A family of sequences with large size and good correlation property arising from $M$-ary Sidelnikov sequences of period $q^d-1$
设$q$为任意素数幂，$d$为大于1的正整数。本文从一个给定的$M$元出发，构造了一族周期为$q-1$的$M$元序列，其中有$M|q-1$，周期为$q^d-1$的Sidelikov序列.在对$d$的适当限制下，我们证明了该族的最大相关量的上界为$(2d -1) \sqrt { q }+1$，其渐近大小为$\frac{ (M-1)q^{d-1}}{d }$ .这扩展了Yu和Gong对于$d=2$病例的开创性工作。
2010-09-07 cs.IT math.IT
On the Cross-Correlation of a $p$-ary m-Sequence and its Decimated Sequences by $d=\frac{p^n+1}{p^k+1}+\frac{p^n-1}{2}$
对奇素数$p$，使得$p\equiv 3\bmod 4$，奇$n$，$d=(p^n+1)/(p^k+1)+(p^n-1)/2$与$k|n$，当$a$和$b$通过$\mathbb{F}_{p^n}$时，计算指数和$S(a,b)$的值分布.构造了周期为$N=p^n-1$的序列族$\mathcal{G}$。$\mathcal{G}$的家族大小为$p^n$，相关幅度大致上界为$(p^k+1)\sqrt{N}/2$。给出了长度为$N$，维数为${\rm dim}_{\mathbb{F}_p}\mathcal{C}=2n$的$\mathbb{F}_p$上相应循环码$\mathcal{C}$的重量分布.我们的结果包括\cite{Xia}中的情况作为特例。
2012-05-27 cs.IT math.IT math.NT
Combinatorial Capacity Bounds for the $q$-ary Deletion Channel
Oregon State University（俄勒冈州立大学）
研究q元删除信道，通过模式计数标量\(N_n(x,y)\)及相关和恒等式得出有限块容量区间等结果，给出精确均匀输入速率及小\(d\)界，通过数值实验在特定参数下证实了所有界。
2026-08-03 cs.IT math.IT
Two families of Entanglement-assisted Quantum MDS Codes from cyclic Codes
利用纠缠辅助（EA）理论，任意经典线性码都可以通过发送者和接收者之间的预共享纠缠变换为EAQECC。本文在经典循环MDS码的基础上，利用预共享最大纠缠态，构造了两类$q$元纠缠辅助量子MDS码$[[\frac{q^{2}+1}{a},\frac{q^{2}+1}{a}-2(d-1)+c,d;c]]$，其中q为$am+l$形式的素数幂，以及$a=(l^2+1)$或$a=\frac{(l^2+1)}{5}$ .我们证明了所有$q$元EAQMDS码的最小距离上限远大于相同长度的已知量子MDS（QMDS）码.大多数这些$q$ -ary EAQMDS代码是新的意义上说，他们的参数不包括在文献中可用的代码。
2020-11-23 cs.IT math.IT
Weight Distribution of A p-ary Cyclic Code
对于一个奇素数$p$和两个正整数$n\geq 3$和$k$，其中$\frac{n}{{\rm gcd}(n,k)}$为奇，本文确定了$p$元循环码$\mathcal{C}$在$\mathbb{F}_{p}$上的重量分布，其中$α$为$\mathbb{F}_{p^n}$的本原元，$α^{-1}$、$α^{-(p^k+1)}$和$α^{-(p^{3k}+1)}$均为非零
2009-01-16 cs.DM cs.IT math.IT
Several classes of optimal $p$-ary cyclic codes with minimal distance four
循环码是线性码的一个子类，由于其高效的编码和解码算法，在数据存储系统、通信系统和消费电子产品中具有广泛的应用。设$p\ge 5$为奇素数，$m$为正整数.令$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$表示具有三个非零$α$、$α^e$和$α^s$的$p$进制循环码，其中$α$是${\mathbb F}_{p^m}^*$、$s=\frac{p^m-1}{2}$和$2\le e\le p^m-2$的生成元.本文通过对有限域上某些多项式的解的分析，给出了四类以$[p^m-1,p^m-2m-2,4]$为参数的最优$p$元循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。以前关于参数为$[5^m-1,5^m-2m-2,4]$的最优五元循环码的一些结果是我们构造的特殊情况。另外，通过分析${\mathbb F}_{5^m}$上某些多项式的不可约因子，我们给出了两类最优五元循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$。
