Oriented Colourings of Graphs with Maximum Degree Three and Four
我们证明了最大度为3的图的任何定向都有定向9-着色，最大度为4的图的任何定向都有定向69-着色。这些结果分别改进了11和80的最佳已知上界。
2018-12-13 cs.DM math.CO
Edge-colouring and total-colouring chordless graphs
图$G$是\emph{chordless}，如果在$G$中没有圈有弦。本文研究了无弦图的色指数和全色数。我们描述了一个已知的无弦图的分解结果，并利用它建立了每个最大度的无弦图$Δ\geq 3$都有色指数$Δ$和全色数$Δ+ 1$。证明是算法的意义上，我们实际上输出一个最佳着色的图形实例在多项式时间。
2013-09-07 cs.DM math.CO
Equitable neighbour-sum-distinguishing edge and total colourings
与任何（不一定是正确的）边$k$ -图$G$的着色$γ:E(G)\longrightarrow\{1,\dots,k\}$，我们可以把由$σ\_γ(v)=\sum\_{e\ni v}γ(e)$给出的一个顶点着色$σ\_γ$联系起来.一个邻域和可区别边$k$ -着色是一个其所联系的顶点着色是适当的边着色.一个图$G$的邻域和可区别指数则是$G$允许一个邻域和可区别边$k$的最小$k$.着色。这些概念自然地推广到图的全着色，即给顶点和边都赋色。本文研究了均匀邻和可区别边着色和全着色，即$γ$的任意两个色类中元素个数相差至多1的着色$γ$。确定了完全图的均匀邻和可区别指数，完全二部图与森林，完全图与二部图的均匀邻和可区别全色数。
2017-01-17 cs.DM math.CO
Strong edge-colouring of sparse planar graphs
图的强边染色是每一个色类诱导一个匹配的真边染色。我们知道，每个具有最大度$Δ$的平面图都有强边染色，最多有$4Δ+4$色。我们表明，$3Δ+1$颜色足够，如果图的围长为6，和$4Δ$颜色足够，如果$Δ\geq 7$或围长至少是5。在本文的最后一部分，我们提出了一些问题有关的一个长期的猜想Vizing正常边染色的平面图。
2014-07-21 cs.DM math.CO
A Note on Colourings of Connected $2$-edge Coloured Cubic Graphs
本文证明了每一个连通的$2$ -边着色三次图都有一个$10$ -着色.这降低了连通$2$ -边着色三次图的色数的上界。
2019-10-24 cs.DM math.CO
$3$-Colouring $P_t$-free graphs without short odd cycles
对于任何奇数$t\ge 9$，我们提出了一个多项式时间算法，解决了$3$着色问题，并找到一个$3$着色，如果存在的话，在$P_{t}$ -免费图的奇数围长至少$t-2$。特别是，我们的算法适用于$(P_9, C_3, C_5)$ -free图，从而朝着确定$3$ -着色在$P_t$ -free图，这是开放的$t\ge 8$的复杂性的进展。
2020-08-11 cs.DM math.CO
Mixing colourings in $2K_2$-free graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图，记为$R_{k}(G)$，是其顶点是$G$的$k$ -着色的图，并且如果两个着色在恰好一个顶点上颜色不同，则两个着色通过边连接。对于任何$k$ -连通图$P_4$ -free图$G$，Bonamy和Bousquet证明了$R_{k+1}(G)$是连通的.在这篇短文中，我们通过构造一个允许冻结$8$-着色的$7$ -色$2K_2$ -free（因此也是$P_5$ -free）图，完成了对不含固定路的$k$ -着色图$G$的$R_{k+1}(G)$连通性的分类.这就解决了第二作者的一个问题。
2021-08-02 cs.DM math.CO
On parsimonious edge-colouring of graphs with maximum degree three
在最大度的图$G$中，$Δ$令$γ$表示可以被$Δ$边着色的边的最大分数。Albertson和Haas证明了当$G$是立方时，$γ\geq 13/15$。我们在这里表明，这个结果可以扩展到最大度为3的图，除了5个顶点的图。此外，恰好有两个图的最大度为3（一个显然是彼得森图），其中$γ= 13/15$。这推广了Steffen的一个结果。这些结果是通过使用所谓的$δ$ -最小边染色的最大度为3的图的结构特性。关键词：三次图;边着色
2012-01-28 cs.DM
The polynomial method for list-colouring extendability of outerplanar graphs
我们重申哈钦森的定理列表着色可扩展的外平面图的非零单项式的图多项式，这产生了一个Alon-Tarsi等价的她的工作。这允许简化她的证明以及获得更一般的结果。
2020-08-07 cs.DM math.CO
Further results on strong edge-colourings in outerplanar graphs
