Reverse degree distance of unicyclic graphs
Zhibin Du, Bo Zhou
反向度距离是与数学化学中提出的度距离密切相关的一个连通图不变量。我们确定了具有最大反向度距离的给定围长、悬挂顶点数和最大度的单圈图。
The reverse degree distance is a connected graph invariant closely related to the degree distance proposed in mathematical chemistry. We determine the unicyclic graphs of given girth, number of pendant vertices and maximum degree, respectively, with maximum reverse degree distances.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sum-connectivity indices of trees and unicyclic graphs of fixed maximum degree
在给定顶点数和最大度的条件下，分别得到了树集和单圈图集中图的最大和连通度指数，并确定了相应的极图.此外，我们还推导出了$n\ge 4$的具有前两个最大和连通度的n-顶点单圈图。
Degree-similar Unicyclic Graphs are Isomorphic
研究是否存在非同构的度相似单圈图，通过符号叶剥离算法和彩色圈刚性引理证明不存在，与单圈图度相似的图必同构。
On minimizing the Wiener index of unicyclic graphs with fixed girth and given degree sequence
针对固定围长与给定度序列的单圈图，研究依据质心位置提出三类 Wiener 指数最小化候选结构。
Maximizing Kirchhoff index of unicyclic graphs with fixed maximum degree
一个连通图的Kirchhoff指标是图中所有无序顶点对之间的电阻距离之和。它在各个领域都有相当多的应用。本文确定了顶点数和度均为最大的单圈图中Kirchhoff指标的最大值，并刻画了相应的极图。
The Sombor index of trees and unicyclic graphs with given maximum degree
设$d_G(v)$是图$G$中顶点$v$的度。$G$的Sombor指数被定义为$SO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d^2_G(u)+d^2_G(v)}$，它是Gutman提出的一种新的基于度的拓扑指数.设$\mathscr{T}_{n,Δ}$和$\mathscr{U}_{n,Δ}$分别是具有$n$顶点和最大度$Δ$的树和单圈图的集合。本文刻画了$\mathscr{T}_{n,Δ}$和$\mathscr{U}_{n,Δ}$中Sombor指数最小的树和单圈图。
Maximum reciprocal degree resistance distance index of unicyclic graphs
连通图$G$的反度数电阻距离指标定义为$RDR(G)=\sum\limits_{\{u,v\}\subseteq V(G)}\frac {d_G(u)+d_G(v)}{r_G(u,v)}$，其中$r_G(u,v)$是$G$中顶点$u$和$v$之间的电阻距离.设$\mathscr {U}_n$表示顶点为$n$的单圈图的集合。研究了$\mathscr {U}_n$中具有最大反度阻力距离指标的图，并刻画了相应的极图。
General sum-connectivity index of trees and unicyclic graphs with fixed maximum degree
图$G$的一般和连通度指标定义为$χ_α(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)} {(d(u)+d(v))^α}$，其中$d(v)$表示$G$中顶点$v$的度，$α$为实数.本文分别推导了$-1.7036\leq α<0$的$n$ -顶点树和$-1\le α<0$的$n$-顶点单圈图的广义和连通度指数的最大值，并给出了最大度$\triangle $固定的条件.刻画了$n\ge 4$的相应的极图以及具有第二大广义和连通度的$n$ -顶点单圈图.这推广了Du，Zhou和Trinajstic [arXiv：1210.5043]关于和-连通性指数的相应结果.
