New constructions of MDS self-dual and self-orthogonal codes via GRS codes
近年来，新的MDS欧几里德自对偶码的构造得到了广泛的研究。本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码及其扩展码，对平方q给出了四类广义q元MDS欧几里德自对偶码.特别地，对于大的平方q，我们构造的码在所有可能长度的q元MDS欧几里德自对偶码中所占的比例一般超过34%，这比以前的结果要大.同样地，还得到了两类新的MDS欧几里德自正交码和两类新的MDS欧几里德几乎自对偶码。
2021-10-27 cs.IT math.IT
New MDS Self-Dual Codes from Generalized Reed-Solomon Codes
MDS自对偶码和欧几里德自对偶码都具有重要的理论和实际意义，近年来MDS自对偶码的研究引起了人们的广泛关注。特别地，已经广泛地研究了确定各种长度的$q$元MDS自对偶码的存在性。对于$q$为偶数的情况，该问题完全解决。本文主要讨论$q$是奇数的情况。利用广义Reed-Solomon码构造了几类新的MDS自对偶码。更精确地说，我们证明了对于任何给定的偶数长度$n$，只要$q\equiv1\bmod{4}$和$q$足够大（比如说$q\ge 2^n\times n^2)$），我们就有一个$q$元MDS码.进一步证明了存在长度为$n$的$q$元MDS自对偶码，如果$q=r^2$和$n$满足以下三个条件之一：（i）$n\le r$和$n$是偶数;（ii）$q$是奇数，$n-1$是$q-1$的奇数因子;（iii）对于任何$t\le (r-1)/2$，$r\equiv3\mod{4}$和$n=2tr$.
2016-12-23 cs.IT math.IT
Constructions of q-ary entanglement-assisted quantum MDS codes with minimum distance greater than q + 1
纠缠辅助稳定子形式化为量子纠错码的构造提供了一个有用的框架，它可以利用发送端和接收端之间的预共享纠缠，将任意的经典线性码变换为纠缠辅助量子纠错码.本文在经典MDS码的基础上，利用一个或多个预共享的最大纠缠态，构造了五类纠缠辅助量子MDS码。结果表明，这些EAQMDS码比相同长度的标准量子MDS（QMDS）码具有更大的最小纠缠距离，并且三类EAQMDS码只消耗一对最大纠缠态.
2016-02-06 cs.IT math.IT quant-ph
Two families of Entanglement-assisted Quantum MDS Codes from cyclic Codes
利用纠缠辅助（EA）理论，任意经典线性码都可以通过发送者和接收者之间的预共享纠缠变换为EAQECC。本文在经典循环MDS码的基础上，利用预共享最大纠缠态，构造了两类$q$元纠缠辅助量子MDS码$[[\frac{q^{2}+1}{a},\frac{q^{2}+1}{a}-2(d-1)+c,d;c]]$，其中q为$am+l$形式的素数幂，以及$a=(l^2+1)$或$a=\frac{(l^2+1)}{5}$ .我们证明了所有$q$元EAQMDS码的最小距离上限远大于相同长度的已知量子MDS（QMDS）码.大多数这些$q$ -ary EAQMDS代码是新的意义上说，他们的参数不包括在文献中可用的代码。
2020-11-23 cs.IT math.IT
On decomposability of 4-ary distance 2 MDS codes, double-codes, and n-quasigroups of order 4
如果在每个$n$基方向上的每一行都精确地包含$S$的$t$元素，则将$\{0,1,...,2t-1\}^n$的子集$S$称为$t$折叠MDS码. $t$ -fold MDS码的邻接图是不连通的当且仅当码的特征函数是较小长度的$t$ -fold MDS码的特征函数的无重复和。在$t=2$的情况下，该理论具有以下应用。在$\{0,1,2,3\}^n$中两个不相交的$(n,4^{n-1},2)$ MDS码的并集是双MDS码。如果双MDS码的邻接图是不连通的，则双MDS码可以分解成更小长度的双MDS码。如果图有两个以上的连通分支，那么MDS码也是可分解的。这个结果可以解释为4阶$n$ -拟群的约化检验.关键词：MDS码，n-拟群，可分解性，可约化，频率超立方体，拉丁超立方体
