Symmetry and colorings: some results and open problems, II
Taras Banakh
我们调查的一些主要结果和开放的问题有关的着色的几何和代数对象赋予对称性，集中的论述最大的对称数，这样的对象。
We survey some principal results and open problems related to colorings of geometric and algebraic objects endowed with symmetries, concentrating the exposition on the maximal symmetry numbers of such objects.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Symmetry and colorings: Some results and open problems
我们调查的一些主要结果和开放的问题有关着色的代数和几何对象赋予对称性。
Capturing Polytopal Symmetries by Coloring the Edge-Graph
一般凸多面体$P\subset\mathbb R^d$及其边图$G_P$可以具有非常明显的对称性。我们构造了边图的一个着色（顶点和边的着色），使得着色的边图的组合对称群与多面体的线性对称群$\mathrm{Aut}_{\mathrm{GL}}(P)$同构（以一种自然的方式）.我们还构造了$P$的正交对称群$\mathrm{Aut}_{\mathrm{O}}(P)$的类似着色。
Appendix for almost-rainbow edge-colorings of some small subgraphs
这篇文章的附录，“一些小的子图的几乎彩虹边染色”，包含了定理4.1的完整证明。
About Fall Colorings of Graphs
图$G$的降$k$ -染色是$G$的真$k$ -染色，使得$G$的每个顶点都看到其闭邻域上的所有$k$颜色。本文回答了\cite{dun}关于图的秋天着色与其它几类图的秋天着色之间的关系的一些问题。
Star edge coloring of some classes of graphs
图的\textit{A star edge coloring}是不含双色路和四圈的正常边染色.本文建立了树和次立方外平面图的紧上界，并导出了外平面图的一个上界。
Generalization of some results on list coloring and DP-coloring
本文利用DP-染色和变量退化的概念引入了DP-染色，并对以下文献的证明进行了改进：（i）不含$4$、$9$ -圈和来自$\{6, 7, 8\}$（R. Liu，S. Loeb，M. Rolek，Y. Yin，G. Yu，Graphs and Combinatorics 35（3）（2019）695-705），（ii）当$i$（P. Sittitrai，K. Nakprasit，arXiv：1801.06760（2019）preprint），（iii）每个可平面图都是$5$ -可选的（C. J. Combin. Theory Ser.B62（1994）180-181）。利用这种修改，我们得到了更多的结果列表着色，DP-着色，列表森林着色，变量退化。
Equitable Dominator Coloring of Line Graphs of Some Graphs
研究某些图类的线图的公平支配者着色，通过恰当顶点着色使各顶点支配至少一个颜色类且颜色类基数相差至多1，探讨其公平支配者色数等相关概念。
Total Colorings of Some Classes of FourRegular Circulant Graphs
色数，$χ''(G)$是需要被分配以获得图$G$的全着色的颜色的最小数目。由Behzad和Vizing独立提出的全着色猜想（TCC）证明了对任意图都有$χ''(G) \leq Δ(G)+2 $，其中$Δ(G)$表示$G$的最大度.本文给出了几类四个正则循环图的全色数色数。
A proper total coloring distinguishing adjacent vertices by sums of some product graphs
本文考虑一个真全染色，它是用和来区分邻顶点的，如果每两个邻顶点的关联边的颜色之和与顶点的颜色之和不同. Pilsniak和Wozniak \cite{PW}首先介绍了这种着色，并提出了一个猜想，即区分邻顶点的和所需的最小颜色数小于或等于最大度加上$3$。研究了图的和与积区分邻顶点的真全染色。我们发现这些图满足猜想。
Hardness of some variants of the graph coloring game
最近，Bodlaender在1991年提出的一个长期悬而未决的问题得到了回答：图着色游戏是PSPACE完全的。2019年，Andres和Lock提出了图着色游戏的五种变体，并留下了与之相关的PSPACE硬度问题。在本文中，我们证明了这些变种是PSPACE完全的图着色游戏，也为贪婪着色游戏，即使颜色的数量是色数。最后，我们还证明了Charpentier等人在2019年提出的图着色游戏的连通版本是PSPACE完全的。
Total Coloring of some classes of Powers of Cycles
本文给出了几类Cayley图、奇图和伪阈值图的全色数色数。
Colorings of some Cayley graphs
该研究围绕Cayley图的着色问题展开，覆盖循环群、非阿贝尔群、gyrogroup上的Cayley图及圈的幂，得到了点、边、全着色的相关结果。
DP-3-coloring of some planar graphs
本文用统一的方法证明了几类可平面图是DP- $3$ -可着色图，推广了$3$ -可选图的相应结果.
