Sum-of-Squares Optimization and the Sparsity Structure of Equiangular Tight Frames
等角紧框架（ETF）可以用来构造在平方和（SOS）优化中产生的半定程序的可行点的示例。我们展示了如何在作者最近的一项工作中推广计算，探索这种联系，也产生了新的界限（真实和复杂）ETF的稀疏性。一个推论表明，在控制合成矩阵的不同行的稀疏模式之间的重叠的矩阵不等式中实现紧密性的意义上，对应于有限射影平面的Steiner ETF是最佳稀疏的。我们还制定了几个自然的开放问题，进一步推广我们的技术。
2019-01-30 math.FA
Partitions of Equiangular Tight Frames
我们提出了一个新的有效的算法来构建一个特殊的等角紧框架（ETF），满足运营商的范数界建立的定理马库斯，斯皮尔曼和Srivastava（MSS），他们证明了作为一个推论产生一个积极的解决方案的Kadison-Singer问题的划分。特别是，我们证明了某些对角分区的递归反对称会议矩阵产生的复杂ETF的MSS界的细化。此外，我们证明了所有的分区的ETF的最大子集具有基数3或更少也满足MSS界。
2016-11-11 math.FA
Steiner equiangular tight frames
提出了一种构造等角紧框架的新方法。该构造在真实和复杂的环境中都是有效的，并且表明许多先前已知的ETF的例子只是这种框架的无限族的第一个代表。它在帧的大小和冗余方面提供了很大的自由度。该方法还在其本征域中显式地构造框架向量，而不是通过它们的Gram矩阵隐式地定义它们。此外，在该域中，帧向量非常稀疏。其构造非常简单：一个斯坦纳系统和一个正则单纯形的类似张量的组合。这种简单性使我们能够解决一个悬而未决的问题，ETF和限制等距属性（RIP）：我们表明，RIP行为的一些ETF是不幸的是，并不比他们的一致性表明。
2010-09-29 math.FA
Lattices from tight equiangular frames
我们考虑一个单位紧等角$(k,n)$框架的向量的整数系数的所有线性组合的集合，并且对这个集合是否是格的问题感兴趣，即，$k$维欧几里得空间的离散加法子群。我们表明，这是不是这种情况下，如果余弦的角度的框架是不合理的。我们还证明了该集合是$n = k+1$的格，并且存在无穷多个$k$使得$n = 2k$出现格。我们在维度$k$中最多处理$9$的所有情况。特别是，我们表明，一个$(7,28)$框架产生一个强共规格，并给出了另一种证明罗兰巴彻最近的观察，这种格是完美的。
2016-07-18 math.FA
Complex Hadamard matrices and Equiangular Tight Frames
本文给出了平方阶复Hadamard矩阵参数族的一种新构造，并将其与等角紧框架相联系。本文给出的结果推广了Bodmann等人最近的一些想法，并扩展了已知等角紧框架的列表。特别地，首次得到了一个来自非平凡的立方根特征矩阵的（36，21）帧。
2011-04-14 math.FA math.OA
The Singer-Zauner gap for equiangular tight frames
Air Force Institute of Technology（空军理工学院）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
证明不存在满足 d^2-d+1 < n < d^2 的复 d×n 等角紧框架，方法源于OpenAI内部模型，模仿实等角紧框架与强正则图的关系。
2026-05-27 math.FA math.MG
Balancedly splittable orthogonal designs and equiangular tight frames
本文提出平衡可拆分的正交设计及其递归构造，并据此构造出实数、复数和四元数上达到Delsarte-Goethals-Seidel上界的等角紧框架。
2023-12-05 math.CO math.FA
Equiangular tight frames from complex Seidel matrices containing cube roots of unity
