Tools for parsimonious edge-colouring of graphs with maximum degree three
$δ$ -最小边着色的概念是由J-L. Fouquet（在他的法国博士论文\cite{FouPhD}）。在这里，我们提出了一些结构性质的$δ$ -最小边染色，部分取自上述论文。该文件作为一个辅助工具的另一篇论文提交的作者图和组合。
2012-01-28 cs.DM
Brooks' Vertex-Colouring Theorem in Linear Time
Brooks定理[R. L. Brooks，On Coloring the Nodes of a Network，Proc. Cambridge Philos. Soc.} 37：194-197，1941]指出，具有最大度$Δ$的每个图$G$具有用$Δ$颜色的顶点着色，除非$G$是完全图或奇数圈，在这种情况下需要$Δ+1$颜色。洛瓦什湖Lovász，Three Short Proof in Graph Theory，J. Combin. Theory Ser. 19：269-271，1975]给出了布鲁克斯定理的算法证明。不幸的是，这个证明缺少重要的细节，因此不清楚它是否会导致线性时间算法。在本文中，我们给出了一个完整的描述Lovász的证明，我们推导出一个线性时间算法，以确定由布鲁克斯定理保证的顶点着色。
2014-01-30 cs.DM
Random sampling of colourings of sparse random graphs with a constant number of colours
在这项工作中，我们提出了一个简单而有效的算法，它以很高的概率，提供了一个几乎均匀的样本，从一个稀疏随机图G（n，d/n），其中k=k（d）是一个足够大的常数适当的k-着色的集合。我们的算法不是基于马尔可夫链蒙特卡罗方法（M.C.M.C.）。相反，我们提供了一个新的证明我们的算法是基于有趣的“空间混合”性质的G（n，d/n）的着色的正确性。我们的结果改进了以前的结果（基于M.C.M.C.）这就要求颜色的数量随着n无限增长。
2008-04-15 cs.DM
Frugal Colouring of Graphs
图$G$的$k$ -节俭着色是$G$的顶点的适当着色，使得在顶点的邻域中没有颜色出现超过$k$次。这种类型的着色是由Hind，Molloy和Reed在1997年引入的。本文研究了平面图、大围长平面图和外平面图的节俭色数，并将这个参数与几个已研究得很好的染色，如正方形染色、循环染色和$L(p,q)$ -标号联系起来.我们还研究了多重图的节俭边染色。
2007-05-03 cs.DM cs.NI
Equitable neighbour-sum-distinguishing edge and total colourings
与任何（不一定是正确的）边$k$ -图$G$的着色$γ:E(G)\longrightarrow\{1,\dots,k\}$，我们可以把由$σ\_γ(v)=\sum\_{e\ni v}γ(e)$给出的一个顶点着色$σ\_γ$联系起来.一个邻域和可区别边$k$ -着色是一个其所联系的顶点着色是适当的边着色.一个图$G$的邻域和可区别指数则是$G$允许一个邻域和可区别边$k$的最小$k$.着色。这些概念自然地推广到图的全着色，即给顶点和边都赋色。本文研究了均匀邻和可区别边着色和全着色，即$γ$的任意两个色类中元素个数相差至多1的着色$γ$。确定了完全图的均匀邻和可区别指数，完全二部图与森林，完全图与二部图的均匀邻和可区别全色数。
2017-01-17 cs.DM math.CO
A Note on Colourings of Connected $2$-edge Coloured Cubic Graphs
本文证明了每一个连通的$2$ -边着色三次图都有一个$10$ -着色.这降低了连通$2$ -边着色三次图的色数的上界。
2019-10-24 cs.DM math.CO
On rainbow-free colourings of uniform hypergraphs
我们研究了$k$ -均匀超图的无彩虹着色，即，着色使用$k$颜色，但没有超边达到所有颜色的属性。证明了$p^*=(k-1)(\ln n)/n$是随机$k$ -均匀超图中存在彩虹色的门限函数。
2021-06-13 cs.DM math.CO
Strong edge-colouring of sparse planar graphs