Total Coloring for some classes of Cayley graphs
本文研究某些类Cayley图的全着色问题，验证了全着色猜想，并求得了这些图类的全色数。
Relaxed DP-3-coloring of planar graphs without some cycles
该研究属于图论着色领域，在已有松弛DP着色的平面图相关结论基础上，证明了不含4环与6环、或不含4环与8环的平面图满足DP-(0, 2, 2)-可着色性，拓展了该方向的研究结果。
List Coloring of some Cayley graphs using Kernel perfections
本文研究酉凯莱图及二面体群上凯莱图的列表色数，利用核完美化方法给出其可选性的精确值或界。
On the non-existence of extended perfect codes and some perfect colorings
本文给出了Hamming图$H(n,q)$中存在完美$k$ -染色（$k$ -均匀划分）的必要条件，其中$q=2,3,4$和Doob图$D(m,n)$ .作为应用，我们证明了扩展完美码在$H(n,q)$（其中$q=3,4$，$n>q+2$）和$D(m,n)$（其中$2m+n>6$）中的不存在性.
Some orientation theorems for restricted DP-colorings of graphs
本文推广对应分配概念，借助辅助有向图证明Alon-Tarsi型定理，并得到三个DP染色推论，应用于环面网格的受限情形。
Total, Equitable Total and Neighborhood sum distinguishing Total Colorings of Some Classes of Circulant Graphs
本文给出了几类循环图的全色数、均匀可区别全色数和邻域和可区别色数。
Vertex Colorings without Rainbow or Monochromatic Subgraphs
本文研究了某些彩虹子图$R$和某些单色子图$M$是禁止的图的顶点着色.以前的工作集中在$R=M$。这里我们考虑更一般的情况，特别是$M=K_2$。
Star edge-coloring of some special graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ_{\mathrm{star}}'(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为$4$的路或圈是双色的。本文研究了Halin图、$k$ -幂图和广义Petersen图$P(3n, n)$的星边染色。
Normal 5-edge coloring of some more snarks superpositioned by the Petersen graph
本文延续此前关于Petersen图叠加snark图正规5边着色的研究，验证了剩余所有超顶点与超边连接方式下Petersen着色猜想均成立，推进了该猜想的证明范围。
Estimates for the number of vertices with an interval spectrum in proper edge colorings of some graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得使用$t$中的每一种颜色，并且相邻的边被不同地着色。与$G$的顶点$x$关联的边的颜色的集合被称为$x$的谱。如果图$x$的谱是整数区间，则图$G$的正常边$t$ -染色是其顶点$x$的区间.图$G$的正常边$t$染色是其顶点$x$的持续区间，如果$x$的谱是从色1开始的整数区间.对于某些图类中的图$G$，我们得到了$G$的正常边$t$ -染色为区间或持久区间的可能顶点数的估计.
