On the Hilbert Geometry of products
Constantin Vernicos
我们证明了凸集积的Hilbert几何是其各自的Hilbert几何的直积的双Lipschitz等价。我们还证明了体积熵关于乘积是可加的，乘积的顺从性等价于每一项的顺从性。
We prove that the Hilbert geometry of a product of convex sets is bi-lipschitz equivalent the direct product of their respective Hilbert geometries. We also prove that the volume entropy is additive with respect to product and that amenability of a product is equivalent to the amenability of each terms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Area of ideal triangles and Gromov hyperbolicity in Hilbert Geometry
在Hilbert几何的背景下，我们证明了理想三角形面积的上界的存在性与Gromov双曲性之间的等价性。
Hilbert geometry of polytopes
证明了凸多胞体内部的Hilbert度量对于同维赋范向量空间是双ipschitz的。
Asymptotic Properties of Hilbert Geometry
证明了Hilbert几何中的球与Lobachevsky空间中的球具有相同的体积增长熵。给出了Hilbert几何中度量球体积与度量球面积之比的渐近估计。导出的估计符合罗巴切夫斯基空间中的众所周知的事实
Hilbert metrics and Minkowski norms
证明了有界凸区域$D\subset \mathbb{E}^n$上的Hilbert几何$(D,h_D)$与赋范向量空间$(V,||\cdot ||)$等距当且仅当$D$是开$n$ -单形.关于希尔伯特度量的渐近几何的一个进一步的结果得到了测地线行为的推论。最后证明了Hilbert几何中的每条测地线都收敛于边界上的一点。
On the Hilbert geometry of simplicial Tits sets
本文研究了单纯双曲Coxeter轨道流形上凸射影结构的模空间，证明了当模空间为实数轴且趋于无穷时，Hilbert度量的熵趋于0。
L'aire des triangles ideaux en geometrie de Hilbert
本文研究了具有Hilbert几何的凸区域中理想三角形的面积。在所有的希尔伯特几何中，我们得到了双曲几何的一个理想三角形面积的刻画。我们还得到了理想三角形的Hilbert面积的一个与凸无关的精确的下界，它刻画了平面上三角形区域的特征。在特定的几何假设下，得到了一个依赖于凸区域的上界.
Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée
证明了${\mathbb R}^n$中凸区域的Hilbert几何具有有界局部几何，即，对于给定的半径，所有的球都是${\mathbb R}^n$的欧几里得整环的双利普希茨。因此，如果希尔伯特几何也是格罗莫夫双曲的，那么它的谱底是严格正的。我们还给出了一个三维的反证，证明了对于非平面Hilbert几何，这个反证是不成立的。
Curvatures of spheres in Hilbert geometry
证明了Hilbert几何中超球面的法曲率、圆的Rund曲率和Finsler曲率随着半径趋于无穷大而趋于1
Convexity of asymptotic geodesics in Hilbert Geometry
若$Ω$是$\mathbb{R}^{2}$和$f,g$两个渐近测地线中凸多边形的内部，则当$t$足够大时，距离函数$d\left(f\left(t\right),g\left(t\right)\right)$是凸的.在$\partial Ω$属于类$C^{2}$且$\partial Ω$在点$f\left(\infty\right)=g\left(\infty\right) $处的曲率不为零的情况下，得到了相同的结果。并举例说明了曲率假设的必要性。
Non-Archimedean Hilbert geometry and degenerations of real Hilbert geometries
本文发展了有序值域上的希尔伯特几何理论，证明缩放实希尔伯特几何的超极限与非阿基米德希尔伯特空间等距，并描述了非阿基米德有界多胞形的希尔伯特度量，从而得到实多胞形缩放度量的 Gromov-Hausdorff 极限。
Lyapunov exponents in Hilbert geometry
我们研究了希尔伯特几何沿着测地线走向无穷远时的行为。我们证明了所有的信息都包含在这个测地线的端点处的边界的形状中，并且必须引入凸函数的正则性来使这个链接精确。的观点是一个动态的，本文的主要兴趣是在测地流的李雅普诺夫指数。
