Almost direct summands
Bhargav Bhatt
在这篇短文中，我们指出Hochster的直和项猜想的一些新的情况下，可以推导出的基本定理的p-adic Hodge理论，由于Faltings。所处理的情况包括所考虑的映射的分歧完全位于特征p中的情况。
In this short note, we point out how some new cases of Hochster's direct summand conjecture can be deduced from fundamental theorems in p-adic Hodge theory due to Faltings. The cases tackled include the ones when the ramification of the map being considered lies entirely in characteristic p.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Heitmann's proof of the direct summand conjecture in dimension 3
本文讨论了Ray Heitmann关于混合特征的3维直和猜想的最新证明。本文讨论了他的方法，证明了定理，并直接证明了规范元猜想在3维使用他的结果。
Descent of Flatness and the Direct Summand Conjecture
本文的中心定理证明了：若$R$是完备正则局部环，且$B$是$R$在$R$的分式域的代数闭包中的整闭包，则$\Hom_R(B, R) \neq 0$ .我们对这个定理的证明几乎不涉及数学，它适用于所有特征。作为推论，我们得到了a）诺特环的整扩张的平坦性下降和b）由M.霍克斯特
The Direct Summand Conjecture in Dimension Three
直和项猜想证明了：如果R是正则局部环，S是包含R的模有限R-代数，则R是S作为R-模的直和项.以前已知如果R包含一个域或如果dim R至多为2，则为真。本文证明了三维混合特征环的结果。证明是通过证明正闭包的扩展在三维中具有结肠捕获属性来完成的。
Direct summands of syzygy modules of the residue class field
设R是交换Noether局部环.本文讨论了R的剩余域的n次合轨是否是Gorenstein的问题，如果对某个n，R的n次合轨有一个有限G-维的非平凡直和项.证明了当n至多为2时，它为真，并且证明了环R的结构是本质唯一确定的.
Towards an Homological Generalization of the Direct Summand Theorem
我们提出了一个更一般的（参数）同调表征的直接和定理。具体来说，我们陈述了两个新的猜想：Socle-Parameter猜想（SPC）的弱形式和强形式。我们给出了周形式的一个证明，证明了它等价于直接和数猜想（DSC），在Y. André基于Scholze的完全胚理论。此外，我们证明了SPC在其强形式的情况下，当参数的重数小于或等于2。最后，我们提出了一个新的证明的DSC在equicharacteristic的情况下，基于这样开发的技术。
Syzygy modules with semidualizing or G-projective summands
设R是具有剩余域k的交换Noether局部环.本文主要研究k的合冲模的直和项。我们证明了R是正则的当且仅当k的某个合模有一个半对偶和项。然后考虑R是Gorenstein的充要条件是k的某个合冲模有G-投射和项。
On the direct summand conjecture and its derived variant
安德烈最近给出了一个美丽的证明Hochster的直接和猜想在交换代数使用perfectoid空间;他的两个主要成果是一个推广的几乎纯度定理（perfectoid Abhyankar引理）和建设某些忠实平坦的扩展perfectoid代数“判别式”获得所有$p$的权力根源。在本文中，我们解释了一个更快的证明Hochster猜想，绕过了完美Abhyankar引理;相反，我们证明并使用了Scholze的Hebbarkeitsituation（黎曼扩张定理）的定量形式为完美空间。同样的想法也导致了一个证明衍生变种的直接和项猜想提出的德容。
On direct summands of syzygies of the residue field of a local ring
该文研究剩余域合冲可作为另一合冲直和项的局部环，证明其有限生成模Betti序列最终周期非递减，验证了这类Cohen-Macaulay环的Tachikawa猜想，并用合冲递归直和分解刻画Golod环，建立相关定理逆命题。
Vector space summands of lower syzygies
本文研究局部环剩余域作为合冲模直和项的条件，证明了第二、第三次合冲模直和项与极大理想直和项的等价性，并利用 Eliahou-Kervaire 预解式构造了一类使内射包络对偶为向量空间的阿廷局部环。
