On second variation of Perelman's Ricci shrinker entropy
本文给出Perelman的ν-熵第二变分公式的详细证明，纠正了已有文献中稳定性算子的错误，并通过相关Lichnerowicz型算子的最小特征值及其重数得到线性稳定收缩子的必要条件。
2011-07-18 math.DG
Perelman's W-functional and stability of Kähler-Ricci flow
本文研究了Kähler-Ricci孤子下Perelman熵在Kahler度量空间上的二阶变分.我们证明了熵在变分意义下是稳定的。特别地，Perelman熵沿着Kähler-里奇流是稳定的。这篇笔记的中文版已经出现在一本纪念张国祥教授的书中（Scientia Sinica Math.，46（2016），685-696）。
2018-07-25 math.DG
Entropies in $μ$-framework of canonical metrics and K-stability, I -- Archimedean aspect: Perelman's W-entropy and $μ$-cscK metrics
这是从arXiv：2004.06393和这第一篇文章中观察到的新视角研究mu-cscK度量和muK稳定性的两篇系列论文中的第一篇。第一篇论文是关于μ-cscK度量的Perelman的W-熵$\check{W}^λ$的表征。我们把Perelman的W-熵看作是给定K“ahler类$L$中K“ahler度量空间$\mathcal{H} (X, L)$的切丛$T \mathcal{H} (X, L)$上的泛函. $\check{W}^λ$的临界点是$μ^λ$ -cscK指标。当$λ\le 0$时，沿着纤维的上确界给出了$\mathcal{H} (X, L)$上的光滑泛函，我们称之为μ熵。然后将$μ^λ$ -cscK度量刻画为该泛函的临界点，类似于将极值度量刻画为Calabi泛函的临界点.我们还证明了W-熵沿测地线是单调的，以下Berman-Berglessson的亚谐性参数。研究了W-熵的极限，得到了μ-熵的一个下界。这个界限不仅是类似的，但确实有关唐纳森的下限卡拉比功能的极值极限$λ\to -\infty$。
2022-02-24 math.AG math.CV math.DG
A Spinorial Perelman's Functional: Critical Points and Gradient Flow
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文提出一种统一Perelman泛函、Baldauf-Ouzch泛函和Dirichlet能量的旋量能量泛函，研究其临界点与梯度流的性质。
2026-01-05 math.DG
$\mathcal{W}$-Entropy formulae and differential Harnack estimates for porous medium equations on Riemannian manifolds
本文证明了具有里奇曲率的下有界闭黎曼流形上多孔介质方程正解的Perelman型$\mathcal{W}$ -熵公式和整体微分Harnack估计.作为应用，我们得到了Harnack不等式和Laplacian估计.
2018-06-05 math.DG
Lambda constant and Ground states of Perelman's W-functional
在本文中，我们考虑广义λ常数和广义Perelman的W-泛函的基态的存在性从变分公式。其中一个结果是关于广义$λ$常数的估计。另一个结果是关于具有正内射半径和里奇曲率的完备非紧黎曼流形$(M,g)$上的广义$F$ -泛函和W-泛函的基态的存在性。我们的主要结果是定理2，3，7.对于基态的存在性，我们采用Lions的浓度-紧性方法。
2017-03-29 math.AP math.DG
Optimal transportation and monotonic quantities on evolving manifolds
本文将Topping关于里奇流流的$\mathcal{L}$ -最优输运理论推广到更一般的情形，即推广到由$\partial_tg_{ij}=-2S_{ij}$演化的闭流形$(M,g_{ij}(t))$，其中$S_{ij}$是$M$上的（2，0）-型对称张量场.我们推广了Topping，Lott和Brendle最近的一些结果，推广了List的（因此也是Perelman的）$\mathcal{W}$ -熵的单调性，并恢复了M $\ddot{u}$ ller的（因此也是Perelman的）约化体积的单调性.
2009-09-14 math.DG math.PR
Eigenvalues and energy functionals with monotonicity formulae under Ricci flow
本文构造了Perelman的$\mathcal{F}$ -泛函和$\mathcal{W}$ -泛函型泛函族.我们证明了这些新泛函在里奇流下是非减的。作为应用，我们证明了紧致定常Ricci呼吸子必为Ricci平坦的定理。利用这些新的泛函，我们也给出了Perelman非平凡扩张呼吸子定理的一个新的证明。此外，我们还用直接法证明了紧膨胀Ricci呼吸子必为Einstein呼吸子。在本文中，我们还推广了X. Cao的特征值\cite{C}方法，改进了其结果.
