Approximation of holomorphic maps from Runge domains to affine algebraic varieties
Marcin Bilski, Adam Parusinski
我们提出了一个几何证明定理说，全纯映射从龙格域仿射代数簇承认逼近的纳什映射。接下来我们推广这个定理。
We present a geometric proof of the theorem saying that holomorphic maps from Runge domains to affine algebraic varieties admit approximation by Nash maps. Next we generalize this theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Approximation of biholomorphic maps between Runge domains by holomorphic automorphisms
本文研究了复仿射空间中Runge域之间biholomorphic映射的近似问题，证明其可由全纯自同构逼近，并推广了相关结果。
Holomorphic approximation: the legacy of Weierstrass, Runge, Oka-Weil, and Mergelyan
在本文中，我们调查理论的全纯逼近，从经典的19世纪的结果，龙格和维尔斯特拉斯，继续与20世纪的工作，奥卡和韦尔，Mergelyan，Vitushkin和其他人，最近的高维流形。本文包括这一理论的一些新结果和应用，特别是对流形值映射。
Runge embeddings, approximation of biholomorphisms on Stein manifolds, and the Loewner PDE
该研究开发了适用于斯坦流形并集的全纯龙格嵌入逼近延拓原理，将其应用于多类斯坦流形相关问题，推广了现有嵌入结果并构造了洛普纳偏微分方程的解。
Runge approximation on convex sets implies the Oka property
证明了复流形Y上关于Stein流形到Y的全纯映射的存在性和同伦分类的经典Oka性质等价于关于欧几里得空间中紧凸集到Y的全纯映射的Runge逼近性质.
Holomorphic Approximation via Dolbeault Cohomology
本文研究复维数复流形$n\geq 1$中全纯逼近与$\bar\partial$ -闭形式逼近。我们考虑了经典的龙格定理和Mergelyan性质的光滑和$L^2$拓扑复流形域的扩展。利用某些Dolbeault上同调群刻画了Runge或Mergelyan性质，并给出了一些几何充分条件.
Flow invariant Runge domains and global linearization of holomorphic vector fields
研究全纯流的流不变Runge域与全局线性化：证明正时流不变域在特定条件下为Runge域，并给出满足可积条件的全纯向量场的全局线性化定理。
Multipliers on Spaces of Holomorphic Functions on Runge Domains in $\mathbb{C}^n
本文研究 $\mathbb{C}^n$ 中 Runge 域上全纯函数空间的乘子，将其刻画为与解析泛函的卷积，并在笛卡尔积域上通过全纯函数芽给出表示，最终建立乘子与解析泛函的拓扑同构。
On holomorphic curves into complex projective varieties
本文从Nevanlinna理论的观点出发，研究了满足Fubini-Study导数$\|f'(z)\|=O(|z|^σ)$的全纯曲线，对于某些$σ>-1$
Proper holomorphic disks in the complement of varieties in \C^2
对于C^2中的任何闭解析集X，存在单位圆盘到C^2中的一个真全纯嵌入，使得映象避开X。
The Runge approximation theorem for generalized polynomial hulls
由龙格逼近定理可知，在紧多项式凸集$K\subset \complexes^{n}$的邻域内全纯的函数都可以在$K$上用解析多项式一致逼近.当多项式凸包$\hat {K}$的作用由Basener引入的广义多项式包$h_{q}(K)$扮演时，我们将在这里证明相同的结果，对于每个整数$q\in {0,...,n-1}$，广义多项式包$h_{q}(K)$可以由$h_{q}(K)=\displaystyle\bigcup_{P\in \complexes [z_{1},...,z_{n}]} A_{P}$定义，其中$A_{P}=\{z\in \complexes^{n}: |P(z)|\leq δ_{K}(P,z)\}$，并且其中$δ_{K}(P,z)$表示当$f$在$z$处消失的全纯多项式映射$\complexes^{n}\to \complexes^{q}$的集合中时$||P||_{K\cap f^{-1}(0)}$的最低值。
