Hyperbolically embedded virtually free subgroups of relatively hyperbolic groups
Yoshifumi Matsuda, Shin-ichi Oguni, Saeko Yamagata
证明了如果一个群不是虚循环的，且相对于一个真子群族是双曲的，则它有一个双曲嵌入子群，其中包含一个非交换生成的自由群作为有限指标子群.
We show that if a group is not virtually cyclic and is hyperbolic relative to a family of proper subgroups, then it has a hyperbolically embedded subgroup which contains a finitely generated non-abelian free group as a finite index subgroup.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Bounded cohomology and virtually free hyperbolically embedded subgroups
利用概率论证明了非圆柱双曲群$G$的第二有界上同调（例如，非初等双曲或相对双曲群，非例外映射类群，${\rm Out}(F_n)$，\dots）通过自然限制映射嵌入到其虚自由子群的第二有界上同调的逆极限中，实际上甚至嵌入到其双曲嵌入的虚自由子群的第二有界上同调的逆极限中。即使在$G$是（非自由）双曲群的情况下，这个结果也是新的和非平凡的。相应的陈述失败一般的第三有界上同调，即使是曲面群。
Quasi-convexity of hyperbolically embedded subgroups
证明了群$G$的虚循环双曲嵌入子群的任意无限阶元$g$是Morse的，也就是说由$g$生成的循环群$C$中的任意拟测地连接点都接近于$C$.这回答了Dahmani-Guirardel-Osin的一个问题。此外，我们还证明了双曲嵌入子群是拟凸的。最后，我们给出了一个定义，它意味着一个度量空间的子空间的集合是双曲嵌入，我们证明了伪Anosovs轴是双曲嵌入Teichmüller空间赋予Weil-Petersson度量。
Hyperbolically embedded subgroups and rotating families in groups acting on hyperbolic spaces
我们介绍和研究的概念，双曲嵌入和非常旋转家庭的子群。前一个概念可以被认为是一个相对双曲群的外围结构的推广，而后者提供了一个自然的框架，发展一个几何版本的小消去理论。这类族的例子自然出现在作用于双曲空间的群中，包括双曲群和相对双曲群、映射类群、$Out(F_n)$和克雷莫纳群。其他的例子可以发现之间的团体几何作用于$CAT(0)$空间，基本群的图形的群体等，我们获得了一些一般性的结果旋转家庭和双曲嵌入子群，虽然我们的技术适用于广泛的一类群体，它是能够产生新的结果，即使是研究的特定类别。例如，我们解决了关于映射类群的两个公开问题，得到了一些即使对于相对双曲群也是新的结果。
A Note on Hyperbolically Embedded Subgroups
设$G$为群，$H$为$G$的子群。本文在Bowditch关于相对双曲群的方法的基础上，用精细图的方法给出了双曲嵌入子群的一个等价定义。
Induced quasi-cocycles on groups with hyperbolically embedded subgroups
设G是一个群，H是G的双曲嵌入子群，V是赋范G-模，U是V的H-不变子模，我们给出了一个一般的构造，它允许将H上值在U中的1-拟上圈扩张为G上值在V中的1-拟上圈。作为应用，我们证明了每个具有非退化双曲嵌入子群的群G都有dim H^2_b（G，l^p（G））= \infty，对于p \in [1，\infty）。这以统一的方式涵盖了许多以前已知的结果。应用我们的扩展拟同构和使用Bavard对偶，我们还表明，双曲嵌入子群是不失真的稳定交换子长度。
Hyperbolically embedded subgroups and quasi-isometries of pairs
