Whiskered KAM Tori of Conformally Symplectic Systems
我们研究了在一些耗散系统，称为\sl共形辛\rm系统，具有的属性，他们的辛形式转化为自身的多个晶须环面的存在。本文考虑一族共形辛映射$f_μ$，它依赖于漂移参数$μ$ .我们固定环面的丢番图频率，并且我们假设具有漂移$μ_0$和环面$K_0$的嵌入，其近似满足不变性方程$f_{μ_0} \circ K_0 - K_0 \circ T_ω$（其中$T_ω$表示$ω$的移位）。我们还假设切空间在$K_0$的范围内分裂成三个丛。我们假设丛在$D f_{μ_0}$下近似不变，并且导数满足某些“速率条件”。在适当的非简并条件下，证明了在$f_{μ_\infty}$下，存在$μ_\infty$，$K_\infty$和与原解接近的不变性分裂.该证明提供了一种构造须环的有效算法。陈述和证明的全部细节在[CCdlL18]中给出。
2019-01-24 math.DS
On the convergence of flow map parameterization methods for whiskered tori in quasi-periodic Hamiltonian systems
本文针对解析哈密顿系统中部分双曲不变环面的存在性，基于参数化方法框架证明了KAM迭代格式的收敛性，并给出了计算机辅助证明所需的显式常数。
2025-08-18 math.DS
Existence of whiskered KAM tori of conformally symplectic systems
研究了一类共形辛映射族$f_μ$中依赖于参数$μ$的须环的存在性.须状环面是运动是旋转的环面，但它们具有与保留几何结构所允许的一样多的膨胀/收缩方向。我们的主要结果是制定在一个“后验”的格式。我们固定$ω$满足丢番图条件。我们假设我们被给出1）参数$μ_0$的值，2）环面$K_0$到相空间中的嵌入，在$f_{μ_0} \circ K_0 - K_0 \circ T_ω$小的意义上在$f_{μ_0}$下近似不变，3）在$K_0$的范围处的切空间的分裂，分成三个丛，这三个丛在$D f_{μ_0}$下近似不变，并且使得导数在每个分量上满足“速率条件”。然后，如果一些非退化条件得到满足，我们表明，有另一个参数$μ_\infty$，嵌入$K_\infty$和分裂接近原来的是不变的$f_{μ_\infty}$。我们还绑定$|μ_\infty - μ_0|$，$\|K_\infty - K_0 \|$和初始和最终分裂的初始误差方面的距离。主要定理的证明在于描述一个迭代过程，该过程利用了来自几何学的取消。然后，我们表明，该过程收敛到一个真正的解决方案时，从一个足够近似的解决方案。迭代过程导致一个有效的算法，是非常实用的实现。作为应用，我们研究了小耗散效应对须环的奇异性问题。我们开发的扰动参数的正式扩展，并使用它们作为输入的后验定理。这允许获得作为扰动参数的函数的环面的解析域的下界。
2019-01-22 math.DS
Computation of whiskered invariant tori and their associated manifolds: new fast algorithms
在本文中，我们提出了有效的算法计算的几个不变的对象的哈密顿动力学。更确切地说，我们认为KAM环面（即环面的纯拷贝，使得其上的运动与刚性旋转共轭）拉格朗日环面（最大维数）和须环面（即具有双曲方向的环面，连同环面的切线和辛共轭，跨越整个切空间）。在须环的情况下，我们还提出了算法来计算不变的分裂和不变流形的分裂。我们提出他们的情况下，离散时间和微分方程。该算法是基于牛顿法来解决一个适当选择的函数方程，表示不变性。算法是有效的：如果我们用$N$元素离散对象，牛顿方法的一步只需要O（N）存储和$O(N \ln(N))$操作。此外，如果我们考虑的对象是$\ell$维，我们只需要计算$\ell$变量的函数，而与相空间的维数无关。该算法不要求系统的作用角变量，也不要求它是接近可积的。该算法是由严格的\emph{a-posteriori}边界，其中规定，如果方程的解决与一个小的残差和一些明确的可计算的条件数是不是太大，然后，有一个真正的解决方案，这是接近计算的。该算法适用于主要（即不可收缩）和次要环面（即可收缩到较低维度的环面，如岛屿）。这些建议已经得到执行。我们将报告实施的技术细节和在其他地方实施的结果。
2010-05-03 math.DS
Simultaneous computation of whiskered tori and their whiskers in Hamiltonian systems using flow maps
本文提出一种基于参数化方法和流映射的算法，可同时高效计算Hamiltonian系统中的whiskered环面及其稳定/不稳定流形，并在圆形限制性三体问题中验证了其效率和稳定性。
2025-07-08 math.DS
On the co--existence of maximal and whiskered tori for the planetary three--body problem
本文讨论了在三体问题的相空间的一个区域内，稳定和不稳定的准周期{\sc kam}环面{\it共存}的可能性。{论证}沿着{\sc kam}理论，特别是}在相空间的同一区域产生两个非光滑相关的正则坐标系，对于“适当退化”的系统，Nekhorossev和Mi{\displaystyle Mi}{\displaystyle {\frac {i}enko和Fomenko的定理预见了这种可能性。这两个坐标系是雅可比节点的经典简化的替代方案，例如，在~[V.I.~ Arnold，Small Replacators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics，18，85（1963）; p. 141].