图的强边染色是每一个色类诱导一个匹配的真边染色。我们知道，每个具有最大度$Δ$的平面图都有强边染色，最多有$4Δ+4$色。我们表明，$3Δ+1$颜色足够，如果图的围长为6，和$4Δ$颜色足够，如果$Δ\geq 7$或围长至少是5。在本文的最后一部分，我们提出了一些问题有关的一个长期的猜想Vizing正常边染色的平面图。
2014-07-21 cs.DM math.CO
Acyclic, Star and Injective Colouring: A Complexity Picture for H-Free Graphs
Charles University（查理大学）；Durham University（杜伦大学）；LIRMM, CNRS, Université de Montpellier（蒙彼利埃大学法国国家科学研究中心信息、机器与微系统实验室）
本文研究了H-无图上无环、星形和注入着色问题的复杂性，揭示了固定颜色数k时的分类结果及k作为输入时的差异。
2026-01-29 cs.DM math.CO
A New Method that can Generate Ramsey Colourings for Eight and Thirteen Colours
本文提出FBF方法，为8色和13色完全图边着色生成Ramsey着色，并构造了与已有着色非同构的新着色。
2026-09-24 cs.DM math.CO
Oriented Colourings of Graphs with Maximum Degree Three and Four
我们证明了最大度为3的图的任何定向都有定向9-着色，最大度为4的图的任何定向都有定向69-着色。这些结果分别改进了11和80的最佳已知上界。
2018-12-13 cs.DM math.CO
Acyclic edge colourings of graphs with large girth
一个图$G$的边染色称为无圈的，如果它是适当的，并且每个圈至少包含三种颜色.我们发现，对于每个$\varepsilon>0$，存在一个$g=g(\varepsilon)$，使得如果$G$周长至少$g$，然后$G$承认一个非循环边着色与最多$(1+\varepsilon)Δ$颜色。
2016-06-23 cs.DM math.CO
Edge-colouring and total-colouring chordless graphs
图$G$是\emph{chordless}，如果在$G$中没有圈有弦。本文研究了无弦图的色指数和全色数。我们描述了一个已知的无弦图的分解结果，并利用它建立了每个最大度的无弦图$Δ\geq 3$都有色指数$Δ$和全色数$Δ+ 1$。证明是算法的意义上，我们实际上输出一个最佳着色的图形实例在多项式时间。
2013-09-07 cs.DM math.CO
Mixing colourings in $2K_2$-free graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图，记为$R_{k}(G)$，是其顶点是$G$的$k$ -着色的图，并且如果两个着色在恰好一个顶点上颜色不同，则两个着色通过边连接。对于任何$k$ -连通图$P_4$ -free图$G$，Bonamy和Bousquet证明了$R_{k+1}(G)$是连通的.在这篇短文中，我们通过构造一个允许冻结$8$-着色的$7$ -色$2K_2$ -free（因此也是$P_5$ -free）图，完成了对不含固定路的$k$ -着色图$G$的$R_{k+1}(G)$连通性的分类.这就解决了第二作者的一个问题。
2021-08-02 cs.DM math.CO
Kempe Equivalence of Colourings of Cubic Graphs
给定一个图$G=(V,E)$和$G$的一个适当的顶点着色，一个Kempe链是$V$的一个子集，它诱导出$G$的一个极大连通子图，其中每个顶点有两种颜色之一。进行肯普变换是通过交换肯普链中顶点的颜色来从另一种颜色中获得一种颜色。两种颜色是肯普等价的，如果每一种都可以通过一系列肯普变化从另一种获得。Mohar的一个猜想断言，对于$k \geq 3$，所有不完全的$k$ -正则图的$k$ -着色都是Kempe等价的.我们解决的情况下，$k=3$表明，所有的$3$着色的三次图$G$是肯普等价，除非$G$是完全图$K_4$或三棱柱。
2015-08-10 cs.DM math.CO
$3$-Colouring $P_t$-free graphs without short odd cycles