我们推导出易于验证的条件，其特征在于当复杂的赛德尔矩阵包含单位的立方根正好有两个特征值。这种矩阵的存在性等价于等角紧框架的存在性，对于等角紧框架，任何两个框架向量之间的内积总是单位的立方根的公倍数。我们还展示了这些等角紧框架，复杂的赛德尔矩阵，和高度正规的，有向图之间的关系。我们构造这样的框架与任意多个向量的例子。
2008-09-01 math.FA math.OA
Equiangular tight frames in real symplectic space: Zauner's conjecture and the skew Hadamard conjecture
本文引入实辛空间中的等角紧框架概念，提出关于其存在性的猜想，并证明“辛Zauner猜想”等价于斜Hadamard猜想，其证明涉及对竞赛图中“菱形”子图的计数。
2025-09-17 math.CO math.FA
Tremain equiangular tight frames
等角紧框架提供通过原点的线的最佳填充。我们将Steiner三元系与Hadamard矩阵相结合，得到了一个新的无穷族等角紧框架.这反过来又导致了新的强正则图和距离正则对映覆盖的完全图的建设。
2017-06-28 cs.IT math.CO math.FA
Tables of the existence of equiangular tight frames
格拉斯曼标架是最优不相干的单位向量的集合。迄今为止，绝大多数显式格拉斯曼框架都是等角紧框架（ETF）。本文调查了每一个已知的ETF结构，并列出了足够小的尺寸的存在。
2016-06-16 cs.IT math.CO math.FA
Mutually Unbiased Equiangular Tight Frames
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中直线的一类最优填充. ETF似乎很罕见，所有已知的无限家族都来自某种类型的组合设计。在本文中，我们介绍了一种新的方法来构建ETF。我们首先表明，有时可以为同一空间构建多个ETF，这些ETF是“相互无偏的”，其方式类似于量子信息理论中的相互无偏基的概念。然后，我们表明，采取某些张量积这些相互无偏的ETF与其他ETF有时会产生无限的家庭新的复杂的ETF。
2020-01-07 math.CO math.FA
Constructions of biangular tight frames and their relationships with equiangular tight frames
我们研究了几个有趣的例子，双角紧框架（BTF）-基地一样的单位向量集承认正好两个不同的框架角（即，成对绝对内积）-并检查它们的关系与等角紧框架（ETFs）-基地一样的系统，承认正好一个框架角。我们展示了一个平滑的参数化BTF，其中相应的帧角度与参数平滑地变换，该参数“穿过”ETF回答了关于BTF的刚度的两个问题。我们还开发了一个一般的框架，所谓的调和BTF和斯坦纳BTF-其中包括等角的情况下，令人惊讶的是，这个框架的发展导致了连接与著名的开放问题（S）关于梅森和费马素数的存在。最后，我们构造了一个（弦）双角紧子空间集（即紧融合框架），它被Plücker嵌入到ETF中。
2017-03-07 math.AG math.FA math.NT
Equiangular tight frames with centroidal symmetry
等角紧框架（ETF）是一组单位向量，其相干性达到Welch界，因此尽可能不相干。虽然它们出现在许多应用中，但只有少数几种构造它们的方法是已知的。受真实ETF和图论之间联系的启发，我们引入了关于其质心对称的ETF的概念。然后，我们讨论如何众所周知的结构，如谐波ETF和施泰纳ETF，可以有质心对称。最后，我们建立了中心对称实ETF和某些类型的强正则图（SRG）之间的新等价关系。总之，这些结果给出了某些SRG存在的第一个证据，以及其他存在的反证。
2016-06-20 math.CO math.FA
Polyphase equiangular tight frames and abelian generalized quadrangles