Generalizations of the Direct Summand Theorem over UFD-s for some Bigenerated Extensions and an Asymptotic Version of Koh's Conjecture
本文讨论了交换代数中两个不同的问题。在第一部分中，我们给出了混合特征$R\subset S$的模有限扩张环的直和定理（DST（或DCS））的推广形式，并满足以下假设：基环$R$是混合特征零的唯一因子分解整环。我们假设$S$是由两个元素生成的，这两个元素在一定的算术限制下满足根式二次方程或一般二次方程。在本文的第二部分，我们讨论了Koh猜想的一个渐近形式。我们使用“非标准方法”给出了一个模型的理论证明。
Local cohomology properties of direct summands
本文证明了：若$R\to S$是可分裂的Noether环的同态，则对每个$i\geq 0$和理想$I\subset R$，当$\Ass_S H^i_{IS}(S)$有限时，$\Ass_R H^i_I(R)$有限.另外，如果$S$是一个Cohen-Macaulay环，它是作为一个$R$ -模而生成的，使得作为一个$S$ -模的$H^i_{IS}(S)$的所有Bass数都是有限的，那么作为一个$R$ -模的$H^i_{I}(R)$的所有Bass数都是有限的。此外，我们显示了这些结果的一个较大的类介绍Lyubeznik函子。因此，我们证明了一个Gorenstein $F$ -正则UFD的正特征，它不是任何正则环的直和项，甚至不是一个纯子环。
Direct summands of infinite-dimensional polynomial rings
设k是域，R是无限维多项式环k[X 1;.]的纯子环.如果R是由单项式生成的，则证明了R的所有理想的高度和等级相等。证明了R满足弱Bourbaki非混合性质。作为应用，我们给出了线性可约群通过k-自同构作用于k[X1;...]的作用的不变环的Cohen-Macaulay性质.这提供了几个非诺特科恩-麦考利环的例子（例如Veronese环、行列式环和格拉斯曼环）。
Homogeneous coordinate rings as direct summands of regular rings
我们研究的问题时，一个环可以实现为一个正则环的直和项通过检查的情况下，齐次坐标环。我们提出了很强的障碍表示分次环的孤立奇点作为有限分次直和项。对于几类例子（德尔佩佐曲面，超曲面），我们给出了一个完整的分类，其中坐标环可以表示为直接和（不一定是有限的），并在这样做回答了原的问题有关的FFRT性质的五次德尔佩佐。我们还研究发生了什么情况下，环没有孤立奇点，通过拓扑参数：作为一个例子，我们给出了一个分类的坐标环的奇异三次曲面可以写为有限直和的正则环。
A uniform Chevalley theorem for direct summands of polynomial rings in mixed characteristic
证明了混合特征分次多项式环的直和式的显式一致Chevalley定理。我们的策略依赖于引入一种新型的微分幂，它不需要直接被加数上存在p-求导。
Modules in which pure submodule is essential in a direct summand
本文研究了具有直和项中每个纯子模必素性质的模类。这些模被称为纯扩展模，这是扩展模的适当推广。给出了实例和反例。研究了纯扩张模的一些性质，并利用纯扩张模刻画了正则环、半单环、局部环和PDS环。
Direct summands of klt singularities
本文证明 klt 型奇点的直和项与纯像仍为 klt 型，并据此对 Braun 等人关于约化商保持 klt 型的结果给出新证明。
Bernstein-Sato functional equations, $V$-filtrations, and multiplier ideals of direct summands
研究了非正则情形下Bernstein-Sato函数方程解的存在性及其性质.特别是，我们构造了$D$ -模块中，这样的形式方程可以研究。证明了域上多项式的直和项的Bernstein-Sato多项式的存在性。可以观察到，该多项式可以具有零作为根，甚至可以具有正根。此外，理论的$V$ -filtrations介绍了非正则环，并建立了这些对象的存在，我们称之为差分可扩展的被加数。这个环族包括复曲面环、行列式环和其他不变环。这个新的理论被应用到研究乘子理想和奇异簇的Hodge理想。最后，我们将已知的光滑情形下感兴趣的对象之间的关系推广到多项式环的奇异直和项的设置。
Two characterizations of pure injective modules
设$R$是有单位元的交换环，$D$是$R$ -模.证明了如果$D$是纯内射的，则$D$同构于一类嵌入模的直积的直和项.因此，如果$R$是诺特模，则$D$是纯内射的当且仅当$D$同构于一族阿廷模的直积的直和项。进一步证明了$D$是纯内射的当且仅当存在一族$\{T_λ\}_{λ\in Λ}$ $R$ -代数，它们被表示为$R$ -模，使得$D$同构于$Π_{λ\in Λ}E_λ$形式的模的直和项，其中对于每个$λ\in Λ$，$E_λ$是内射$T_λ$ -模.