2018-09-20 math.DS
Symplectic blenders near whiskered tori and persistence of saddle-center homoclinics
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学中心）；Imperial College London（帝国理工学院）
研究证明，对于任意 C^s 同胚（s=2,…,∞,ω），若存在一维颤振 torus 与同宿轨道，则可通过任意小的 C^s 干扰产生辛 blender。结果表明，鞍心周期点不变流形的非横截同宿交集在 C^s 意义下持续存在。
2026-03-21 math.DS
Construction of invariant whiskered tori by a parameterization method. Part I: Maps and flows in finite dimensions
我们提出的定理，提供了存在不变的须环面有限维精确辛映射和流。该方法是基于一个函数方程表示有一个不变环面的研究。我们证明了，给定满足某些非退化条件的不变性方程的近似解，附近存在真解。我们称之为{ \sl后验}方法。主要定理的证明是基于迭代法求解函数方程。这些定理并不假设系统是接近可积的，也不假设它是用作用角变量来表示的（因此我们可以用一种统一的方式来处理主环面和次环面）。它也没有假设双曲丛是平凡的，更没有假设双曲运动可以化为常数。后验公式使我们能够证明由许多非严格方法（例如，形式级数展开，数值方法）产生的近似解。迭代法不是基于变换理论，而是基于迭代修正。这使得它可以适应的方法几乎逐字几个无限维的情况下，我们将在即将发表的论文中讨论。我们还注意到，该方法导致快速和有效的算法。我们计划在即将发表的论文中开发这些改进。
2009-03-02 math.DS
Rapid and Accurate Methods for Computing Whiskered Tori and their Manifolds in Periodically Perturbed Planar Circular Restricted 3-Body Problems
当平面圆型限制性三体问题（RTBP）受到周期扰动时，不稳定周期轨道族分裂成须环，且大多数环保持在扰动系统中。在这项研究中，我们1）开发了一个拟牛顿法，同时解决了环面和他们的中心，稳定和不稳定的方向; 2）实现连续的扰动以及旋转数; 3）计算傅立叶-泰勒参数化的稳定和非稳定流形; 4）正则化的运动方程;和5）全球化这些流形。我们的方法提高了效率和精度相比，以前的研究，并适用于各种周期性扰动。我们证明了在平面椭圆RTBP共振附近的工具。
2021-10-05 astro-ph.EP math.DS
Localized Stable Manifolds for Whiskered Tori in Coupled Map Lattices with Decaying Interaction
在本文中，我们考虑晶格系统耦合的局部相互作用。我们证明不变流形定理的须环面（我们记得，须环面是拟周期解的线性化系统的指数收缩和膨胀方向）。我们构造的不变流形推广了通常的（强）（不）稳定流形，并允许我们考虑非共振流形。我们表明，如果胡须环面是本地化的特定网站的集合附近，那么不变流形。我们记得，存在本地化的须环最近已被证明为辛映射和流动的丰蒂奇等。（提交），但我们的结果并不需要系统是辛的。为了简单起见，我们将首先介绍映射的主要结果，但我们将表明映射的结果意味着流的结果。同样，流的结果也可以根据同样的思想直接证明。
2013-07-09 math-ph math.DS math.MP
An a posteriori KAM theorem for whiskered tori in Hamiltonian partial differential equations with applications to some ill-posed equations