等角紧框架（ETF）是有限维希尔伯特空间中的一类最优线填充。ETF出现在各种应用中，诸如用于无线通信的波形设计、压缩感测、量子信息论和代数编码理论。在最近的一篇论文中，ETF的签名矩阵是由完全图的阿贝尔距离正则覆盖构造的。我们扩展这项工作，从阿贝尔广义四边形构造ETF合成算子，反之亦然。这就产生了一个新的无限族的复杂ETF，以及一个新的证明存在某些广义四边形。这项工作涉及设计矩阵的条目是多项式在有限的阿贝尔群。因此，它涉及有限滤波器组的多相矩阵的概念。
2017-07-01 math.CO math.FA
2- and 3-Covariant Equiangular Tight Frames
等角紧框架（ETF）是向量的配置，这些向量在几何上最佳地分散开并提供恒等式的分辨率。许多已知的ETF构造是群协变的，这意味着它们是由群对向量的作用产生的，就像所有已知的对称的、信息完备的、正算子值测度的构造一样。在这篇简短的文章中，将给出一些表征ETF的对称群的传递性的结果，并证明一个无限类的所谓的Gabor-Steiner ETF是Roux线，其中Roux线是双传递线的推广。
2019-05-21 math.CO math.FA math.GR
Tight frames over the quaternions and equiangular lines
本文将有限紧框架理论推广到四元数向量空间，重点研究等角线集合及其相关群，并探讨 Zauner 猜想在四元数空间中的类比。
2025-08-28 cs.IT math.FA math.IT
Equiangular tight frames from hyperovals
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中的一组相等的范数向量，其相干性尽可能小，等于Welch界。这种帧也被称为Welch-bound-equality序列，出现在各种应用中，例如波形设计、量子信息论、压缩传感和代数编码理论。ETF似乎很罕见，只有少数几种构建它们的方法是已知的。在本文中，我们提出了一个新的无限家庭的复杂的ETF，产生于超椭圆在有限的射影平面。特别是，我们给出了有史以来第一次建设一个复杂的ETF的76个向量的空间尺寸为19。最近，一种计算机辅助的方法被用来证明这种规模的真正ETF并不存在，解决了该领域长期存在的一个悬而未决的问题。我们的构造是对先前已知的用于从平衡不完全区组设计构造ETF的技术的修改。
2016-06-23 math.CO math.FA
Equiangular tight frames from group divisible designs
等角紧框架（ETF）是实或复希尔伯特空间中的一类最优线填充。在复杂的情况下，在许多情况下，给定规模的ETF的存在仍然是一个悬而未决的问题。在本文中，我们观察到，许多已知的ETF结构是两种类型之一。我们还提供了一种新的方法，结合一个给定的ETF的这两种类型之一，一个适当的组可分设计（GDD），以产生一个更大的ETF的相同类型。通过将该方法应用于已知的ETF和GDD族，我们得到了几个新的无限族的ETF。这些ETF的真实实例对应于几个新的强正则图无限族。我们的方法是由戴维斯和Jedwab，统一和广义McFarland和斯宾塞差集的开创性文件的启发。我们提供了他们的代数结果的组合类似物，统一施泰纳ETF超椭圆ETF和TremainETF。
2018-03-20 math.CO math.FA
Hadamard Equiangular Tight Frames
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中直线的一种最优填充.它们通常表示为短而胖的矩阵的列。在某些应用中，我们希望这个矩阵是平坦的，也就是说，它的所有元素都具有模1的性质。特别是，真正的扁平ETF相当于实现Grey-Rankin界的自互补二进制码。一些扁平ETF是（复杂）Hadamard ETF，这意味着它们是通过从（复杂）Hadamard矩阵中提取行而产生的。这些包括谐波ETF，其通过提取对应于基础有限阿贝尔群中的差集的字符表的行来获得。在本文中，我们给出了一些新的结果，扁平ETF。其中一个结果给出了所有Steiner ETF的显式Naimark补，这反过来意味着所有Kirkman ETF都可能是复杂的Hadamard ETF。这特别产生了一个新的无限家族的真正的平面ETF。另一个结果建立了真正的扁平ETF和某些类型的准对称设计之间的等价性，从而产生了一个新的无限族这样的设计。