该研究给出配对拟等距保持子群双曲嵌入性的技术条件，并将其应用于有限生成群柱形双曲性的拟等距与可公度不变性研究。
Elementary subgroups of relatively hyperbolic groups and bounded generation
令$G$是相对于子群集合$\{H_λ,λ\in Λ\} $的群双曲。如果$G$相对于$\{H_λ,λ\in Λ\} \cup \{Q\} $是双曲的，我们说子群$Q\le G$是双曲嵌入$G$的。本文给出了双曲嵌入子群的一个刻划。特别地，我们证明了如果元素$g\in G$具有无穷阶且不与$H_λ$的元素$λ\in Λ$共轭，则包含$g$的（唯一）极大初等子群双曲嵌入到$G$中.这允许证明，如果$G$是有界生成的，则$G$是初等的，或者对于某些$λ\in Λ$是$H_λ=G$。
Extending group actions on metric spaces
我们解决以下自然扩张问题的群作用：给定一个组$G$，一个子群$H\le G$，和一个行动的$H$上的度量空间，什么时候有可能将其扩展到一个行动的整个组$G$上的（可能不同的）度量空间？什么时候这样的扩展保留了$H$的原始动作的有趣特性？我们开始正式这个问题，并提出了一个建设的诱导行动，表现良好时，$H$是双曲线嵌入在$G$。此外，我们证明了诱导作用可以用来刻画双曲嵌入子群。对于初等顺从群，我们也得到了一些结果。
Intersection properties of stable subgroups and bounded cohomology
证明了有限生成群的有限稳定子群集合具有有限高、有限宽和有界填充。然后，我们使用知识的共轭交叉，以表征双曲嵌入子群，可以同时扩展到周围组的拟同构的有限家庭。
Non virtually solvable subgroups of mapping class groups have non virtually solvable representations
设$Σ$是至少具有一个边界分量的有限型紧致可定向曲面。设$Γ\leq \textup{Mod}(Σ)$是一个非虚可解子群.我们回答了一个问题的Lubotzky表明，存在一个有限维的同调表示$ρ$的$\textup{Mod}(Σ)$，使$ρ(Γ)$是不是几乎可解的。然后，我们应用Lubotzky和Meiri的结果表明，对于这样一个组上的任何随机行走的概率降落在电源上，或在一个元素与拓扑熵$0$都呈指数下降的步行的长度。
Acylindrical group actions on quasi-trees
一个群G是非圆柱双曲的，如果它在双曲空间上有一个非初等的非圆柱作用。证明了任意非圆柱双曲群G都有一个生成集X，使得对应的Cayley图是一个（非初等）拟树，且G在Cayley图上的作用是非圆柱双曲的.我们的证明利用双曲嵌入子群和投影复形的概念。作为副产品，我们得到了非圆柱双曲群的双曲嵌入子群和拟凸子群的一些新结果。
Contracting elements and random walks
本文定义了群的收缩元的概念，证明了收缩元与相对双曲群中的双曲元、映射类群中的伪Anosovs、群中的秩一等距、群中的双曲元与图流形群中的Bass-Serre树中的双曲元一致.我们还定义了一个相关的概念，弱收缩元，并表明，这些符合双曲元的群acylindrically作用在双曲空间和iwips在$Out(F_n)$，$n\geq 3$。证明了在含有（弱）收缩元的非初等生成子群中的任何简单随机游动以指数衰减的概率以非（弱）收缩元结束。此外，我们证明了每个（弱）收缩元素包含在一个双曲嵌入的基本子群。
Classification of the virtually cyclic subgroups of the pure braid groups of the projective plane
对射影平面上纯辫群$P_{n}(RP^2)$的（有限和无限）虚循环子群进行了分类。$P_{n}(RP^2)$的极大有限子群同构于8阶四元数群，若$n=3$，且同构于$\Z_{4}$，若$n\geq 4$。此外，对于所有的$n\geq 3$，直到同构，以下群是$P_{n}(RP^2)$的无限虚循环子群：$\Z$，$\Z_{2} \times \Z$和合并积$\Z_{4} \ast_{\Z_{2}} \Z_{4}$。