2007-01-18 cs.IT math.CO math.IT
Euclidean and Hermitian LCD MDS codes
具有互补码的线性码（缩写LCD）是与其对偶的交是平凡的线性码。当它们是二进制时，它们在防御侧信道攻击和故障注入攻击方面发挥着重要作用。特征2中的非二进制LCD码可以通过扩展转换为二进制LCD码。另一方面，最大距离可分码作为最优码，由于其重要的理论意义和实际应用价值，引起了众多研究者的极大兴趣。然而，很少有工作已经做了LCD MDS码。特别地，对于不同长度$n$和尺寸$k$，确定$q$元$[n,k]$ LCD MDS码的存在性是一个基本的和令人感兴趣的问题.本文首先研究了$q$元$[n,k]$ LCD MDS码的存在性问题，并在欧几里德情形下完全解决了这个问题。更具体地说，我们证明了对于$q>3$，存在一个$q$元$[n,k]$欧几里德MDS码，其中$0\le k \le n\le q+1$，或$q=2^{m}$，$n=q+2$和$k= 3 \text{or} q-1$ .其次，我们研究了几种新的Euclidean和Hermitian LCD MDS码的构造。我们构造Euclidean和Hermitian LCD MDS码的主要技术是使用一些小维数或余维数的线性码、自正交码和广义Reed-Solomon码。
2017-03-13 cs.IT math.IT
A Construction of New Quantum MDS Codes
构造新的量子MDS码是一个巨大的挑战。特别是，构造具有相对较大最小距离的量子MDS码是非常困难的。到目前为止，除了一些稀疏长度外，所有已知的$q$进制量子MDS码的最小距离都小于或等于$q/2+1$。本文给出了一种最小距离大于$q/2+1$的量子MDS码的构造。特别地，我们证明了对于任意的$d\le q-1$和$d= q+1$，存在长度为$n=q^2+1$且距离最小的$d$的$q$ -ary量子MDS码（这个结果推广了\cite{Gu11,Jin1,KZ12}中的结果）;对于任意的$d\le (2q+2)/3$，如果$3|(q+1)$，存在长度为$(q^2+2)/3$且距离最小的$d$的$q$ -ary量子MDS码.我们的方法是通过埃尔米特自正交码。构造Hermitian自正交码的主要思想是基于$\F_{q^2}$上的齐次方程组在$\F_q$中的可解性。
2020-07-11 cs.IT math.IT
On Near-MDS Elliptic Codes
关于最大距离可分码（MDS）的主要猜想是：除某些特殊情况外，q元线性MDS码的最大长度为q+1。这一猜想不适用于近最大距离可分码，因为存在长度大于q+1的q元近MDS椭圆码。一个有趣的相关问题是近MDS椭圆码是否可以扩展到更长的近MDS码。我们的结果是某些已知的近MDS椭圆码的一些不可推广的结果和一个替代的和更简单的建设。
2002-11-06 cs.IT math.AG math.CO
Constructions of MDS Self-dual Codes from Short length
MDS自对偶码的系统构造受到广泛关注。本文从短码长出发，研究了MDS欧几里德自对偶码的构造。实际上，MDS欧几里德短长度自对偶码（$n=3,4,5,6$）的确切结构被给出。一般来说，我们从已知长度的MDS自对偶码出发，通过广义Reed-Solomon（简称GRS）码和扩展GRS码，构造出更多新的$q$元MDS欧几里德自对偶码。
2019-10-23 cs.IT math.IT
Construction of a 3-Dimensional MDS code
本文描述了利用$PG(2,q^2)$中的一组非退化厄米特形式构造长度为$N\leq q+1$（$q$奇数）或$N\leq q+2$（$q$偶数）的$q$-元$[N,3,N-2]$-MDS码的过程.