边着色是{ \em strong}，如果每个颜色类都是诱导匹配。本文给出了确定二部外平面图的最优色数和最优加一强色数的公式。此外，我们给出了一个改进的上界的任何外平面图，这是接近最优的。我们所有的证明产生有效的算法来构建这样的着色。
2013-12-19 cs.DM math.CO
Kempe Equivalence of Colourings of Cubic Graphs
给定一个图$G=(V,E)$和$G$的一个适当的顶点着色，一个Kempe链是$V$的一个子集，它诱导出$G$的一个极大连通子图，其中每个顶点有两种颜色之一。进行肯普变换是通过交换肯普链中顶点的颜色来从另一种颜色中获得一种颜色。两种颜色是肯普等价的，如果每一种都可以通过一系列肯普变化从另一种获得。Mohar的一个猜想断言，对于$k \geq 3$，所有不完全的$k$ -正则图的$k$ -着色都是Kempe等价的.我们解决的情况下，$k=3$表明，所有的$3$着色的三次图$G$是肯普等价，除非$G$是完全图$K_4$或三棱柱。
2015-08-10 cs.DM math.CO
Acyclic colourings of graphs with bounded degree
一个图的顶点的$k$ -着色（不一定是真着色）称为{ \it非循环的}，如果对于每一对不同的颜色$i$和$j$，由其端点具有颜色$i$和$j$的边诱导的子图是非循环的。本文考虑了一类广义的无圈$k$ -着色，即要求每一个色类都导出一个无圈或有界度图.我们主要关注最大度为5的图。我们证明了任何这样的图有一个非循环的$5$ -着色，使得每个颜色类导致一个非循环图的最大度至多为4。我们证明了判定图$G$是否具有非循环2-着色的问题是NP-完全的，即使对于最大度为5的图也是如此。我们还给出了一个线性时间算法的非循环$t$ -不当着色的任何图的最大程度$d$假设颜色的数量是足够大的。
2015-11-13 cs.DM math.CO
Building a larger class of graphs for efficient reconfiguration of vertex colouring
图$G$的$k$ -着色是至多将$k$颜色分配给$G$的顶点，使得相邻的顶点被分配不同的颜色。$k$ -着色的重新配置图，$\mathcal{R}_k(G)$，是其顶点是$G$的$k$ -着色的图，并且如果两个着色在恰好一个顶点上的颜色不同，则两个着色通过$\mathcal{R}_k(G)$中的边连接。对于$k$ -列图$G$，我们研究了$\mathcal{R}_{k+1}(G)$的连通性和直径.已知不是所有的弱弦图都具有$\mathcal{R}_{k+1}(G)$连通的性质。另一方面，对于弱弦图的几个子类，如弦图、弦二部图和$P_4$ -free图，$\mathcal{R}_{k+1}(G)$是连通的且直径为$O(n^2)$.我们引入一类新的图称为OAT图，后者类的扩展，实际上扩展类外的弱弦图。OAT图是由四个简单的操作构建的，不相交的联合，加入和添加一个团或可比较的顶点。证明了如果$G$是$k$图，则$\mathcal{R}_{k+1}(G)$与直径$O(n^2)$连通.在此基础上，我们给出了识别OAT图和在$\mathcal{R}_{k+1}(G)$中找到任意两个着色之间的路径的多项式时间算法。
2020-03-03 cs.DM
Acyclic edge colourings of graphs with large girth
一个图$G$的边染色称为无圈的，如果它是适当的，并且每个圈至少包含三种颜色.我们发现，对于每个$\varepsilon>0$，存在一个$g=g(\varepsilon)$，使得如果$G$周长至少$g$，然后$G$承认一个非循环边着色与最多$(1+\varepsilon)Δ$颜色。
2016-06-23 cs.DM math.CO
Acyclic, Star and Injective Colouring: A Complexity Picture for H-Free Graphs
Charles University（查理大学）；Durham University（杜伦大学）；LIRMM, CNRS, Université de Montpellier（蒙彼利埃大学法国国家科学研究中心信息、机器与微系统实验室）
本文研究了H-无图上无环、星形和注入着色问题的复杂性，揭示了固定颜色数k时的分类结果及k作为输入时的差异。
2026-01-29 cs.DM math.CO
Connected greedy colouring in claw-free graphs
一个图的顶点的排序是\emph{connected}，如果每个顶点（除了第一个）都有一个邻居。连通序图的贪婪着色算法包括按序取顶点，并为每个顶点分配最小的可用颜色。一个图是\emph{good}，如果对它的每个连通阶的贪心算法都给它的每个连通导出子图一个最优着色.利用最小禁止诱导子图给出了好无爪图的刻画。
2018-05-04 cs.DM math.CO
Nonrepetitive graph colouring
一个图$G$的顶点着色是“非重复的”，如果$G$不包含任何一条前半部分被赋予与后半部分相同的颜色序列的路.图厄的著名定理说，每条路径都是不重复的3列。本文综述了图的非重复着色的一些结果。其目标是给出一个统一的和全面的介绍的主要结果和证明方法，以及突出许多开放的问题。