Nevanlinna theory for holomorphic curves from annuli into semi Abelian varieties
本文证明了从环到Kähler紧流形的全纯曲线的对数导数的一个引理，并证明了它的一些性质。作为应用，给出了从环到半阿贝尔簇的全图曲线只与一个因子相交的第二主要定理。
Global embeddings of weakly pseudoconvex complex spaces and refined Runge-type approximation theorems
本文通过典范奇点解消构造奇异Hermite度量，利用强开性控制乘子理想层，建立了适用于复空间的精细Runge型逼近定理，并证明了弱伪凸复空间正则点的全局全纯嵌入，进而解决了弱伪凸复流形的并集问题。
Truncated counting functions of holomorphic curves in Abelian varieties
给出了Yamanoi [Y2]刚证明的关于Zagaki稠密全纯曲线为阿贝尔簇的截断阶为1的第二主要定理的一个新证明.我们的证明是基于文献[K 2]中引入的“Radon变换”的思想，并考虑了“Radon变换”中出现的参数空间上的概率测度的某些奇异扰动。
Defect relation for holomorphic maps from complex discs into projective varieties and hypersurfaces
本文针对复圆盘上有限增长指数的全纯映射，建立了与射影簇中任意超曲面族相交的第二主要定理，给出截断亏量之和的上界，并推广改进了先前相关结果。
Shearing maps and a Runge map of the unit ball which does not embed into a Loewner chain with range $\mathbb C^n$
本文研究了单位球上$(z,w)\mapsto (z+g(w), w)$形式的“剪切”全纯映射类.除了一般的属性，我们使用这样的地图来构建一个例子，一个归一化的单价映射的球到龙格域的$\mathbb C^n$，但不能嵌入到Loewner链的范围是$\mathbb C^n$。
Holomorphic curves in moduli spaces of polarized Abelian varieties
研究了从一般开Riemann曲面到光滑对数对$(X, D).$的全纯曲线的值分布.利用随机分析，首先得到了McQuillan提出的重言式不等式和一个对数导数引理.然后，在一定条件下，利用它们建立了$(X, D)$对的Nevanlinna理论的第二主要定理。最后，我们应用第二大定理研究了从一般开黎曼曲面到某些特殊的极化阿贝尔簇相交边界因子模空间的全纯曲线。
Holomorphic Approximation and Mixed Boundary Value Problems for $\partial$
本文研究了希尔伯特空间中圆环上$\bar\partial$的全纯逼近的边值问题. $\bar\partial$的相关边界条件是环上的混合边界问题。通过相关的$L^2$上同调群的消失刻画了整环的伪凸性和Runge型性质.
Norm Preserving Extensions of Holomorphic Functions Defined on Varieties in ${\mathbb C}^n$
若$V$是伪凸域$Ω$中的解析集，证明了总有一个伪凸域$G \subseteq Ω$包含$V$，且具有$V$上的有界全纯函数扩张到$G$上的有界全纯函数的性质.我们发现这样的$G$为某些特定的解析集。当$Ω$是一个多面体，我们证明了有一个规范的全纯函数上的$V$，总是可以保持的扩展$Ω$。
A non-integrated defect relation for holomorphic maps into algebraic varieties
本文推广Fujimoto关于全纯映射的非积分亏量理论，建立了全纯映射到射影簇的非积分亏量关系，将经典Nevanlinna-Cartan型结果从射影空间推广到一般射影簇。
Holomorphic curves into algebraic varieties intersecting moving hypersurface targets
在[Ann.of Math.169（2009）]中，闵汝证明了复射影簇中代数非退化全纯曲线与固定超曲面目标相交的第二个主要定理。在本文中，通过引入一种新的证明方法，我们将这一结果推广到运动超曲面目标。
Second main theorem for holomorphic curves into algebraic varieties intersecting moving hypersurfaces targets