2007-09-18 cs.IT math.IT
A Generic Construction of $q$-ary Near-MDS Codes Supporting 2-Designs with Lengths Beyond $q+1$
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Xidian University（西安电子科技大学）；Jinan University（暨南大学）
本文提出一种通用方法，构造出支持2设计的q-ary近MDS码，其长度超过q+1，结合椭圆曲线码、有限阿贝尔群、子集和与组合设计的新联系，得到无限族码及其重量分布。
2026-04-04 cs.IT math.CO math.IT
New Quantum MDS codes from Hermitian self-orthogonal generalized Reed-Solomon codes
本文利用厄米特自正交广义Reed-Solomon码构造了五类最小距离大于q/2+1的新量子MDS码，且其参数无法由已有构造获得。
2023-07-09 cs.IT math.IT
Pure Asymmetric Quantum MDS Codes from CSS Construction: A Complete Characterization
利用Calderbank-Shor-Steane（CSS）构造方法，构造了达到量子Singleton界的纯$q$元非对称量子纠错码.这样的码被称为纯CSS非对称量子最大距离可分离（AQMDS）码。在经典MDS猜想成立的前提下，考虑了所有可能参数的纯CSS AQMDS码。
2013-05-14 cs.IT math.IT
Near MDS poset codes and distributions
研究了距离由码字坐标的偏序定义的$q$ -元码.偏序集度量下的最大距离可分（MDS）码已经在许多早期的工作中得到了研究。我们考虑的代码是接近MDS码的最小距离的值。对于这样的代码，我们确定它们的重量分布，并在特定情况下的“有序度量”的特征分布的点在单位立方体定义的代码。我们还给出了有序Hamming空间中码的一些构造。
2010-04-30 cs.IT math.IT
Maximum Distance Separable Codes for Symbol-Pair Read Channels
我们研究了最近由Cassuto和Blaum（2010）引入的符号对读取通道的（符号对）代码。建立了符号对码的Singleton型界，并构造了最优符号对码的无限族。这些码是最大距离可分的（MDS），因为它们满足Singleton型界。与所有已知的q元MDS码的长度为O（q）的经典码相比，我们证明了q元MDS码的符号对码的长度可以为Ω（q^2）。此外，我们完全确定了MDS符号对码的存在某些参数。
2013-07-31 cs.IT math.CO math.IT
MDS Symbol-Pair Codes from Repeated-Root Cyclic Codes
符号对码被提出来对抗符号对读取通道中的成对错误。最小码元对距离是决定码元对码纠错能力的重要指标。最大距离可分码（MDS）是一种最优码，它能达到单例界。本文利用有限域上具有奇特征的重根循环码，提出了两类新的MDS符号偶码。准确地说，这些码的最小符号对距离为10或12，大于所有已知的常循环码的MDS符号对码。
2020-12-09 cs.IT math.IT
Some New Constructions of Quantum MDS Codes
构造具有良好参数的量子最大距离可分码是量子通信中的一个重要课题。本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码和Hermitian构造，给出了六类新的q元量子MDS码。我们的量子MDS码的最小距离可以大于q/2+1。这六类量子MDS码中有三类的码长比文[1]和[2]中构造的码长，因此它们的一些结果可以很容易地由我们的结果通过传播法则导出。此外，一些已知的特定长度的量子MDS码可以看作是我们的特殊情况，一些已知的量子MDS码的最小距离也得到了改进。
2019-12-05 cs.IT math.IT
Euclidean and Hermitian Hulls of MDS Codes and Their Applications to EAQECCs
本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码和扩展GRS码构造了几类最大距离可分（MDS）码，并确定了它们的Euclidean壳或Hermitian壳的维数.结果表明，在我们的构造中，码的欧几里德壳或厄米特壳的维数可以取所有或几乎所有可能的值。因此，我们可以将我们的结果应用到纠缠辅助的量子纠错码（EAQECC），并获得几个新的家庭的MDS EAQECC灵活的参数。这些MDS EAQECC的最大纠缠态的所需数量可以取所有或几乎所有可能的值。此外，还得到了几类新的长度为n > q + 1的q元MDS EAQECC.