2020-09-04 cs.DM math.CO
Uniformly Random Colourings of Sparse Graphs
本文研究了在$Δ< k\ln k $区域中具有最大度$Δ$的稀疏图的均匀随机真$k$ -染色.该制度对应于随机图着色的破碎阈值的下侧，随机约束满足问题的破碎阈值的一个范例。我们证明了各种结果的解决方案空间的几何形状的着色固定图，推广工作Achlioptas，Coja-Oghlan，和Molloy随机图，并证明了随机局部搜索算法的性能在这个政权。我们的中心证明只依赖于基本的技术，即第一矩方法和定量归纳，但它加强了列表着色结果由于Vu，最近戴维斯，康，P。和Sereni，并概括了国家的最先进的界限，从拉姆齐理论的背景下，稀疏图。它进一步产生了一个近似紧的下界上的着色，也被称为分拆函数的波茨模型，与有效的近似计数的影响。
2023-03-27 cs.DM math.CO
A Survey on the Computational Complexity of Colouring Graphs with Forbidden Subgraphs
对于正整数$k$，图$G=(V,E)$的$k$ -着色是一个映射$c: V\rightarrow\{1,2,...,k\}$，使得$c(u)\neq c(v)$，无论何时$uv\in E$ .着色问题是决定对于给定的$G$和$k$，是否存在$G$的$k$着色。如果$k$是固定的（也就是说，它不是输入的一部分），我们就有决策问题$k$ -着色。我们调查已知的结果的计算复杂性的着色和$k$ -着色的图形类，其特征在于由一个或两个禁止诱导子图。我们还考虑了一些变体：例如，问题是延长部分着色，或允许的颜色列表中给出每个顶点。
2016-02-15 cs.CC cs.DM math.CO
A Note on Colourings of Connected Oriented Cubic Graphs
本文证明了连通三次图的每一个定向都允许定向8-着色。这降低了最著名的上界的连通三次图的方向的家庭的色数。我们进一步证明了，每个这样的定向图允许2-路7-染色。这些结果意味着，要么是有向连通三次图族的色数等于2-路色数，要么是Sopena [Journal of Graph Theory 25：191-205 1997]关于连通三次图的方向色数的长期猜想是错误的。
2020-05-29 cs.DM math.CO
Classifying k-Edge Colouring for H-free Graphs
一个图是$H$ -free的，如果它不包含同构于$H$的导出子图。对于任意整数$k$和任意图$H$，我们确定了无$H$图的$k$ -边着色的计算复杂性.
2018-10-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Reconfiguration Graph for Vertex Colourings of Weakly Chordal Graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$包含作为其顶点集的$G$的$k$ -着色，并且如果两个着色在$G$的仅一个顶点上颜色不同，则通过边连接它们。我们证明了对于每个$k \geq 3$，存在一个$k$ -列弱弦图$G$使得$R_{k+1}(G)$是不连通的.我们还引入了$k$ -列弱弦图的一个子类，我们称之为$k$ -列紧图，并证明了对于每个$k$ -列紧图$G$在$n$的顶点上，$R_{k+1}(G)$都有直径$O(n^2)$ .我们证明了这类图包含所有的$k$ -collaboration co-chordal图，当$k = 3$时，包含所有的$3$ -collaboration $(P_5, \overline{P_5}, C_5)$ -free图。我们还提到了一些开放的问题。
2019-06-02 cs.DM math.CO
Paths between colourings of sparse graphs
图~ $G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$具有$G$的所有可能的$k$ -着色的集合作为顶点集，并且如果两个着色在一个顶点上不同，则两个着色是相邻的。我们给出了Bousquet和Perarnau（\emph{European Journal of Combinatorics}，2016）的以下定理的简短证明。令$d$和$k$为正整数，$k \geq d + 1$。对于每个$ε> 0$和每个具有$n$顶点和最大平均度$d - ε$的图$G$，存在一个常数$c = c(d, ε)$使得$R_k(G)$具有直径$O(n^c)$ .我们的证明可以转化为一个简单的多项式时间算法，找到一个路径之间的一对给定的着色$R_k(G)$。
2020-12-12 cs.DM math.CO
Graph modification for edge-coloured and signed graph homomorphism problems: parameterized and classical complexity