Dominated Coloring of Some Classes of Perfect and Unicyclic Graphs
本文刻画了色支配的完美图，并研究了几类无圈图的支配色数，为图染色理论提供了新结果。
Some Results on Cyclic Interval Edge Colorings of Graphs
如果图$G$的每个顶点$v$的与$v$关联的边都被连续的颜色着色，且颜色$1$与颜色$t$是连续的，则称图$G$的一个正常边着色为\emph{cyclic interval $t$-coloring}.证明了具有偶最大度$Δ(G)\geq 4$的二部图$G$允许循环区间$Δ(G)$ -染色，如果对每个顶点$v$，度$d_G(v)$满足$d_G(v)\geq Δ(G)-2$或$d_G(v)\leq 2$ .我们还证明了每一个最大度至多为$8$的欧拉二部图$G$都有循环区间染色。对于$(a,b)$ -双正则图，即一部分顶点的度均为$a$，另一部分顶点的度均为$b$的二部图，得到了一些结果，并证明了它们都有循环区间着色.我们证明了所有的$(4,7)$ -双正则图以及所有的$(2r-2,2r)$ -双正则（$r\geq 2$）图都有循环区间着色。最后，我们证明了所有完全多部图承认循环区间着色，这解决了肯定的，一个猜想的Petrosyan和Mkhitaryan。
Maximal edge colorings of graphs
对于阶为$n$的图$G$，极大边染色是具有$χ'(K_n)$颜色的真边染色，使得添加任何颜色的任何边到$G$都使其不正常。Meszka和Tyniec证明了对于某些边数的值，没有图具有最大边染色，而对于其他值，他们提供了这样的图的结构。然而，对于许多值的边数确定是否存在任何图的最大边染色保持开放。我们给出了这个问题的完整解决方案。
Improved bounds for some facially constrained colorings
$2$ -边连通平面图的面奇偶边染色是指每一个面与每种颜色的零条或奇数条边关联的面真边染色。$2$ -连通平面图的面奇偶点染色是指每一个面与每种颜色的零个或奇数个顶点关联的面真点染色。Czap和Jendrocket（在平面图的面约束着色：一项调查，离散数学。340（2017），2691- 2703），证明了$10$颜色在两种着色中都足够。我们提出了一个无限的家庭的反例，这两个命题。平面图$G$的面$(P_{k}, P_{\ell})$ -WORM着色是顶点的着色，使得$G$不包含彩虹面$k$ -路径和单色面$\ell$ -路径。数学图论37（2017），353- 368），证明了对于任何整数$n\ge 12$，在$n$顶点上存在连通平面图，最大度至少为$6$，没有面部$(P_{3},P_{3})$ -WORM着色。他们还询问是否存在具有最大度$4$的图具有相同的属性。证明了对任意整数$n\ge 18$，存在一个连通平面图，其最大度为$4$，且无面$(P_{3},P_{3})$ -WORM染色.
List strong edge coloring of some classes of graphs
图的{ \em强边染色}是图的正常边染色，其中每个色类都是诱导匹配。图的{ \em强色数}是图的强边染色所需的最少颜色数。以类似的方式，我们可以定义列表形式的强边染色和列表形式的强色指数。本文证明了：如果$G$是一个最大度至多为4且最大平均度小于$3$的图，则其列表强色指数至多为$3Δ+ 1$，其中$Δ$是$G$的最大度.另外，我们证明了如果$G$是一个可平面图，其最大度至少为$4$，围长至少为$7$，则列表强色指数至多为$3Δ$ .
Normal 6-edge-colorings of some bridgeless cubic graphs
在一个三次图的边着色中，如果一条边和与之相邻的四条边的颜色集分别恰好有五种或恰好三种不同的颜色，则该边是贫边或富边。在边着色中，如果边的着色是丰富的或贫乏的，则该边是正常的。三次图的正规$k$ -边染色是用$k$颜色进行边染色使得图的每条边都是正规的。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正常的$k$ -边染色。正规边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。证明无桥三次图的$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想。此外，Jaeger能够证明它包含了经典的猜想，如循环双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。最近，两个作者能够证明，任何简单的立方图允许正常的$7$ -边染色，这个结果是最好的可能。本文证明了任意无爪无桥三次图、置换蛇、树型蛇都有正规的$6$ -边染色。最后，我们证明了任何无桥三次图$G$都允许$6$ -边染色，使得$G$的至少$\frac{7}{9}\cdot |E|$边是正规的。