2022-08-30 cs.IT math.IT
Nearly perfect sequences with arbitrary out-of-phase autocorrelation
本文通过几乎完全序列与直积差集（DPDS）的关系，研究了几乎完全序列的性质.本文证明了周期为$n$且类型为$γ$的$p$ -元代数与循环$(n,p,n,\frac{n-γ}{p}+γ,0,\frac{n-γ}{p})$ -DPDS（对于任意整数$γ$）之间的联系.接下来，我们提出了$γ$类型的$p$ -元图存在的必要条件。我们应用这一结果排除了$n \leq 100$和$\vert γ\vert \leq 2$的周期$n$和类型$γ$的某些$p$元数的存在.对于$γ$型的几乎$p$元图，我们也证明了类似的结果.最后，利用乘子的概念证明了等价循环相对差集的不存在性，从而证明了几乎$p$元完全序列的不存在性.
2014-09-02 cs.IT math.CO math.IT
Some New Results on the Cross Correlation of $m$-sequences
$m$ -序列与其抽取序列之间互相关的确定是一个长期的研究问题。考虑周期为$3^{3r}-1$的三元$m$ -序列，我们确定了抽取$d=3^{r}+2$和$d=3^{2r}+2$的互相关分布，其中$\gcd(r,3)=1$ .同时，对于周期为$2^{2lm}-1$的二进制$m$ -序列，我们对抽取$d=\frac{2^{2lm}-1}{2^{m}+1}+2^{s}$进行了初步的研究，其中$l \ge 2$是偶数，而$0 \le s \le 2m-1$是偶数.它示出的互相关采取至少四个值。此外，我们确认了Sarwate等人和Helleseth的两个著名的证明在这种情况下的有效性。
2013-09-30 cs.IT math.IT
Constructions of $q$-ary Golay Complementary Pairs Over Flexible Non-Power-of-Two Lengths
本文证明了四元GCP的存在等价于可构造长度为2^mM的4h元GCP，通过扩展布尔函数构造了更灵活长度范围的GCP。
2026-04-16 cs.IT math.IT
On Sequence Reconstruction Problem for q-ary Deletion Channels
Beijing University of Technology（北京工业大学）；Nankai University（南开大学）
本文研究q元删除信道下序列重建问题，确定最小Levenshtein距离为2时最大交集N_q(n,2,t)的精确值、极值序列对结构及渐近展开，并证明与q-1情形共享前q-1项。
2026-09-16 cs.IT math.IT
Several new classes of optimal p-ary cyclic codes
本文构造了三类参数为$[{p^m}-1,{p^m}-2m-2,4]$的最优$p$元循环码，并在$p=5$时额外给出四类新的最优循环码。
2025-09-12 cs.IT math.IT
Improvement of the Gilbert-Varshamov Bound for Linear Codes and Quantum Codes
School of Computer Science, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学计算机学院）；School of Computer , Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学计算机学院）
本文提出了一种简洁的概率方法，改进了线性码和量子码的吉尔伯特-瓦拉姆什夫界，通过自正交结构分析，提升了量子码的性能
2026-01-26 cs.IT math.IT
New constructions of $q$-Ary 2-D Z-Complementary Array Pairs
