发表机构
Institute of Mathematics University of the National Education Commission; Faculty of Mathematics and Computer Science Jagiellonian University（国家教育委员会大学数学研究所; 雅盖隆大学数学与计算机科学学院）
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本文证明了加权Sidelnikov-Welch不等式的递归形式，并应用于最大相对投影常数，得到精确公式及等角/双角紧框架实现。
AI 中文摘要
本文证明了实和复单位向量的加权Sidelnikov-Welch不等式的递归形式。与经典形式直接给出固定偶次幂和的直接下界不同，我们的不等式关联两个连续的偶次幂和。迭代可得到通常的加权Sidelnikov-Welch界。我们将此估计应用于最大相对投影常数。若$\mathbb{K}^m$允许一个具有$M_{\mathbb K}$个向量的最大等角紧框架，则对每个整数$k\geq1$，有$$ \lambda_{\mathbb K}(kM_{\mathbb K}-m,kM_{\mathbb K}) = \lambda_{\mathbb K}(m)-\frac{2m}{kM_{\mathbb K}}+1. $$ 此外，当$k=1$时，最大值由等角紧框架实现；当$k\geq2$时，由双角紧框架实现。
英文摘要
In the paper, we prove a recursive version of the weighted Sidelnikov-Welch inequality for real and complex unit vectors. Unlike the classical form, which gives a direct lower bound for a fixed even power sum, our inequality relates two consecutive even power sums. Iteration yields the usual weighted Sidelnikov-Welch bound. We apply this estimate to maximal relative projection constants. If $\mathbb{K}^m$ admits a maximal equiangular tight frame with $M_{\mathbb K}$ vectors, then for every integer $k\geq1$, $$ λ_{\mathbb K}(kM_{\mathbb K}-m,kM_{\mathbb K}) = λ_{\mathbb K}(m)-\frac{2m}{kM_{\mathbb K}}+1. $$ Moreover, the maximal value is realized by an equiangular tight frame when $k=1$ and by a biangular tight frame when $k\geq2$.