本文的目的是发展一个双曲方向环面的KAM理论，它适用于Hamilton偏微分方程，甚至适用于某些不适定的方程。主要结果具有\emph{a-posteriori}格式，即，我们证明了如果一个不变性方程存在一个近似解，并且它也满足某些非退化条件，那么在它附近就存在一个真解。后验格式还具有其他自动结果（对参数的平滑依赖，规律性的自举等）。证明的方法是基于一个迭代法来解决一个函数方程的参数化的环面满足不变方程和参数化的方向不变下的线性化。迭代法不使用变换理论或作用角变量。它并不假定系统接近可积。我们首先建立一个抽象定理。然后，我们展示了这个抽象的结果如何适用于一些具体的例子，包括标量Boussinesq方程和Boussinesq系统，使我们构造{ \sl小振幅}环面的方程，这是甚至在空间变量。注意，我们作为例子使用的方程是不适定的。
2016-02-11 math.AP math.DS
Construction of invariant whiskered tori by a parameterization method. Part II: Quasi-periodic and almost periodic breathers in coupled map lattices
本文在具有平移不变的无限格点上构造了耦合哈密顿系统的拟周期解和殆周期解。耦合可以是长距离的，只要它们相对于距离衰减得适度快。对于我们构造的解，大多数的站点都在一个双曲不动点的邻域内移动，但也有振荡站点聚集在一系列节点周围。这些振荡的振幅不需要趋于零。特别地，殆周期解在无穷远处不衰减。我们用公式表示一个不变方程。这个方程的解是一个不变环面的嵌入，在这个环面上运动与旋转共轭。我们证明，如果存在一个近似解的不变性方程，满足某些非退化条件，有一个真正的解决方案关闭。这个\emph{a-posteriori}定理的证明是基于Nash-Moser迭代，它不使用变换理论。在E.丰蒂希河de la Llave，Y. Sire \emph{J. Differential. Equations.} { \bf 246}，3136（2009）.一个技术工具，对我们的目的很重要，是使用加权空间，捕捉的想法，正在考虑的地图是本地的相互作用。利用这些加权空间，迭代步的估计类似于有限维空间中的估计。特别是，估计值与被激发的节点数量无关。使用这些技术，给定两个呼吸器，我们可以将它们分开并获得近似解，从而导致附近的真实解。通过无限次地重复这个过程，我们可以得到具有无穷多个频率的解，这些频率在无穷远处不趋于零。
2014-06-04 math.DS
Quantitative KAM theory, with an application to the three-body problem
该研究基于定量KAM理论证明了拟周期运动延拓的两个定理，应用于三体问题证实相空间小集合内存在两类环面并估计其密度，首次证明物理系统中稳定与带须环面的共存性。
2023-08-01 math-ph math.DS math.MP
Splitting of separatrices for rapid degenerate perturbations of the classical pendulum
本文研究了具有$g(τ)=\sum_{|k|>1}g^{[k]}e^{ikτ}$、$2π$ -周期函数和$μ,\varepsilon \ll 1$的快速扰动摆$H(x,y,t)=\frac{1}{2}y^2+(\cos(x)-1)+μ(\cos(x)-1)g\left(\frac{t}{\varepsilon}\right)$的分裂距离.这类系统经历指数小分裂，当$μ\ll 1$时，已知Melnikov函数实际上给出了$g^{[\pm 1]}\neq 0$提供的分裂函数的渐近表达式。我们的研究集中在案例$g^{[\pm 1]}=0$上，主要有两个原因。一方面，分裂的一般理解，因为目前的结果失败的扰动一样简单的$g(τ)=\cos(5τ)+\cos(4τ)+\cos(3τ)$。另一方面，在Arnold的原始扩散模型中，有理数频率$p/q$的环面的不变流形的分裂的研究导致考虑具有$ g(τ)=\sin\left(p\cdot\frac{t}{\varepsilon}\right)+\cos\left(q\cdot\frac{t}{\varepsilon}\right), $的类哈密顿算子，其中，对于大多数$p, q\in\mathbb{Z}$，扰动满足$g^{[\pm 1]}\neq 0$。正如预期的那样，Melnikov函数在这种情况下不是分裂的正确近似。为了解决这个问题，我们使用分…
2023-02-15 math.DS