Some progress on $t$-tone coloring
本文研究图的 $t$-tone 染色，为大最大度数的树和图的笛卡尔幂证明了新结果，并对树提出猜想。
DP-4-coloring of planar graphs with some restrictions on cycles
DP-着色是由Dvotelák和Postle作为列表着色的推广而引入的。它最初被用于解决Borodin的一个长期猜想，即每个没有长度为4到8的圈的可平面图是3-可选的。本文给出了可平面图DP-4-可着色的三个充分条件。实际上，所有的结果（定理1.3、1.4和1.7）都是以“色可拓性”的形式表述的，并用顶点识别和放电方法统一证明。
Some results on 2-distance coloring of planar graphs with girth five
针对围长为5的平面图的2-距离着色问题，本文证明其存在2-距离$Δ+7$着色（改进已有结果），且当最大度$Δ\geq 10$时存在2-距离$Δ+6$着色，为该类图的着色研究提供了更优结论。
Some bounds on the number of colors in interval and cyclic interval edge colorings of graphs
多重图$G$的一个\emph{interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色着色。多重图$G$的一个\emph{cyclic interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得在颜色$1$被认为与颜色$t$连续的条件下，入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色染色.用$w(G)$（$w_{c}(G)$）和$W(G)$（$W_{c}(G)$）分别表示多重图$G$的（循环）区间着色中的最小和最大颜色数。对于满足各种条件的多重图$G$，我们给出了关于$w(G)$和$W(G)$的一些新的锐界.特别地，我们证明了如果$G$是一个具有区间着色的$2$ -连通重图，则$W(G)\leq 1+\left\lfloor \frac{|V(G)|}{2}\right\rfloor(Δ(G)-1)$ .我们也给出了几个结果对一般的猜想，$W_{c}(G)\leq |V(G)|$的任何三角形的自由图$G$与循环区间着色，我们建立了这个猜想的近似版本的几个家庭的图，我们证明了该猜想是真实的最大程度的$4$的图。
Rainbow induced subgraphs in proper vertex colorings
对于给定的图$H$，我们定义$ρ(H)$为图$G$的最小阶，使得$G$的每一个真点染色都包含一个与$H$同构的彩虹诱导子图.我们给出了$ρ(H)$的上界和下界，计算了某些类图的精确值，并考虑了一个有趣的组合问题与路径的$ρ(H)$的计算。本研究的动机是一些想法，在线图着色算法。
Normal 5-edge-coloring of some snarks superpositioned by Flower snarks
本文研究由Flower snarks叠加构造的snarks类，给出其存在正常5-边着色的两个充分条件，从而证明该类具有Petersen着色，并立即推出关于Berge-Fulkerson猜想的已有结果。
Block graphs - some general results and their equitable colorings
本文研究块图的一般性质与公平着色问题，建立了结构参数关系，刻画了参数$α_{\min}$的块图，证实了GLS块图子类中公平着色问题的难解性假设，并给出了公平$(n+2)$-算法及无间隙色度谱的证明。
On DP-coloring of graphs and multigraphs
在解决平面图的列表着色问题时，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的新概念（他们称之为对应着色）。图$G$的DP-着色将从给定列表$L$中寻找$G$的着色问题简化为在具有顶点集$\{(v,c)\,: \, v\in V(G) \text{ and } {c\in L(v)} \}$的辅助图$H(G,L)$中寻找“大”独立集的问题。这是类似于旧的减少Plesnevietum和Vizing的$k$ -着色问题的问题，找到一个独立的一套大小$|V(G)|$在笛卡尔积$G\square K_k$。DP-色数$χ_{DP}(G)$的某些性质类似于列表色数$χ_{\ell}(G)$的性质，但有些性质有很大的不同。情况总是$χ_{DP}(G)\geq χ_{\ell}(G)$。本文的目的是引入多重图的DP-染色，并证明它们是Borodin和Erdégs，Rubin和Taylor刻画不允许DP-染色的多重图的结果的一个模拟。这个特征产生一个类似的Gallai定理的最小数量的边缘$n$顶点图的关键方面DP着色。