对于任何奇数$t\ge 9$，我们提出了一个多项式时间算法，解决了$3$着色问题，并找到一个$3$着色，如果存在的话，在$P_{t}$ -免费图的奇数围长至少$t-2$。特别是，我们的算法适用于$(P_9, C_3, C_5)$ -free图，从而朝着确定$3$ -着色在$P_t$ -free图，这是开放的$t\ge 8$的复杂性的进展。
2020-08-11 cs.DM math.CO
Further results on strong edge-colourings in outerplanar graphs
边着色是{ \em strong}，如果每个颜色类都是诱导匹配。本文给出了确定二部外平面图的最优色数和最优加一强色数的公式。此外，我们给出了一个改进的上界的任何外平面图，这是接近最优的。我们所有的证明产生有效的算法来构建这样的着色。
2013-12-19 cs.DM math.CO
Acyclic colourings of graphs with bounded degree
一个图的顶点的$k$ -着色（不一定是真着色）称为{ \it非循环的}，如果对于每一对不同的颜色$i$和$j$，由其端点具有颜色$i$和$j$的边诱导的子图是非循环的。本文考虑了一类广义的无圈$k$ -着色，即要求每一个色类都导出一个无圈或有界度图.我们主要关注最大度为5的图。我们证明了任何这样的图有一个非循环的$5$ -着色，使得每个颜色类导致一个非循环图的最大度至多为4。我们证明了判定图$G$是否具有非循环2-着色的问题是NP-完全的，即使对于最大度为5的图也是如此。我们还给出了一个线性时间算法的非循环$t$ -不当着色的任何图的最大程度$d$假设颜色的数量是足够大的。
2015-11-13 cs.DM math.CO
Nonrepetitive graph colouring
一个图$G$的顶点着色是“非重复的”，如果$G$不包含任何一条前半部分被赋予与后半部分相同的颜色序列的路.图厄的著名定理说，每条路径都是不重复的3列。本文综述了图的非重复着色的一些结果。其目标是给出一个统一的和全面的介绍的主要结果和证明方法，以及突出许多开放的问题。
2020-09-04 cs.DM math.CO
Complexity of Restricted Star Colouring
限制星着色是星着色的一种变体，用于设计估计稀疏Hessian矩阵的启发式算法。对于$k\in\mathbb{N}$，图$G$的一个$k$ -限制星着色（$k$ -rs着色）是一个函数$f:V(G)\to{0,1,\dots,k-1}$，使得（i）对G的每条边$xy$都有$f(x)\neq f(y)$，（ii）在$G$中不存在中间顶点颜色较高的双色3-顶点路（$P_3$）.我们证明了对于$k\geq 3$，测试给定的最大度$k$和任意大围长的平面二部图是否允许$k$ -rs着色是NP-完全的，从而回答了Shalu和Sandhya提出的问题（Graphs and Combinatorics，2016）。此外，证明了一个3-星色图是否允许3-rs着色是NP-完全的。我们还证明了对于所有的$ε> 0$，用最少的颜色数对2-退化二部图进行限制星着色的优化问题在$n^{(1/3)-ε}$内是NP-难逼近的.在积极的一面，我们设计了（i）一个线性时间算法来测试3-RS着色的树，和（ii）一个$O(n^3)$ -时间算法来测试3-RS着色的弦图。
2021-08-06 cs.DM math.CO
Graph modification for edge-coloured and signed graph homomorphism problems: parameterized and classical complexity
我们研究了图修改问题的复杂性与同态为基础的着色性质的边着色图。从边着色图$G$到边着色图$H$的同态是从$G$到$H$的保持邻接和边颜色的顶点映射。本文研究了固定边着色图$H$的同态性质。我们感兴趣的问题是：给定一个边着色图$G$，我们能否执行$k$图操作，使得所得图允许与$H$同态？我们考虑的操作是顶点删除，边删除和切换（一个操作，置换事件到一个给定的顶点的边的颜色）。交换在符号图理论中起着重要的作用，符号图是2-边着色图，其颜色是符号$+$和$-$。我们用VD- $H$ -COLOSIDE、ED- $H$ -COLOSIDE和SW- $H$ -COLOSIDE表示相应的问题（用$k$参数化）。这些问题一般化了$H$ -COLOOTH（决定输入图是否允许同态到固定目标$H$）。我们的主要重点是当$H$是一个边着色图，最多有两个顶点，这种情况下，已经很有趣，因为它包括的问题，如顶点覆盖，奇循环transverSAL和边BIPARTIZATION。对于这样一个图$H$，我们给出了VD- $H$ -COLOOTH，ED- $H$ -COLOOTH和SW- $H$ -COLOOTH的P/NP-c复杂性二分法.然后，我们解决其参数化的复杂性。我们证明了VD- $H$ -COLOSINE和ED- $H$ -COLOSINE对于所有这样的$H$都是FPT。相反，对于某些3阶的$H$，除非P=N…