Harmonic symmetrization of convex sets and of Finsler structures, with applications to Hilbert geometry
大卫·希尔伯特在1895年发现了一个重要的度量，它与欧几里得（或射影）空间中的任何凸区域$Ω$都是正则相关的。这个度量被称为芬斯勒度量，通常的证明假设$Ω$的边界具有一定程度的光滑性，并参考Busemann和Mayer的一个定理，该定理从距离函数产生切向量的范数。在本文中，我们发展了一种新的方法来研究希尔伯特度量，其中没有可微性的假设。该方法将域上的希尔伯特度量表现为自然弱度量的对称化，称为Funk度量。Funk度量被描述为重言式的弱Finsler度量，其中每个切空间上的单位球自然地与域$Ω$本身等同。然后将Hilbert度量与$Ω$上的可逆重言式弱Finsler结构等同起来，并将每一点处的单位球描述为Funk度量的单位球的调和对称化.希尔伯特度量的性质，然后从一般性质的调和对称化弱芬斯勒结构。
Differential geometry of Hilbert schemes of curves in a projective space
我们描述的自然几何希尔伯特计划曲线在${\mathbb P}^3$，在某些情况下，在${\mathbb P}^n$，$n\geq 4$。
Approximability of convex bodies and volume entropy in Hilbert geometry
一个凸体的可逼近性是一个衡量用多面体逼近该凸体的难度的数字。我们证明了在2维和3维中，Hilbert几何的两倍可逼近性等于体积熵，在高维中，它是体积熵的下界.作为推论，我们解决了熵的上界猜想在三维，并给出了一个新的证明，在二维从一个发现在Berck-Bernig-Vernicos（arXiv：0810.1123v2，出版）。
Transverse Hilbert schemes, bi-Hamiltonian systems, and hyperkähler geometry
我们给出了辛曲面上点的Atiyah和Hitchin的横Hilbert格式的双Poisson结构的特征。此外，我们描述的几何hyperkähler流形所产生的横向希尔伯特计划建设，特别注意到的超模空间。
Volume entropy of Hilbert Geometries
证明了与$C^{1,1}$类的$n$维凸体相关联的Hilbert几何的体积熵等于$n-1$ .为了实现这一结果，一个新的射影不变量的凸体，类似于中心仿射区域，被构造。在$n=2$的情况下，没有任何假设的边界上，它表明，熵是有界以上的$\frac{2}{3-d} \leq 1$，其中$d$是闵可夫斯基维数的极值集的$K$。构造了一个熵严格在0和1之间的平面希尔伯特几何的例子。
A $G_2$-Hilbert functional in $G_2$-geometry
本文受Einstein-Hilbert泛函启发，在$G_2$-结构空间上引入并唯一确定$G_2$-Hilbert泛函，证明无挠与近$G_2$-结构为其鞍点临界点，并由此区分出两种可视为$G_2$-几何中Ricci流类似物的新流。
Fisher-Rao geometry of equivalent Gaussian measures on infinite-dimensional Hilbert spaces
本文在无限维希尔伯特空间上显式描述了等价中心高斯测度的Fisher-Rao黎曼度量，证明有限维高斯密度相关几何量可自然推广，并建立了与正定单位化希尔伯特-施密特算子黎曼几何的联系。
Timelike Hilbert geometry of the spherical simplex
我们证明了关于单形的类时球面Hilbert几何的以下结果：令$Δ_2$是2-球面上的单形，而$\tildeΔ_2$是对映单形。我们表明，类时球面希尔伯特几何与对$Δ_2, \tildeΔ_2$是等距的工会6个副本的向量空间配备了类时规范，等距和传递的作用后，由组$\mathbb{R}_{>0}^2 \times \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_2$。这是一个类时球面模拟的一个众所周知的结果（由于Busemann）指出，希尔伯特度量的欧几里德单纯形是等距的度量诱导的赋范向量空间。同时，这也为类时空间提供了一个新的例子。
Hilbert-Schmidt groups as infinite-dimensional Lie groups and their Riemannian geometry
我们描述了希尔伯特空间上从无限维李代数到无限维算子群的指数映射。微分几何的概念，介绍了这些群体。特别地，计算了被理解为有限维群的里奇曲率的极限的里奇曲率。我们证明了对于其中一些群的里奇曲率是$-\infty$。
Hilbert schemes, commuting matrices, and hyperkähler geometry