自2009年Ru建立了关于全纯曲线在一般位置上与超曲面相交的代数簇的伟大工作以来，最近关于与运动超曲面目标相交的代数簇的第二主要定理有了一些进展。本文的主要目的是对Ru的第二个主要定理给出一些有趣的改进，它适用于亚一般位置的带指标的运动超曲面目标。
Holomorphic Curves into Algebraic Varieties Intersecting Divisors in Subgeneral Position
近年来，全纯曲线的代数簇第二主要定理在一般位置或次一般位置与因子相交的问题上有了许多发展。本文通过引入次一般位置指数的概念，改进了次一般位置的概念。有了这个新的概念，我们给出了一些令人惊讶的改进以前已知的第二主要定理类型的结果。最后，通过Nevanlinna理论与丢番图逼近的类比，建立了相应的Schmidt子空间型定理。
Projection on Segre varieties and determination of holomorphic mappings between real submanifolds
证明了将一个有限型实解析一般子流形变换成另一个实解析一般子流形的全纯映射的芽由它在目标流形的Segre簇上的投影决定.给出了一个映射到目标流形的Segre簇的芽是一个全纯映射将源流形投影到目标流形的充要条件.给出了一个应用于双全纯等价问题的例子。
Holomorphic Approximation in Banach Spaces: A survey
综述了复巴拿赫空间单位球上全纯函数的Runge逼近问题。
Holomorphic Legendrian curves in $\mathbb{CP}^3$ and superminimal surfaces in $\mathbb S^4$
本文给出了复射影$3$中开黎曼曲面和紧黎曼曲面的全纯Legendrian曲线和浸入的Runge逼近定理，并证明了从开黎曼曲面到$\mathbb{CP}^3$的Legendrian浸入空间是路连通的.我们还表明，全纯勒让德浸入从黎曼曲面的有限亏格和至多可数多个端，其中没有一个是点端，满足Calabi-Yau性质。结合Runge逼近定理，我们推论出每个开Riemann曲面嵌入到$\mathbb{CP}^3$中作为一条完全的全纯Legendrian曲线。在$4$球上的扭量投影$π:\mathbb{CP}^3\to \mathbb S^4$下，浸入全纯Legendrian曲线$M\to \mathbb{CP}^3$与正自旋的超极小浸入$M\to\mathbb S^4$根据Bryant的结果是双射对应的.作为推论，给出了$\mathbb S^4$中超极小曲面的相应结果.特别地，到$\mathbb S^4$的超极小浸入满足Runge逼近定理和Calabi-Yau性质。
Proper holomorphic curves attached to domains
设D是C^n中具有光滑边界的区域，在边界上的一点p是有限1型的，且D的闭包具有Stein Runge邻域的基。假设存在一个解析圆盘，它与D的闭包在p处相交，我们从任意一个开黎曼曲面S构造出全纯映射，这些曲面S在p处与D的闭包相连。
Extending holomorphic maps from Stein manifolds into affine toric varieties
复流形$Y$称为具有插值性质，如果从约化Stein空间$X$的子簇$S$到$Y$的全纯映射具有到$X$的全纯扩张，如果它具有连续扩张。把$S$作为$X=\mathbb{C}^n$的一个可收缩子流形给出了一个表面上弱得多的性质，称为凸插值性质。根据Forstner定理，这两个性质是等价的。它们（以及大约十几个其他非平凡的等价性质）定义了奥卡流形类。本文首次尝试发展奇异目标的Oka理论。我们研究的目标是仿射复曲面品种，不一定正常。我们证明，每一个仿射环面品种满足削弱的插值性质是比凸插值性质强得多，但完整的插值性质失败的大多数仿射环面品种，即使是一个简单的产品的两个环嵌入在$\mathbb{C}^4$的源。
Degeneracy of Holomorphic Curves into Algebraic Varieties
应用第二主要定理，我们讨论了从复平面到正对数Kodaira维数的复代数正规簇的整条全纯曲线的代数退化，该复代数正规簇允许有限的真态射到半阿贝尔簇.我们还将讨论Kobayashi双曲性问题的应用。
Runge and Mergelyan theorems on families of open Riemann surfaces
本文针对带有连续或光滑依赖于参数的Hölder类复结构族的开定向曲面，构造了到任意Oka流形的全纯映射族，并证明了Runge逼近、Mergelyan逼近和Weierstrass插值定理，应用于构造定向全纯浸入和共形极小浸入族。
Bloch's principle for holomorphic maps into subvarieties of semi-abelian varieties
本文将半阿贝尔簇子簇上整曲线的值分布基本定理推广到单位圆盘全纯映射序列，证明了对数一般型子簇的伪小林双曲性，并改进了 Cartan 关于满足 Borel 恒等式的无处消失全纯函数组的经典定理。