Commensurators of abelian subgroups and the virtually abelian dimension of mapping class groups
设$\mathrm{Mod}(S)$是紧致连通可定向曲面$S$的映射类群，该曲面可能具有穿孔和边界分量，具有负欧拉示性数.证明了对$\mathrm{Mod}(S)$的任意无限虚交换子群$H$，存在一个子群$H'$可与$H$等价，使得$H$的分解子等于$H'$的正规化子.作为一个结果，我们给每个$n \geq 2$，$\mathrm{Mod}(S)$的几何维数的上界为家庭的交换子群的秩有界的$n$。这些结果推广了Juan-Pineda-Trujillo-Negrete和Nucinkis-Petrosyan关于虚循环情形的工作。
Extending higher dimensional quasi-cocycles
设G是Gromov双曲空间上允许非初等非线性作用的群（例如，非初等相对双曲群，闭双曲曲面的映射类群，或Out（F_n）（n>1））.我们证明了在3度下，实系数G的有界上同调是无穷维的。我们的证明是基于扩展到更高程度的赫尔和Osin最近的结果。也就是说，如果H是G的双曲嵌入子群，V是任意G-模，则H上的任意n-拟上圈都可以扩张到G.此外，我们表明，我们的扩展检测双曲嵌入子群的嵌入的几何形状，在适当的意义。
Relative Dehn fuctions, hyperbolically embedded subgroups and combination theorems
本文针对群在有限图上的分裂，证明了双曲嵌入子群和相对Dehn函数良定义性在组合下的保持性，并给出相对Dehn函数的上下界，推广了已有结果。
Random subgroups of acylindrically hyperbolic groups and hyperbolic embeddings
设G是非圆柱双曲群。我们考虑G中的一个随机子群H，它由有限个独立随机游动的集合生成。证明了在渐近概率为1的条件下，G的这样一个随机子群H是一个自由群，H作用在E（G）上的半直积是双曲嵌入G的，其中E（G）是G的唯一极大有限正规子群.
The conjugacy problem and virtually cyclic subgroups in the Artin braid group quotient $B_n/[P_n,P_n]$
令$n\geq 3$。本文研究了Artin辫群商$B_n/[P_n,P_n]$的共轭性问题.为了解决这个问题，我们使用系统的方程所产生的作用$B_n/[P_n,P_n]$的纯阿廷辫群$P_n/[P_n,P_n]$的阿贝尔化的整数。利用这种技术，我们还实现了显式无限虚拟循环子群在$B_n/[P_n,P_n]$。
Classifying spaces for the family of virtually abelian subgroups of orientable $3$-manifold groups
对于一个群$G$，令$\mathcal{F}_{n}$是$G$的所有子群的族，其中对于某个$r=0,1,2,\dots ,n$有限指数，包含一个同构于$\mathbb{Z}^{r}$的子群。Joecken、Lafont和Sánchez Saldaña计算了3-流形群的$\mathcal{F}_1$ -维数。本文的目的是计算所有$n\geq 2$的3-流形群的$\mathcal{F}_n$ -几何维数。
The classification of the virtually cyclic subgroups of the sphere braid groups
研究了2-球面S^2的n串辫群B_n（S^2）的虚循环子群的同构类的确定问题。如果n是奇数，或者n是偶数并且足够大，我们就得到了完全分类。对于小的偶数值的n，分类是完整的，直到一个明确的有限数量的开放情况。为了证明我们的主要定理，我们得到了一些其他的独立结果，特别是B_n（S^2）的有限循环子群和双循环子群的中心化子和正规化子的特征，关于有穷级元的共轭幂的结果，作为B_n（S^2）的子群出现的合并积的同构类的分析，以及当n大于或等于3时，S^2的n阶位形空间的万有覆叠空间具有S^3的同伦型的另一种证明.
