Nonlinear PDEs for gap probabilities in random matrices and KP theory
Airy和Pearcey核和随机矩阵理论中的推广表示为指数比的二重积分，可能乘以有理函数。在这项工作中，它表明，这样的内核是密切相关的波函数多项式（凝胶'fand-Dickey减少）或合理的减少KP-层次，其Fredholm行列式也满足线性偏微分方程（维拉索罗约束），产生，在一个系统的方式，非线性偏微分方程的Fredholm行列式的内核。例子包括Fredholm行列式给出了一些无限维扩散的间隙概率，如Airy过程，有或没有异常值，以及Pearcey过程，有或没有内点。
2012-10-25 math-ph math.MP math.PR
Transitions between critical kernels: from the tacnode kernel and critical kernel in the two-matrix model to the Pearcey kernel
本文研究了两种多临界相关核，证明了它们在一定的双标度极限下收敛于Pearcey核。第一个核出现在一个不相交的布朗运动在tacnode模型。第二个问题出现在具有四次/二次势的Hermitian双矩阵模型中，表现为特征值相关核的三重标度极限。这两个核是不同的，但可以表示为相同的tacnode黎曼-希尔伯特问题。证明是基于这个黎曼-希尔伯特问题的最速下降分析。在分析中的一个特殊功能是引入一个明确的亚纯函数的黎曼曲面上指定的片结构。
2012-08-03 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics of the hard edge Pearcey determinant
研究了与硬边Pearcey核相关联的积分算子的弗雷德霍姆行列式.这个行列式出现在各种随机矩阵和非相交路径模型中。通过将弗雷德霍姆行列式的对数导数与一个$3 \times 3$黎曼-希尔伯特问题联系起来，我们得到了该行列式的渐近性，即相应点过程的大间隙渐近性.
2022-09-26 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics of Fredholm determinant associated with the Pearcey kernel
Pearcey核是随机矩阵理论中的一种经典的普适核，它描述了当极限平均特征值密度呈现尖点奇异性时特征值的局部统计特性。除了矩阵模型之外，它还出现在各种统计物理模型中。考虑迹类算子作用在具有Pearcey核的$L^2\left(-s, s\right)$上的Fredholm行列式.基于$3\times 3$矩阵值Riemann-Hilbert问题的最陡下降分析，我们获得了Fredholm行列式的渐近性为$s\to +\infty$，这在随机矩阵理论的背景下也被解释为大间隙渐近性。
2020-12-16 math-ph math.MP
The Riemann-Hilbert approach to the generating function of the higher order Airy point processes
本文证明了高阶Airy点过程在若干不相交区间上占位数母函数的Tracy-Widom型公式。该公式与我们定义的一个新的向量值Painlevé II层次结构及其拉克斯对有关。
2021-11-17 math-ph math.MP math.PR
Airy processes with wanderers and new universality classes
考虑$n+m$不相交的布朗桥，其中$n$在时间$t=-1$从0离开并在时间$t=1$返回到0，而$m$剩余的那些（漫游者）从$m$点$a_i$到$m$点$b_i$。首先，我们保持$m$固定，并使用$n$适当地缩放$a_i,b_i$。在大- $n$极限下，我们得到了一个新的带有游荡者的Airy过程，它在$\sqrt{2n}$的邻域内，即在没有游荡者的情况下最右边粒子的近似位置.这个新的过程是由一个Airy型内核，合理的扰动。让流浪者的数量$m$趋于无穷大，导致两个皮尔西过程的两个尖点，关闭和开放的尖点，位置的提示是由椭圆曲线。在调整起始点和目标点时，可以让尖点的两个尖端非常接近;这导致了一个新的过程，该过程可能由内核控制，表示为涉及积分变量中五次多项式的指数的二重积分。
2010-10-02 math-ph math.MP math.PR
Critical Behavior of Non-Intersecting Brownian Motions
我们研究了$n$非相交布朗运动，它对应于在支撑的一个内点的大$n$极限中密度为零的初始构形.可以理解的是，消失点可以传播到一个临界时间，我们调查的微观时空相关性附近的临界点和临界时间的性质。我们表明，他们描述的Pearcey过程或艾里线系综，取决于是否一个简单的积分有关的初始配置消失或没有。由于艾里线系综通常出现在宏观密度的边缘点附近，它在光谱内部的出现是令人惊讶的。我们解释这种现象表明，即使没有差距的宏观尺寸附近的临界点，有很高的概率是一个间隙的介观尺寸。此外，我们确定了一个路径，遵循艾里$_2$过程。