On the minimal energy of conjugated unicyclic graphs with maximum degree at most 3
图$G$的能量，记为$E(G)$，定义为$G$的所有特征值的绝对值之和。设$n$是偶数，$\mathbb{U}_{n}$是所有阶为$n$且最大度至多为$3$的共轭单圈图的集合.设$S_n^{\frac{n}{2}}$是通过将悬垂边附加到圈$C_{\frac{n}{2}}$的每个顶点而获得的径向烯图。在[Y. Cao等人，关于具有Kekulé结构的单圈Hückel分子图的最小能量，离散应用数学157（5）（2009），913- 919]，Cao等人证明了如果$n\geq 8$，$S_n^{\frac{n}{2}}\ncong G\in \mathbb{U}_{n}$和$G$的围长不能被$4$整除，则$E(G)>E(S_n^{\frac{n}{2}})$。设$A_n$是单圈图，它是通过在路径$P_{\frac{n}{2}-1}$的两个叶顶点之一上附加一个$4$ -圈，并在路径$P_{\frac{n}{2}-1}$的每一个叶顶点上附加一条悬挂边而得到的.本文证明了$A_n$是$\mathbb{U}_{n}$中唯一具有最小能量的单圈图。
Burning numbers of t-unicyclic graphs
给定一个图$G$，$G$的燃烧数是最小整数$k$，对于该整数，存在顶点$x_1, x_2,\ldots,x_k$使得$(x_1,x_2,\ldots,x_k)$是$G$的燃烧序列。已经证明，图燃烧问题是NP完全的，即使是最大度为3的树或线性森林。一个$t$ -单圈图是一个只有一个顶点的度大于$2$的单圈图。本文首先给出了$t$ -单圈图的燃烧数的界，然后利用至多有三个分支的线性森林的燃烧数来确定$t\le 2$的所有$t$ -单圈图的燃烧数。
Faber-Krahn type inequality for unicyclic graphs
Faber-Krahn不等式证明了在$\mathbb{R}^n$中所有具有固定体积的有界区域中，球具有最小的第一Dirichlet特征值。本文研究了单圈图的相似不等式。结果表明，对于具有给定图单圈度序列的单圈图，Faber-Krahn型不等式也成立。
The Sombor index of trees and unicyclic graphs with given matching number
2021年，Gutman引入了Sombor指数，这是一种新的基于度的拓扑分子描述符。图$G$的Sombor指数定义为$SO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d^2_G(u)+d^2_G(v)}$，其中$d_G(v)$是$G$中顶点$v$的度。设$\mathscr{T}_{n,m}$和$\mathscr{U}_{n,m}$分别是具有固定匹配数$m$的$n$顶点上的树和单圈图的集合。本文在$\mathscr{T}_{n,m}$和$\mathscr{U}_{n,m}$中分别确定了具有最大Sombor指标的树和单圈图。
Upper and lower bounds for topological indices on unicyclic graphs
本文的目的是得到一个仅限于单圈图的拓扑指数大家族的新的不等式，并刻画关于它们的极值单圈图的集合。该族包括可变第一Zagreb指数、可变和exdeg指数、乘法第二Zagreb指数和Narumi-Katayama指数。我们的主要结果提供了上界和下界，这些拓扑指数的单圈图，固定或不固定的最大程度或悬垂顶点的数量。
2-switch transition on unicyclic graphs and pseudoforest
在目前的工作中，我们证明了，任何两个单圈图（pseudoforests），共享相同的度序列有一个有限序列的2开关转换成其他的，使所有的序列中的图也是单圈图（pseudoforests）。
On the Zagreb indices of the line graph and line cut-vertex graph of subdivision of unicyclic graphs
本文借助细分概念，研究环-星图这类单圈图的线图及线割点图的Zagreb指数与余指数。
Unicyclic graphs and the inertia of the distance squared matrix
Bapat和Sivasubramanian的结果给出了树的距离平方矩阵的惯性。我们开发的一般工具如何悬垂顶点和度2顶点影响距离平方矩阵的惯性，并使用这些给这个结果的另一种证明。我们进一步使用这些工具来扩展这一结果的某些家庭的单圈图，我们探讨这些结果可以扩展到多远。
Further results on the expected hitting time, the cover cost and the related invariants of graphs
图上简单随机游动的首中时与单圈图的Kirchhoff指标、阻力中心性及相关不变量之间存在密切关系。结合图变换等技术，给出了覆盖代价的精确上、下界。反向覆盖成本）的$n$ -顶点单圈图中的顶点。所有相应的极值图，分别确定。
The core index of a graph
对于图$G,$，我们用$F(G)$表示$G,$的连通子图的数目。对于树$T$，$F(T)$已经被广泛研究，并且已经观察到$F(T)$与$T$的Wiener指数具有反向相关性。在此基础上，我们将$F(G),$称为$G$的核心索引。本文刻画了$n$顶点上所有连通分支为$k\geq 0$的图中使核指数极值化的图.我们将核心指数的研究扩展到单圈图和具有固定悬挂顶点数的连通图。我们得到了在所有单圈图的$n$顶点上使核指数极值化的单圈图。在所有具有固定围长的单圈图中，得到了使核指数极值化的图。在所有悬挂顶点数固定的$n$顶点上的连通图中，刻画了使核心指数最小化的图和使核心指数最大化的图.