我们研究了图修改问题的复杂性与同态为基础的着色性质的边着色图。从边着色图$G$到边着色图$H$的同态是从$G$到$H$的保持邻接和边颜色的顶点映射。本文研究了固定边着色图$H$的同态性质。我们感兴趣的问题是：给定一个边着色图$G$，我们能否执行$k$图操作，使得所得图允许与$H$同态？我们考虑的操作是顶点删除，边删除和切换（一个操作，置换事件到一个给定的顶点的边的颜色）。交换在符号图理论中起着重要的作用，符号图是2-边着色图，其颜色是符号$+$和$-$。我们用VD- $H$ -COLOSIDE、ED- $H$ -COLOSIDE和SW- $H$ -COLOSIDE表示相应的问题（用$k$参数化）。这些问题一般化了$H$ -COLOOTH（决定输入图是否允许同态到固定目标$H$）。我们的主要重点是当$H$是一个边着色图，最多有两个顶点，这种情况下，已经很有趣，因为它包括的问题，如顶点覆盖，奇循环transverSAL和边BIPARTIZATION。对于这样一个图$H$，我们给出了VD- $H$ -COLOOTH，ED- $H$ -COLOOTH和SW- $H$ -COLOOTH的P/NP-c复杂性二分法.然后，我们解决其参数化的复杂性。我们证明了VD- $H$ -COLOSINE和ED- $H$ -COLOSINE对于所有这样的$H$都是FPT。相反，对于某些3阶的$H$，除非P=N…
2022-05-03 cs.DM cs.DS
Reconfiguring 10-colourings of planar graphs
令$k \geq 1$为整数。图$G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$以$G$的所有可能的$k$ -着色的集合作为顶点集，并且如果两个着色在一个顶点上不同，则它们是相邻的。Cereceda在2007年提出了一个猜想：对于任意整数$\ell \geq k + 2$和$k$ -退化图$G$，$R_{\ell}(G)$有直径$O(n^2)$ .该猜想仅在$\ell \geq 2k + 1$ .给出了一个简单的证明：如果$G$是$n$顶点上的平面图，则$R_{10}(G)$的直径至多为$n^2$ .由于可平面图是$5$ -退化的，这证实了Cereceda关于$\ell = 2k$情形下的可平面图的猜想.
2019-02-20 cs.DM math.CO
Random sampling of colourings of sparse random graphs with a constant number of colours
在这项工作中，我们提出了一个简单而有效的算法，它以很高的概率，提供了一个几乎均匀的样本，从一个稀疏随机图G（n，d/n），其中k=k（d）是一个足够大的常数适当的k-着色的集合。我们的算法不是基于马尔可夫链蒙特卡罗方法（M.C.M.C.）。相反，我们提供了一个新的证明我们的算法是基于有趣的“空间混合”性质的G（n，d/n）的着色的正确性。我们的结果改进了以前的结果（基于M.C.M.C.）这就要求颜色的数量随着n无限增长。
2008-04-15 cs.DM
Locally identifying colourings for graphs with given maximum degree
一个图G的正常点着色被称为局部标识，如果对于任何具有不同闭邻域的邻顶点对u，v，u和v的闭邻域中的颜色集是不同的。我们表明，任何图G有一个局部识别着色与$2Δ^2-3Δ+3$颜色，其中$Δ$是G的最大程度，回答了一个积极的方式问的问题Esperet等人。我们还提供了类似的结果，局部识别着色具有的属性，在每个顶点附近的颜色都是不同的，并将我们的方法应用到弦图类。
2012-01-26 cs.DM math.CO
Nonrepetitive Colourings of Planar Graphs with $O(\log n)$ Colours
一个图的顶点着色是\emph{nonrepetitive}，如果没有一条路的前半部分被赋予与后半部分相同的颜色序列。图$G$的\emph{nonrepetitive chromatic number}是最小整数$k$，使得$G$具有非重复的$k$-着色。平面图是否具有有界非重复色数是该领域的一个重要的开放问题。尽管如此，对于$n$-顶点平面图，最著名的上界是$O(\sqrt{n})$。我们证明了一个$O(\log n)$上界。
2012-02-16 cs.DM math.CO
Graph and hypergraph colouring via nibble methods: A survey
本文提供了一个调查的方法，结果和开放的问题，图和超图着色，特别强调半随机的“蚕食”的方法。我们还给出了最近的埃尔德什-费伯-洛瓦兹猜想的证明的一些方面的详细草图。
2021-11-16 cs.DM math.CO
Improved hardness for H-colourings of G-colourable graphs
