动力学理论和Kac主方程
Kinetic Theory and the Kac Master Equation
摘要：
本文综述了Kac主方程及其低维对应方程Kac方程的研究进展。
英文摘要：
This article reviews recent work on the Kac master equation and its low dimensional counterpart, the Kac equation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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恒温Kac主方程的混沌传播
Propagation of chaos for the thermostatted Kac master equation
Kac模型是$N$ -粒子系统的简化模型，其中通过粒子速度对的随机跳跃来模拟真实粒子系统的碰撞。卡茨证明了该模型的混沌传播，从而提供了相应的玻尔兹曼方程的严格验证。从相同的模型开始，我们考虑一个$N$粒子系统，其中粒子在跳跃之间被一个恒定的均匀力场加速，该力场保持系统的总能量。我们展示了这个模型的混沌传播。
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Kac主方程谱隙的确定及其随机演化
Determination of the Spectral Gap for Kac's Master Equation and Related Stochastic Evolutions
我们提出了一种方法的绑定，并在某些情况下计算，频谱间隙的系统的许多粒子的随机碰撞机制的影响下发展。特别是，该方法产生精确的光谱间隙的模型，由于马克卡茨的能量守恒碰撞一维速度。它也是足够强大的，以提供定性的尖锐的界限，也在物理上更现实的动量和能量守恒碰撞的情况下，在三维，以及一系列相关的模型。
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关于Kac主方程熵产生的Villani猜想
On Villani's Conjecture Concerning Entropy Production for the Kac Master Equation
在本文中，我们采取了一个想法，在最近的论文中提出的Carlen，Carvalho，Le Roux，Loss和Villani，并将其向前推进一步，找到一个准确的估计熵产生。新的估计基本上证明了Villani猜想是正确的，或者更确切地说，在一般情况下，熵产生的更坏的界限是不可能的。
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量子Kac模型中的混沌、遍历性和平衡
Chaos, Ergodicity and Equilibria in a Quantum Kac Model
我们介绍量子版本的Kac主方程和Kac玻尔兹曼方程。我们研究了这些方程的稳态，并证明了与它们相关的混沌传播定理。量子Kac主方程（QKME）描述了量子Markov半群，而Kac Boltzmann方程描述了单粒子状态空间上密度矩阵的非线性演化。由QKME描述的$N$粒子量子系统的所有定态都是可分离的，因此由QKME描述的演化是纠缠破缺。这些结果为量子动力学理论中接近平衡态的定量研究奠定了基础，也为描述二元相互作用的一类量子马尔可夫半群中纠缠的破坏速率的定量研究奠定了基础。
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动能湮灭的Kac模型
A Kac model for kinetic annihilation
本文研究了有限体积内质点系（类Kac粒子系统）的随机动力学，它们以概率$α\in (0,1)$湮灭或以概率$1-α$弹性碰撞。我们首先建立了粒子系统的适定性，它没有守恒量。我们严格证明，在某些热力学限制，一个合适的层次的动力学方程恢复张量化解决方案的同质玻尔兹曼湮灭是一个解决方案。对于有界碰撞核，这特别表明混沌的传播是正确的。此外，我们还讨论了考虑硬球相互作用时粒子系统的极限行为。
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Kac模型的巨正则演化
Grand Canonical Evolution for the Kac Model
研究了在固定温度和化学势条件下，随机碰撞粒子与无限大储层相互作用的模型。粒子之间的相互作用通过Kac主方程\cite{kac}建模。此外，颗粒可以离开系统朝向储存器或从储存器进入系统。该系统在温度$T=β^{-1}$和化学势$χ$下存在唯一的正则包绕态。我们表明，任何初始状态的收敛指数快速平衡计算的频谱间隙的发电机在一个合适的$L^2$空间和显示指数下降的相对熵相对于稳定状态。我们还展示了混沌的传播，从而证明了玻尔兹曼-卡茨型方程在无限系统极限下的粒子密度的有效性。
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对相互作用驱动的主方程和生物群模型的动力学极限