The minimum number of maximal dissociation sets in unicyclic graphs
本文证明单圈图中极大析出集的最小数目为$\lfloor n/2\rfloor+2$，并刻画达到该下界的图类。
Ordering Unicyclic Graphs with Respect to F-index
图的F-指数是图中顶点的度的立方之和。通过引入一些变换，研究了单圈图的F-指标，并分别刻画了F-指标最大的前5个单圈图和F-指标最小的前2个单圈图.
Degree similar and net-degree similar signed graphs
该研究将度相似概念扩展至符号图，证明符号树由度相似类唯一确定但不由净度相似类确定，构造了（净）度相似符号图，解决了Godsil和Sun关于单圈图问题的净度版本。
Maximum zeroth-order general Randić index of orientations of trees, unicyclic and bicyclic graphs with given matching number
有向图$D$的零阶广义Randic指数$R^{0}_{a}$是$D$的所有弧$vw$上的$(d^{+}_{v})^{a}+(d^{-}_{w})^{a}$的和，其中$a$、$d^{+}_{v}$和$d^{-}_{w}$分别是任意实数，顶点$v$的出度和顶点$w$的入度。本文利用匹配数和阶确定了定向树、单圈图和双圈图的最大零阶广义Randić指数。
Maximum first Zagreb index of orientations of unicyclic graphs with given matching number
设$D=(V,A)$是一个无孤立点的有向图.有向图$D$的第一Zagreb指标定义为所有弧之和$M_1(D)=\frac{1}{2}\sum\limits_{uv\in A}(d^{+}_{u}+d^{-}_v)$，其中$d^{+}_u$（分别为. $d^{-}_u$）表示出度（或在度）的顶点$u$。本文给出了具有$n$顶点和匹配数为$m$ $(2\leq m\leq \lfloor \frac{n}{2}\rfloor)$的单圈图的所有方向集上的第一Zagreb指标的最大值和极大有向图.
Forcibly unicyclic and bicyclic graphic sequences
本文研究图序列的强性质，旨在刻画强单圈和强双圈图序列，即所有具有该度序列的图均为连通且边数分别为 n 或 n+1 的图。
Extremal problems on Sombor indices of unicyclic graphs with a given diameter
Sombor指数是由Gutman提出的一种新的拓扑指数，它定义了图$G$为$SO(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}\sqrt{d_{u}^{2}+d_{v}^{2}}$，其中$d_{u}=d_{G}(u)$表示图$G$中顶点$u$的度.对于给定直径的树，Chen等[H.陈威李军，王建，树的Sombor指数的极值，MATCH Commun。数学。计算。87（2022）23- 49]和Li等人[S. Li，Z. Wang，M. Zhang，关于给定直径树的极值Sombor指数，应用数学计算。416（2022）126731]。作为上述结果的推广，我们确定了具有固定阶和给定直径的单圈图的最大Sombor指数。
Laplacian coefficients of unicyclic graphs with the number of leaves and girth
设$G$是$n$阶图，$\mathcal{L}(G,λ)=\sum_{k=0}^n (-1)^{k}c_{k}(G)λ^{n-k}$是其Laplacian矩阵的特征多项式.由Ilić和Ilić猜想[A. Ilić，M. Ilić，Laplacian coefficients of trees with given number of leaves or vertices of degree two，线性代数及其应用431（2009）2195-2202.]本文研究了所有叶数为$l$的$n$ -顶点单圈图的集合$\mathcal{U}_{n,l}$中所有Laplacian系数最小的极图，其中$\mathcal{U}_{n,l}^g$表示叶数为$l$且围长为$g$的$n$ -顶点单圈图的集合$(\mathcal{U}_{n,l}^g, \preceq)$中极小元的性质。这些结果被用来反驳他们的猜想。此外，还研究了$\mathcal{U}_{n,l}^g$中具有最小类拉普拉斯能量的图。
