Interval Edge Colourings of Complete Graphs and n-cubes
Petros A. Petrosyan
对于完全图和n-立方体，我们发现了区间边着色中可能的颜色数的界。
For complete graphs and n-cubes bounds are found for the possible number of colours in an interval edge colourings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Interval Colourings of Some Regular Graphs
给出了正则图的区间着色的最大可能颜色数的下界。
On List Colouring and List Homomorphism of Permutation and Interval Graphs
列表着色是一个NP完全决策问题，即使颜色的总数是三个。即使在平面二部图上也是困难的。本文给出了一个多项式时间算法，用于解决具有有限颜色总数的置换图的列表着色问题。更一般地，我们给出了一个多项式时间算法，解决了列表同态问题的任何固定的目标图的一个大类的输入图，包括所有的置换和区间图。
Temporal Role Colouring
该研究将图的角色着色扩展到时序图，证明时序角色着色问题是NP完全的，并通过参数化分析给出了该问题的固定参数可处理性结果。
The forced colouring function of a graph
本文研究图的强制着色函数，确立其基本性质，给出特定点导数的组合解释，并证明在特定区间内计算其值为#P-难。
Scheduling algorithm to select $k$ optimal programme slots in television channels: A graph theoretic approach
在本文中，它表明，所有电视频道的所有节目可以建模为一个区间图。将节目槽作为图的顶点，如果两个{节目槽}的持续时间有非空相交，则认为对应的顶点由边连接。将节目的观众数量作为顶点的权重。在时间安排方面相互排斥的一组节目称为一个会话。我们假设一间公司的目的，是在不同信道的$k$平行时段中，选择受欢迎的节目，使其商业广告能达到最多观众，即公司同时选择$k$合适的节目时段作广告宣传。因此，本文的目的是帮助公司选择节目时段，这些节目时段相对于广播时间的时间表是互斥的，以这样的方式，使得在$k$并行时段中所选节目的观众总数上升到最佳水平。证明了该问题的解是通过求解区间{图}上的最大权$k$ -着色问题得到的。利用$O(kMn^2)$时间设计了一种算法来求解该准时制优化问题，其中$n$和$M$分别表示所有频道的节目总数和所有频道的所有节目的观众上限。本文考虑的问题是一个日常生活问题，它是由区间图上的$k$ -着色问题建模的。
Star colouring and locally constrained graph homomorphisms
本文将偶数度正则图的星着色刻画为到完全图有向线图及其底层无向图的局部约束同态，推广了3-正则图线图4-星着色的经典结果，并给出特征值必要条件与平面4-正则3-连通图的NP-完全性。
Odd Chromatic Number of Graph Classes
一个图称为奇（分别，偶），如果每个顶点都有奇（分别，偶）度。Gallai证明了每个图都可以划分为两个偶诱导子图，或者划分为一个奇诱导子图和一个偶诱导子图。我们把划分成奇子图称为G的奇染色。Scott [Graphs and Combinatorics，2001]证明了一个图允许奇数着色当且仅当它有偶数个顶点。我们说一个图G是k-奇列图，如果它能被划分成至多k个奇导出子图。本文首次系统地研究了图类的奇染色和奇色数。特别地，我们考虑了一些类是否有界奇色数。我们的主要结果是：区间图、有界模宽图和有界最大度图都有界奇色数。
Daisy cubes: a characterization and a generalization
雏菊立方体是最近引入的一类超立方体$Q_n$的等距子图。它们是由$Q_n$的选定顶点和顶点$0^n\in V(Q_n)$之间的间隔引起的。在本文中，我们根据扩展过程来描述菊花立方体，从而回答了Klavžar和Mollard在2018年关于菊花立方体\cite{KlaMol-18}的介绍性论文中提出的一个开放问题。为了获得这样的表征菊花立方体的几个有趣的性质。对于给定的图$G$同构于一个雏菊立方体，但没有相应的嵌入到一个超立方体，我们提出了一个算法，找到一个适当的嵌入$G$到一个超立方体在$O(mn)$时间.最后，引入了有根图的雏菊图，并证明了它是雏菊立方体的推广。
Representing graphs as the intersection of axis-parallel cubes