2017-03-15 math.CO math.FA
Algorithmic constructions of unitary matrices and tight frames
给出了构造具有特殊性质的酉矩阵和紧框架的一些算法。这些是应Frame Research Center（www.framerc.org）研究人员的要求制作的，以帮助他们研究融合框架、Kadison-Singer问题和等角紧框架。
2011-04-23 math.FA
Equiangular tight frames that contain regular simplices
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中直线的一种最优填充.正则单纯形是一种特殊类型的ETF，其中向量的数量比它们所跨越的空间的维度多一个。在本文中，我们考虑包含一个正则单纯形的ETF，也就是说，具有其向量的子集形成一个正则单纯形的属性。正如我们所解释的，这种ETF的特征在于在压缩感知理论的某个众所周知的界限中实现相等。然后，我们考虑这种ETF的所谓绑定器，即它包含的所有正则单形的集合。我们提供了一个新的算法来计算这个绑定器的产品的ETF的革兰氏矩阵的条目。在某些情况下，我们表明，这种粘合剂可以用来产生一个特别优雅的Naimark补相应的ETF。其他时候，ETF是一个不相交的工会定期单纯形，我们表明，这导致某种类型的最佳包装的子空间被称为一个equichordal紧融合框架。最后，我们考虑这些想法可以应用到许多已知的ETF结构，包括谐波ETF的程度。
2017-11-19 math.CO math.FA
$k$-Homogeneous Equiangular Tight Frames
Colorado State University（科罗拉多州立大学）
本文研究了k-均质等角紧框架的几何和组合特性，分析了其对称群结构，并刻画了所有k-均质ETFs的特征。
2026-09-29 math.CO math.FA
A brief introduction to equi-chordal and equi-isoclinic tight fusion frames
等弦和等等倾紧融合框架（ECTFF和EITFF）是欧几里得空间中子空间的最优填充的两种类型。在这些子空间是一维的特殊情况下，ECTFF和EITFF都对应于被称为等角紧框架的线的最优填充类型。在这篇简短的笔记中，我们回顾了一些关于ECTFF和EITFF的基本思想和结果。
2017-08-29 math.FA
Harmonic equiangular tight frames comprised of regular simplices
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中的单位范数向量序列，其相干性在Welch界中达到相等，从而在射影空间中产生最优填充。正则单纯形是一种简单类型的ETF，其中向量的数量比底层空间的维度多一个。更复杂的例子包括谐波ETF，其等同于有限阿贝尔群中的差集。最近，它表明，一些谐波ETF是由规则的单纯形。在本文中，我们继续对这些特殊的谐波ETF进行研究。我们首先描述ETF的正则单形所跨越的子空间何时形成等等倾紧融合框架（EITFF），这是格拉斯曼空间中的一种最优填充。我们将看到，以这种方式产生EITFF的每个差集也产生一个复循环会议矩阵。接下来，我们考虑这些差集的一个子类，它可以分解为一个较小的差集和一个相对的差集。事实证明，这些相对差异集有助于第二个相关但不同的复杂循环会议矩阵的构建。最后，我们提供了明确的无限家族的ETF，这一理论适用。
2019-10-04 cs.IT math.CO math.FA
New constructions of optimal arrangements of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
The University of Texas Rio Grande Valley（德克萨斯大学里奥格兰德河谷分校）
该研究将Fallon等人的加倍构造推广为张量乘法构造，结合阿达马矩阵与等角紧框架配对，基于素数幂等给出复空间中等角紧框架的新构造，推广了Turyn的会议矩阵构造。