2007-01-26 math.AP math.DG
Hamilton type entropy formula along the Ricci flow on surfaces with boundary
本文建立了带边界紧致曲面上沿里奇流的Hamilton型熵的单调性公式。我们还研究了我们的熵泛函与Perelman型的$\mathcal{W}$ -泛函之间的关系.
2021-07-07 math.DG
Scaling and Entropy for the RG-2 Flow
设$(\mathcal{M},g)$是闭黎曼流形.对于非线性sigma模型（RG-2流）的微扰重整化群流的$\textit{ second order approximation}$由下式给出：\[ \frac{\partial }{\partial t} \, g(t) \, =\, -2 \mathrm{Ric}(t) \, -\, \fracα{2} \mathrm{Rm}^2(t), \]其中$ g = \mathrm{Riemannian \ metric}, \mathrm{Ric} = \mathrm{Ricci \ curvature, } \ \mathrm{Rm}^2_{ij}:=\mathrm{R}_{irmk}\mathrm{R}_j^{rmk},$和$α\ge 0$是参数。该流是不变的下同胚，但不是下尺度的缩放。我们首先开发一个$\textit{geometrically defined}$耦合常数$α_g$，导致一个等效的，规模不变的流。我们进一步找到一个修改的Perelman熵的流量，并证明了局部存在的变分系统。关键的想法是修改流动的两个同构，第一个是通常的DeTurck同构第二个是严格相关的耦合常数$α_g$的几何特征。我们最小化的熵功能，因此引入到表征自然扩展$Λ[g]$的Perelman的$λ(g)$-功能，并显示$Λ[g]$是单调的RG-2流。…
2019-10-02 math.DG
The asymptotics of the $L^2$-curvature and the second variation of analytic torsion on Teichmüller space
本文利用Riemann曲面研究Teichmüller空间上纤维化的全空间$ \mathcal{X}\to \mathcal{T}$上的相对标准线丛$K_{\mathcal{X}/\mathcal{T}}$和相对充裕线丛$(L, e^{-ϕ})$.考虑了$\mathcal{X}_y$上的诱导度量$\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}ϕ|_{\mathcal{X}_y}$具有常数量曲率的情形，得到了直接像丛$E^k=π_*(L^k+K_{\mathcal{X}/\mathcal{T}})$的$L^2$ -度量和Quillen度量的曲率渐近性.作为结果，我们证明了解析挠率$τ_k(\bar{\partial})$的二阶变分在点$y\in\mathcal{T}$满足\begin{align*} \partial\bar{\partial}\logτ_k(\bar{\partial})=o(k^{-l}) \end{align*}，对于任何$l\geq 0$作为$k\to\infty$。
2018-04-02 math.CV math.DG
No compact split limit Ricci flow of type II from the blow-down
本文利用Perelman的$\mathcal L$-测地线理论，证明了在满足特定曲率条件的非紧$κ$-非坍缩稳态梯度Ricci孤立子中，由blow-down产生的余维一紧分裂古老解必为I型，并将此结论推广至任意维度。
2025-04-30 math.DG
Gaussian densities and stability for some Ricci solitons
在本公告中，我们展示了Perelman的$λ$和$ν$泛函的二阶变分的里奇流，并调查的线性稳定性的例子。我们还定义了收缩Ricci孤子的“中心密度”，并计算了其值的某些例子在4维。利用这些工具，人们有时可以预测或限制里奇流中奇点的形成。特别是，我们表明，某些爱因斯坦流形是不稳定的里奇流在这个意义上说，一般的扰动获得更高的熵，从而永远不能返回附近的原始度量。
2004-04-07 math.DG
The spinorial energy for asymptotically Euclidean Ricci flow
本文引入了一个泛函，推广了Perelman的加权Hilbert-Einstein作用量和旋量的Dirichlet能量。它在广泛的非紧流形上有良好的定义;在渐近欧氏流形上，证明了该泛函存在唯一的临界点，该临界点必然是极小极大型的，并且里奇流是它的梯度流.证明是基于变分公式加权spinorial泛函，有效的所有自旋流形的边界。
2022-06-18 math-ph math.AP math.DG