2019-12-06 cs.IT math.IT
Application of Constacyclic codes to Quantum MDS Codes
量子最大距离可分码是一类重要的量子码。为了得到$q$元量子MDS码，利用Hermitian构造和量子Singleton界，只要在$\mathbb{F}_{q^2}$上找到满足$C^{\perp_H}\subseteq C$的线性MDS码$C$即可.如果是$C^{\perp_{H}}\subseteq C$，我们说$C$是一个包含双重的代码。通过构造包含对偶的常循环MDS码，已经产生了许多新的具有较大最小距离的量子MDS码（参见\cite{Guardia11}、\cite{Kai13}、\cite{Kai14}）。这些工作促使我们对非平凡对偶包含常循环码的存在性条件进行深入的研究。这将有助于我们避免不必要的尝试，并提供有效的想法，以构建双重包含码。构造了几类含对偶的MDS常循环码，并计算了它们的参数。因此，新的量子MDS码是从这些参数。这里展示的量子MDS码的参数优于文献中的参数。
2014-03-11 cs.IT math.IT
On Galois hulls of linear codes and new entanglement-assisted quantum error-correcting codes
线性码的Galois壳是线性码与其Galois对偶码的交集，近年来引起了研究者的兴趣。本文研究了线性码的Galois壳。首先，得到了线性码的Galois壳维数的对称性，刻画了线性码是Galois自正交码、Galois自对偶码和Galois线性互补对偶码的一些新的充要条件。然后，我们提出了明确的方法来构造更长的Galois自正交码从给定的Galois自正交码。作为应用，进一步导出了具有任意维伽罗瓦壳的更长线性码。以Hermitian内积为中心，构造了两类新的Hermitian自正交最大距离可分（MDS）码。最后，将所得结果应用于纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）的构造，得到了许多新的$q$元或$\sqrt{q}$元EAQECC和MDS EAQECC，它们的码率大于或等于$\frac{1}{2}$，且净码率为正.此外，长度为$n>\sqrt{q}+1$的许多$\sqrt{q}$元MDS EAQECC的最小距离大于或等于$\lceil \frac{\sqrt{q}}{2} \rceil$。
2023-01-11 cs.IT math.IT
$q$-ary Sequential Locally Recoverable Codes from the Product Construction
本文研究分布式存储中的序列局部可恢复码（SLRCs），通过码乘积构造了具有新颖最大可恢复擦除数$t$和最小修复替代数$A$的扩展$q$元非二进制SLRCs族，并探讨了利用MDS和BCH码构造SLRCs的方法，最后与其他LRCs进行了比较。
2025-07-11 cs.IT math.IT
On the Classification of MDS Codes
长度为$n$、大小为$M$、最小距离为$d$的$q$元码称为$(n,M,d)_q$码. $(n,q^{k},n-k+1)_q$码被称为最大距离可分离（MDS）码。在这项工作中，一些MDS码在小字母表进行分类。证明了每一个具有$k\geq 3$，$d \geq 3$，$q \in \{5,7\}$的$(k+d-1,q^k,d)_q$码都等价于一个具有相同参数的线性码.这意味着$n\in\{6,7,8\}$的$(6,5^4,3)_5$代码和$(n,7^{n-2},3)_7$ MDS代码唯一。对一元纠错$8$ MDS码进行了分类，分别给出了$(n,8^{n-2},3)_8$码的$14$、$8$、$4$和$4$等价类.完美$(9,8^7,3)_8$码的等价类之一对应于Hamming码，并且其他三个是不存在先前已知构造的非线性码。
2014-11-21 cs.IT math.CO math.IT
A new class of MDS symbol-pair codes
符号对码是一种新的编码框架，提出了防止成对错误的符号对读取通道。特别地，具有达到Singleton型界的参数的符号对码被称为MDS符号对码。本文受经典的Reed-Solomon码构造方法的启发，对任意的$3\le k<m\le q-2$和$m_1=\Big\lfloor{\tiny\frac{m}{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}}\Big\rfloor$，构造了一类维数为$k$，长度为$n$ $(n=m+m_1, m+m_1-1)$的$q$元MDS码偶，其中$q$是素数幂.此外，对于$k\in\{3,4\}$，这些码的符号对权重分布通过枚举具有给定根的多项式的数目来确定。