2022-05-03 cs.DM cs.DS
The polynomial method for list-colouring extendability of outerplanar graphs
我们重申哈钦森的定理列表着色可扩展的外平面图的非零单项式的图多项式，这产生了一个Alon-Tarsi等价的她的工作。这允许简化她的证明以及获得更一般的结果。
2020-08-07 cs.DM math.CO
A Survey on the Computational Complexity of Colouring Graphs with Forbidden Subgraphs
对于正整数$k$，图$G=(V,E)$的$k$ -着色是一个映射$c: V\rightarrow\{1,2,...,k\}$，使得$c(u)\neq c(v)$，无论何时$uv\in E$ .着色问题是决定对于给定的$G$和$k$，是否存在$G$的$k$着色。如果$k$是固定的（也就是说，它不是输入的一部分），我们就有决策问题$k$ -着色。我们调查已知的结果的计算复杂性的着色和$k$ -着色的图形类，其特征在于由一个或两个禁止诱导子图。我们还考虑了一些变体：例如，问题是延长部分着色，或允许的颜色列表中给出每个顶点。
2016-02-15 cs.CC cs.DM math.CO
Reconfiguration Graph for Vertex Colourings of Weakly Chordal Graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$包含作为其顶点集的$G$的$k$ -着色，并且如果两个着色在$G$的仅一个顶点上颜色不同，则通过边连接它们。我们证明了对于每个$k \geq 3$，存在一个$k$ -列弱弦图$G$使得$R_{k+1}(G)$是不连通的.我们还引入了$k$ -列弱弦图的一个子类，我们称之为$k$ -列紧图，并证明了对于每个$k$ -列紧图$G$在$n$的顶点上，$R_{k+1}(G)$都有直径$O(n^2)$ .我们证明了这类图包含所有的$k$ -collaboration co-chordal图，当$k = 3$时，包含所有的$3$ -collaboration $(P_5, \overline{P_5}, C_5)$ -free图。我们还提到了一些开放的问题。
2019-06-02 cs.DM math.CO
Locally identifying colourings for graphs with given maximum degree
一个图G的正常点着色被称为局部标识，如果对于任何具有不同闭邻域的邻顶点对u，v，u和v的闭邻域中的颜色集是不同的。我们表明，任何图G有一个局部识别着色与$2Δ^2-3Δ+3$颜色，其中$Δ$是G的最大程度，回答了一个积极的方式问的问题Esperet等人。我们还提供了类似的结果，局部识别着色具有的属性，在每个顶点附近的颜色都是不同的，并将我们的方法应用到弦图类。
2012-01-26 cs.DM math.CO
Nonrepetitive Colourings of Planar Graphs with $O(\log n)$ Colours
一个图的顶点着色是\emph{nonrepetitive}，如果没有一条路的前半部分被赋予与后半部分相同的颜色序列。图$G$的\emph{nonrepetitive chromatic number}是最小整数$k$，使得$G$具有非重复的$k$-着色。平面图是否具有有界非重复色数是该领域的一个重要的开放问题。尽管如此，对于$n$-顶点平面图，最著名的上界是$O(\sqrt{n})$。我们证明了一个$O(\log n)$上界。
2012-02-16 cs.DM math.CO
Colouring triangle-free graphs with local list sizes
我们证明了Molloy最近关于无三角形图的色数的一个突破性结果（以及Bernshteyn的后续工作）的两个不同的和自然的改进.在我们的两个结果中，我们允许提供给较低度数的顶点的颜色量相应地较低。一个结果涉及列表着色和对应着色，而另一个涉及分数着色。我们的第二个证明说明了使用的硬核模型来证明一个约翰森型的结果，这可能是独立的利益。
