^3$的行为。应用庞加莱-Melnikov方法，这使我们能够进行一个仔细的研究的主谐波（这取决于$\varepsilon$）的Melnikov函数，获得一个渐近估计的最大分裂距离，这是指数小的$\varepsilon$，并有效的所有足够小的值~$\varepsilon$。这种估计的行为像$\exp\{-h_1(\varepsilon)/\varepsilon^{1/6}\}$，我们提供了，第一次在一个系统中的3个频率，一个准确的描述（正）功能$h_1(\varepsilon)$的指数的分子，表明它可以明确地从频率矢量$ω$的共振特性构建，并证明它是一个准周期函数（而不是周期性的）相对于$\ln\va…
2019-06-01 math.DS
Exponentially small asymptotic estimates for the splitting of separatrices to whiskered tori with quadratic and cubic frequencies
研究了近可积哈密顿系统中具有两个或三个频率的须环的不变流形的分裂问题。我们考虑具有频率向量$ω=(1,Ω)$的2维环面，其中$Ω$是二次无理数，或者具有频率向量$ω=(1,Ω,Ω^2)$的3维环面，其中$Ω$是三次无理数。应用Poincare-Melnikov方法，我们找到了与不变环面相关的稳定流形和非稳定流形之间的最大分裂距离的指数小的渐近估计，表明这种估计强烈依赖于频率的算术性质.在二次情形下，我们利用连分数理论建立了一个特定的算术性质，在24种情形下得到了满足，这使我们能够以一种简单的方式提供渐近估计。在立方的情况下，我们把注意力集中在$Ω$是所谓的立方黄金数（$x^3+x-1=0$的实根）的情况下，也获得渐近估计。指出了二次和三次情形所得结果的异同。
2013-06-04 math.DS
Splitting of separatrices in a family of area-preserving maps that unfolds a fixed point at the resonance of order three
研究了一类保面积映射的解析单参数族中分离面的指数小分裂，该映射一般展开1：3共振。正规形理论预言在共振附近存在一个由周期为三的双曲点的分界线构成的小三角形。我们证明，在一个通用的家庭的分离线分裂，提供的Stokes常数的地图不消失。这个常数描述了在精确共振时与映射的退化鞍相关联的不变流形的解析延拓之间的距离。我们提供了一个渐近公式描述的分裂的大小。这个渐近公式的首项与斯托克斯常数成比例。
2017-09-27 math.DS
Splitting of separatrices, scattering maps, and energy growth for a billiard inside a time-dependent symmetric domain close to an ellipse
我们研究台球动力学内的一个椭圆的轴的长度周期性地改变的时间和一个$O(δ)$ -小四次多项式变形添加到边界。在这种情况下，台球中粒子的能量不再守恒。我们证明了在这样的系统中存在一个费米加速：存在一个能量趋于无穷大的台球轨迹。的建设是基于分析的动力学在相空间附近的同宿相交的稳定和非稳定流形的正常双曲不变的圆柱$Λ$，参数化的能量和时间，对应于沿椭圆的长轴的运动。该证明依赖于将同宿通道附近的台球映射简化为由沿$Λ$上定义的两个Hamilton流的移位组成的迭代函数系统。这两个流近似于所谓的内部和散射映射，这是在阿诺德扩散的研究中出现的基本工具;散射映射由沿着稳定和不稳定不变流形$W^{s,u}(Λ)$在同宿点的强稳定和强不稳定叶理$W^{ss,uu}$的投影定义。Melnikov类型的计算意味着，在这个问题中的散射映射的行为是非常不寻常的：它只定义在一个小的子集$Λ$收缩，在大的能量限制，一组平行线$t=const$作为$δ\to 0$。
2017-12-08 math.DS
Splitting of separatrices for the Hamiltonian-Hopf bifurcation with the Swift-Hohenberg equation as an example
研究了Swift-Hohenberg方程在Hamiltonian-Hopf分支附近的同宿轨道。众所周知，在这种情况下，方程的标准形式在所有阶都是可积的。因此，稳定和非稳定流形之间的差异是指数小，研究需要一种方法，能够检测到的现象超出了所有的代数秩序所提供的正规形理论。我们提出了一个同宿不变量的渐近展开，它定量地描述了不变流形的横截性。我们进行高精度的数值实验，以支持有效性的渐近展开和评估的斯托克斯常数数值使用两个独立的方法。
2013-04-29 math.DS
The inner equation for generalized standard maps