2022-08-25 cs.IT math.IT
The Subfield Codes of Hyperoval and Conic codes
具有偶数$q$的$\PG(2,\gf(q))$中的超椭圆是极大弧，是有限几何和组合数学中一个有趣的研究课题。$\PG(2,\gf(q))$中的超椭圆等价于$\gf(q)$上的$[q+2,3,q]$ MDS码，称为超椭圆码，因为一个超椭圆码可以由另一个超椭圆码构造。奇数$q$的$\PG(2,\gf(q))$中的椭圆等价于$\gf(q)$上的$[q+1,3,q-1]$ MDS码，称为椭圆码。本文研究了两类超椭圆码的二元子域码和圆锥码的$p$元子域码。确定了这些子字段码的权值分布和子字段码的参数。作为副产品，我们推广了一个家庭的二元子域码的$p$ -ary的情况下，并获得其重量分布。本文提出的码在许多情况下是最优或几乎最优的。此外，这些二进制码和$p$ -进制码的参数似乎是新的。
2018-04-17 cs.IT math.IT
Three classes of propagation rules for generalized Reed-Solomon codes and their applications to EAQECCs
本文研究广义里德-所罗门码的厄米特壳，通过三种传播规则构造任意维数厄米特壳的MDS码，并应用于获得参数灵活的MDS EAQECCs。
2024-11-06 cs.IT math.IT
MDS linear codes with one dimensional hull
定义线性码$C$的欧氏壳为$C$与其欧氏对偶$C^\perp$的交。低维壳由于其在决定计算线性码的自同构群和检验两个线性码的置换等价性的算法复杂度方面的重要作用而受到人们的广泛关注。最近已经证明，任何具有$q>3$的$q$元$[n,k]$线性码都产生具有相同参数和零维欧几里德壳的线性码，它被称为线性互补对偶码.本文的目的是探讨一维欧氏壳MDS线性码族的显式构造。我们得到几类这样的代码。
2020-12-21 cs.IT math.IT
Optimal locally repairable codes via elliptic curves
构造达到Singleton型界的局部可修码（本文称之为最优码）是一个具有挑战性的课题，近年来引起了人们的极大关注。Tamo和Barg \cite{TB14}首先通过巧妙地考虑Reed-Solomon码的子码给出了这一课题的突破性结果。因此，由\cite{TB14}中给出的Reed-Solomon码的子码得到的$q$元最优局部可修码的长度上界为$q$。最近，通过对\cite{TB14}构造的扩展，证明了$q$元最优局部可修码的长度可以是\cite{JMX17}中的$q+1$.令人惊讶的是，在\cite{BHHMV16}中示出，与经典MDS码不同，$q$元最优局部可修复码可以具有比$q+1$更大的长度。因此，构造长度大于$q+1$的$q$元最优局部可修码就成为一个有趣且具有挑战性的问题.本文利用椭圆曲线上丰富的代数结构构造了一族$q$元最优局部可修码，其长度为$q+2\sqrt{q}$。结果表明，我们的代码的局部性可以像$23$一样大，距离可以是线性长度。
2017-12-13 cs.IT math.IT
On MDS Negacyclic LCD Codes
在线性码中，带互补码的线性码（LCD）具有重要的意义。最大距离可分离码（MDS）也是一类重要的线性码，因为它们在固定长度和维数下实现了最大的纠错和检测能力。同时具有LCD和MDS性质的线性码的构造是编码理论中的一个难题。本文研究了奇素数幂$q$元有限域上的非循环码MDS的LCD码的构造。构造了四类长度为$n|\frac{q-1}{2}$、$n|\frac{q+1}{2}$的MDS非循环LCD码和一类长度为$n=q-1$的MDS非循环LCD码.此外，我们还得到了五类长度为$n|\left( q-1\right)$的$q^{2}$元Hermitian MDS非循环LCD码和四类长度为$n=q^{2}+1.$的Hermitian非循环LCD码。对于欧氏和Hermitian情形，我们确定了这些码的维数，并确定了某些类的最小距离。对于其他情形，通过研究$q$和$q^{2}$ -分圆类，我们给出了最小距离的下界。
2018-09-10 cs.IT math.IT
Construction of MDS Euclidean Self-Dual Codes via Two Subsets