2020-04-16 cs.DM math.CO
Complexity of approximate conflict-free, linearly-ordered, and nonmonochromatic hypergraph colourings
University of Marburg（马尔堡大学）；University of Oxford（牛津大学）；University of Warsaw（华沙大学）
本文基于代数方法研究了三种超图着色变种的复杂性，证明了非单色、冲突自由和线性有序着色问题在特定条件下均为NP难，改进了现有研究成果。
2026-04-30 cs.CC cs.DM math.CO
Connected greedy colouring in claw-free graphs
一个图的顶点的排序是\emph{connected}，如果每个顶点（除了第一个）都有一个邻居。连通序图的贪婪着色算法包括按序取顶点，并为每个顶点分配最小的可用颜色。一个图是\emph{good}，如果对它的每个连通阶的贪心算法都给它的每个连通导出子图一个最优着色.利用最小禁止诱导子图给出了好无爪图的刻画。
2018-05-04 cs.DM math.CO
Improved hardness for H-colourings of G-colourable graphs
我们提出了新的结果近似着色的图，更一般地说，近似H-着色和承诺约束满足问题。首先，我们证明了对每个$k\geq 4$用$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}-1$着色$k$ -列图的NP-硬度。这改进了Bulín、Krokhin和Opršal [STOC'19]的结果，他们给出了$k\geq 3$的$k$ -colorectal图用$2k-1$颜色着色的NP-硬度，以及Huang [APPROX-RANDOM'13]的结果，他给出了足够大的$k$的$k$ -colorectal图用$2^{k^{1/3}}$颜色着色的NP-硬度。因此，对于$k\geq 4$，我们从已知的线性/亚指数间隙改进为指数间隙。其次，我们证明了仅H的盒复形的拓扑决定了G-列图的H-着色对所有（非二部，H-列）G是否是NP-难的。这形式化了Krokhin和Opršal [FOCS'19]的结果背后的拓扑直觉，即对于所有（3-列，非二部）G，G-列图的3-着色是NP-困难的。我们使用这种技术来建立NP-硬度的H-着色的G-列图的H，包括但不限于$K_3$，包括无平方图和圆形集团（留下$K_4$和更大的集团开放）。在我们所有的证明的基础是一个非常普遍的观察，伴随函子给承诺约束满足问题之间的减少。
2019-10-04 cs.CC cs.DM math.AT
A Dichotomy Theorem for Circular Colouring Reconfiguration
循环着色的“重新配置问题”问，给定两个$(p,q)$ -着色$f$和$g$的图$G$，是否有可能转换$f$到$g$通过改变一个顶点的颜色在一个时间，使每个中间映射是一个$(p,q)$ -着色？我们证明了这个问题可以在多项式时间内解决$2\leq p/q <4$和PSPACE完全$p/q\geq 4$。这推广了一个已知的二分法重新配置经典图着色定理。
2016-04-13 cs.CC cs.DM math.CO
Improved lower bounds on parity vertex colourings of binary trees
顶点着色称为\emph{parity vertex colouring}，如果在$G$中的每条路径包含奇数个出现的某种颜色。令$χ_{p}(G)$是$G$的奇偶顶点着色中的最小颜色数。我们表明，$χ_{p}(B^*) \ge \sqrt{d} + \frac{1}{4} \log_2(d) - \frac{1}{2}$，其中$B^*$是一个细分的完全二叉树$B_d$。这改进了先前已知的界$χ_{p}(B^*) \ge \sqrt{d}$，并增强了用于证明下界的技术。我们使用这个结果来证明$χ_{p}(T) > \sqrt[3]{\log{n}}$，其中$T$是任何具有$n$顶点的二叉树。这些下界也是无冲突着色的下界。我们还证明了$χ_{p}(G)$是不单调的未成年人，并确定其价值的周期。此外，我们还研究了计算奇偶点色数$χ_{p}(G)$的复杂性。我们证明了检查顶点着色是否是奇偶顶点着色是coNP-完全的。然后利用Courcelle定理证明了关于$k$和$G$的树宽，判断$χ_{p}(G) \le k$是否是固定参数可处理的问题.