Normal 5-edge-coloring of some snarks superpositioned by the Petersen graph
本文研究由Petersen图叠加得到的snarks的正常5边着色，证明偶圈叠加可扩展着色，并推测无桥三次图存在含贫边的正常着色。
Polyhedral studies of vertex coloring problems: The asymmetric representatives formulation
尽管某些顶点着色问题在某些图类上是多项式可解的，但从多面体的角度来看，这些问题中的大多数并不“在控制之下”。\emph{optimization}和\emph{polyhedral separation}之间的等价性表明，对于这些问题，必须存在允许与它们相关联的多面体的一些优雅表征的公式。因此，有趣的是研究已知的顶点着色公式，以找到这样的特征。在这项工作中，我们研究了不对称的代表制定，我们表明，相应的着色多面体，对于一个给定的图$G$，可以被解释为另一个图的独立集多面体从$G$。这一结果使我们能够得到完整的特征，相应的着色多面体的某些家庭的图，根据已知的完整的独立集多面体的特征。
Fibonacci Identities and Graph Colorings
我们将Fibonacci和Lucas数推广到图着色的上下文中，并证明了涉及这些数的一些恒等式。作为推论，我们得到了一些已知的涉及斐波那契数的恒等式的新证明，如\[F_{r+s+t} = F_{r+1}F_{s+1}F_{t+1} + F_r F_s F_t - F_{r-1}F_{s-1}F_{t-1}.\]
Answers to some problems about graph coloring test graphs
证明了色数为2的图是同伦测试图。我们还证明了存在具有两个对合$γ_1$和$γ_2$的图$K$，使得$(K,γ_1)$是Stiefel-Whitney检验图，而$(K,γ_2)$不是.这些是对科兹洛夫提出的一些问题的回答。
Some Results on incidence coloring, star arboricity and domination number
建立了连接关联色数、星荫度和控制数三个孤立图不变量的两个不等式。由此，我们得到了所有图的关联色数的上界和下界。利用这些界，我们进一步降低了可平面图的关联色数的上界，并证明了阶数不可被4整除的三次图是不可4-关联着色的。确定了图的笛卡儿积、并、并的关联色数。
On some variations of coloring problems of infinite words
给定集合$A$上自由半群$A^+$的有限染色（或有限划分），我们考虑了右端无限字$x\in A^ω$的各种类型的单色分解.一些更强的版本通常的概念单色因式分解的介绍。当连续块的连接是单色的时，因式分解被称为顺序单色。一个顺序单色分解被称为超单色分解，如果任意置换块的分解的任何级联具有相同的颜色的单个块。我们建立联系，并在某些情况下，这些分解和拉姆齐理论的基本结果，包括无限拉姆齐定理，Hindman的有限和定理，分区规则的IP集和密立根-泰勒定理的存在之间的等价关系。本文证明了对每个有限集$A$和几乎所有字$x\in A^ω,$的每个有限着色$φ: A^+\rightarrow C,$，在允许一个$φ$ -超单色分解的$x$生成的子移位中存在$y$，其中“几乎所有”指的是$A^ω.$上的Bernoulli测度
Some concepts in list coloring
本文研究了唯一列表可着色图.一个图G被称为是唯一k-列表可着色的，如果它允许一个k-列表分配，从该分配G有一个唯一的列表着色。G不是唯一k-列表可染的最小k称为G的M-数。本文证明了任何无三角形且色数为色数k+1的图都是唯一k-列表可染的。给出了图的M-数的一个界，并利用这个界证明了每个可平面图的M-数至多为4。在图中引入了列表临界性，刻画了所有3-列表临界图.证明了每个$χ_\ell$ -临界图都是$χ'$ -临界图，并证明了这个猜想与著名的列表着色猜想是等价的.
On degree-colorings of multigraphs
引入度着色的概念，它捕获了一些，但不是所有的标准边着色的属性。我们猜想重图度着色所需的最小颜色数$G$ [度着色指数$τ(G)$ ]等于$\max\{Δ, ω\}$，其中$Δ$和$ω$分别是$G$中的最大顶点度和重图密度.证明了该猜想成立当且仅当$τ(G)$是重图集上的单调函数.