An Eilenberg-Ganea Phenomenon for Actions with Virtually Cyclic Stabilisers
在3维及以上，Bredon上同调给出了一个精确的纯代数描述的最小维度的分类空间的行动组的稳定在任何给定的家庭的小组。对某些Coxeter群和虚循环子群族，我们证明了Bredon上同调维数为2，而Bredon几何维数为3。
Quantifying separability in virtually special groups
给出了特殊群的三次凸余紧子群的可分性的一个新的有效证明。因此，我们证明了：如果$G$是一个虚紧的特殊双曲群，且$Q\leq G$是一个$K$ -拟凸子群，则任何字长至多为$n$的$g\in G-Q$与$Q$被一个子群分开，该子群的指数在$n$中为多项式，在$K$中为指数.这推广了一个结果布Rabee和作者的剩余有限增长和结果的第二作者的表面群体。
Intersections of subgroups in virtually free groups and virtually free products
本说明包含以下推广的弗里德曼-Mineyev定理（早期称为汉娜诺依曼猜想）的（短）证明：如果$A$和$B$是非平凡的自由子群的虚拟自由群包含一个自由子群的指数$n$，然后$rank(A\cap B)-1\leqslant n\cdot(rank(A)-1)\cdot(rank(B)-1)$。此外，我们得到了一个虚拟的免费产品模拟这个结果。
Commensurated hyperbolic subgroups
本文证明了无限指数的非初等双曲交换化子群实际上是由双曲曲面群和自由群构成的自由积，并证明了作为非平凡双曲丛纤维的单端双曲群会沿2端子群分裂。
Virtually abelian subgroups of $IA_n(Z/3)$ are abelian
在研究$Out(F_n)$的子群时，经常用它的一个有限指数子群$H_0$来代替给定的子群$H$，使得$H$的虚性质变成$H_0$的实性质.在许多情况下，有限指数子群是$H_0 = H \cap IA_n(Z/3)$。对于哪些房产来说，这是一个不错的选择？我们的主要定理指出阿贝尔是这样一个性质。也就是说，$IA_n(Z/3)$的每个虚阿贝尔子群都是阿贝尔子群。
3-manifold groups are virtually residually p
给定一个素数$p$，如果一个群的$p$ -幂指数正规子群的交是平凡的，则称该群为剩余$p$。一个群称为虚剩余$p$，如果它有一个有限指数子群是剩余$p$。众所周知，特征为零的域上的非线性生成的线性群对于除了100个$p$之外的所有域几乎是剩余的$p$。特别地，双曲三维流形的基本群几乎是剩余的$p$。众所周知，三维流形的基本群是剩余有限的。在本文中，我们证明了这些结果的一个共同推广：每个3-流形群是几乎剩余的$p$，但许多$p$。这给出了证据的猜想（瑟斯顿），基本群的3流形是线性群。
On the rank of the intersection of free subgroups in virtually free groups
证明了虚自由群中自由子群的交的秩的一个估计，它类似于自由群中子群的Hanna Neumann不等式和群的自由积中子群的S.V.Ivanov估计.我们还证明了一个更一般的估计的自由子群的交集的秩的基本群的有限图的群与有限棱道群。
Virtually free finite-normal-subgroup-free groups are strongly verbally closed
任何不包含非平凡有限正规子群的虚自由群$H$（例如，无限二面体群）是包含$H$作为口头闭子群的任何有限生成群的收缩。
$\mathbb{Z}^2$-free subgroups of Thompson's $T$ are virtually free
本文证明Thompson群T的有限生成且不含任意高阶阿贝尔群的子群为虚阿贝尔或虚自由，进而得出曲面群不能嵌入T，解答了Belk与Moore的公开问题。
Verbally closed virtually free subgroups
Myasnikov和Roman'kov的一个定理说，任何一个可生成的自由群的口头闭子群是一个收缩群。我们证明了所有的自由（和许多几乎自由）口头闭子群是任何有限生成群中的回缩。
On the finiteness of the classifying space for the family of virtually cyclic subgroups
给定一个群G，考虑它的虚循环子群族的分类空间。我们表明，许多群体，包括例如，一个relator组，acylindrically双曲组，3-流形组和CAT（0）立方体组，他们不承认这个分类空间的有限模型，除非他们是虚拟循环。这解决了一个猜想由于胡安-皮内达和利里为这些类的群体。
The subgroup growth spectrum of virtually free groups
对于一个有限生成群$Γ$，用$μ(Γ)$表示$Γ$的增长系数，即所有实数$d$上的下确界，使得$s_n(Γ)<n!^d$。证明了虚自由群的增长系数总是有理数，并且每个有理数都是某个虚自由群的增长系数。此外，我们描述了一个算法来计算$μ$。
On subgroup conjugacy separability in the class of virtually free groups
称群G为子群共轭可分群，如果G的任意两个非共轭生成的非共轭子群在G的某个有限商中保持非共轭。证明了有限群的有限树的自由群和基本群在某种正规化子条件下是SCS。引入子群的入共轭可分性，证明了上述群也具有这一性质。
The Birman exact sequence does not virtually split
本文回答了映射类群理论中关于Birman正合列的一个基本问题。本文证明了Birman正合列在包含于有限指标Torelli群的任何子群$Γ$上不允许有截面.证明了全映射类群的有限指标子群不存在Birman正合序列的截面。这个定理在1990年G.混乱，但一个错误被发现，并在第一作者最近的一篇论文中描述。
On the classifying space for the family of virtually cyclic subgroups for elementary amenable groups
我们表明，基本的顺从的群体，这有一个界的顺序，其有限子群，承认有限维模型的分类空间与虚拟循环各向同性。
Relative hyperbolicity, thickness, and the hierarchically hyperbolic boundary
本文利用分层双曲边界的单纯结构刻画了HHG的相对双曲性与1阶厚度，并证明相对双曲HHG的Bowditch边界可由HHS边界坍缩外围子群极限集得到，同时给出纳入双曲嵌入子群以修改HHG结构的构造。
Subgroup growth of virtually cyclic right-angled Coxeter groups and their free products
确定了虚循环直角Coxeter群中指标$n$子群的渐近数及其自由积为$n\to\infty$ .