2026-08-18 math.CO math.FA math.MG
Frames over finite fields: Basic theory and equiangular lines in unitary geometry
介绍了有限域上经典几何中框架和等角线的研究。在发展了基本理论之后，我们给出了几个例子，并演示了由模差集以及平移和调制算子产生的等角紧框架（ETF）的有限域模拟。利用后者，我们证明了在域$\mathbb{F}_{3^2}$上的维数为$d = 2^{2l+1}$的每一个酉几何中，Gerzon的界都是存在的.我们还调查复杂的ETF和有限酉几何之间的相互作用，我们表明，每一个复杂的ETF意味着在无限多个有限域上存在相同大小的ETF。
2021-07-14 math.CO math.FA math.MG
From Sidelnikov-Welch bounds to projection constants
Institute of Mathematics University of the National Education Commission（国家教育委员会大学数学研究所）；Faculty of Mathematics and Computer Science Jagiellonian University（雅盖隆大学数学与计算机科学学院）
本文证明了加权Sidelnikov-Welch不等式的递归形式，并应用于最大相对投影常数，得到精确公式及等角/双角紧框架实现。
2026-09-25 math.FA
Frames over finite fields: Equiangular lines in orthogonal geometry
我们研究等角线在有限正交几何，特别是等角紧框架（ETF）的重点。与已知的对应关系之间的真实ETFs和强正则图（SRG），满足一定的参数约束，我们证明了ETFs在有限正交几何密切对齐的模块化推广的SRG。在我们的有限域设置的约束是较弱的，和所有，但~18已知的SRG参数$v \leq 1300$顶点满足至少其中之一。应用我们的结果，三角形图，我们推断，Gerzon的界限是在无限多个维度的有限正交几何。我们还展示了与真实的ETF的连接，并推导出有限正交几何中ETF的必要条件。作为应用，我们证明了在5维的有限正交几何中不能达到Gerzon界。
2021-11-14 math.CO math.FA math.MG
Finite two-distance tight frames
单位向量$S \subset \mathbb{R}^n$的有限集合称为球面二距离集，如果有两个数$a$和$b$使得来自$S$的不同向量的内积是$a$或$b$。证明了若$a\ne -b,$，则构成$\mathbb{R}^n$的紧框架的二距离集是强正则图的球面嵌入，并且每个强正则图通过标准球面嵌入生成二距离紧框架.与S. Waldron在等角情况下（{ \em Linear Alg. Appl.}，第41卷，第100页。2228-2242，2009），这完全表征了两距离紧帧。作为中间结果，我们得到了所有二距离2-设计的分类。
2015-02-25 math.FA
On the paper Optimal dual frames of probabilistic erasures
本文通过反例指出原论文关于1次擦除重构唯一概率最优对偶的条件不充分且证明有误，修正了定理并指出紧框架假设下唯一性推论错误，完善了相关理论刻画。
2025-07-15 math.FA
Robust Dimension Reduction, Fusion Frames, and Grassmannian Packings
我们考虑估计一个随机向量从其噪声投影到低维子空间构成一个融合帧。融合框架是子空间的集合，对于该集合，子空间上的投影算子的和由恒等算子的常数倍数上下限定。我们首先确定在存在白噪声的情况下从其融合帧投影线性估计感兴趣的随机向量的最小均方误差（MSE）。我们表明，MSE假设其最小值时，融合框架是紧的。然后，我们分析了所构造的线性最小均方误差（LMMSE）估计器的融合帧子空间的擦除的鲁棒性。我们证明了紧密的融合框架组成的等维子空间具有最大的鲁棒性（在MSE意义上）相对于一个子空间的擦除，和最佳的子空间维数取决于信噪比（SNR）。我们还证明了紧密的融合框架组成的等维子空间具有相等的成对弦距离是最强大的两个和更多的子空间擦除。我们称这种融合框架为等距紧融合框架，并证明了这种融合框架中子空间的弦距离满足单纯形界，从而建立了等距紧融合框架与最优Grassmannian填充之间的联系.最后给出了几个等距紧融合框架的构造实例。