研究了广义标准映射上与分离面分裂有关的内方程的特解。得到了它们之差的指数小的完全表达式。我们还提供了数值证据，内方程提供了定量信息的分裂的separatrices，即使在这种情况下，当极限流不。
2012-06-25 math.DS
On the distance between separatrices for the discretized logistic differential equation
考虑Logistic微分方程$y'=2\big(1-y^{2}\big)$的离散化y（t+ε）=y（t-ε）+2ε \big（1-y（t）^{2} \big），$ε>0$是小参数，它也可以看作是系统{y '= 2 \big（1-v^{2} \big），v'= 2 \big（1-y^{2} \big）的离散化.该系统在$A=(1,1)$，$B=(-1, -1)$有两个鞍点，存在稳定流形和非稳定流形.我们将证明点$A=(1,1)$的稳定流形$W_{s}^{+}$和点$B=(-1, -1)$的不稳定流形$W_{i}^{-}$对于离散化并不重合。这两个流形之间的垂直距离是指数小，但不为零，特别是我们给这个距离的渐近估计。为此目的，我们将使用一种方法改编自文件的Schäfke-Schummer \cite{SV}使用正式的系列和准确的估计系数。
2008-06-12 math.DS
On the distance between separatrices for the discretized pendulum equation
考虑摆方程$ q '' = \sin (q) $的离散化q（t+ε）+q（t-ε）-2q（t）=ε^{2} \sin \big（q（t）\big），$ε>0$为小参数;在系统形式下，离散化q（t+ε）-q（t）=εp（t+ε），p（t+ε）-p（t）=ε \sin \big（q（t）\big）.系统q '= p，p'= \sin（q）.后一类常微分方程组在$A=(0,0)$和$B=(2π, 0)$处有两个鞍点，在这两个鞍点附近存在稳定流形和不稳定流形。它也允许一个异宿轨道连接由$q_0(t)=4\arctan\big(e^{-t}\big)$参数化的驻点$B$和$A$，它包含该系统在$A$的稳定流形以及在$B$的不稳定流形。我们证明了点$A$的稳定流形和点$B$的不稳定流形对于离散化是不重合的。更确切地说，我们表明，这两个流形之间的垂直距离是指数小，但不为零，特别是我们给这个距离的渐近估计。为此，我们使用的方法改编自文章的Schäfke-Schummer \cite{SV}使用正式系列和准确的估计系数。我们的结果与Lazutkin et. \cite{LS} ;然而，我们的证明方法却完全不同。
2008-06-12 math.DS
Critical velocity in kink-defect interaction models: rigorous results
在这项工作中，我们研究了一个模型的扭结的sine-Gordon方程与弱缺陷的相互作用。我们通过几何方法获得了关于[7]中推导的所谓临界速度的严格结果。更具体地说，我们证明了一个异宿轨道的能量水平$0$的$2$ -dof哈密顿$H_ε$被破坏，从而引起异宿连接某些元素（在无穷远）的指数小（在$ε$）的能量水平。在这种情况下，Melnikov理论不适用，因为存在指数小现象。
2018-11-08 math.DS
Breakdown of a 2D heteroclinic connection in the Hopf-zero singularity (I)
本文研究了Hopf零奇性解析开折中出现的一种超越所有阶的现象。它包括在一个二维异宿曲面的故障存在于截断的正常形式的这个奇异性在任何顺序。在本文中的结果是双重的：一方面，我们给出的结果一般的开折，导致尖锐的指数小上界的差异，这些流形。另一方面，我们提供的Melnikov函数的一些非通用的开折的这种差异的渐近公式。
2016-08-03 math.DS
Exponentially small asymptotic formulas for the length spectrum in some billiard tables
本文研究轴对称严格凸台球桌中(1,q)-周期轨迹长度差的渐近行为，以量化边界附近的混沌动力学。基于数值实验，提出长度差渐近于指数小因子乘以常数或振荡函数的猜想，并指出指数与周期轨迹长度渐近级数Borel变换收敛半径的关系。
2015-04-30 math.DS
Breakdown of homoclinic orbits to $L_1$ of the hydrogen atom in a circularly polarized microwave field
研究圆偏振微波场中Rydberg电子的2自由度Hamilton系统，通过结合正规形式、Melnikov和数值方法的半解析技术计算$L_1$稳定与不稳定流形的距离，发现该距离在扰动参数下呈指数级减小。
2024-11-15 math.DS