我们提出了新的结果近似着色的图，更一般地说，近似H-着色和承诺约束满足问题。首先，我们证明了对每个$k\geq 4$用$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}-1$着色$k$ -列图的NP-硬度。这改进了Bulín、Krokhin和Opršal [STOC'19]的结果，他们给出了$k\geq 3$的$k$ -colorectal图用$2k-1$颜色着色的NP-硬度，以及Huang [APPROX-RANDOM'13]的结果，他给出了足够大的$k$的$k$ -colorectal图用$2^{k^{1/3}}$颜色着色的NP-硬度。因此，对于$k\geq 4$，我们从已知的线性/亚指数间隙改进为指数间隙。其次，我们证明了仅H的盒复形的拓扑决定了G-列图的H-着色对所有（非二部，H-列）G是否是NP-难的。这形式化了Krokhin和Opršal [FOCS'19]的结果背后的拓扑直觉，即对于所有（3-列，非二部）G，G-列图的3-着色是NP-困难的。我们使用这种技术来建立NP-硬度的H-着色的G-列图的H，包括但不限于$K_3$，包括无平方图和圆形集团（留下$K_4$和更大的集团开放）。在我们所有的证明的基础是一个非常普遍的观察，伴随函子给承诺约束满足问题之间的减少。
2019-10-04 cs.CC cs.DM math.AT
Colouring triangle-free graphs with local list sizes
我们证明了Molloy最近关于无三角形图的色数的一个突破性结果（以及Bernshteyn的后续工作）的两个不同的和自然的改进.在我们的两个结果中，我们允许提供给较低度数的顶点的颜色量相应地较低。一个结果涉及列表着色和对应着色，而另一个涉及分数着色。我们的第二个证明说明了使用的硬核模型来证明一个约翰森型的结果，这可能是独立的利益。
2020-04-16 cs.DM math.CO
Complexity of colouring problems restricted to unichord-free and \{square,unichord\}-free graphs
图中的\emph{unichord}是一条边，它是圈的唯一弦。\emph{square}是四个顶点上的诱导环。一个图是\emph{unichord-free}，如果它的边都不是幺弦。本文对一个已知的无幺弦图的结构定理作了一个简单的重述，并证明了除了完全图$K_4$之外，任何最大度为3的无平方、无幺弦图都可以用四色全着色.我们的证明可以变成一个多项式时间算法，实际上输出的颜色。这解决了类的平方免费，unichord-free图作为一类的边着色是NP-完全的，但总着色是多项式。
2013-09-11 cs.DM math.CO
Colouring Graphs of Bounded Diameter in the Absence of Small Cycles
对于$k\geq 1$，$G$的$k$着色$c$是从$V(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得对于任何两个非相邻顶点的$c(u)\neq c(v)$为$u$和$v$ . $k$ -着色问题是判定图$G$是否具有$k$ -着色。对于图族${\cal H}$，如果$G$不包含任何来自${\cal H}$的图作为导出子图，则图$G$是${\cal H}$ -free的.令$C_s$为$s$ -顶点循环。在以前的工作（MFCS 2019）中，我们研究了直径对$(C_3,\ldots,C_s)$ -free图和$H$ -free图的$3$ -着色复杂性的影响，其中$H$是一些polyad。在这里，我们证明了$s$的某些小的值，$3$ -着色是多项式时间可解的$C_s$ -自由图的直径$2$和$(C_4,C_s)$ -自由图的直径$2$。事实上，我们的结果适用于更一般的问题列表$3$ -着色。我们补充这些结果与直径$4$的一些硬度结果。
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
Narrowing the Complexity Gap for Colouring ($C_s$,$P_t$)-Free Graphs
对于正整数$k$和图$G=(V,E)$，$G$的$k$ -着色是一个映射$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots,k\}$，使得无论何时$uv\in E$都是$c(u)\neq c(v)$. $k$ -着色问题是对于给定的$G$，决定是否存在$G$的$k$ -着色。$k$ -预着色扩展问题是针对给定的$G=(V,E)$，决定$V$的子集的着色是否可以扩展为$G$的$k$ -着色。图的$k$ -列表分配是将列表-$\{1,\ldots,k\}$的子集-分配给每个顶点，并且列表$k$ -着色问题是决定对于给定的$G$，$G$是否具有$k$ -着色，其中每个顶点用其列表中的颜色着色。我们继续研究这三个决策问题的计算复杂性时，限制到图，既不包含一个循环的$s$顶点，也不包含一个路径的$t$顶点作为诱导子图（固定的正整数$s$和~ $t$）。
2014-07-06 cs.CC cs.DM math.CO
On the Complexity of Role Colouring Planar Graphs, Trees and Cographs
我们证明了几个结果的复杂性的角色着色问题。图$G$的角色着色是对图$G$的顶点的颜色分配，使得相同颜色的两个顶点在它们的邻域中具有相同的颜色集合。我们发现，问题找到一个角色着色与$1< k <n$颜色是NP-困难的平面图。我们表明，限制问题的树产生多项式可解的情况下，只要$k$是恒定的或有一个恒定的差异与$n$，在树中的顶点数。最后证明了上图总是$1<k\leq n$的$k$ -角色着色，并在多项式时间内构造了这样的着色.