Kinetic limits for pair-interaction driven master equations and biological swarm models
我们考虑一类随机过程模拟二元相互作用的N粒子系统。这种系统的例子可以在生物群的建模中找到。他们导致一类主方程的定义，我们称之为对相互作用驱动的主方程。我们证明了这类主方程的一个混沌传播结果，推广了Mark Kac关于动力学中Kac模型的著名结果。我们使用这个结果来研究两个生物群模型的动力学极限。我们表明，混沌的传播可能会失去在很大的时间，我们展示了一个例子，不变的密度是不混乱的。
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Kac演化的熵衰减
Entropy decay for the Kac evolution
我们认为解决方案的Kac主方程的初始条件下，$N$粒子是在一个热平衡和$M\le N$粒子的平衡。我们表明，这样的解决方案有指数衰减熵相对于热状态。更准确地说，衰减是指数的时间与显式速率，基本上是独立的粒子数。这是在显着的对比，以前的结果表明，熵产生的任意初始条件是成反比的粒子数。证明依赖于Nelson的超压缩估计和Franck Barthe的Brascamp-Lieb不等式的几何形式。对于具有均匀散射截面的Kac-Boltzmann方程，也有类似的结果。
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类Kac-s动力学方程Wasserstein度量收敛到平衡点的速度
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关于卡茨的动力学理论纲领
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在本说明中，我们介绍了最近工作arxiv：1107.3251的主要结果，它回答了50年前Kac提出的几个问题。在那里卡茨介绍了一个多粒子随机过程（现在表示为卡茨的主方程），其中，混沌数据，收敛到空间均匀玻尔兹曼方程。我们回答了\cite{kac}中提出的以下三个问题：（1）证明了真实微观相互作用中混沌的传播（2）通过得到与粒子数无关的速率，将随机过程的弛豫时间尺度与极限方程的弛豫时间尺度联系起来;（3）证明极限方程解的多粒子熵向玻尔兹曼熵的收敛性（玻尔兹曼$H$定理的微观证明）。这些结果的关键依赖于一个新的理论定量统一的时间估计的传播混沌。
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主动力学方程的Boltzmann-Grad极限
On the Boltzmann-Grad limit of the Master Kinetic Equation
本文提出了光滑硬球$N-$体系在一元、二元和多重弹性瞬时碰撞中所谓Boltzmann-Grad（BG）极限（$\mathcal{L}_{BG}$）的规定问题。统计描述是根据主动力学方程表达的，即，动力学方程实现了公理化的“\textit{ab initio}“方法，用于最近开发的有限硬球系统的经典统计力学（Tessarotto \textit{et al.}，2013-2017）。这里讨论的问题涉及BG极限算子的规定，特别是$\mathcal{L}_{BG}$与进入相同动力学方程的自由流算子的非交换性质。结果表明，所得到的极限方程的形式在原则上仍然是非唯一的，其精确实现关键取决于同一算子的作用方式。的玻尔兹曼方程的全球处方的影响指出。
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动力学理论的主方程方法：线性和非线性Fokker-Planck方程
On the master equation approach to kinetic theory: linear and nonlinear Fokker--Planck equations
我们讨论了福克-普朗克型动力学方程（两个线性方程和一个非线性方程）与柯尔莫戈罗夫（又名主）方程的某些N体扩散过程中，在卡茨的“传播混沌”的限制。线性Fokker-Planck方程是众所周知的，但在这里它们是作为半径为sqrt（N）的（3 N-C）维N-速度球上的简单线性扩散方程的极限N->infty导出的（其中C=1或4取决于系统是仅保存能量还是保存能量和动量）。在这种情况下，将拉普拉斯算子的零本征值与正谱分开的谱隙保持为N->infty，因此主演化的指数平衡态被传递到R^3中的极限福克-普朗克演化。非线性福克-普朗克方程在等离子体物理文献中被称为朗道方程。在（3 N-4）维N速度球上研究了它的N粒子主方程，该方程最初是由Balescu和Prigogine（BP）在20世纪50年代提出的。结果表明，BP主方程代表了由两粒子碰撞守恒律确定的R^{3 N}的某些二维子流形上的扩散过程的叠加。证明了BP主方程的初值问题是适定的，其解是指数衰减的。然而，BP算子的第一个非零特征值在极限N->infty中消失。这表明，指数快速接近平衡可能不会通过从有限N主方程的朗道的非线性动力学方程。