A holomorphic (2, 2)-Theorem for Abelian varieties of CM-type
该研究针对CM型阿贝尔簇，证明了第二Milnor K群解析层的第二上同调群到对应Hodge型有理上同调类的映射在不计分母时为满射。
Families of rational curves on holomorphic symplectic varieties and applications to zero-cycles
研究了不可约全纯辛簇上的有理曲线族。本文给出了$K3^{[n]}$型全纯辛簇上的充分充裕线性系包含一个被本原类的有理曲线覆盖的非圆因子的充要条件。特别是，对于任何固定的$n$，我们表明，只有100多个偏振类型的全纯辛簇的$K3^{[n]}$型不包含这样的uniruled因子。作为一个应用，我们提供了一个推广的结果，由于Beauville-Voisin的周群的0-循环等品种。
The Second Main Theorem for Holomorphic Curves into Semi-Abelian Varieties
设f：C -> A是到半阿贝尔簇A的全纯曲线.则f（C）的Zebraki闭包是A的半阿贝尔子簇的平移（对数Bloch-Ochiai定理）。本文的目的是建立一个定量版本的上述结果，即，第二主要定理和亏损关系。
Dense Stable Rank and Runge Type Approximation Theorems for $\mathbf{H^\infty}$ Maps
设$H^\infty(\mathbb D\times\N)$是定义在开单位圆盘$\mathbb D\subset\mathbb C$的可数个不交并上的有界全纯函数的巴拿赫代数.我们证明了$H^\infty(\mathbb D\times\N)$的稠密稳定秩为1，并利用这一事实证明了$H^\infty(\mathbb D\times\N)$映射的一些非线性Runge型逼近定理.然后我们应用这些结果得到了代数$H^\infty(\mathbb D)$的类似逼近问题中逼近映射范数的先验一致估计。
Rigidity of bounded $Γ$-equivariant holomorphic maps for $π_1$ of irreducible Shimura varieties of rank $\ge 2$ via Kähler geometry, harmonic analysis and ergodic theory
本文研究秩≥2不可约志村簇的有界Γ-等变全纯映射刚性，聚焦同构定理的Carathéodory双曲靶空间变体，阐释Kähler几何、调和分析与遍历理论在证明中的核心作用。
Runge tubes in Stein manifolds with the density property
本文给出了$\mathbb C^n$ $(n>1)$中Runge管的存在性和完备性的一个非常简单的证明，更一般地，给出了具有密度性质的Stein流形中Runge管的存在性和完备性的一个证明.特别证明了对于复欧几里得空间$\mathbb C^n$中余维至少为2的任何代数子流形$A$，$\mathbb C^n$中$A$的法丛在$\mathbb C^n$的Runge域上有一个全纯嵌入，该嵌入与零截面上的包含映射$A\hookrightarrow \mathbb C^n$一致.
Defects for Ample Divisors of Abelian Varieties, Schwarz Lemma, and Hyperbolic Hypersurfaces of Low Degrees
本文主要证明了关于阿贝尔簇的充分因子的亏损关系的一个定理。主要定理设$A$是复维数$n$的交换阿贝尔簇，$D$是$A$中的充分因子.设$f:{\bf C}\rightarrow A$是一个全纯映射.则映射$f$和除数$D$的缺陷为零。主要定理的推论。在阿贝尔簇$A$中的充分因子$D$的补是双曲的，在这个意义上，从$\bf C$到$A-D$不存在非常数全纯映射。
The Second Main Theorem for Holomorphic Curves into Semi-Abelian Varieties II
利用全纯曲线$f:\C \to A$到半阿贝尔簇$A$的最佳截断水平1和$A$上的任意有效简化除子$D$建立了第二主要定理，低截断水平对于应用是重要的.我们将用$f$的喷气升力来证明这一点。最后，我们给出了一些应用，包括马克格林提出的问题的解决方案。
Holomorphic automorphisms of Danielewski surfaces II -- structure of the overshear group
我们应用Nevanlinna理论代数簇Danielewski表面和调查他们的全纯自同构群。我们的主要结果是：已知在全纯自同构群的单位连通区稠密的过剪切群是自由的合并积。