$q$元MDS欧几里德自对偶码的参数完全由其码长决定，具有新码长的MDS欧几里德自对偶码的构造近年来得到了广泛的研究.本文进一步研究了利用广义Reed-Solomon（GRS）码及其扩展码构造MDS欧几里德自对偶码的问题。我们构造的主要思想是选择合适的评价点，使得相应的（扩展的）GRS码是欧几里德自对偶的。首先，我们考虑评价集由两个互不相交的子集组成，其中一个是基于迹函数的，另一个是子空间及其陪集的并。然后构造了四类新的MDS欧几里德自对偶码。其次，我们给出了一个简单但有用的引理，以保证有限域的两个相交子集的对称差可以作为所需的评估集。基于这个引理，我们推广了我们的第一个构造，并给出了两类新的MDS欧几里德自对偶码。最后，利用两个具有非空交的乘法子群和它们的陪集，给出了三种具有可变参数的MDS欧几里德自对偶码的一般构造。本文构造了几类新的MDS欧几里德自对偶码。
2020-05-31 cs.IT math.IT
Several classes of Galois self-orthogonal MDS codes and related applications
设$q=p^h$是素数幂，$e$是具有$0\leq e\leq h-1$的整数。$e$ -伽罗瓦自正交码是欧几里德自正交码（$e=0$）和厄米特自正交码（$e=\frac{h}{2}$和$h$是偶数）的推广。本文提出了两种构造$e$ -Galois自正交（扩展）广义Reed-Solomon（GRS）码的一般方法。由此得到了八类新的具有奇$q$和$2e\mid h$的$e$ -Galois自正交（扩展）GRS码.基于码的Galois对偶，我们还研究了它的删截码和缩短码。作为应用，对所有可能的满足$0\leq e'\leq h-1$的$e'$，导出了新的$e'$-Galois自正交最大距离可分（MDS）码，利用缩短码导出了新的$e$-Galois自正交MDS码，利用删余码导出了具有指定维数$e$-Galois壳的新MDS码.此外，还得到了一些长度大于$\sqrt{q}+1$，最小距离大于$\frac{\sqrt{q}}{2}+1$的新的$\sqrt{q}$元量子MDS码.
2023-02-09 cs.IT math.IT
Non-binary LDPC codes for Data Storage
University of Tartu（塔尔图大学）
本文研究q元域上非二进制LDPC码在q元擦除信道中的性能，引入终极距离概念，推导随机编码界，并提出寻找终极距离和最小距离的算法，构造达到终极距离的码例。
2026-05-27 cs.IT math.IT
Optimal $q$-Ary Error Correcting/All Unidirectional Error Detecting Codes
本文研究了能够纠正$t$对称错误并检测所有单向错误的码，称为$t$ -EC-AUED码。给定正整数$q$、$a$和$t$，令$n_q(a,t+1)$表示最短$q$ -元$t$ -大小为$a$的EC-AUED码的长度。本文利用完全图的单因子分解和MDS码与可分解集系统的码的级联构造了$q$ -ary $t$ -EC-AUED码。因此，我们确定了$q,a$和$t$的几个新的无限族的$n_q(a,t+1)$的精确值。
2019-06-14 cs.IT math.CO math.IT
Optimal Codes for the Coverage Depth Problem and the Performance of Random Codes
Technion—Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文针对DNA存储中的覆盖深度问题，推导期望公式，证明q元单纯码和汉明码的最优性，并分析随机线性码与MDS基准的差距有界。
2026-10-07 cs.IT math.IT
Optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ via cyclic codes
与经典分组码一样，局部可修复码也服从Singleton型界（如果局部可修复码达到Singleton型界，则称其为{ \it optimal}）。在\cite{TB14}的突破性工作中，利用Reed-Solomon码的子码构造了几类最优局部可修码。因此，在\cite{TB14}中给出的代码长度的上限是代码字母表大小$q$。最近，通过对\cite{TB14}构造的扩展，证明了在\cite{JMX17}中，$q$元最优局部可修码的长度可以是$q+1$.令人惊讶的是，\cite{BHHMV16}给出了几个小距离和局部的$q$ -ary最优局部可修复码的例子，其码长大致达到$q^2$。最近，在\cite{LMX17}中进一步证明了存在$q$元最优局部可修码，其长度大于$q+1$，距离命题为$n$ .因此，构造新的$q$元最优局部可修码族，使其长度大于$q+1$，成为一个有趣而具有挑战性的问题.本文构造了一类距离为$3$和$4$且长度为无界的最优局部可修码（即，代码的长度与代码字母表大小无关）。我们的技术是通过循环码与特定的生成器和奇偶校验多项式，仔细选择。