2014-08-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Graph Homomorphism Reconfiguration and Frozen $H$-Colourings
对于一个固定的图$H$，$H$ -着色（即与$H$的同态）的重构问题是：给定一个图$G$和$G$的两个$H$ -着色$φ$和$ψ$，是否存在一个$H$ -着色的序列$f_0,\dots,f_m$，使得对于每个$0\leq i<m$和$uv\in E(G)$，$f_0=φ$，$f_m=ψ$和$f_i(u)f_{i+1}(v)\in E(H)$？如果图$G$是无环的，那么这等价于询问是否可以通过每次改变一个顶点的颜色将$φ$转换为$ψ$，使得所有中间映射都是$H$ -着色。在肯定的情况下，我们说$φ$重新配置为$ψ$。目前，仅当$H$是团、圆形团、无$C_4$图或在容易从这些图导出的少数其他情况下，才知道决定$H$着色$φ$是否重新配置为$H$着色$ψ$的复杂性.当$H$是奇轮时，证明了该问题是PSPACE完全的.在研究$H$ -着色的重构问题时，一个重要的概念是冻结的$H$ -着色，即一个$H$ -着色的$φ$，使得$φ$不重构为任何$H$ -着色的$ψ$，使得$ψ\neq φ$ .对于给定的图$G$是否允许冻结$H$ -着色的问题，我们得到了一个显式的二分法.硬度证明涉及减少CSP问题，这是NP完全的，通过建立不存在某种类型的多态性。
2017-12-01 cs.CC cs.DM math.CO
Filling the Complexity Gaps for Colouring Planar and Bounded Degree Graphs
图$G=(V,E)$的着色是函数$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots \}$，使得对于每个$uv\in E$，$c(u)\neq c(v)$。$k$-$G$的常规列表分配是具有域$V$的函数$L$，使得对于每个$u\in V$，$L(u)$是大小为$k$的$\{1, 2, \dots\}$的子集。如果对于每个$u\in V$都有$c(u)\in L(u)$，则$G$的着色$c$遵守$G$的$k$ -常规列表分配$L$。一个图$G$是$k$ -可选的，如果对于$G$的每个$k$ -正则列表分配$L$，存在一个尊重$L$的$G$着色。我们也可以问，对于给定的图$G$的给定的$k$ -正则列表分配$L$，是否存在尊重$L$的$G$的着色。这产生了$k$ -常规列表着色问题。对于$k\in \{3,4\}$，我们确定一个家庭的类${\cal G}$的平面图，这样，无论是$k$ -定期列表着色是NP-完全的实例$(G,L)$与$G\in {\cal G}$，或每一个$G\in {\cal G}$是$k$ -choosable。通过使用已知的非$3$ -可选和非$4$ -可选图的例子，这使得我们能够将$k$ -正则列表着色的复杂性限制到平面图、平面二部图、平面无三角形图以及没有$4$ -圈和没有$5$ -圈的平面图。我们还分类的复杂性$k$ -定期列表着色和一些相关的着色问…
2019-02-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Colouring of (P3UP2)-free graphs
2K 2-free图类及其各种子类已经在各种背景下进行了研究。本文研究了2K_2-free图的一个超类（P_3UP_2）-free图的着色问题。我们得到了（P3 UP 2）-free图的色数的一个O（w^3）的上界，以及（P3 UP 2），diamond）-free图的一个更精确的上界，其中w表示团数.通过应用类似的证明技术，我们得到了（2K 2，钻石）-免费图的色界。最后两个类是完美的，如果w分别>=5和>= 4。
2016-10-23 cs.DM math.CO
Complexity of Restricted Star Colouring
限制星着色是星着色的一种变体，用于设计估计稀疏Hessian矩阵的启发式算法。对于$k\in\mathbb{N}$，图$G$的一个$k$ -限制星着色（$k$ -rs着色）是一个函数$f:V(G)\to{0,1,\dots,k-1}$，使得（i）对G的每条边$xy$都有$f(x)\neq f(y)$，（ii）在$G$中不存在中间顶点颜色较高的双色3-顶点路（$P_3$）.我们证明了对于$k\geq 3$，测试给定的最大度$k$和任意大围长的平面二部图是否允许$k$ -rs着色是NP-完全的，从而回答了Shalu和Sandhya提出的问题（Graphs and Combinatorics，2016）。此外，证明了一个3-星色图是否允许3-rs着色是NP-完全的。我们还证明了对于所有的$ε> 0$，用最少的颜色数对2-退化二部图进行限制星着色的优化问题在$n^{(1/3)-ε}$内是NP-难逼近的.在积极的一面，我们设计了（i）一个线性时间算法来测试3-RS着色的树，和（ii）一个$O(n^3)$ -时间算法来测试3-RS着色的弦图。
2021-08-06 cs.DM math.CO
Colourings of $(m, n)$-coloured mixed graphs
本研究聚焦$(m, n)$-着色混合图的顶点着色问题，证明已有有向图、2-边着色图的着色结论均为该通用框架下的特例，且两类结果都对应Brooks定理的变体，拓展了混合图着色的理论体系。
2024-12-25 cs.DM math.CO
Colouring Diamond-free Graphs