Improved Lower Bounds on the General Reduced Second Zagreb Index of Trees and Unicyclic Graphs
针对树和单圈图，在λ≥-1/2条件下，建立了关于一般约化第二Zagreb指数GRM_λ的锐利下界，并刻画了达到下界的极图，改进了已有结果。
Maximum Inverse Sum Indeg Index of Trees and Unicyclic Graphs with Fixed Diameter
本文研究了具有固定直径的树和单环图的最大逆向和入度指数，通过图变换方法确定了极值图结构。
Unicyclic Strong Permutations
本文研究了$\mathbb{F}_{2}^{n}$上的某类置换$σ$的一些性质，其中$n$为正整数. $σ$的理想性质是：（1）每个分量函数的代数次数是$n-1$ ;（2）置换是单循环的;（3）每个分量的代数范式的项数至少是$2^{n-1}$。我们把同时满足这三个性质的置换称为单圈强置换。我们证明了我们的置换$σ$总是有高代数次数，并且每个分量函数的平均项数趋于$2^{n-1}$。我们还给出了$σ$的圈结构的一个条件。我们凭经验观察到，即使对于$n$，我们的构造也不提供单环排列。对于$n$奇数，$n \leq 11$，我们进行了详尽的搜索所有$σ$给出我们的建设的具体例子的单循环强置换。我们还提出了一些经验结果的差异表和线性逼近表的$σ$。
On the maximum $A_α$-spectral radius of unicyclic and bicyclic graphs with fixed girth or fixed number of pendant vertices
本文研究了单圈图和双圈图的 $A_α$-谱半径极值问题，分别刻画了在固定围长和固定悬挂点数条件下具有最大 $A_α$-谱半径的图。
Discrete Einstein metrics on unicyclic graphs
研究单圈图上离散爱因斯坦度量，将有限树相关理论扩展至此。确定树状情形持续条件及范围，超出范围问题呈分段线性，有新现象。证明正则太阳图的爱因斯坦度量存在且唯一。
On the $α$-spectral radius of graphs
对于$0\le α\le 1$，Nikiforov提出研究图$G$的矩阵族$A_α(G)=αD(G)+(1-α)A(G)$的谱性质，其中$D(G)$是度对角矩阵，$A(G)$是邻接矩阵。$G$的$α$ -谱半径是$A_α(G)$的最大本征值。本文分别给出了单圈图$G$的最大度$Δ\ge 2$、连通非正则图的最大度和其它图参数以及控制数给定的图的$α$ -谱半径的上界.我们确定了树中具有第二大$α$ -谱半径的唯一树，以及给定直径的树中具有最大$α$ -谱半径的唯一树。对于在一个顶点或两个相邻顶点上有两条悬挂路的图，证明了悬挂路上悬挂边重定位时$α$ -谱半径的性质，并分别在树、单圈图和非二部图中确定了使最大度与$α$ -谱半径之差最大的唯一图.
On the Augmented Sombor Index of Graphs
本文研究了图的增强索博尔指数，证明了在单环图中最大度数的图最大化该指数，并利用边删除性质表征了具有指定连通性的图的最大指数图。
Extremality of graph entropy based on Laplacian degrees of k-uniform hypergraphs
图熵描述了图的结构信息。受一般图的图熵定义的启发，定义了基于拉普拉斯度的超图的图熵。将关于单图的图熵的一些结果推广到k-一致超图。利用边移动操作，分别确定了k-一致超树、单圈k-一致超图、双圈k-一致超图和k-一致化学超树中基于Laplacian度的最大和最小图熵，并确定了相应的极图.