2018-01-11 cs.IT math.IT
Intersections of linear codes and related MDS codes with new Galois hulls
令$\mathrm{SLAut}(\mathbb{F}_{q}^{n})$表示$\mathbb{F}_{q}^{n}$上所有半线性等距的群，其中$q=p^{e}$是素数幂。本文研究了与$σ\in\mathrm{SLAut}(\mathbb{F}_{q}^{n})$的$σ$码相关的线性码的一般性质。我们证明了两个线性码的交的维数可以由这类码的生成矩阵和它们的$σ$矩阵来确定。我们还证明了线性码的$σ$壳的维数可以由它的生成矩阵或它的$σ$对偶矩阵来确定。给出了矩阵乘积码的$σ$对偶和$σ$壳的一个刻画.我们还研究了一对矩阵乘积码的交集。给出了广义Reed-Solomon（GRS）码或扩展GRS码的任意码字包含在其$σ$对偶中的一个充要条件.作为应用，我们构造了11个具有满足$2(e-\ell)\mid e$的新的$\ell$-Galois壳的$q$ -ary MDS码族，这在Cao（IEEE Trans. Inf. Theory 67（12），7964-7984，2021）和Fang等人（Cryptogr. Commun. 14（1），145-159，2022）时$\ell\neq \frac{e}{2}$。
2023-03-24 cs.IT math.IT
Decoding Algorithms for MDS Array Codes
Unesp（圣保罗州立大学）；Federal University of São João del-Rei（圣若昂-德尔雷伊联邦大学）
本文针对由超正则矩阵与非奇异矩阵克罗内克积构造的MDS阵列码，利用奇偶校验矩阵结构开发了适用于删除信道、q元对称信道等的解码算法，给出了明确步骤并辅以有限域示例说明。
2026-08-28 cs.IT math.CO math.IT
A Note on Self-Dual Generalized Reed-Solomon Codes
一个线性码被称为MDS自对偶码，如果它是MDS码和关于欧几里德内积的自对偶码。这种码的参数完全由码长决定。本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码及其扩展码构造了MDS自对偶码。我们构造的关键思想是选择合适的求值点，使得相应的（扩展的）GRS码是自对偶的。我们构造的评价集是由有限域的一个子群和它在一个更大子群中的陪集组成的。得到了四类新的MDS自对偶码，它们在一定范围内具有比以往结果更好的参数。此外，利用有限域上的Mobius作用，我们给出了一个系统的方法来构造具有不同求值点的自对偶GRS码，只要是已知的自对偶GRS码。特别地，我们证明了所有长度为$n< q+1$的$\mathbb{F}_{q}$上的自对偶扩展GRS码都可以由具有相同参数的GRS码构造.
2020-05-24 cs.IT math.IT
New constructions of MDS symbol-pair codes via simple-root cyclic codes
本文利用单根循环码构造了三族新的MDS符号对码，分别达到对距离7、8和9，并在相应参数下实现最长码长。
2025-03-26 cs.IT math.IT
Galois self-orthogonal MDS codes with large dimensions
本文给出 GRS/EGRS 码及其扩展码 Galois 自正交的充要条件，分类构造维度更大的新 Galois 自正交 MDS 码，并导出任意维度 Galois hull 的 MDS 码及量子码。
2024-12-06 cs.IT math.IT
The minimum linear locality of linear codes
大约九年前，本地可恢复代码（LRC）被提出用于恢复分布式和云存储系统中的数据。迄今为止，对LRC的研究已经取得了很大的进展。然而，关于线性码的最小线性局部性问题，目前还缺乏一般性的理论。此外，许多已知的线性码族的最小线性局部性在文献中没有研究。基于这两个事实，本文发展了关于线性码的最小线性局部性的一般理论，并研究了一类线性码的最小线性局部性，如$q$ -ary Hamming码，$q$ -ary Simplex码，广义Reed-Muller码，卵形码，最大弧码，扩展超卵形码和近MDS码.本文提出了许多类距离最优和维数最优的LRC。本文所发展的一般理论解决了许多线性码族的最小线性局部性问题。
2021-02-01 cs.IT math.IT