Sub-quorum colorings of some infinite families of caterpillars
本文研究图的亚法定人数染色数，针对完全$n$元毛毛虫和最小脊柱顶点度为三的完全毛毛虫等无限族，确定了其精确值。
Number of colors needed to break symmetries of a graph by an arbitrary edge coloring
图$G$的可区分阈值（记为$θ(G)$）是使$G$的每一个$k$ -染色都可区分的最小颜色数。我们通过定义一个替代指标$θ'(G)$将这个概念推广到边着色。我们考虑了某些图族的$θ'$，并找到了它与自同构群的边圈之间的联系。证明了$θ'(G)=2$当且仅当$G\simeq K_{1,2}$和$θ'(G)=3$当且仅当$G\simeq P_4, K_{1,3}$或$K_3$ .此外，我们还证明了判别阈值为3的图的一些辅助结果，并证明了虽然有无穷多个这样的图，但它们不是线图。最后，当$G$是简单素图的笛卡尔积时，我们计算了$θ'(G)$。
Crumby colorings -- red-blue vertex partition of subcubic graphs regarding a conjecture of Thomassen
Eschlassen提出了以下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色使得蓝色子图的最大度至多为$1$（即由一个匹配顶点和一些孤立顶点组成）且红色子图的最小度至少为$1$且不含$3$ -边路.由于这种着色中所有单色分量都很小且存在一定的不规则性，我们称这种着色为\emph{crumby}。最近，Bellitto，Klimošová，Merker，Witkowski和Yuditsky \cite{counter}构造了一个无穷族，反驳了上述猜想.它们的原型反例是$2$ -连通的平面的，但包含一个$K_4$ -子环和一个$5$ -环。这使得上述猜想对于一些重要的图类是开放的：外平面图，$K_4$ -minor-free图，二部图。在这方面，我们证明了$2$ -连通的外平面图，$K_4$的细分和$1$ -细分的三次图允许crumby染色。如果每条边至少被细分一次，则$G$的细分是{ \it真正的}。我们证明了任何亚三次图的每个真正的细分都允许crumby染色。我们稍微概括了其中的一些结果，并制定了一些approaches。
Choosability in bounded sequential list coloring
列表着色问题是近年来被广泛研究的经典顶点着色问题的一个变体，其中每个顶点都有一个有限的允许颜色列表，并且具有$(γ,μ)$ -着色的一些变体，其中颜色列表具有已知的上下界的顺序值。这项工作讨论的可选性属性，即包括在确定最少的数量$k$，它有一个适当的列表着色，无论如何分配一个列表的$k$颜色的每个顶点。这是一个$Π_2^P$ -完全问题，然而，由于它与图的$k$ -着色的关系，以及对某些图类的可选择性证明方法的应用，如完全二部图，它是$ 3 $ -可选择的，但$ 2 $ - $(γ,μ)$-可选择的，我们证明了$k$-$(γ,μ)$-可选择性是一个$NP$ -问题.
On forced periodicity of perfect colorings
我们研究强迫周期性的二维配置在一定的约束条件下，并使用代数方法的多维符号动力学，其中$d$维配置和有限模式的正式幂级数和劳伦多项式，分别在$d$变量。我们考虑的完美着色的配置，使得一个给定的颜色的点在任何点的邻域中的数量只取决于该点的颜色为一些固定的相对邻域，我们表明，通过选择适当的字母表任何完美着色有一个非平凡的零化子，也就是说，存在一个劳伦多项式的形式产品与幂级数表示完美着色为零。利用已有的结果，我们得到了二维完全着色的强迫周期性的一个充分条件。作为这个结果的推论，我们得到简单的新的证明已知的结果强迫周期性的正方形和三角形网格。此外，我们还得到了关于王网格中完美着色的强迫周期性的一个新结果。我们还考虑完美着色的一个特别简单的类型：配置具有低阿贝尔复杂性的一些形状，我们推广的结果，给出了一个充分条件，这样的配置是必要的周期性。此外，一些算法方面的考虑。
Strong edge coloring of Cayley graphs and some product graphs
图$G$的强边染色是图$G$的正常边染色，使得每个色类都是诱导匹配.所需的最小颜色数称为强色指数。本文确定了所有酉Cayley图的强色指数的精确值。我们的调查揭示了一个潜在的产品结构，从单一的凯莱图出现。然后，我们继续给紧界的强色指数的笛卡儿积的两棵树，包括一个确切的公式的产品的情况下，明星。进一步，我们给出了树与圈的乘积的强色指数的界。对于任何树，这些边界可能与实际值相差不超过一个小的加法常数（偶数循环最多为2，奇数循环最多为5），而且当循环的长度可被$4$整除时，它们会产生精确的值。
Interval cyclic edge-colorings of graphs