Quasiprojective varieties admitting Zariski dense entire holomorphic curves
设$X$是复拟投射簇. Noguchi-Winkelmann-Yamanoi的一个结果表明，如果$X$允许Zagliki稠密整曲线，则它的拟Albanese映射是一个纤维空间.我们表明，在这种情况下，一个适当的双有理等价映射的基础上诱导的orbifold结构是特殊的。因此，如果$X$是具有$\bar q(X)\geq\dim X$的对数一般类型，则任何整条曲线都包含在$X$的一个真子类中。
The Bruce-Roberts number of holomorphic 1-forms along complex analytic varieties
本文定义全纯1-形式沿复解析簇的Bruce-Roberts数，证明其可用Ebeling--Gusein-Zade指标、Milnor数和Tjurina数表示，并应用于复二维全纯叶状结构。
The Bruce-Roberts Tjurina number of holomorphic 1-forms along complex analytic varieties
本文定义了全纯1-形式沿复解析簇对的Bruce-Roberts Tjurina数，证明其与多个已知不变量之间的关系，并应用于复二维全纯叶层芽的拟齐性问题。
Meromorphic maps from ${\Bbb C}^{p}$ into semi-abelian varieties and general projective varieties
通过纤维积分降维法，将全纯曲线的Nevanlinna型结果推广到从${\Bbb C}^{p}$到射影簇的亚纯映射，包括Bloch定理、第二基本定理等。
An embedding of the unit ball that does not embed into a Loewner chain
我们构造了一个全纯嵌入$ϕ:\mathbb B^3\rightarrow\mathbb C^3$，使得$ϕ(\mathbb B^3)$在任何严格较大的域上都不是Runge.因此，$\mathcal S\neq\mathcal S^1$用于$n=3$。
Julia directions for holomorphic curves
该研究证明了映入复射影簇的整全纯映射的Picard型定理，其具备局部特性可证Julia方向存在，同时举例说明相关Borel定理无局部对应结论，推进了复分析领域相关研究。
Attracting divisors on projective algebraic varieties
得到了射影代数簇$X$上的正因子$D$吸引全纯映射$f:X \mapsto X$的充必要条件（用相应线丛上的正奇异度量表示）.
Segre varieties and Lie symmetries
利用经典的S.Lie方法，我们得到了定义实解析超曲面的Segre族的全纯PDE系统的无穷小对称性的完整描述。这对CR几何的一些著名结果给出了新的证明。
Runge-Type Approximation Theorem for Banach-valued ${\mathbf H^\infty}$ Functions on a Polydisk
该研究证明多圆盘上Banach值有界全纯函数的Runge型逼近定理，推广Suárez的相关结果，可应用于高维日冕问题。
Proper holomorphic mappings into $\ell$-concave quadric domains in projective space
本文证明了射影空间中某些$\ell$ -凹域的真全纯映射到模型二次$\ell$ -凹域的一类部分刚性结果。主要的技术结果是适当的全纯映射到模型域的程度估计，提供的映射扩展到射影空间作为有理映射，和源域包含代数簇，并具有低CR复杂度的边界。
Linking numbers and boundaries of varieties
$\Bbb C^n$中两个互补维数解析簇在公共点处的交指数为正。这种观察，这已被称为“基石”的代数几何（[GH，p.~ 62]），是一个简单的后果，事实上，分析品种进行自然的方向。在环绕数方面进行重铸，这是我们的主要动机。这意味着：设$M$是$\Bbb C^3$中的光滑定向紧致3-流形。假设$M$有界于一个有界复2-簇$V$。在这里，“界限”的意思是，在斯托克斯定理的意义上，即，即${b[V]}={[M]}$作为电流。设$A$是$\Bbb C^3$中与M不相交的代数曲线。考虑$M$和$A$的链接号${\rm link}(M,A)$。由于该连接数等于$V$和$A$的交集数（即交集索引之和），通过这些交集索引的正性，我们得到${\rm link}(M,A) \geq 0$。如果$V$和$A$不相交，则链接数当然为0。(As $A$并不紧凑，"链接数"的用法将在后面说明。）这个推理更一般地表明，如果$M$有界于一个正的全纯2-链，则${\rm link}(M,A) \geq 0$。回想一下，在$Ω\subseteq \Bbb C^n$中的{ \it全纯$k$ -链}是一个和$\sum n_j [V_j]$，其中$\{V_j\}$是$Ω$和$n_j \in \Bbb Z$的不可约$k$ -维子簇的局部有限族，如果对所有$j$都是$n_j >0$，则全纯2-链是{ \it正的}.我们的第一个…