2019-10-09 cs.DM math.CO
Paths between colourings of sparse graphs
图~ $G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$具有$G$的所有可能的$k$ -着色的集合作为顶点集，并且如果两个着色在一个顶点上不同，则两个着色是相邻的。我们给出了Bousquet和Perarnau（\emph{European Journal of Combinatorics}，2016）的以下定理的简短证明。令$d$和$k$为正整数，$k \geq d + 1$。对于每个$ε> 0$和每个具有$n$顶点和最大平均度$d - ε$的图$G$，存在一个常数$c = c(d, ε)$使得$R_k(G)$具有直径$O(n^c)$ .我们的证明可以转化为一个简单的多项式时间算法，找到一个路径之间的一对给定的着色$R_k(G)$。
2020-12-12 cs.DM math.CO
Progress on the adjacent vertex distinguishing edge colouring conjecture
一个图的正常边染色是邻点可区别的，如果没有两个邻顶点看到相同的颜色集。使用局部引理的巧妙应用，Hatami（2005）证明了每个具有最大度$Δ$且没有孤立边的图都有一个相邻顶点可区别的边着色为$Δ+ 300$颜色，前提是$Δ$足够大。我们表明，这个界限可以减少到$Δ+ 19$。这是由Zhang、Liu和Wang（2002）的猜想激发的，即$Δ+ 2$颜色对于$Δ\geq 3$是足够的。
2020-07-22 cs.DM math.CO
Colouring planar graphs with a precoloured induced cycle
本文研究含预着色诱导圈的平面图可延拓着色问题，提出安全着色的必要条件并证明相关充分性，给出两类安全着色情形。
2023-06-08 cs.DM math.CO
Uniformly Random Colourings of Sparse Graphs
本文研究了在$Δ< k\ln k $区域中具有最大度$Δ$的稀疏图的均匀随机真$k$ -染色.该制度对应于随机图着色的破碎阈值的下侧，随机约束满足问题的破碎阈值的一个范例。我们证明了各种结果的解决方案空间的几何形状的着色固定图，推广工作Achlioptas，Coja-Oghlan，和Molloy随机图，并证明了随机局部搜索算法的性能在这个政权。我们的中心证明只依赖于基本的技术，即第一矩方法和定量归纳，但它加强了列表着色结果由于Vu，最近戴维斯，康，P。和Sereni，并概括了国家的最先进的界限，从拉姆齐理论的背景下，稀疏图。它进一步产生了一个近似紧的下界上的着色，也被称为分拆函数的波茨模型，与有效的近似计数的影响。
2023-03-27 cs.DM math.CO
On the Complexity of Role Colouring Planar Graphs, Trees and Cographs
我们证明了几个结果的复杂性的角色着色问题。图$G$的角色着色是对图$G$的顶点的颜色分配，使得相同颜色的两个顶点在它们的邻域中具有相同的颜色集合。我们发现，问题找到一个角色着色与$1< k <n$颜色是NP-困难的平面图。我们表明，限制问题的树产生多项式可解的情况下，只要$k$是恒定的或有一个恒定的差异与$n$，在树中的顶点数。最后证明了上图总是$1<k\leq n$的$k$ -角色着色，并在多项式时间内构造了这样的着色.
2014-08-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Colourings of $(m, n)$-coloured mixed graphs
本研究聚焦$(m, n)$-着色混合图的顶点着色问题，证明已有有向图、2-边着色图的着色结论均为该通用框架下的特例，且两类结果都对应Brooks定理的变体，拓展了混合图着色的理论体系。
2024-12-25 cs.DM math.CO
Narrowing the Complexity Gap for Colouring ($C_s$,$P_t$)-Free Graphs
对于正整数$k$和图$G=(V,E)$，$G$的$k$ -着色是一个映射$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots,k\}$，使得无论何时$uv\in E$都是$c(u)\neq c(v)$. $k$ -着色问题是对于给定的$G$，决定是否存在$G$的$k$ -着色。$k$ -预着色扩展问题是针对给定的$G=(V,E)$，决定$V$的子集的着色是否可以扩展为$G$的$k$ -着色。图的$k$ -列表分配是将列表-$\{1,\ldots,k\}$的子集-分配给每个顶点，并且列表$k$ -着色问题是决定对于给定的$G$，$G$是否具有$k$ -着色，其中每个顶点用其列表中的颜色着色。我们继续研究这三个决策问题的计算复杂性时，限制到图，既不包含一个循环的$s$顶点，也不包含一个路径的$t$顶点作为诱导子图（固定的正整数$s$和~ $t$）。