着色问题是指给定一个图$G$和一个整数$k$，决定$G$是否允许（适当的）$k$着色。对所有顶点数不超过5的图$H$，我们对无$(\mbox{diamond},H)$图着色的计算复杂性进行了分类.我们的证明是基于结合已知的结果一起证明的cube-width是有界的$(\mbox{diamond}, P_1+2P_2)$ -free图。我们处理这种情况的技术是将所考虑的图简化为具有非常特定分解的$k$ -partite图。作为这个一般技术的副产品，我们也能够证明的有界性的其他四个新的类的$(H_1,H_2)$ -自由图的宽度。因此，我们的工作也继续了最近的系统研究到（无）有界的$(H_1,H_2)$ -free图的宽度，和我们的五个新的类有界的宽度减少开放的情况下，从13到8。
2016-09-05 cs.DM math.CO
Connected greedy colourings of perfect graphs and other classes: the good, the bad and the ugly
本文研究连通贪心着色中的好图与丑图分类问题，证明所有完美图及其子类（块图、可比图）以及无K₄-minor图都不是丑图，并给出构造性证明和多项式时间算法。
2024-03-25 cs.DM math.CO
Generalising the achromatic number to Zaslavsky's colourings of signed graphs
图的色数是图的色理论中最核心的概念之一，它指的是使图的顶点正确着色所需的最少颜色数。它的几个方面的利益已在文献中进行了调查，包括适当的着色修改的变体。这些变体包括，值得注意的是，图的无色数，这是正确着色图的顶点所需的最大颜色数，以便沿着某条边分配不同颜色的每个可能组合。这个参数的行为导致了许多有趣的研究，揭示了与色数的相似性和差异。这项工作发生在最近的一个趋势，旨在扩展色理论的图的领域签署的图，特别是在调查经典的结果如何适应签署的上下文中。大部分的工作都在这条线上的日期是关于两个主要的概括适当着色的签署图，归因于Zaslavsky和Guenin。将无色数推广到签名图是最近由Lajou发起的，他的调查与Guenin的着色有关。我们在这里继续这条研究路线，但把扎斯拉夫斯基的着色作为我们的适当着色的概念。我们研究的一般行为，我们所得到的变种的无色数，主要是通过调查如何已知的经典无色数的结果概括到我们的上下文。我们的研究结果涵盖，特别是，边界，标准操作图，和复杂性方面。
2022-05-11 cs.DM math.CO
Hereditary Graph Classes: When the Complexities of Colouring and Clique Cover Coincide
如果一个图不包含同构于$H_1$或$H_2$的导出子图，则对于一对图$H_1,H_2$，该图是$(H_1,H_2)$ -free的.在2001年，Král '，Kratochv' ıl，Tuza和Woeginger开始了一项关于无$(H_1,H_2)$图着色复杂性的研究。从那时起，其他人试图完成他们的研究，但许多案件仍然悬而未决。我们主要研究$H_2$是$H_1$的补$\overline{H_1}$的无$(H_1,H_2)$图.由于这些类在互补下是封闭的，因此着色和团覆盖的计算复杂性一致。通过结合新的和已知的结果，我们能够分类的复杂性着色和团覆盖的$(H,\overline{H})$ -自由图的所有情况下，除了当$H=sP_1+ P_3$的$s\geq 3$或$H=sP_1+P_4$的$s\geq 2$。我们还分类的复杂性着色的图形类，其特征在于禁止有限数量的自互补诱导子图，我们发起了一项研究的$k$ -着色的$(P_r,\overline{P_r})$ -自由图。
2017-06-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Colouring locally sparse graphs with the first moment method
给出了最大度$Δ$的图$G$的列表色数的一个界的一个简短证明，其中每个邻域的密度至多为$d$，即$χ_\ell(G) \le (1+o(1)) \fracΔ{\ln \fracΔ{d+1}}$为$\fracΔ{d+1} \to \infty$ .这个界限紧到一个渐近因子$2$，这是最好的可能，除非在拉姆齐理论的突破，并加强了由于Vu的结果，最近戴维斯，P.，康和塞雷尼我们的证明依赖于第一时刻的方法，并适应了一个聪明的计数罗森菲尔德在非重复着色的背景下开发的参数。作为最后的接触，我们表明，我们的方法提供了一个渐近紧的局部稀疏图的着色数的下界。
2021-11-25 cs.DM math.CO
Colouring Generalized Claw-Free Graphs and Graphs of Large Girth: Bounding the Diameter
对于一个固定的整数，$k$ -着色问题是决定是否可以用最多$k$颜色的图的整数$k$，使得没有两个邻顶点是相同的颜色。如果$G$不包含$H$作为诱导子图，则图$G$是无$H$的.对于所有的$k\geq 3$，如果$H$含有诱导爪或诱导圈，则对于无$H$的图，$k$ -着色问题是NP-完全的. $H$包含一个循环的情况下，从已知的结果，该问题是NP-完全的，即使是任意大的固定围长的图。我们研究在何种程度上的情况可能会改变，如果此外输入图有界直径。
2021-11-23 cs.CC cs.DM cs.DS
Colouring perfect graphs with bounded clique number