2007-09-14 math.FA
Doubly transitive equiangular tight frames that contain regular simplices
本文研究双重传递等角紧框架（DTETF）的 binder 结构，证明了其 binder 要么为空要么构成 BIBD，并将该理论应用于辛形式与二次型产生的无限族，统一并推广了已有结果。
2025-07-21 cs.IT math.CO math.FA
Achieving the orthoplex bound and constructing weighted complex projective 2-designs with Singer sets
等角紧框架是希尔伯特空间的格拉斯曼线填充的例子。更具体地说，根据Welch的一个界限，它们是单位范数框架中所有向量对的内积中出现的最大幅度的极小化者。本文致力于包装的制度，其中的框架向量的数量排除了等角框架的存在。正交复合体的界限，然后作为一个替代推断的几何结构的最优设计。我们在$K$维复希尔伯特空间中构造了单位范数向量的框架，使之达到正交复界。当$K-1$是素数幂时，我们得到了一个由$K^2+1$向量构成的紧框架，当$K$是素数幂时，我们得到了一个由$K^2+K-1$向量构成的紧框架.此外，我们表明，这些框架形成加权复杂的射影2-设计，是有用的补充，最大等角紧框架和最大集的相互无偏基地在量子态层析成像。我们的构造是基于Singer差集族和相对差集的相关概念。
2015-09-17 math-ph math.FA math.MP
Optimal Dual Frame Pairs: A Synergy with Graph Theory
本文采用图论方法研究数据传输擦除问题中的对偶框架对优化，给出单次、两次擦除下对偶对最优性条件，证明连通图生成的紧框架及其标准对偶对在单次擦除时最优，并推导了相应误差算子谱半径与最优性必要条件。
2025-07-31 math.FA
More on the optimal arrangement of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
本文提出一类新的 $d\times 2d$ 等角紧框架，并借助 Newton-Kantorovich 定理的计算机辅助验证及数值构造，证明或支持该框架对所有 $d\leq 1500$ 存在的猜想。
2024-10-22 math.CO math.FA math.MG
Optimal line packings from nonabelian groups
我们使用组方案来构造通过原点的线的最优填充。在这种情况下，最佳的线包装自然的特点是使用表示论，这反过来又导致了一个必要的完整性条件的等角中心组框架的存在。我们的结论与一个无限的家庭的最佳线包装使用组计划与某些铃木2-群，具体地说，海森堡群的扩展。值得注意的是，这是第一个已知的无限族等角紧框架所产生的表示非阿贝尔群。
2019-03-20 math.CO math.FA
Designing optimal dual frames for $\ell^p-$average error optimization
本文研究了擦除情况下信号重建的最优对偶框架选择问题，通过误差算子范数评估性能，刻画了最小化 $\ell^p-$平均的对偶框架，并给出了标准对偶唯一最优的条件及不同范数度量下的相互联系。
2025-08-10 math.FA
On the optimal arrangement of $2d$ lines in $\mathbb{C}^d$
本研究证明当阶数为 $d+1$ 的斜 Hadamard 矩阵存在时，$\u2102^d$ 中 $2d$ 条直线的最优相干性满足 Welch 界，通过 Hadamard 加倍变体构造新规模等角紧框架，并给出 $d<150$ 时的对应取值。
2023-12-15 math.CO math.FA math.MG