Holomorphic Maps from $\mathbb{C}^p$ into Semi-Abelian Varieties
本文证明半阿贝尔簇上具有 Zariski 稠密像的全纯映射与约化有效除子相交的第二基本定理（截断水平为一），给出计数函数与特征函数的不等式关系。
Non-hyperbolicity of holomorphic symplectic varieties
本文证明了满足有理SYZ猜想的第二贝蒂数至少为5的本原辛簇的非双曲性，并进一步在第二贝蒂数至少为7时建立了Kobayashi伪度量恒为零的结果，从而完成了Kamenova-Lu-Verbitsky的工作。
Holomorphic foliations tangent to Levi-flat subsets
我们研究了与复流形中Levi平坦子集相关的Segre簇，并应用它们建立了切全纯叶理积分的局部和全局结果。
On anti-hyperbolicity for hyperkähler varieties
本文研究超凯勒流形被同维数复仿射空间全纯或亚纯支配的反双曲性判据与例子，推广了 K3 曲面的相关已知结果。
Improved bounds on the number of holomorphic maps between compact Riemann surfaces
本文基于黎曼面的亏度给出非常数全纯映射数量的新上界，并改进了已知的界。方法结合了全纯微分的拉回研究、数论几何和雅可比品种理论的技术。
Projective varieties invariant by one-dimensional foliations
本文研究了P^n的一维全纯叶理的示性数与其不变量代数簇的示性数之间的关系。更准确地说：如果M是连通复流形，则M的一维全纯叶状F是态射Φ：L -> TM，其中L是M上的全纯线丛。F的奇异集是解析子簇sing（F）= {p：Φ（p）=0}，F的叶是F在M-sing（F）上诱导的非奇异叶理的叶。若M是P^n，则由于P^n上的线丛在H^2（P^n，Z）= Z中由Chern类c_1（L）分类，P^n的一维全纯叶理F由态射Phi：O（1-d）-> TP^n给出，其中d >= 0，d在Z中，我们称之为F的度。我们将用符号F^d表示这样的叶理。现在假设i：V -> P^n是一个不可约代数簇，F^d不变量，使得F^d到V的拉回i^*（F^d）有一个有限集作为奇异集。我们要解决的问题是d和V的次数之间的关系。
Oka-1 manifolds: New examples and properties
本文研究了Oka-1流形的性质和新例子，提出了代数版本的Oka-1条件，并给出了从紧致黎曼面到均匀有理投影流形的Runge逼近定理。
Analytic varieties invariant by foliations and Pfaff systems
在这篇工作中，我们将提出一个调查的问题和结果的奇异全纯叶理和Pfaff系统的复流形假设这些对象具有不变的分析品种。我们将专注于最近的结果已被激发的经典作品的达布，庞加莱和Painlevé的问题上的代数积分奇异多项式微分方程。给出了关于全纯叶理和Pfaff系统不变量解析簇的度和亏格的Poincaré和Painlevé问题的结果。我们将讨论复解析Pfaff方程亚纯首次积分存在性的可积性理论的一般思想。
Boundaries of Varieties in Projective Manifolds
在一定的非线性矩条件下，给出了复射影空间中全纯链边界的一个刻划。这扩展了作者以前的工作，并补充了Dolbeault和Henkin的结果。
Picard theorems for moduli spaces of polarized varieties
作为极化流形模空间双曲性研究的结果，我们给出了对数光滑对$(X,D)$上全纯曲线的一个普遍的大Picard定理，使得$W=X\setminus D$允许一个Finsler伪度量，当拉回到曲线上时，该度量是强负弯曲的.通过对经典的Viehweg-Zuo构造的一些改进，我们证明了后一个条件对于任何代数族的极化复射影流形的底空间$W$（如果非奇异）是成立的，该代数族的极化复射影流形具有半充分典范丛，其诱导模映射$ϕ$到这种流形的模空间是一般有限的，并且任何$ϕ$ -水平全纯曲线在$W$中.这产生了大皮卡德定理的任何全纯曲线在底空间$U$这样一个代数家庭，允许这个底空间是奇异的，但一般有限模映射。一个直接的和有用的推论是，从代数簇到这样的底空间$U$的任何全纯映射必须是代数的，即，相应的全纯族必须是代数的。我们还显示了相关的代数双曲性质的这样一个底空间$U$，推广了以前的Arakelov不等式和弱有界性结果的模栈，并提供，除了上述皮卡德定理，另一个证据，有利于双曲嵌入这样的$U$。
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