一个图是完美的，如果每个诱导子图的色数等于它的最大团的大小，并且Grötschel，Lovász和Schrijver在1988年的一个算法在多项式时间内找到了完美图的最佳着色。但是该算法使用椭球方法，并且构造一个“组合”多项式时间算法来产生完美图的最佳着色是一个众所周知的公开问题。$G$中的偏斜划分是$V(G)$的划分$(A,B)$，使得$G[A]$不连通且$\bar{G}[B]$不连通，其中$\bar{G}$表示补图;并且如果满足$G$和$\bar{G}$中的路径的附加奇偶性条件，则它是平衡的。在本文中，我们首先给出了一个多项式时间算法，输入一个完美图，输出一个平衡斜划分，如果有一个。然后，我们用这个得到一个组合算法，找到一个最佳着色的完美图的团数$k$，在时间上是多项式固定$k$。
2017-07-12 cs.DM math.CO
Colouring Probe $H$-Free Graphs
Department of Computer Science, Durham University（达勒姆大学计算机系）；Institute of Optimization and Operations Research, Ulm University（乌尔姆大学优化与运筹学研究所）；Department of Information and Computing Sciences, Utrecht University（乌得勒支大学信息与计算科学系）
研究了H-无图的着色问题，发现当图结构为P_t-无图时，3着色复杂性取决于t的大小，t≤5时多项式时间可解，t≥6时为NP难。
2025-12-27 cs.DM cs.DS math.CO
3-Colouring Planar Graphs
University of Ottawa（渥太华大学）；Carleton University（卡尔顿大学）；McGill University（麦吉尔大学）；Monash University（莫纳什大学）
研究n顶点平面图的3着色问题，核心方法是证明其单色分量大小为O(n^(4/9))，主要贡献是改进了之前最好界限O(n^(1/2)) 。
2026-07-20 cs.DM math.CO
Optimal b-Colourings and Fall Colourings in $H$-Free Graphs
Inha University（仁荷大学）；Durham University（杜伦大学）；ENS Lyon（里昂高等师范学校）；University of Glasgow（格拉斯哥大学）
研究H-free图中四种着色问题的计算复杂性，揭示b着色数、崩溃着色数和崩溃无色数的复杂性分类，并发现H存在使得b着色数为NP难而紧b着色数为多项式时间可解。
2026-03-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Approximate Graph Colouring and the Crystal with a Hollow Shadow
本文证明近似图着色无法由线性规划与线性丢番图方程结合的提升投影层次结构解决，其证明基于组合张量理论。
2025-05-19 cs.CC cs.DM math.CO
Approximate Graph Colouring and Crystals
我们表明，近似图着色没有解决任何级别的仿射整数规划（AIP）的层次。为了建立结果，我们将展示一个欺骗AIP层次的图形的问题转化为构建高度对称的晶体张量的问题。为了证明任意维晶体的存在，我们提供了一个可实现的张量系统的组合特征;即，低维张量的集合，可以实现为单个高维张量的投影。
2022-10-15 cs.CC cs.DM math.CO
Rainbow Colouring of Split and Threshold Graphs
连通图的彩虹着色是图的边的着色，使得每对顶点由至少一条路径连接，其中没有两条边的颜色相同。这种使用最少可能颜色数的着色称为最优彩虹着色，所需的最少颜色数称为图的彩虹连接数。在这篇文章中，我们展示了以下内容：1.决定一个图是否可以用3种颜色着色的问题即使局限于分裂图类也是NP完全的。然而，任何分裂图都可以在线性时间内使用比最佳颜色多一种颜色来着色。2.对于任何大于2的整数k，判定一个图是否可以用k种颜色着色的问题即使仅限于弦图类也是NP-完全的。3.对于每一个正整数k，具有彩虹连接数k的阈值图可以单独基于它们的度序列来表征。此外，我们可以最佳彩虹颜色的阈值图在线性时间。
2012-05-08 cs.CC cs.DM cs.DS
Hierarchical complexity of 2-clique-colouring weakly chordal graphs and perfect graphs having cliques of size at least 3
一个图的团是一个最大的顶点集的大小至少为2，导致一个完全图。一个图的$k$ -团着色是顶点至多用$k$颜色着色，使得没有团是单色的。Défossez证明了完美图的2-色是一个$Σ_2^P$ -完全问题[J. Graph Theory 62（2009）139--156].我们加强了这一结果，它仍然是$Σ_2^P$ -完全弱弦图。然后，我们确定一个层次结构的嵌套子类的弱弦图，其中每个图形类是在一个不同的复杂性类，即$Σ_2^P$ -完全，$\mathcal{NP}$ -完全，和$\mathcal{P}$。我们解决了Kratochvíl和Tuza提出的一个公开问题，以确定所有团的大小至少为3的完美图的2-团着色的复杂性[J. Algorithms 45（2002），40- 54]，证明这是一个$Σ_2^P$ -完全问题。然后，我们确定了一个层次结构的完美图的嵌套子类与所有集团的大小至少为3，其中每个图形类是在一个不同的复杂性类，即$Σ_2^P$ -完全，$\mathcal{NP}$ -完全，和$\mathcal{P}$。
2013-12-11 cs.CC cs.DM math.CO