$D$-modules, Bernstein-Sato polynomials and $F$-invariants of direct summands
研究了域上多项式的直和项环$R$或系数幂级数环$S$上的$D$ -模的结构.我们将$R$上的$D$ -模的性质与$S$上的$D$ -模的性质联系起来.证明了局部化$R_f$和局部上同调模$H^i_I(R)$作为$R$上的$D$ -模具有有限长度.进一步证明了$R$中元素的Bernstein-Sato多项式的存在性.在正特征中，我们利用$R$上的$D$ -模与$S$上的$D$-模之间的这种关系，证明了理想$I\subseteq R$的$F$ -跳数集包含在它在$S$中扩张的$F$-跳数集中.因此，$R$中$I$的$F$跳跃数形成了一个离散有理数集。我们还将$R$中的Bernstein-Sato多项式与$R$中的$F$ -阈值和$F$ -跳跃数联系起来。
On Chevalley-Shephard-Todd's theorem in positive characteristic
设$G$是一个有限群，它线性地作用在具有任意特征的域上的向量空间$V$上。如果不变环是由代数独立的齐次不变量生成的，则称该作用是共正则的;如果存在满射$k[V]^G$ -线性映射$π:k[V]\to k[V]^G$，则称该作用是直和项性质成立的.证明了下面的Chevalley-Shephard-Todd型定理。假设$V$是一个不可约的$kG$ -表示，则作用是共正则的当且仅当$G$是由伪反射生成的，并且直接被加数性质成立。
Invariant theory of abelian transvection groups
设$G$是一个有限群，它线性地作用在具有任意特征的域上的向量空间$V$上。如果不变环是由代数独立的齐次不变量生成的，则称其作用为{ \em余正则};如果满射$k[V]^G$ -线性映射$π:k[V]\to k[V]^G$存在，则{ \em直和性质}成立.证明了Chevalley-Shephard-Todd型定理。假设$G$是阿贝尔的，则动作是共正则的当且仅当$G$是由伪反射生成的，并且直接被加数性质成立。
Generalized F-signature of invariant subrings
已知某个不变子环$R$具有有限的$F$ -表示型.因此，我们可以把$R$ -模${}^eR$写成n个$R$ -模的有限直和。在这样的分解${}^eR$，我们注意到每个直接和项的重数。对于自由直被加数的重数，C语言定义了$F$ -签名的概念。Huneke和G. Leuschke和它刻画了一些奇点。在本文中，我们将这一概念推广到非自由直和项，并确定了它们的显式值。
Some criteria for regular and Gorenstein local rings via syzygy modules
设$ R $是Cohen-Macaulay局部环.证明了极大Cohen-Macaulay $ R $ -模的$ n $次合模不可能对每个$ n \ge 1 $都有半对偶直和项.特别地，可以得出$ R $是Gorenstein当且仅当$ R $的典范模的某个合点有非零自由直和项。给出了最小重数的Cohen-Macaulay局部环是正则环或Gorenstein环的若干充要条件。这些标准是基于消失的某些Ext或TOR涉及合合模的剩余域。
Q-Gorenstein splinter rings of characteristic p are F-regular
整环R称为分裂环，如果它是每个模-有限扩张环的直和项，作为R-模。Hochster的直和项猜想正是关于每个正则局部环都是splinter的猜想。包含有理数的整环是分裂环当且仅当它是正规环，但这个概念对于正特征的环来说更加微妙：F-正则环是分裂环，Hochster和Huneke证明了Gorenstein环也是如此。我们推广了他们的结果，证明了具有正特征的Q-Gorenstein分裂是F-正则的。
Computing Direct Sum Decompositions
提出两种算法，分别用于多分次情形和局部有限域情形，计算有限生成模的不可分解直和项，并应用于凝聚层和奇点理论中的分解问题。
Some criteria of cyclically pure injective modules