Tubular free by cyclic groups and the strongest Tits alternative
利用Wise的公平集准则，证明了每一个由循环群构成的自由管状群都自由地作用在CAT（0）立方复形上.我们还证明了这些群有一个有限指数子群满足最强的Tits择一性，这意味着每个子群要么覆盖一个非交换自由群，要么是无挠的交换群.特别是，Gersten群是第一个已知的实际上具有这种性质的群，但它不是实际上特殊的，也不是实际上剩余自由的。
Vertex finiteness for splittings of relatively hyperbolic groups
考虑群G和群G的子群族$\mathcal{A}$。我们说顶点有限性对于$\mathcal{A}$上G的分裂成立，如果直到同构，在$\mathcal{A}$中具有边稳定子的极小G-树的顶点稳定子的可能性只有100%。当G是一个环上相对双曲群且$\mathcal{A}$是交换子群族时，我们证明了G的顶点有限性.当G是相对于虚多环子群的双曲群且$\mathcal{A}$是虚循环子群族时，我们还证明了G的顶点有限性;而且当G是单端的时，G的具有虚循环边稳定子的极小G-树只有1000个，直到G的自同构.
Elementary subgroups of virtually free groups
本文给出了一阶逻辑意义下的虚自由群的基本子群的刻划。特别地，我们恢复了一个事实，即基本子群的生成自由群是自由因子。此外，我们给出了一个算法，它以一个虚自由群$G$的有限表示和$G$的有限子集$X$作为输入，判定由$X$生成的$G$的子群是否是$\exists\forall\exists$ -初等的.证明了方程诺特群的每个初等嵌入都是自同构。
A notion of quasiconvex subgroups in acylindrically hyperbolic groups
本文在含双曲嵌入子群的有限生成群中提出拟凸性概念，证明其在锥化尖点空间有一致拟凸常数、长Dehn填充下保持不变，并推广了Groves-Manning关于CAT(0)立方复形群作用的定理。
The Martin boundary of relatively hyperbolic groups with virtually abelian parabolic subgroups
给定一个有限生成群上的概率测度，它的马丁边界是一种使用相应的随机游动的格林函数来紧致化群的方法。本文给出了相对双曲群上具有虚交换抛物子群的双曲支撑随机游动的Martin边界的一个完整的拓扑刻画。特别地，在实双曲空间H n中的非均匀格的情形下，我们证明了Martin边界与截断空间的CAT（0）边界重合，从而当n = 3时，Martin边界同胚于Sierpinski地毯.