$k$维空间中的单位立方体（或简称\emph{$k$-cube}）被定义为笛卡尔积$R_1\times R_2\times...\times R_k$，其中$R_i$（对于$1\leq i\leq k$）是实直线上形式为$[a_i,a_i+1]$的闭区间。图$G$的$k$ -立方体表示是$G$的顶点到$k$ -立方体的映射，使得$G$中的两个顶点相邻，当且仅当它们对应的$k$ -立方体具有非空交集。$G$的\emph{cubicity}表示为$\cubi(G)$，是最小的$k$，使得$G$具有$k$ -立方体表示. \cite{Roberts}证明了对$n$顶点上的任何图$G$，都有$\cubi(G)\leq 2n/3$ .许多NP完全图问题都有多项式时间的确定性算法，或者在低立方度的图中有很好的逼近比。在大多数这些算法中，计算给定图的低维立方体表示通常是第一步。我们提出了一个有效的算法来计算$k$立方体表示的$G$的最大程度$Δ$在$O(Δ\ln b)$维度，其中$b$是带宽的$G$。$G$的带宽至多为$n$，并且可以低得多。该算法以$G$中顶点的带宽排序作为输入。虽然计算图的顶点的带宽排序是NP难的，但有一些算法在实践中表现得很好。即使在理论上，有一个$O(\log^4 n)$近似算法计算带宽排序的图形使用我们的算法可以产生一个$k$立方体表示的任何给定的图形在$k=O(Δ(\…
On the cubicity of AT-free graphs and circular-arc graphs
$k$维中的单位立方体（$k$ -立方体）被定义为笛卡尔积$R_1\times R_2\times...\times R_k$，其中$R_i$（对于$1\leq i\leq k$）是实数线上形式为$[a_i,a_i+1]$的闭区间。如果$G$的每个顶点都可以映射到一个$k$ -立方体上，使得当且仅当它们对应的$k$-立方体有一个非空的交集时，两个顶点在$G$中相邻，则称$G$在$n$节点上的图$G$可表示为$k$-立方体的交集（$k$维中的立方体表示）。表示为$\cubi(G)$的$G$的\emph{cubicity}是最小$k$，对于该最小$k$，$G$可以表示为$k$ -立方体的交集。我们给出了一个$O(bw\cdot n)$算法来计算一般图$G$在$bw+1$维上的立方体表示，其中$bw$是$G$的\emph{bandwidth}.作为结果，我们得到了许多著名的图类，如AT-自由图，圆弧图和共同可比图的$O(Δ)$带宽的立方度的$O(Δ)$上界。因此我们有：1）$\cubi(G)\leq 3Δ-1$，如果$G$是一个AT-自由图。2)$\cubi(G)\leq 2Δ+1$，如果$G$是圆弧图。3)$\cubi(G)\leq 2Δ$，如果$G$是协同可比性图。同样对于这些图形类，存在用于带宽计算的常数因子近似算法，其生成具有$O(Δ)$宽度的顶点的排序。因此，我们可以在多项式时…
On the extremal values of the number of vertices with an interval spectrum on the set of proper edge colorings of the graph of the $n$-dimensional cube
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们分别用$V(G)$和$E(G)$表示它的顶点集和边集。一个函数$φ:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.图$G$的$t$的最小值为$χ'(G)$，它使图$G$的$t$ -染色为真边。对任意图$G$和任意满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$的整数$t$，我们用$α(G,t)$表示$G$的所有真边$t$ -染色的集合.让我们也定义一个集合$α(G)$的所有正常边染色的图$G$：$$ α(G)\equiv\bigcup_{t=χ'(G)}^{|E(G)|}α(G,t). $$一个任意的非空有限子集的连续整数称为一个区间。如果$φ\inα(G)$和$x\in V(G)$，则与$x$关联的$G$的边的颜色集合用$S_G(x,φ)$表示，并且称为图$G$的顶点$x$在适当边染色$φ$处的谱。如果$G$是一个图，并且$φ\inα(G)$，则定义$f_G(φ)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,φ) \textrm{is an interval}\}|$。对于图$G$和任何整数$t$，满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$，我们定义：$$ μ_1(G,t)\equiv\min_{φ\inα(G,t)}f_G(…
Backbone colouring of chordal graphs
本文研究弦图的主干着色问题，证明对二分主干和区间图有BBC2(G,H)≤χ(G)+O(1)，给出反例说明不能推广，并得到对森林主干和C4-自由主干的近似界。
On the cubicity of bipartite graphs
{ \it} $k$ -维中的单位立方体（或$k$ -立方体）被定义为笛卡尔积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是$[a_i, a_i+1]$形式的实数线上的闭区间. $G$的{ \it cubicity}表示为$cub(G)$，是最小$k$，使得$G$是$k$ -立方体集合的交集图。许多NP-完全图问题在低立方度图中可以有效地求解或具有很好的逼近比。在大多数情况下，第一步是得到给定图的低维立方体表示。已知对于图$G$，$cub(G) \leq \lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$ .最近的研究表明，对于图$G$，有$cub(G) \leq 4(Δ+ 1)\ln n$，其中$n$和$Δ$分别是$G$的顶点数和最大度。本文证明了：对于一个二部图$G = (A \cup B, E)$，其中$|A| = n_1$，$|B| = n_2$，$n_1 \leq n_2$，和$Δ' = \min\{Δ_A, Δ_B\}$，其中$Δ_A = {max}_{a \in A}d(a)$和$Δ_B = {max}_{b \in B}d(b)$，$d(a)$和$d(b)$分别是$a$和$b$在$G$中的度，$cub(G) \leq 2(Δ'+2) \lceil \ln n_2 \rceil$ .我们还给出了一个有效的随机算法…