Incoherent filter banks
Air Force Institute of Technology（空军理工学院）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文刻画了由交叉格兰姆矩阵可交换的等距变换产生的特殊复等斜和等弦紧融合框架，证明滤波器组EITFF等价于等角紧框架直和，ECTFF等价于新提出的分层单位范数紧框架，并给出显式构造。
2026-10-06 math.FA
Robustness to noise and erasures of Gabor frames in finite dimensions
本文研究有限维Gabor框架在噪声与擦除下的鲁棒性，分析框架界对结构及基数的依赖，构造近紧Gabor框架，并证明Alltop窗生成的Gabor框架在擦除率高达50%时具有与最佳确定性构造相当的性能。
2025-09-01 math.FA math.PR
Dimension towers of SICs. I. Aligned SICs and embedded tight frames
代数数论将维度$d>3$中的SIC-POVM与维度$d(d-2)$中的那些联系起来。我们定义维度$d(d-2)$中的SIC与维度$d$中的SIC对齐，当且仅当维度$d$中的重叠相位的正方形以指定方式作为维度$d(d-2)$中的重叠相位的子集出现。我们给出了19个（主要是数字）对齐的SIC的例子。我们猜想，给定任意一个$d$维的SIC，都存在一个$d(d-2)$维的对齐SIC。在我们的所有例子中，排列SIC都嵌入了低维等角紧框架，如果$d$是奇的，使得自然张量积结构存在，我们证明了排列SIC中的各个向量具有非常特殊的纠缠结构，并且嵌入紧框架的存在性是一个定理.如果$d-2$是一个奇素数，我们证明了一套完整的相互无偏基地，可以通过减少对齐SIC到这个维度。
2017-07-31 math.FA quant-ph
Auto-tuning unit norm frames
有限单位范数紧框架提供了向量的Parseval样分解，表示相等权重的冗余分量。已知它们对加性噪声和擦除异常鲁棒，因此，作为编码方案具有很大的潜力。不幸的是，到目前为止，这些框架已经证明是非常难以构建的。事实上，虽然所有单位范数紧框架，模旋转的集合，已知包含非平凡维流形，我们只有一个小的有限数量的已知结构的这种框架。本文提出了一种新的迭代算法-框架势梯度下降法-用于提高有限单位模框架的紧度。算法本身实现起来很简单，并且它保留了初始帧中存在的某些组结构。在特殊的情况下，框架元素的数量是互素的基本空间的维度，我们表明，该算法收敛到一个单位范数紧帧的线性速率，提供的初始单位范数帧已经足够接近被紧。通过稍微修改这个方法，我们在非相对素的情况下得到了一个类似的，但更弱的结果，为Paulsen问题提供了一个明确的答案：“一个几乎紧且几乎单位范数的框架离某个单位范数紧框架有多近？"
2010-09-28 math.FA
Tight Frames, Hadamard Matrices and Zauner's Conjecture
我们表明，自然地与d维的SIC（对称信息完全正算子值测度或SIC-POVM）相关，存在许多更高维度的结构：特别是d维平方的投影仪和复Hadamard矩阵以及一对ETF（等角紧框架）d（d-1）/2，d（d+1）/2维度。我们还表明，一个WH（Weyl海森堡协变）SIC在奇数维d是自然地关联到一对对称紧融合框架在d维。我们推导了WH SIC存在性问题的两个松弛形式。我们还发现了一个重新制定的问题，其中方程的数量少于变量的数量。最后，我们表明，在至少四种情况下，与SIC谎言的连续流形上的结构，这样的结构。在其中两种情况下，流形是非线性的。限制缺陷计算与这对于与d在3和16之间的每个已知SIC相关联的结构是真实的一致的，这表明它可能对于所有大于2的d都是真实的。
2019-08-20 math.FA quant-ph
Grassmannian codes from paired difference sets