Asymptotic expansion of the variation of the Quillen metric and its moment map interpretation
Department of Mathematical Sciences, KAIST（韩国科学技术院数学系）
本文基于equivariant确定线丛框架，将Kähler度量的标量曲率解释为compatible almost complex结构空间上的moment map，同时推导了Quillen度量对数变化的渐近展开。
2026-09-30 math.CV math.DG
The power series expansions of logarithmic Sobolev, $\mathcal{W}$- functionals and scalar curvature rigidity
本文通过推导对数Sobolev泛函与$\u0001mathcal{W}$泛函的幂级数展开式，证明了满足标量曲率下界和等周剖面条件的流形开子集其截面曲率必为常数，同时得到若干与对数Sobolev不等式、Perelman的$\u0002mu$-泛函相关的新标量曲率刚性定理。
2025-05-19 math.DG
Second Variation of Energy Functions associated to Families of Canonically Polarized Manifolds
设$π:\mathcal{X}\to S$是复流形$S$上的正则极化流形的全纯族，$f:\mathcal{X}\to N$是到黎曼流形$N$的光滑映射.考虑能量函数$E: S\to \mathbb{R}$，它将$z\in S$分配给映射$f|_{\mathcal{X}_z}:\mathcal{X}_z\to N$的狄利克雷能量，其中$\mathcal{X}_z=π^{-1}(z)$是$z$上的纤维。在这篇文章中，我们计算能量函数$E$的二阶变分公式。结果表明，若$N$具有非正的复化截面曲率，且每个映射$f|_{\mathcal{X}_z}:\mathcal{X}_z\to N$都是调和映射，则$E:S\to \mathbb{R}$是多重次调和映射.
2021-11-02 math.DG
Variation of the modulus of a foliation
$p$ --黎曼流形上叶状$\mathcal{F}$的模${\rm mod}_p(\mathcal{F})$是L.阿尔福斯我们研究了模量的变化$t\mapsto{\rm mod}_p(\mathcal{F}_t)$。特别地，我们考虑正交叶理的模的乘积。
2012-05-30 math.DG
First variation of the Log Entropy functional along the Ricci flow
本文建立了Ye在\cite{Y2}中引入的调整对数熵泛函$\mathcal Y_a$的一阶变分公式.作为一个直接的结果，我们也得到了$\mathcal Y_a$沿里奇流的单调性。
2007-12-07 math.AP math.DG
Variational formulas of higher order mean curvatures
本文建立了$p=0,1,...,[\frac{n}{2}]$的一般黎曼流形$N^{n+m}$中子流形$M^n$的全$2p$阶平均曲率泛函$\mathcal {M}_{2p}$的第一变分公式及其Euler-Lagrange方程.作为例子，我们证明了复射影空间中的闭复子流形是泛函$\mathcal {M}_{2p}$的临界点，称之为相对$2p$ -极小子流形，对所有$p$ .最后讨论了实空间形式中相对$2p$ -极小子流形与严格子流形的关系以及一个特殊的变分问题。
2012-03-07 math.DG
A PDE approach to the existence and regularity of surfaces of minimum mean curvature variation
本文用偏微分方程方法研究最小平均曲率变差曲面的存在性与正则性，首次给出了光滑解和变分解的存在性及几何正则性结果。
2024-08-02 math.AP math.CA math.DG
Second variation of Selberg zeta functions and curvature asymptotics
本文给出了Teichmüller空间上Selberg zeta函数$Z(s)$的对数的二阶变分的一个显式公式.然后，我们使用这个公式来确定作为二阶变分的$\text{Re} (s) \to \infty$的渐近行为。因此，对于$m \in \mathbb{N}$，我们得到了Teichmüller空间$\mathcal T$上全纯m-微分的向量丛$H^0(X_t, \mathcal K_t)\to t\in \mathcal T$的曲率在$m$中的完全展开，其中$m$是大的。此外，我们表明，这个曲率同意奎伦曲率的一项指数衰减，$O(m^2 e^{-l_0 m}),$其中$l_0$是最短的闭双曲测地线的长度。
2019-09-09 math.DG math.SP