本文致力于序列和重点设计新的二维（2-D）Z互补阵列对（ZCAP），探索两种有前途的方法。ZCAP是一对2-D阵列，其2-D自相关和在$(0,0)$时移周围的区域中的所有时移处给出零值，除了$(0,0)$时移。本文研究的第一种方法使用一维（1-D）Z互补对（ZCP），这是1-D Golay互补对（GCP）的扩展，其中组成序列的自相关在零相关区（ZCZ）内是互补的。第二种方法直接涉及广义布尔函数（这是许多应用的重要组成部分，特别是在（对称）密码学中）。在此基础上，提出了一种基于一维ZCP的二维ZCAP的新构造方法，并给出了二维广义布尔函数直接构造二维ZCAP的方法。与现有的基于广义布尔函数的构造相比，我们提出的构造涵盖了所有这些构造。ZCZ序列是一类在原点附近区域内具有理想自相关和互相关特性的扩频序列。近年来，由于它们的重要应用，特别是在准同步码分多址系统中，它们得到了广泛的研究。我们提出的基于二维广义布尔函数的二维ZCAP具有更大的二维$\mathrm{ZCZ}_{\mathrm{ratio}}=\frac{6}{7}$。与基于ZCP的构造相比，我们提出的2-D ZCAP也具有最大的2-D $\mathrm{ZCZ}_{\mathrm{ratio}}$。
2021-07-24 cs.IT math.IT
Bounds and Algorithms for Frameproof Codes and Related Combinatorial Structures
本文研究了Boneh和Shaw提出的保护版权材料的防帧码的最小长度的上界。长度为PDMATHABM 0的$q$元$(k,n)$防帧码是在$\{0,1,\ldots, q-1\}$中具有条目的$t \times n$矩阵，并且具有这样的性质：对于任何列$\mathbf{c}$和任何其它$k$列，存在一行，其中$k$列的符号都与列$\mathbf{c}$的对应符号（在同一行中）不同.本文利用Lovász局部引理证明了$q$元$(k,n)$ -防帧码的存在性，对于$q \leq k$，码长为$t = O(\frac{k^2}{q} \log n)$;对于$q > k$，码长为$t = O(\frac{k}{\log(q/k)}\log(n/k))$.值得注意的是，对于$q \leq k$的实际情况下，我们的研究结果给出的代码的长度几乎匹配的下限$Ω(\frac{k^2}{q\log k} \log n)$上的任何$q$元$(k,n)$防帧代码的长度，更重要的是，让我们得到一个算法的复杂性$O(t n^2)$的建设这样的代码。
2023-03-13 cs.DS cs.IT math.IT
A Lower Bound on the Number of Boolean Functions with Median Correlation Immunity
阶为$\frac{n}{2}$的$n$元平衡相关免疫（弹性）布尔函数的个数不小于$n^{2^{(n/2)-2}(1+o(1))}$为$n\rightarrow\infty$ .关键词：弹性函数，相关免疫函数，正交表
2019-10-07 cs.IT math.IT
The q-ary Gilbert-Varshamov bound can be improved for all but finitely many positive integers q
本文利用数域几何码证明，对于除有限个正整数外的所有 $q$，$q$ 元 Gilbert-Varshamov 界均可被改进，并给出了渐近增长函数的非平凡下界。
2024-03-21 cs.DM cs.IT math.CO
Estimating Entropy of Distributions in Constant Space
Cornell University（康奈尔大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们考虑的任务，估计熵的$k$ ary分布的样本中的流模型，其中空间是有限的。我们的主要贡献是一个算法，需要$O\left(\frac{k \log (1/\varepsilon)^2}{\varepsilon^3}\right)$样本和一个恒定的$O(1)$内存字的空间和输出的$H(p)$的$\pm\varepsilon$估计。在没有空间限制的情况下，样本复杂度已经被建立为$S(k,\varepsilon)=Θ\left(\frac k{\varepsilon\log k}+\frac{\log^2 k}{\varepsilon^2}\right)$，其在域大小$k$中是次线性的，并且实现最佳样本复杂度的当前算法也需要$k$中的近线性空间。我们的算法划分$[0,1]$到区间，并估计在每个区间的概率值的熵贡献。区间设计用于权衡这些估计值的偏差和方差。
2019-11-18 cs.DS cs.IT cs.LG