等角紧框架（ETF）是希尔伯特空间中的向量序列，其在Welch界中实现相等，因此具有最小相干性。更一般地，等弦紧融合框架（ECTFF）是希尔伯特空间的等维子空间序列，其在Conway，Hardin和Sloane的单纯形界中实现相等。每个ECTFF都是一类最优格拉斯曼码，即希尔伯特空间的等维子空间的最优填充。我们通过利用已知ETF之间的新关系来构建ECTFF。调和ETF等同于有限阿贝尔群的差集。我们说这样一个群的一个差集与它的庞特里亚金对偶的一个差集“配对”，当它的调和ETF的相应子序列恰好是它的跨度的ETF时。我们表明，每个这样的对产生一个ECTFF。利用二元域上的二次型构造了一个成对差集的无限族。这一起产生两个无限族的真实ECTFF。
2021-05-09 math.CO math.FA
Grassmannian Frames with Applications to Coding and Communication
对于固定冗余的均匀帧的给定类${\cal F}$，我们将格拉斯曼帧定义为使所有帧$\{f_k\}_{k \in {\cal I}} \in {\cal F}$之间的最大相关性$|< f_k,f_l >|$最小化的帧。我们首先分析有限维格拉斯曼框架。使用链接包装在格拉斯曼空间和对跖球码，我们得出的最小可实现的相关格拉斯曼框架的界限。这些界限产生一个简单的条件下，格拉斯曼框架一致紧框架。我们利用连接到图论，等角线集，和编码理论，以获得明确的建设格拉斯曼框架。我们的研究结果推广了最近一致紧框架的结果。然后，我们引入无限维格拉斯曼框架，并分析它们的连接到一致紧框架的框架产生的群似酉系统。我们得到一个例子的Grassmannian Gabor框架使用连接到球包装理论。最后讨论了格拉斯曼帧在无线通信和多描述编码中的应用。
2003-01-13 cs.IT math.FA math.IT
Low coherence unit norm tight frames
等角紧帧（ETF）由于其对噪声和传输损耗的鲁棒性，在信号处理和编码理论中得到了重要的应用。ETF的特征在于任何两个不同向量之间的相干性等于Welch界。这保证了向量对之间的最大相干性被最小化。尽管其有用性和广泛的应用，给定大小的$N$的ETF仅保证存在于$\mathbb{R}^{d}$或$\mathbb{C}^{d}$中，如果$N = d + 1$。这导致在$\mathbb{R}^{d}$或$\mathbb{C}^{d}$中找到$N$向量的ETF的近似的问题，其中$N > d+1.$更精确地说，希望构造单位范数紧框架（UNTF），使得该框架的不同向量之间的最大相干性尽可能接近Welch界限。在本文中，低相干UNTF在$\mathbb{R}^d$中被构造通过添加一个战略选择的一组向量称为“最佳”设置到现有的ETF的$d+1$向量。为了做到这一点，使用称为区组设计的组合对象。提供了关于这一低一致性联合国工作队的不同矢量之间的最大一致性的估计。它示出，对于某些块设计，所构造的UNTF达到最小可能的最大相干性之间的所有UNTF包含的起始ETF的$d+1$向量的向量对。这是特别可取的，如果不存在一个集的相同大小的韦尔奇界达到。
2018-04-08 cs.IT math.FA math.IT
On the rigidity of geometric and spectral properties of Grassmannian frames
我们研究了格拉斯曼框架的刚性性质：对应于最优格拉斯曼线填充的单位向量的类基集合。众所周知，以Welch界为特征的格拉斯曼框架必须满足等角和紧的限制性几何和谱条件;然而，对其他类型的格拉斯曼框架的必要性质知之甚少。我们研究了正交格拉斯曼框架的显式低维例子，并得出结论，在一般情况下，格拉斯曼框架存在的必要条件可以少得多的限制。特别地，我们在$\mathbb C^2$中展示了一对$5$ -元素格拉斯曼框架，它们表现出不同大小的角集和不同的重构性质（即，其中只有一个是紧框架）。这说明了线填充问题的复杂性，因为存在一种解决方案可能与不同几何和光谱特征的另一种解决方案共存的情况。然而，我们发现，这些“双胞胎”的情况下仍然尊重一定的刚性，因为有一个必要的权衡之间的紧密性属性和基数的角度集。证明这一点取决于观察到的痕迹嵌入的康威，哈丁和斯隆发送向量的单位范数，紧框架的零和集上的一个更高的维度领域。此外，我们回顾了一些已知的界限表征最佳线包装$\mathbb C^2$，并讨论了格拉斯曼框架实现它们的几个例子。
2017-02-18 math-ph math.FA math.MP