On the Maximal Length of MDS Elliptic Codes
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）；Guangdong Key Laboratory of Information Security Technology（广东省信息安全技术重点实验室）
本文研究了椭圆曲线MDS码的最大长度问题，针对偶维数、非平方q和特征2域等未解情形，完全解决了两种奇偶性下的紧致性问题，并给出了精确表达式。
2026-06-04 cs.IT math.IT
Quantum MDS codes from complements of unions of finite-field subsets
East China Normal University（华东师范大学）
本文利用有限域子集并集补集构造Hermitian自正交GRS码，进而得到五族量子MDS码，其最小距离可超过q/2+1，并证明在无穷多个q值下优于已知构造。
2026-09-10 cs.IT math-ph math.IT
Construction of optimal locally recoverable codes and connection with hypergraph
最近，几位作者发现，$q$元最优局部可恢复代码，即，归档Singleton类型界限的本地可恢复代码可以具有比$q+1$大得多的长度。这与经典的$q$元MDS码有很大的不同，在经典的MDS码中，证明了码长的上界为$q+1$（或在某些特殊情况下为$q+2$）。这一发现启发了最近一些关于最佳本地可恢复代码长度的研究。\cite{LXY}证明了对于$d=3,4$，$q$元最优局部可恢复代码是无界的.随后证明了具有距离$d$和局部性$r$的$q$元最优局部可恢复码的长度为$Ω_{d,r}(q^{1 + 1/\lfloor(d-3)/2\rfloor})$。最近，在\cite{J18}和\cite{BCGLP}中给出了距离$d=5,6$的$q$元最优局部可恢复码的显式构造.在本文中，我们进一步研究构造最优局部可恢复码沿线使用奇偶校验矩阵。受经典的Reed-Solomon码和\cite{J18}的启发，我们给校验矩阵赋予了Vandermond结构。结果表明，具有Vandermond结构的校验矩阵产生的最优局部可恢复码必须满足$\mathbb{F}_q$子集的不交性。令我们惊讶的是，这个不相交条件等价于极值图论中一个研究得很好的问题。借助于极值图论，我们成功地将\cite{GXY}中的所有著名结果推广到了$d\geq 7$ .此外，对于$d=6$，我们能够去除在\cite{J18}中要求的$q$是…
2018-11-26 cs.IT math.CO math.IT
Some MDS and ACD codes over commutative non-unital rings of orders 4 and 9 (Revision)
Sogang University（西江大学）；Kangwon National University（江原国立大学）
本文研究4阶和9阶交换非幺环上的加性互补对偶码，建立其与二元、三元及p元LCD码的联系，分类高最小距离的ACD码并证明其为MDS码，同时更正了先前论文中的定理。
2026-09-18 cs.IT math.IT
Upper bounds on maximum lengths of Singleton-optimal locally repairable codes
一个局部可修的码如果达到了Singleton型上界，则称为Singleton最优码。这类码在局部可修码的研究中具有重要的理论意义。近年来，在这方面做了大量工作。本课题的主要问题之一是在给定局部性和最小距离的条件下，确定q元Singleton最优局部可修码的最大长度。与经典的MDS码不同，Singleton码的最大长度？最优局部可修码对最小距离和局部性非常敏感。因此，研究Singleton最优局部可修码的最大码长是一个很有挑战性和复杂的问题。在文献中，已经有一些关于这个问题的研究。然而，大多数工作都涉及到一些特定的参数机制，如小的最小距离和局部性，并依赖于（r + 1）|n和恢复集是不相交的，其中r是局部性，n是码长。在本文中，我们研究的问题，包括最小距离与长度成正比的情况下，参数的大范围。此外，我们还得到了一些上界的最大长度的Singleton最优的局部可修码的最小距离小，通过删除这个约束。事实证明，即使没有约束，我们仍然得到了更好的上限与已知的结果相比，小的局部性和距离的代码。此外，基于本文提出的小距离和局部性码的上界和一些传播规则，我们可以得到距离和局部性相对较大的码的上界，假设（r + 1）|n和恢复集不相交。
2022-07-12 cs.IT math.IT