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具有松本-米约非线性碰撞的两物种玻尔兹曼-卡克动力学：守恒能量与锥形平衡态
Two-Species Boltzmann--Kac Kinetics with Matsumoto--Yor Nonlinear Collisions: Conserved Energy and Conic Equilibria
Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）；Graduate University for Advanced Studies（高级研究院）
该研究扩展了卡克动力学框架，确定了两物种系统的守恒能量与锥形测度，通过H定理证明熵产生消失的条件，推导了非平衡平衡态的分布。
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一类带重标度的恒温Kac模型
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我们介绍了一个全球恒温器卡茨的一维模型的粒子在空间均匀的气体进行二进制碰撞的速度，也与（本地）麦克斯韦恒温器。全局恒温器重新调整所有粒子的速度，从而恢复系统的总能量，这导致相应的非线性动力学方程中的额外漂移项。我们证明了这个方程的遍历性，并表明其平衡分布的密度，根据模型的参数，可以表现出沉重的尾巴，其行为在原点的范围可以从分析，是$C^k$，甚至爆破。最后，我们证明了相关的$N$ -粒子系统的混沌传播，在平方$2$ -Wasserstein度量的顺序$N^{-η}$在时间上均匀的速率，明确的$η\in (0, 1/3]$。
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玻色-爱因斯坦粒子Kac漫画的掠碰撞极限
The grazing collision limit of Kac caricature of Bose-Einstein particles
本文讨论了玻色-爱因斯坦粒子动力学模型的掠碰撞极限，该模型是由无截止的麦克斯韦气体的一维Kac漫画适当修改而得到的。我们在极限下恢复了一个非线性Fokker-Planck方程，它与Kaniadakis和Quarati在[13 ]中介绍的方程有许多相似之处。为了做到这一点，我们进行了研究的时刻的解决方案。此外，作为典型的麦克斯韦模型，我们必须使用的傅立叶版本的方程。
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耦合到恒温器的Kac模型
The Kac Model Coupled to a Thermostat
本文研究了随机碰撞粒子与热浴相互作用的模型。粒子之间的碰撞通过Kac主方程建模，而恒温器被看作是在逆温度$β$下处于热平衡的无限气体。该系统承认在逆温度下的正则分布$β$作为唯一的平衡态。我们证明了任何初始分布的平衡分布指数快速的计算差距的发电机的演变，在一个适当的功能空间，以及通过证明指数衰减相对熵。我们还表明，演化传播混沌和一个粒子的边际，在大系统的限制，满足一个有效的玻尔兹曼型方程。
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有限硬球系统1-体PDF的宏观不可逆性和衰变到动力学平衡
Macroscopic irreversibility and decay to kinetic equilibrium of the 1-body PDF for finite hard-sphere systems
本文研究了硬球系统中出现宏观不可逆性的条件和衰变到动力学平衡的相关现象，这些现象可以表征硬球系统的单体概率密度函数（PDF）。该问题是在最近发展起来的经典统计力学的公理化的“从头算”理论的框架下，并通过对同一动力学PDF的主方程实现了一个精确的动力学方程的相关建立。如本文所示，该任务涉及引入一个合适的功能的1-体PDF，在这里确定与主动力学信息。然后证明，如果在适当平滑方面规定相同的PDF，即，随机，主动力学方程的解，上述两个属性确实实现。
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随机开放化学系统的不动点
Fixed Points for Stochastic Open Chemical Systems
在本文的第一部分，我们给一个简短的回顾的层次结构的随机模型，与物理化学。在这个层次的基础上，有两个模型-随机化学动力学和玻尔兹曼方程的Kac模型。经典化学动力学和化学热力学作为模型中的一些标度极限而获得，下面介绍。在本文的第二部分中，我们给出了一类简单的开放的化学反应系统，其中仍然可以证明吸引不动点的存在性。例如，Michaelis \tire Menten动力学属于这一类。最后，我们提出了一个最简单的生物网络模型。它是一个网络的网络（封闭的化学反应系统，称为隔间），因此不可逆性的唯一来源是与环境和隔间之间的物质交换（运输）。关键词：化学动力学，化学热力学，Kac模型，数学生物学
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随机 Kac 模型累积量层级中混沌的产生