如果图$G$的所有颜色都被使用，并且每个顶点$v\in V(G)$的关联边都被$d_{G}(v)$模$t$的连续颜色着色，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的正确边着色称为\emph{interval cyclic $t$-coloring}，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。一个图$G$称为\emph{interval cyclically colorable}，如果它对某个正整数$t$有区间循环$t$ -染色.用$\mathfrak{N}_{c}$表示所有区间循环可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}_{c}$，具有区间循环$t$ -染色的$t$的最小值和最大值分别用$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$表示.本文研究了区间循环染色的一些性质。特别地，我们证明了如果$G$是一个至少有两个顶点的无三角形图，并且$G\in \mathfrak{N}_{c}$，那么$W_{c}(G)\leq \vert V(G)\vert +Δ(G)-2$。我们还得到了各种图类的$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$的界。最后给出了区间循环不可着色图的构造方法。
Distinguishing threshold for some graph operations
图$G$的一个顶点染色是可区别的，如果非单位自同构不保持它，可区别数$D(G)$是这样一个染色所需的最小颜色数，可区别阈值$θ(G)$是使得任意$k$ -染色是可区别的最小颜色数~ $k$.此外，$Φ_k (G)$是最多使用$k$颜色的$G$的区别着色数。本文利用$Φ_k (G)$给出了图的顶点和、根积、冠积、字典积等运算的可区分数和阈值的计算公式。
Perfect 2-colorings of Hamming graphs
研究了给定参数的Hamming图的完美$2$ -染色（均匀$2$ -划分）的存在性问题.我们开始与参数的图形和着色，是必要的存在条件。接下来，我们观察已知的完美着色的结构，并提出一些新的结构，给出新的参数。最后，我们推导出了这些构造所覆盖的染色参数，并给出了小$n$和小$q$的Hamming图$H(n,q)$中$2$ -染色的容许参数表.利用与完全着色的联系，构造了一个正交表OA（2048，7，4，5）.
Brooks' Theorem and Beyond
我们收集了一些我们最喜欢的布鲁克斯定理的证明，突出每个的优点和扩展。这些证明说明了图着色中的一些主要技术，如贪婪着色，Kempe链，击中集和核引理。我们还讨论了顶点着色的标准增强，如列表着色，在线列表着色，和Alon-Tarsi方向，因为布鲁克斯定理的类似物在每个上下文中。最后，我们沿着布鲁克斯定理的路线得出两个更强的猜想，即鲍罗丁-科斯托奇卡猜想和里德猜想。
The coloring problem for classes with two small obstructions
研究了由两个禁止导出子图定义的图类的着色问题。我们证明了在这样的类的问题的有效可解性的一些充分条件。作为推论，我们确定了除13种显式枚举情形外，顶点数不超过5的所有两连通禁止导出子图集合的计算复杂性
A Note on Partial List Colorings
设$G$是一个点数为$n$且列色数为$χ_\ell(G)=χ_\ell$的单图.假设为$0\leq t\leq χ_\ell$和$G$的每个顶点分配了一个$t$颜色列表。Albertson、Grossman和Haas [1]指出，至少$G$的$\frac{tn}{χ_\ell}$顶点可以从这些列表中着色。在本文中，我们发现了一些新的结果，有助于我们表明，猜想是正确的，至少有一半的号码集$\{1,2,...,χ_\ell(G)-1\}$的部分列表着色。此外，我们还引入了一个新的相关猜想，最后给出了关于这个猜想的一些结果。
Star Coloring on Some Subclasses of Chordal Graphs
研究弦图子类的星着色，给出星3-可着色弦图的结构和禁止诱导子图刻画，以及星4-和星5-可着色分裂图的禁止诱导子图刻画，并设计线性时间认证识别算法。
Local Antimagic Coloring of Some Graphs
本文研究若干图族的并、冠积和项链图的局部反魔幻色数，并构造出无穷多个满足局部反魔幻色数等于普通色数的图。
Lower Bounds and properties for the average number of colors in the non-equivalent colorings of a graph
该研究聚焦图的非等价着色平均颜色数这一图不变量，推导其一般性质与特定图类取值，提出多个下界猜想并验证其在三角化图、最大度≤2的图等类上成立。
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