Packing, Hitting, and Colouring Squares
本文研究了非轴平行正方形的packing与hitting问题，首次给出了τ/ν比率的非平凡上界（单位正方形为6，变体为10），并利用该方法界定了χ/ω比率，填补了正方形几何对象常数界限研究的空白。
Cubicity, Degeneracy, and Crossing Number
定义一个$k$ -盒$B=(R_1,...,R_k)$为笛卡尔积$R_1\times R_2\times ...\times R_k$，其中每个$R_i$为实数线上的闭区间.如果每个$R_i$都是一个单位长度的区间，我们称$B$为$k$ -cube。图$G$的盒性，记为$\boxi(G)$，是最小整数$k$，使得$G$是$k$ -盒的交图。类似地，$G$的立方度，表示为$\cubi(G)$，是最小整数$k$，使得$G$是$k$ -立方的交集图。它在[L]中显示。放大图片创作者：Sunil Rupran，Mathew C. Francis和Naveen Sivadasan：将图表示为轴平行立方体的交集。MCDES-2008，IISc Centenary Conference，available at CoRR，abs/cs/ 0607092，2006.]即，对于具有最大度$Δ$，$\cubi(G)\leq \lceil 4(Δ+1)\log n\rceil$的图$G$。本文证明了，对于$k$ -退化图$G$，$\cubi(G) \leq (k+2) \lceil 2e \log n \rceil$ .由于$k$最多是$Δ$，并且可以低得多，因此这显然是一个更强的结果。这个界限很紧.我们还给出了一个有效的确定性算法，运行在$O(n^2k)$时间输出一个$8k(\lceil 2.42 \…
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs I
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值和最大值分别用$w(G)$和$W(G)$表示。本文首先证明了：如果$G$是$r$ -正则图且$G\in \mathfrak{N}$，则有$W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$（$m\in \mathbb{N}$）和$W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$（$n\geq 2$）.接下来，我们研究网格，圆柱和环面的区间边着色。特别地，我们证明了，如果$G\square H$是平面的，两个因素至少有3个顶点，那么$G\square H\in \mathfrak{N}$和$w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于$n$维立方体$Q_{n}$的猜想，并证明了$Q_{n}$有区间$t$ -染色当且仅当$n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$ .
Pairwise Compatibility Graphs of Unweighted Caterpillars
本文研究见证树为无权毛毛虫的成对相容图，将其等价为一维差标记问题，推导结构性质，明确其包含与排除的图类，还给出区间固定时的多项式时间识别算法。
On zero-free regions for the anti-ferromagnetic Potts model on bounded-degree graphs
对于图$G=(V,E)$、$k\in \mathbb{N}$和复数$w$，单变量Potts模型的配分函数定义为\[ {\bf Z}(G;k,w):=\sum_{ϕ:V\to [k]}\prod_{\substack{uv\in E \\ ϕ(u)=ϕ(v)}}w, \]，其中$[k]:=\{1,\ldots,k\}$。本文给出了有界度图上反铁磁Potts模型配分函数的无零区域。特别是，我们表明，对于任何$Δ\in \mathbb{N}$和任何$k\geq eΔ+1$，存在一个开集$U$在复平面中，包含的间隔$[0,1)$，使${\bf Z}(G;k,w)\neq 0$的任何$w\in U$和任何图形$G$的最大程度在最多$Δ$。(Here $e$表示自然对数的底。）对于较小的$Δ$值，我们能够给出更好的结果。作为我们的研究结果的应用，我们得到了改进的$k$上的界的存在的确定性近似算法计数正确的$k$染色的小的最大程度的图的数量。
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