研究了交换环$R$上的循环纯内射模的结构，给出了它们的几个刻画.特别地，我们证明了一个模$D$是循环纯内射的当且仅当$D$同构于一个模的直和项的形式为$\Hom_R(L,E)$，其中$L$是一个循环模族的直和，$E$是一个内射模.证明了在拟完备Noether环$(R,\fm)$上，$R$ -模$D$是循环纯内射的当且仅当存在一族$\{C_λ\}_{λ\in Λ}$，使得$D$同构于$Π_{λ\in Λ}C_λ$的直和项.最后证明了完备局部环上每一个具有小余有限不可约的有限生成模都是循环纯内射的。
Annihilation of cohomology, generation of modules and finiteness of derived dimension
设$(R,\m,k)$是交换的Noether局部环，其Krull维数为$d$ .我们证明了$R$的上同调零化子$\ca(R)$是$\m$ -准素的当且仅当对某些$n\ge0$，$\mod R$中的$n$ -次合偶是由$k$的合偶通过取直和/和固定数目的扩张构造的.这些条件得到$R$是孤立奇点使得有界导出范畴$\db(R)$和奇点范畴$\ds(R)$有有限维数，当$R$是Gorenstein时，反之成立.我们还表明，局部自由的模的打孔频谱上的有限长度的模块的合轨构造直接和/和和$d$扩展。利用这一结果研究了$R$及其完备化$\widehat R$之间的几个上升和下降问题。
Big Cohen-Macaulay algebras and the vanishing conjecture for maps of Tor in mixed characteristic
本文证明了一类弱函子大Cohen-Macaulay代数，它足以证明Tor映射在混合特征下的Hochster-Huneke消失猜想。作为推论，我们证明了Boutot定理的一个类似定理，即正则环的直和式在混合特征下是伪有理的。我们的证明使用perfectoid空间，灵感来自最近突破的直接和项猜想安德烈和Bhatt。
La conjecture du facteur direct (d'après Y.André et B.Bhatt)
这是布尔巴基关于Y. André关于直和项猜想，以及André和Bhatt关于大Cohen-Macaulay代数的后续发展。
F-signature of graded Gorenstein rings
对于交换环$R$，Huneke和Leuschke \cite{H-L}定义了$F$ -签名.它是测量$R^{(e)}$的自由直和项的秩的不变量。这里，$R^{(e)}$是$R$本身，它通过$e$ -乘Frobenius作用$F^e$被看作是一个$R$ -模。更精确地说，对于维数为$d$的分次$F$ -有限Gorenstein环$R$，我们给出了$F$ -签名$s(R)$，$a$ -不变$a(R)$和Poincaré多项式$P(R,t)$之间的一个不等式. \[ s(R)\le\frac{(-a(R))^d}{2^{d-1}d!}\lim_{t\rightarrow 1}(1-t)^dP(R,t) \]此外，我们表明，$R^{(e)}$只有一个自由的直接被加数的任何$e$，当且仅当$R$是$F$ -纯和$a(R)=0$。这给出了这样的环的特征。
Decompositions of modules lacking zero sums
给出了半环$R$上模的直和（补）分解理论，证明了$v+w = 0$蕴涵$v = 0$和$w = 0$ .虽然当$R$是环时这不会发生，但它对极大加半环和相关半环上的自由模总是成立。在这种情况下，直接补是唯一的，分解是唯一的细化。因此，每个生成的投射模都是$R$的和项的有限直和（假设$1$是$R$的正交本原幂等元的有限和）。一些结果更一般的弱补和半直补。最后，我们检查的“上界“属性在这种情况下的障碍。
Generalized F-signatures of Hibi rings
$F$ -签名是由Frobenius前推中自由直和数定义的数值不变量，它度量正特征的奇异性。它可以通过关注非自由直接和数的数量来推广。本文给出了计算一类特殊的环面环Hibi环的（广义）$F$ -签名的几种方法。特别地，我们证明了它可以通过计算满足一定条件的对称群中的元素来计算。作为应用，我们还给出了多项式环的Segre积的（广义）$F$ -签名公式.
Big pure projective modules over commutative noetherian rings: comparison with the completion
该研究针对交换诺特环上的纯投射模分类问题，利用有限生成数据刻画无限生成直和项，拓展经典理论至无限生成情形，还研究了相关幺半群结构并得到子幺半群结论与实现结果。
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