2014-07-06 cs.CC cs.DM math.CO
Graph Homomorphism Reconfiguration and Frozen $H$-Colourings
对于一个固定的图$H$，$H$ -着色（即与$H$的同态）的重构问题是：给定一个图$G$和$G$的两个$H$ -着色$φ$和$ψ$，是否存在一个$H$ -着色的序列$f_0,\dots,f_m$，使得对于每个$0\leq i<m$和$uv\in E(G)$，$f_0=φ$，$f_m=ψ$和$f_i(u)f_{i+1}(v)\in E(H)$？如果图$G$是无环的，那么这等价于询问是否可以通过每次改变一个顶点的颜色将$φ$转换为$ψ$，使得所有中间映射都是$H$ -着色。在肯定的情况下，我们说$φ$重新配置为$ψ$。目前，仅当$H$是团、圆形团、无$C_4$图或在容易从这些图导出的少数其他情况下，才知道决定$H$着色$φ$是否重新配置为$H$着色$ψ$的复杂性.当$H$是奇轮时，证明了该问题是PSPACE完全的.在研究$H$ -着色的重构问题时，一个重要的概念是冻结的$H$ -着色，即一个$H$ -着色的$φ$，使得$φ$不重构为任何$H$ -着色的$ψ$，使得$ψ\neq φ$ .对于给定的图$G$是否允许冻结$H$ -着色的问题，我们得到了一个显式的二分法.硬度证明涉及减少CSP问题，这是NP完全的，通过建立不存在某种类型的多态性。
2017-12-01 cs.CC cs.DM math.CO
Acyclic, Star, and Injective Colouring: Bounding the Diameter
我们研究的影响，边界的直径，以及研究变种的着色问题。一个着色是非循环的，星，或内射，如果任何两个颜色类导致森林，星森林或不相交的顶点和边，分别工会。相应的决策问题有无圈着色、星着色和内射着色。最后一个问题也被称为$L(1,1)$ -标签，我们也考虑了$L(a,b)$ -标签的框架。我们证明了一些（几乎）完整的复杂性分类。特别是，我们表明，对于图的直径最$d$，无环$3$ -着色是多项式时间可解的，如果$d\leq 2$，但NP-完全，如果$d\geq 4$，和明星$3$ -着色是多项式时间可解的，如果$d\leq 3$，但NP-完全的$d\geq 8$。据我们所知，星$3$ -着色是第一个问题，表现出复杂性跳跃的一些$d\geq 3$。我们的第三个主要结果是，$L(1,2)$ -标签是NP-完全的图直径$2$，我们涉及后一个问题的一个特殊情况下的哈密顿路径。
2021-09-08 cs.CC cs.DM cs.DS
Classifying k-Edge Colouring for H-free Graphs
一个图是$H$ -free的，如果它不包含同构于$H$的导出子图。对于任意整数$k$和任意图$H$，我们确定了无$H$图的$k$ -边着色的计算复杂性.
2018-10-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Linearly ordered colourings of hypergraphs
$r$ -均匀超图的线性序（LO）$k$ -着色给每个顶点分配一个从$\{1, \ldots, k \}$开始的整数，使得在每条边上，颜色的（多）集合有唯一的最大值.同样，对于$r=3$，如果边中的两个顶点被指定相同的颜色，则第三个顶点被指定更大的颜色（与经典的非单色着色中的不同颜色相反）。Barto，Battistelli和Berg [STACS'21]在承诺约束满足问题（PCSP）的背景下研究了$3$ -一致超图上的LO着色。我们展示了两个结果。首先，给定一个允许LO $2$ -染色的3-一致超图，可以在多项式时间内找到一个具有$k=O(\sqrt[3]{n \log \log n / \log n})$的LO $k$ -染色.其次，给出了一个允许LO $k$-着色的$r$ -一致超图，证明了对每一个常数一致$r\geq k+2$求LO $k$ -着色的NP-困难性.事实上，我们确定的多态性奴才之间的关系，所有的均匀性$r\geq 3$，这揭示了一个关键的区别$r<k+2$和$r\geq k+2$，这可能是独立的利益。使用的代数方法PCSP，我们实际上显示了一个更一般的结果，建立NP-硬度找到一个LO $k$ -着色LO $\ell$ -colorphine $r$ -均匀超图$2 \leq \ell \leq k$和$r \geq k - \ell + 4$。
2022-11-02 cs.CC cs.DM cs.DS