Property $P_{naive}$ for acylindrically hyperbolic groups
证明了无非平凡有限正规子群的非圆柱双曲群满足一个强乒乓性质，即$P_{naive}$性质：对任意有限元集合$h_1, \dots, h_k$，存在另一个元$γ\neq 1$使得对所有$i$，$\langle h_i, γ\rangle = \langle h_i \rangle* \langle γ\rangle$ .我们还得到，如果一个集合的子群$H_1, \dots, H_k$是一个双曲嵌入的集合，那么有$γ\neq 1$，使所有的$i$，$\langle H_i, γ\rangle = H_i * \langle γ\rangle$。
Zeta functions of virtually nilpotent groups
本文证明了一个群生成的虚幂零群的子群zeta函数和正规zeta函数是$\mathbb{Q}$上锥积分的Euler积的有限和，并由此推出它们具有收敛的有理横坐标和某些亚纯延拓.我们还定义了一个群生成的虚幂零群的Mal'cev完备化，并证明了后者的子群增长和正规子群增长是它的$\mathbb{Q}$ -Mal'cev完备化的不变量.
Residually finite groups that do not virtually have the unique product property
本文构造了一个余有限但不虚拟具有唯一乘积性质的有限生成群，通过展示每个有限指数子群包含同构于Promislow群的子群来证明其结论。
Restrictions on Anosov subgroups of Sp(2n,R)
本文研究 Sp(2n,R) 的 P_Θ-Anosov 子群，证明当 Θ 含奇数时这类子群必实际上同构于自由群或曲面群，并构造了 Θ 不含奇数时的反例及新的极大对径子集。
Classifying spaces for the family of virtually cyclic subgroups of braid groups
证明了对于$n\geq 3$，全辫群$B_n$和纯辫群$P_n$的分类空间模型关于虚循环群族的最小维数为$n$ .
Crystallographic actions on contractible algebraic manifolds
研究了代数群$G$的离散子群$Γ$在可收缩代数流形$X$上的真不连续和余紧作用.我们假设这个作用来自于$G$在$X$上的代数作用使得$G$的极大约化子群固定一个点。当$G$的任意单群的实秩至多为1或$X$的维数至多为3时，证明了$Γ$是虚多环的.当$Γ$是几乎多环时，我们证明了$Γ$是几乎多环的。当$Γ$几乎是多环的，我们表明，该行动减少到一个近等离子体-仿射晶体行动。作为应用，我们证明了NIL-仿射作用的广义Auslander猜想在六维空间内成立，并给出了一个新的证明，证明了每个虚多环群都有一个NIL-仿射晶体作用.
Homogeneous spaces of real simple Lie groups with proper actions of non virtually abelian discrete subgroups: a calculational approach
设G是单非紧线性连通李群，H是闭非紧半单子群.我们感兴趣的是寻找允许G的离散非虚交换子群的真作用的齐性空间G/H类。我们发展了一个算法来寻找这样的齐性空间。作为一个测试例子，当G的秩至多为8，且H是极大真半单子群时，我们得到了一个非紧齐性空间G/H允许G的离散非虚交换子群的真作用的列表.
Classifying spaces for families of virtually abelian subgroups of surface braid groups
本文研究了表面纯辫群虚阿贝尔子群族的分类空间的最小维数，证明其等于群的虚上同调维数加n，并应用于计算可算子群族的分类空间最小维数。
Artin HNN-extensions virtually embed in Artin groups
Artin HNN-扩张是Artin群的HNN-扩张，其中稳定字母共轭标准生成集的一对适当选择的子集。证明了Artin HNN-扩张的有限指标子群嵌入Artin群。对于Coxeter群，我们也得到了类似的结果。
Residual properties of automorphism groups of (relatively) hyperbolic groups
我们证明了Out（G）是剩余有限的，如果G是一个单端群，是双曲相对于几乎多环子群。更一般地说，如果G是单端的，并且是相对于真剩余有限子群的双曲的，则保持外围结构的外自同构群是剩余有限的。我们还证明了Out（G）对每个素数p都是虚p-剩余有限的，如果G是单端的且是相对双曲的，或者是无穷端的且是虚p-剩余有限的.