Extremal Graph Theory for Degree Sequences
本文综述了由具有相同图度序列的简单连通图组成的图集的极值问题的一些最新结果和进展。特别地，我们研究和刻画了在给定的具有相同树、单圈、图的度序列的集合中，具有最大（或最小）图不变量（Laplacian、p-Laplacian、无符号Laplacian）的谱半径、第一Dirichlet特征值、Wiener指标、Harary指标、子树数和色数等的极图.此外，还包括一些插图。
Wiener index of unicycle graphs with given number of even degree vertices
一个连通图的Wiener指数是所有不同顶点对的距离之和。它是由维纳在1947年引入的，通过拟合烷烃化合物的几种性质的实验数据来分析支化的某些方面。用$\mathcal{U}_{n,r}$表示具有$n$顶点和$r$偶数度顶点的单圈图的集合。本文给出了$\mathcal{U}_{n,r}$中具有最小Wiener指标的图的一个结构性结果，并对当$ r\leq \frac{n+3}{2}$ .
Extremal graphs for vertex-degree-based invariants with given degree sequences
对于对称二元函数$f(x,y)$，设连通图$G$的{ \it连通度函数}为$M_f(G)=\sum_{uv\in E(G)}f(d(u),d(v))$，其中$d(u)$为顶点$u$的度.本文证明了对于一个递增（递减）函数$f(x,y)$，在所有具有$c-$循环度序列$π=(d_1,d_2, \ldots, d_n)$和$d_n=1$的图中，存在一个具有最大（最小）连通度函数$M_f(G)$的BFS-图，并得到了单循环和双循环度序列的连通度函数的优化定理.此外，还介绍了基于度的图不变量的一些应用。
On graphs with three or four distinct normalized Laplacian eigenvalues
在本文中，我们刻画了所有连通图正好有三个不同的归一化拉普拉斯特征值，其中一个等于$1$，确定所有连通二部图的度$1$至少有一个顶点正好有四个不同的归一化拉普拉斯特征值，并找到所有单圈图的三个或四个不同的归一化拉普拉斯特征值。
Extremal graphs for average size of maximal matchings in bicyclic graphs
本文研究双环图中最大匹配平均大小的极值问题，确定了连通双环图中该参数的最小值，并证明了特定结构的图达到下限。
Extremal trees, unicyclic and bicyclic graphs with respect to $p$-Sombor spectral radii
本文定义了图的 $p$-Sombor 矩阵及其谱半径，完全刻画了具有前三大 $p$-Sombor 谱半径的极值树、单圈和双圈图，部分回答了 Liu 等人提出的相关问题。
The $A_α$-spectral radius of graphs with given degree sequence
设$G$是具有邻接矩阵$A(G)$的图，$D(G)$是$G$的度的对角矩阵.本文给出了关于$α\in[0,1]$的谱半径$$A_α(G)=αD(G)+(1-α)A(G).$$的一些极值结果，推广了以前关于$ρ(A_0(G))$和$ρ(A_{\frac{1}{2}}(G))$的结果。本文给出了具有$α\in [0,1)$的$A_α$ -矩阵的图扰动的一些结果。作为应用，我们首先刻画了所有具有给定度序列的树的集合中具有最大$A_α$ -谱半径的极值树。此外，我们还刻画了对于给定的单圈度序列，具有最大$A_α$ -谱半径的单圈图。
Note on Sombor index of connected graphs with given degree sequence
对于简单连通图$G=(V,E)$，设$d(u)$是$G$的顶点$u$的度。$G$的一般Sombor指数被定义为$$SO_α(G)=\sum_{uv\in E} \left[d(u)^2+d(v)^2\right]^α$$，其中$SO(G)=SO_{0.5}(G)$是最近发明的Sombor指数。本文证明了在具有固定度序列的连通图类中（最小度为1），存在一个特殊的极$BFS$ -图，其广义Sombor指数最小（分别为$0<α<1$和$0<α<1$）. $α>1$或$α<0$的最大通用Sombor指数）。此外，对于任意给定的树、单圈和双圈度序列，最小度为1，存在唯一的极值$BFS$ -图，其中$0<α<1$的广义Sombor指数最小，$α>1$或$α<0$的广义Sombor指数最大.
