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高维对数扩散方程的大时间行为

Large time behaviour of higher dimensional logarithmic diffusion equation

Kin Ming Hui, Sunghoon Kim

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摘要：

设$n\ge 3$和$ψ_{λ_0}$是$Δ\logψ+2βψ+βx\cdot\nablaψ=0$在$R^n$，$ψ(0)=λ_0$中的径向对称解，其中$λ_0>0$，$β>0$为常数.假设$u_0\ge 0$满足$u_0-ψ_{λ_0}\in L^1(R^n)$且$u_0(x)\approx\frac{2(n-2)}β\frac{\log |x|}{|x|^2}$满足$|x|\to\infty$。证明了方程$u_t=Δ\log u$的最大整体解$u$的重标解$\widetilde{u}(x,t)=e^{2βt}u(e^{βt}x,t)$在$R^n\times (0,\infty)$中，$u(x,0)=u_0(x)$在$R^n$中一致收敛于$R^n$的每个紧子集上，在$L^1(R^n)$中一致收敛于$ψ_{λ_0}$作为$t\to\infty$ .此外，所有$t\ge 0$均为$\|\widetilde{u}(\cdot,t)-ψ_{λ_0}\|_{L^1(R^n)} \le e^{-(n-2)βt}\|u_0-ψ_{λ_0}\|_{L^1(R^n)}$。

英文摘要：

Let $n\ge 3$ and $ψ_{λ_0}$ be the radially symmetric solution of $Δ\logψ+2βψ+βx\cdot\nablaψ=0$ in $R^n$, $ψ(0)=λ_0$, for some constants $λ_0>0$, $β>0$. Suppose $u_0\ge 0$ satisfies $u_0-ψ_{λ_0}\in L^1(R^n)$ and $u_0(x)\approx\frac{2(n-2)}β\frac{\log |x|}{|x|^2}$ as $|x|\to\infty$. We prove that the rescaled solution $\widetilde{u}(x,t)=e^{2βt}u(e^{βt}x,t)$ of the maximal global solution $u$ of the equation $u_t=Δ\log u$ in $R^n\times (0,\infty)$, $u(x,0)=u_0(x)$ in $R^n$, converges uniformly on every compact subset of $R^n$ and in $L^1(R^n)$ to $ψ_{λ_0}$ as $t\to\infty$. Moreover $\|\widetilde{u}(\cdot,t)-ψ_{λ_0}\|_{L^1(R^n)} \le e^{-(n-2)βt}\|u_0-ψ_{λ_0}\|_{L^1(R^n)}$ for all $t\ge 0$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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