An analogue of the strengthened Hanna Neumann conjecture for virtually free groups and virtually free products
本文将自由群中关于子群交的秩的强化汉纳-诺伊曼猜想（弗里德曼-米涅耶夫定理）推广到拟自由群及包含左序群自由积为有限指数子群的更一般群类。
Geometric dimension of groups for the family of virtually cyclic subgroups
通过研究虚循环群的稳定子，证明了每个有限Hirsch长度h和基数aleph-n的初等顺从群都存在一个有限维分类空间，其虚循环稳定子的维数为n+h+2.我们还提供了一个标准，适合到一个扩张的挠自由商的群体，承认一个有限维分类空间与虚拟循环稳定。最后，我们展示了F型整线性群的例子，其几何尺寸的家庭的虚拟循环子群是有限的，但任意大于几何尺寸的适当行动。这回答了W.卢克
Distinguishing geometries using finite quotients
我们证明了紧致3-流形$M$的基本群的profinite完备化满足一个Tits替换：如果闭子群$H$不包含任何$p$的自由pro-$p$子群，则$H$是几乎可解的，并且是一个非常特殊的形式.特别地，闭双曲3-流形的基本群的profinite完备化不包含同构于$\hat{\mathbb{Z}}^2$的子群。这给出了不可约3-流形中双曲性的一个profinite刻画。我们还刻画了Seifert复3-流形为那些基本群的profinite完备化具有非平凡原循环正规子群的流形。我们的技术也适用于双曲线，实际上是特殊的群体，在这个意义上的Haglund和怀斯。最后，证明了无挠双曲虚特殊群的profinite完备化的每一个生成的pro- $p$子群都是free pro- $p$ .
Lipschitz metric isometries between Outer Spaces of virtually free groups
本文将自由群有限指数覆盖诱导的 Lipschitz 等距嵌入及折叠路径保持性推广到虚拟自由群，并证明距离候选存在性、建立其 Outer Space 脊与 Krstić–Vogtmann 空间的形变收缩关系。
Hierarchies for Relatively Hyperbolic Virtually Special Groups
本文为相对超几何虚拟紧致特殊群构造了新的虚拟准凸分层，并推广了Wise的Malnormal特殊商定理。
Planar boundaries and parabolic subgroups
我们研究了相对双曲群偶的Bowditch边界，重点是没有割点的情况。证明了如果$(G,\mathcal{P})$是一个刚性的相对双曲群偶，其边界嵌入在$S^2$中，则其在边界上的作用扩展为在$S^2$上的收敛群作用.更一般地说，如果边界是连接和平面没有割点，我们表明，每个元素的$\mathcal{P}$是几乎一个表面组。这个结论与这样一个群$G$实质上是克莱因群的猜想是一致的。我们举了许多例子来说明我们的假设的必要性。
Splittings and automorphisms of relatively hyperbolic groups
研究了相对双曲群G的自同构。当G是单端的，我们描述出（G）使用首选的JSJ树的子群，几乎是循环或抛物线。特别地，当G是相对双曲的时，Out（G）实际上是由GL_n（Z）的映射类群和子群固定某些基元素构成的。当允许更一般的抛物群时，GL_n（Z）的这些子群必须用McCool群代替：抛物群的自同构平凡地（即通过共轭）作用于某些子群。给定一个双曲群G的一个反常拟凸子群P，我们认为G是相对于P的双曲群，我们应用前面的分析来描述P的自同构群Out（P to G）延伸到G：它实际上是一个McCool群。如果Out（P to G）是无限的，则P是G的一个分裂中的一个顶点群.如果P是无挠的，那么Out（P to G）是VF类型的，特别是VF呈现的。我们还确定了当G是相对双曲的时，Out（G）是无穷大的。有趣的情况是当G是无穷终结的并且有挠。当G是双曲群时，我们证明了Out（G）是无穷的当且仅当G在一个具有无穷中心的极大虚循环子群上分裂.在一般情况下，我们表明，无穷的出（G）来自于存在一个分裂与无限多的扭曲，或有一个顶点群，这是极大的抛物与无穷多个自同构平凡的事件棱道群。
Finiteness results for subgroups of finite extensions
本文在有限扩张的背景下讨论了Takahasi和Howson关于自由群子群的两个经典定理。我们提供了范围内的子群的交集类的群体，如虚拟自由群，虚拟幂零群或基本群的有限图形的群体与虚拟多环顶点群和有限棱道群的秩。作为Takahasi定理推广的一个应用，我们给出了有限群图的基本群的任意自同态的周期子群的秩的一个一致界，该图的群具有n-生成的虚幂零顶点群和有限棱道群.
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