The maximum degree resistance distance of cacti
基于图的顶点之间的距离的各种拓扑指数在理论化学中被广泛使用。图$G$的度电阻距离被定义为${D_R}(G) = \sum\limits_{\{u,v\} \subseteq V(G)} {[d(u) + d(v)]R(u,v)},$，其中$d(u)$是顶点$u,$的度，$R(u, v)$是顶点$u$和$v.$之间的电阻距离。如果$G$的每个块是边或圈，则图$G$被称为仙人掌。本文完全刻划了具有$n$顶点和$t$圈的仙人掌中具有最大度阻力距离的极值仙人掌，推广了最近的文献[J. Tu，J. Du，G. Su，具有最大度阻力距离的单圈图，应用数学计算。268（2015）859-864]。
Mathematical and chemistry properties of geometry-based invariants
本文研究Gutman提出的基于几何的不变量的数学性质，确定了多类图关于第一Sombor指数的极值结构，并验证其可用于烷烃热力学性质建模，预测效果良好。
Extremality of graph entropy based on degrees of uniform hypergraphs with few edges
设$\mathcal{H}$是一个顶点数为$n$的超图.假设$d_1,d_2,\ldots,d_n$是$\mathcal{H}$的顶点的度数。基于$\mathcal{H}$的度的第$t$图熵被定义为$$ I_d^t(\mathcal{H}) =-\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d_i^{t}}{\sum_{j=1}^{n}d_j^{t}}\log\frac{d_i^{t}}{\sum_{j=1}^{n}d_j^{t}}\right) =\log\left(\sum_{i=1}^{n}d_i^{t}\right)-\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{d_i^{t}}{\sum_{j=1}^{n}d_j^{t}}\log d_i^{t}\right), $$，其中$t$是实数，并且对数以2为底。当$\mathcal{H}$分别在所有一致超树、单圈一致超图和双圈一致超图中时，本文给出了$t=1$的$I_d^t(\mathcal{H})$的上界和下界.
The maximum number of maximum dissociation sets in potted graphs
本文研究盆栽图中最大 dissociation 集的最大数量，确定含固定圈的 n 阶盆栽图的最大值并刻画极值图。
On the Extremal Graphs with Respect to Bond Incident Degree Indices
许多现有的基于度的拓扑指数可以被分类为键关联度（BID）指数，其一般形式是$BID(G)=\sum_{uv\in E(G)}$ $Ψ(d_{u},d_{v})$，其中$uv$是连接图$G$的顶点$u,v$的边，$E(G)$是$G$的边集，$d_{u}$是顶点$u$的度，并且$Ψ$是$d_{u}$和$d_{v}$的非负实值（对称）函数。这里，它已被证明，如果$Ψ$的扩展到区间$[0,\infty)$满足一定的条件，那么极值$(n,m)$ -图的BID指数（对应于$Ψ$）必须包含至少一个顶点度$n-1$。证明了这些条件对于一般的和连通性指数（其特殊情况是：第一Zagreb指数和Hyper Zagreb指数）、一般的Platt指数（其特殊情况是：第一重新表述的Zagreb指数和Platt指数）和可变的和exdeg指数都是满足的。应用上述结果，在树图、单圈图、双环图、三环图和四环图中刻画了具有上述BID指标最大值的图。其中一些结果是新的和已经存在的结果证明在一个更短和更统一的方式。
The 2-switch-degree of a graph
本文研究了图的2次度数，探讨了其计算方法及在树和单环图中的行为特性。
Reverse Degree-Based Topological Indices and QSPR Analysis of Cancer Drugs
本文计算了阿扎胞苷、地西他滨和瓜地西他滨三种癌症药物的基于反向度数的拓扑指数，并通过QSPR分析证明这些指数与药物物理性质高度相关，为无需实验预测癌症药物性质提供了理论依据。
$A_α$-spectrum of a graph obtained by copies of a rooted graph and applications