Generation of chaos in the cumulant hierarchy of the stochastic Kac model
研究随机 Kac 模型中速度与动能累积量的时间演化，通过非线性累积量层级稳定性分析证明有限阶累积量在 1 阶碰撞时间内快速收敛至稳态，首次将该方法用于动理学微观模型。
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相对论粒子的混沌分布
Chaotic distributions for relativistic particles
本文研究了一个修正的Kac模型，其中经典动能被任意的能量函数$ϕ(v)$，$v \in \mathbb{R}$所取代。本文的目的是证明关于微正则测度的均匀密度是$Ce^{-z_0ϕ(v)}$ -混沌的，即$C,z_0 \in \mathbb{R}_+$ .相对论粒子的动能是一个特例。一个推广的情况下，$v\in \mathbb{R}^d$，其中涉及守恒动量也正式讨论。
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一步过程主方程的算子解法
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概率作为自然界的内在属性的呈现导致研究人员从确定性转向对现象的随机描述。给出了一步过程的随机化过程。它允许根据动力学方程的类型和关于过程性质的假设写下主方程。由于相互作用动力学经常发生在物理、化学、技术、生物、环境、经济和社会系统中，因此近年来受到人们的关注。然而，没有一般的方法来直接研究这个方程。我们可以得到福克-普朗克方程，从而得到朗之万方程。应当清楚地理解，这些方程是主方程的近似记录。然而，这并不能消除对主方程研究的需要。此外，在主方程分解期间产生的幂级数可能是发散的（例如，在空间模型中）。这使得经典的微扰理论无法应用。有人建议将量子场微扰理论用于统计系统（所谓的Doi方法）。这项工作是一种方法的材料，描述了基于量子场微扰理论方法的主方程解的原理。这项工作的特点是，它是理解的非专家在量子场论。作为示例，使用Verhulst模型，因为其简单和清晰（一阶方程与空间变量无关，但是包含非线性）。我们展示了一步过程主方程的获得和研究的算子和组合方法的完全等价性。
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非弹性Kac模型趋于平衡速度的概率研究
Probabilistic study of the speed of approach to equilibrium for an inelastic Kac model
本文讨论了一个一维散粒体模型，它归结为一个非弹性形式的Kac动力学方程，其非弹性参数为$p>0$。特别是，该文件提供了某些距离的界限-如特定的加权$χ$ -距离和柯尔莫哥洛夫距离-之间的解决方案的方程和限制。假设初始数据的偶数部分（决定解的渐近性质）属于具有特征指数$\a=2/(1+p)$的对称稳定分布的正态吸引域。有了这样的初始数据，极限就存在了，而且就是前面提到的稳定分布。证明了松弛到平衡的必要条件。在不引入任何附加条件的情况下，得到了一些界.更清晰的界限，指数型，表现出在存在额外的假设有关的行为，靠近原点，初始特征函数，或行为，在无穷大，初始概率分布函数。
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Redfield量子主方程的推导及其Bogoliubov方法修正
Derivation of the Redfield quantum master equation and corrections to it by the Bogoliubov method
根据N. N. Bogoliubov推导经典和量子非线性动力学方程的方法，我们给出了开放量子系统理论中广泛使用的Redfield量子线性主方程的另一种推导方法，以及对它的高阶修正，这种推导自然地考虑了由先前的系统-储层动力学产生的初始关联系统-储层状态。事实证明，在这种情况下，Redfield方程不需要任何修改。高阶修正量的表达式比用其它方法得到的表达式简单。
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一类一维动力学方程的中心极限定理
Central limit theorem for a class of one-dimensional kinetic equations
我们介绍了一类Boltzmann方程的实数线，这构成了经典的卡茨漫画的扩展。碰撞增益算子由具有一般性质的光滑变换定义。通过建立与中心极限问题的联系，我们能够证明方程的解朝着极限分布的长时间收敛。如果玻尔兹曼方程的初始条件属于某个稳定律$g_α$的正常吸引域，则极限是非平凡的，并且是$g_α$的膨胀的统计混合。在一些额外的假设下，Wasserstein度量的平衡显式指数率的计算，并显示强收敛的概率密度。
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量子光学与量子布朗运动主方程的协方差和平衡性质