Sampling Colourings of the Triangular Lattice
我们表明，适当的9着色的三角形晶格上的Glauber动力学是迅速混合，这使得有效的采样。因此，有一个完全多项式随机近似计划（FPRAS）计数适当的9-着色的三角晶格。适当的着色对应于零温反铁磁Potts模型中的配置。我们证明了由三角晶格的适当9-着色组成的自旋系统具有强的空间混合。这意味着存在唯一的无限体积吉布斯分布，这是统计物理学中研究的一个重要性质。我们的结果建立在Goldberg，Martin和Paterson以前的工作基础上，他们在三角晶格上对10种颜色显示了类似的结果。他们的工作之前，萨拉斯和索卡尔的11色的结果。这两种证明都依赖于计算辅助，我们的9色证明也是如此。我们使用了随机启发法来指导我们获得严格的结果。
2010-10-26 cs.DM cs.DS math-ph
Colouring Graphs of Bounded Diameter in the Absence of Small Cycles
对于$k\geq 1$，$G$的$k$着色$c$是从$V(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得对于任何两个非相邻顶点的$c(u)\neq c(v)$为$u$和$v$ . $k$ -着色问题是判定图$G$是否具有$k$ -着色。对于图族${\cal H}$，如果$G$不包含任何来自${\cal H}$的图作为导出子图，则图$G$是${\cal H}$ -free的.令$C_s$为$s$ -顶点循环。在以前的工作（MFCS 2019）中，我们研究了直径对$(C_3,\ldots,C_s)$ -free图和$H$ -free图的$3$ -着色复杂性的影响，其中$H$是一些polyad。在这里，我们证明了$s$的某些小的值，$3$ -着色是多项式时间可解的$C_s$ -自由图的直径$2$和$(C_4,C_s)$ -自由图的直径$2$。事实上，我们的结果适用于更一般的问题列表$3$ -着色。我们补充这些结果与直径$4$的一些硬度结果。
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
Filling the Complexity Gaps for Colouring Planar and Bounded Degree Graphs
图$G=(V,E)$的着色是函数$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots \}$，使得对于每个$uv\in E$，$c(u)\neq c(v)$。$k$-$G$的常规列表分配是具有域$V$的函数$L$，使得对于每个$u\in V$，$L(u)$是大小为$k$的$\{1, 2, \dots\}$的子集。如果对于每个$u\in V$都有$c(u)\in L(u)$，则$G$的着色$c$遵守$G$的$k$ -常规列表分配$L$。一个图$G$是$k$ -可选的，如果对于$G$的每个$k$ -正则列表分配$L$，存在一个尊重$L$的$G$着色。我们也可以问，对于给定的图$G$的给定的$k$ -正则列表分配$L$，是否存在尊重$L$的$G$的着色。这产生了$k$ -常规列表着色问题。对于$k\in \{3,4\}$，我们确定一个家庭的类${\cal G}$的平面图，这样，无论是$k$ -定期列表着色是NP-完全的实例$(G,L)$与$G\in {\cal G}$，或每一个$G\in {\cal G}$是$k$ -choosable。通过使用已知的非$3$ -可选和非$4$ -可选图的例子，这使得我们能够将$k$ -正则列表着色的复杂性限制到平面图、平面二部图、平面无三角形图以及没有$4$ -圈和没有$5$ -圈的平面图。我们还分类的复杂性$k$ -定期列表着色和一些相关的着色问…
2019-02-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Rainbow Colouring of Split and Threshold Graphs
连通图的彩虹着色是图的边的着色，使得每对顶点由至少一条路径连接，其中没有两条边的颜色相同。这种使用最少可能颜色数的着色称为最优彩虹着色，所需的最少颜色数称为图的彩虹连接数。在这篇文章中，我们展示了以下内容：1.决定一个图是否可以用3种颜色着色的问题即使局限于分裂图类也是NP完全的。然而，任何分裂图都可以在线性时间内使用比最佳颜色多一种颜色来着色。2.对于任何大于2的整数k，判定一个图是否可以用k种颜色着色的问题即使仅限于弦图类也是NP-完全的。3.对于每一个正整数k，具有彩虹连接数k的阈值图可以单独基于它们的度序列来表征。此外，我们可以最佳彩虹颜色的阈值图在线性时间。
2012-05-08 cs.CC cs.DM cs.DS