给定一个$r$顶点上的连通图$R$和一个有根图$H,$，设$R\{H\}$是由$H$的$r$拷贝和图$R$通过用$R$的$i-th$顶点标识$H$的$i-th$拷贝的根而得到的图。令$0\leqα\leq1,$和令\[ A_α(G)=αD(G)+(1-α)A(G) \]，其中$D(G)$和$A(G)$分别是$G$的顶点度的对角矩阵和$G$的邻接矩阵。得到了$R\{H\}$的$A_α-$谱的基本结果。证明了若$H=B_{k}$是$k$层上的广义Bethe树，则$A_α(R\{B_{k}\})$的特征值是阶数不超过$k$的对称三对角矩阵的特征值，并确定了每个特征值的重数.最后，应用到一个单圈图，包括$α-$谱半径的最大顶点度和最大高度的树，通过删除图中的唯一圈的边缘的一个上限。
Nordhaus-Gaddum inequalities for the number of connected induced subgraphs in graphs
设$η(G)$是图$G$中连通诱导子图的个数，$\overline{G}$是$G$的补图.证明了在所有$n$ -顶点图中，$η(G)+η(\overline{G})$是最小的当且仅当$G$在四个顶点上没有诱导路.由于具有最大度$n-1$的$n$ -顶点星$S_n$是直径为$2$的唯一树，所以$η(S_n)+η(\overline{S_n})$是所有$n$ -顶点树中的最小值，而最大值仅由度序列为$(\lceil n/2\rceil,\lfloor n/2\rfloor,1,\dots,1)$的树实现.进一步证明了每一个$n\geq 5$阶且具有最大值$η(G)+η(\overline{G})$的图$G$的直径至多为$3$，无割点，且$\overline{G}$也是连通的.在树和图具有相同的顺序的情况下，我们发现，如果$η(G)$是最大的，那么$η(G)+η(\overline{G})$是最小的。作为我们的结果的推论，我们证明了唯一的连通图$G$的阶数和度$1$的顶点数，以及唯一的单圈（连通且只有一个圈）图$G$的阶数最小化$η(G)+η(\overline{G})$。
First Order Logic of Sparse Graphs with Given Degree Sequences
本文研究给定度序列随机图中一阶逻辑性质的极限概率，证明其闭包集为有限闭区间并，刻画闭包为[0,1]的条件，并修正Lynch的证明。
The reverse mathematics of Brooks' theorem
本文从反数学角度研究布罗克斯定理的可证明性，发现其在不同图类上的不同反数学强度
On Hyperbolic Sombor index of graphs
本文纠正了Hyperbolic Sombor指标的先前错误，为树、单圈图和双圈图建立了新结果，推导了关于边数和度数的上下界并刻画了极值图。
Degree-similar graphs and cospectral graphs
本文研究度相似图与同谱图，利用度划分给出新刻画和构造方法，构造无穷多对反例否定相关问题，并建立不变量、证明强正则图删边后的 $μ$-多项式相同。
On Pure Degree Sequence Manipulations Forcing Long Cycles in Graphs
本文提出两类新的纯度数操作，简化了哈密顿充分条件的验证，并给出长圈版本，为图的推广和新思想提供起点。
ChemicHull: an online tool for determining extremal chemical graphs of maximum degree at most 3 for any degree-based topological indices
ChemicHull是一种在线工具，用于确定任意度数基于拓扑指数的极值化学图，通过线性优化在多面体框架内分析化学图的极值特性。
Invitation to the subpath number
本文定义并研究了图的子路径数，给出了树、单圈图和圈链的显式公式，证明了连通图和二部图中的极值情况，并指出其在化学中的潜在应用。
Embeddability of graphs and Weihrauch degrees
本文利用有效Wadge可归约性与Weihrauch可归约性，研究固定可数图G的（导出）子图同构判定与查找任务的计算复杂性，并回答了BeMent等人提出的若干公开问题。
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