Quantum optical versus quantum Brownian motion master-equation in terms of covariance and equilibrium properties
参考最近关于协变量子动力学半群无界生成元结构的数学工作，从完全正性、对称变换下的协变性和满足均分性等方面刻画了量子Fokker-Planck方程的结构.特别是量子光学主方程和量子布朗运动主方程分别与$\mathrm{U(1)}$和$\mathrm{R}$对称性相关联。考虑到布朗粒子的运动，其中量子福克-普朗克方程的表达式不完全由上述要求固定，最近引入的微物理动力学模型被简要回顾，其中在小能量和动量转移极限下线性玻尔兹曼方程的量子推广直接导致量子布朗运动。
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双曲型动力学方程组的精确解。具有随机扰动的Verhulst模型的应用
Exact solutions of hyperbolic systems of kinetic equations. Application to Verhulst model with random perturbation
对于物理、生物和化学中动力学过程描述中出现的双曲型一阶线性偏微分方程（主方程）组，本文提出了一种新的求其非定常闭式完全解的方法。所使用的方法包括经典的拉普拉斯级联方法，以及其最近的推广系统超过2个方程和超过2个自变量。作为一个例子，我们给出了马尔可夫有色二分噪声驱动下Verhulst模型的完全非平稳解（概率分布）。
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多维空间中概率线性碰撞的齐次动力学方程
Homogeneous kinetic equations for probabilistic linear collisions in multiple space dimensions
我们分析了在多个空间维度的Kac类动力学方程族的平衡收敛。这些方程描述了由于粒子之间的二元碰撞而引起的空间均匀气体中速度分布的变化。我们考虑一个一般的线性机制的粒子的动量交换，相互作用系数是随机矩阵的分布是{独立}的碰撞粒子的速度。应用合成的概率方法和傅立叶分析，我们能够确定一个稳定状态的存在性和唯一性的充分条件，我们将这种稳定状态的高斯分布的混合物，我们证明平衡的初始条件下的最小假设的瞬态解决方案。特别是，我们能够分类的高能量尾部的平稳分布，这可能是帕累托型。我们还讨论了几个例子，我们的理论适用于其中的模型与非对称稳态。
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具有相互湮灭的化学扩散主方程的概率推导与分析
Probabilistic derivation and analysis of the chemical diffusion master equation with mutual annihilation
针对粒子Brownian扩散及产生、相互湮灭反应，本文概率推导CDME，并用无穷维矩母函数法将其有限维投影归约为线性四阶偏微分方程。
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受限动力学与由分数高斯噪声驱动的非均匀扩散：一种路径积分方法
Confined kinetics and heterogeneous diffusion driven by fractional Gaussian noise: A path integral approach
Institute for Theoretical Physics, Utrecht University（乌得勒支大学理论物理研究所）；School of Natural and Computing Sciences, University of Aberdeen（阿伯丁大学自然与计算科学学院）；Department of Physics, Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学物理系）；Utrecht University（乌得勒支大学）；University of Aberdeen（阿伯丁大学）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文研究了由分数高斯噪声驱动的非均匀非马尔可夫扩散，通过路径积分方法推导了高斯传播子，并探讨了杀灭率对过程的影响，建立了有效局部哈密顿量的动力学方程。
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非线性重组与广义随机对换
Nonlinear recombinations and generalized random transpositions
本文将群体遗传学的非线性重组模型作为 Kac-Boltzmann 方程的组合版本，通过广义随机对换动力学进行平均场近似，证明了时间一致的混沌传播与紧致熵产生估计，并得出非线性方程收敛至平稳态的精确速度。
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