我们通过交换矩阵多项式来表示代数曲线。这使我们能够表明，希尔伯特计划的上同调稳定的扭曲有理曲线的程度$d$在${\Bbb P}^3\backslash {\Bbb P}^1$是同构的一个复杂的hyperkähler商的一个开子集的向量空间的一个非约化李群。
On the variation of the Einstein-Hilbert action in pseudohermitian geometry
该研究计算CR流形上归一化Einstein-Hilbert泛函的一二阶变分，刻画其临界点为伪Einstein结构，发现标准球面上三维与高维二阶变分的差异源于受扰CR结构的可嵌入性。
Funk and Hilbert geometries from the Finslerian Viewpoint
1929年，Paul Funk和Ludwig Berwald从Finslerian观点给出了Hilbert几何的一个特征。他们证明了在$\mathbb{R}^n$的凸有界域中的光滑Finsler度量是该域中的希尔伯特几何当且仅当它是完备的，当它的测地线是直线并且它的旗曲率等于-1。本章的目的是详细解释这些概念，说明希尔伯特几何，芬斯勒几何和变分法之间的关系，并证明Funk-Berwald特征定理。
Grassmann geometry of zero sets in reproducing kernel Hilbert spaces
设$\mathcal{H}$是集合$X$上函数的再生核希尔伯特空间.研究了寻找$\mathcal{H}$的Grassmann流形的最短测地线的问题，该流形连接由在$X$的有限子集上为零的函数组成的两个子空间.建立了测地线存在唯一的一个充要条件，并举例进行了分析。讨论了当有限子集为单例时测地距离与其它已知度量的关系。我们发现上，下特征值的唯一的自伴算子，定义的最短测地线，这可以更精确的基础空间时，Hardy空间的估计。此外，对于哈代空间，我们讨论了存在的测地线加入子空间的功能消失的无限子集的磁盘，我们调查时的产品的投影到这种类型的子空间是紧凑的。
The mixed Einstein-Hilbert action and extrinsic geometry of foliated manifolds
我们开发的变化公式的数量的外在几何适应变化的度量几乎产品（如叶状）黎曼流形，并应用它们来研究总混合数量曲率的分布-模拟经典的爱因斯坦-希尔伯特作用。混合标量曲率${\rm S}_{\,\rm mix}$是所有平面上的平均截面曲率，这些平面包含来自几乎乘积结构的分布和我们考虑的保持分布正交性的变化的向量。我们得到的方向导数$D J_{\,\rm mix}$（总${\rm S}_{\,\rm mix}$）的适应变化的度量封闭的几乎产品的流形和叶状的任意尺寸。所得到的Euler-Lagrange方程以两种等价形式表示：外几何形式和内部分Ricci张量形式.当然，这些混合场方程允许大量的解（例如，扭曲的产品）。
The Einstein-Hilbert type action on almost $k$-product manifolds
具有$k>2$正交互补分布的黎曼流形（这里称为黎曼几乎$k$ -积结构）出现在诸如多重翘曲积、由多个叶理组成的网和实空间形式的真杜宾超曲面等主题中。本文考虑了$k>2$的这种结构的混合数量曲率，导出了Einstein-Hilbert型作用量关于度规适应变分的Euler-Lagrange方程，并将其表示为Einstein方程的一种形式.
The bimetric spectral Einstein-Hilbert action and the Kastler-Kalau-Walze type theorem for Lorentz warped products
本文通过定义双度量谱爱因斯坦-希尔伯特作用量并计算其在Lorentz扭曲积上的值，建立了相应的Kastler-Kalau-Walze型定理。
Spectral Radius and Amenability in Hilbert Geometries
我们研究了希尔伯特几何的谱底，证明了它为零当且仅当几何是可修正的，换句话说，当且仅当它允许一个Fölner序列。我们还表明，底部的频谱承认一个上界，这只取决于尺寸和这是底部的频谱的双曲几何的相同尺寸。本文从纯度规的观点，简要地研究了希尔伯特几何中的时球及其与谱底的关系。
Induced $C^*$-complexes in metaplectic geometry
对于具有亚辛结构的辛流形和Kuiper映射，构造了一个作用于外微分形式的微分算子复形，其值在Kostant辛旋量丛的对偶中.对于合适的$C^*$ -代数，在这个丛上定义一个Hilbert $C^*$ -结构，得到了Mishchenko-Fomenko意义下的椭圆$C^*$ -复形.它的上同调群似乎是可生成的投射Hilbert $C^*$ -模。这篇文章对于处理Hilbert丛上的微分复形和偏微分方程具有指导意义
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