设$Z$是一个值在真闭凸锥$C\subset \mathbb{R}^d$内的随机变量，$A$是$C$的随机自同态，$N$是一个随机整数.我们假设$Z$、$A$、$N$是独立的。给定$N$独立拷贝$(A_i,Z_i)$的$(A,Z)$，我们定义了一个新的随机变量$\hat Z = \sum_{i=1}^N A_i Z_i$。令$T$是$C$上的概率测度集合上的对应变换，即$T$将$Z$的定律映射到$\hat Z$的定律。当矩阵$\mathbb{E}[N] \mathbb{E} [A]$的优势特征值为1时，研究了具有有限非零期望的$T$的不动点的存在性及其性质.将现有的有关$T$的一维结果扩展到更高的维度。特别地，我们给出了$T$的不动点在极值理论意义下具有多维正则变分的条件，并确定了正则变分的指数。
英文摘要：
Let $Z$ be a random variable with values in a proper closed convex cone $C\subset \mathbb{R}^d$, $A$ a random endomorphism of $C$ and $N$ a random integer. We assume that $Z$, $A$, $N$ are independent. Given $N$ independent copies $(A_i,Z_i)$ of $(A,Z)$ we define a new random variable $\hat Z = \sum_{i=1}^N A_i Z_i$. Let $T$ be the corresponding transformation on the set of probability measures on $C$ i.e. $T$ maps the law of $Z$ to the law of $\hat Z$. If the matrix $\mathbb{E}[N] \mathbb{E} [A]$ has dominant eigenvalue 1, we study existence and properties of fixed points of $T$ having finite nonzero expectation. Existing one dimensional results concerning $T$ are extended to higher dimensions. In particular we give conditions under which such fixed points of $T$ have multidimensional regular variation in the sense of extreme value theory and we determine the index of regular variation.
在这篇文章中，我们考虑了著名的Mandelbrot星方程的连续模拟与对数正态权重。曼德尔布罗特引入这个方程来描述乘法级联定律。我们证明了满足上述连续方程的测度的存在性和唯一性;这些测度属于J. P. Kahane在1985年开发的高斯乘性混沌理论（或该理论的可能扩展）的范围。作为一个产品，我们也得到了这些措施的协方差结构的明确表征。我们还证明了定性性质，如长程独立性或各向同性可以读出的方程。