2020-01-15 math-ph math.CV math.MP
Large n limit of Gaussian random matrices with external source, Part III: Double scaling limit
本文研究了在$n\times n$ Hermitian矩阵上定义一个外部源$\frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM$的随机矩阵系综中的双标度极限，其中$A$是一个对角矩阵，具有两个相等重数的特征值$\pm a$.值$a=1$是关键的，因为$M$的特征值在两个间隔上对于$a > 1$累积为$n \to \infty$，在一个间隔上对于$0 < a < 1$累积为$n \to \infty$。这两种情况在第一部分和第二部分中进行了处理，在那里我们证明了局部特征值相关具有从酉随机矩阵系综已知的普遍极限行为。对于临界情况$a=1$新的极限行为发生，这是描述的皮尔西积分，如所示的布雷津和Hikami，特雷西和Widom。我们建立了这个结果，通过应用Deift/周最速下降法的$3 \times 3$ -矩阵值的Riemann-Hilbert问题，其中涉及建设的一个局部参数的Pearcey积分。我们解决的主要技术问题，匹配的局部Pearcey参数与全球外部参数通过修改一个基本的黎曼曲面。
2006-02-28 math-ph math.MP math.PR
Darboux transformations and random point processes
本文给出了一类经典的行列式随机点过程（Airy，Pearcey和Hermite）的间隙概率与具有相同核的过程的间隙概率之间的关系式的一般推导方法。通过这种方式，我们将Baik为Baik-Ben Arous-Péché分布发现的Painlevé-like公式推广到许多不同的情况，包括单时间和多时间的情况。该方法不是特设的，并依赖于黎曼-希尔伯特问题的离散Schlesinger变换的概念。
2014-02-03 math-ph math.MP nlin.SI
The tacnode kernel: equality of Riemann-Hilbert and Airy resolvent formulas
本文研究了在时空平面的一个交点附近具有两个指定起始和终止位置的不相交布朗运动。在文献中已经得到了几个表达式的临界相关内核$K\tac(x,y)$，描述的微观行为的布朗运动附近的tacnode。一种方法，由于Kuijlaars，张和作者，表示内核（在单时间的情况下）在一个$4\times 4$矩阵值黎曼-希尔伯特问题。另一种方法，由于阿德勒，法拉利，约翰森，范Moerbeke和兽医\H o在一系列文件，表示内核方面的预解式和Fredholm决定因素的艾里积分算子作用于半无限区间$[σ,\infty)$，涉及一些对象介绍了特雷西和Widom。在本文中，我们证明了这两种方法的等价性。我们还获得了秩-2的性质的衍生物的tacnode核。最后，我们找到了一个Riemann-Hilbert表达式的多时间扩展tacnode核。
2013-03-26 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics of the Tacnode process: a transition between the gap probabilities from the Tacnode to the Airy process
我们研究了单次Tacnode过程的间隙概率。通过最速下降分析一个合适的Riemann-Hilbert问题，我们表明，在适当的标度制度下的Tacnode过程的间隙概率退化成两个独立的Airy过程的间隙概率的产品。
2014-01-21 math-ph math.MP nlin.SI
Asymptotics of the Airy-kernel determinant
作者使用Riemann-Hilbert方法来计算随机矩阵理论的Airy核行列式的渐近行为中出现的常数。
2007-06-21 math-ph math.FA math.MP
Nonlinear PDEs for Fredholm determinants arising from string equations
与二维引力相关的弦方程似乎很自然地和系统地提供了Its-Izergin-Korepin和Slavnov意义上的可积核。其中一些核（除了Airy和Pearcey的“经典”例子）已经出现在随机矩阵理论中，它们具有自然的朗斯基结构，由弦关系$[L^\pm,Q^\pm] = \pm 1$中的一个算子给出，即$L^\pm$。的内核是密切相关的波函数的凝胶'fand-Dickey减少KP层次。这些核的Fredholm行列式也满足维拉索罗约束，导致其对数导数的偏微分方程，这些偏微分方程显式依赖于Painlevé-like系统的常微分方程的解决方案相当于相关的字符串关系。我们给出了随机矩阵理论（高阶Tracy-Widom分布）和统计力学（伊辛模型）中临界现象的一些例子。
2012-11-13 math-ph math.MP nlin.SI
A fully noncommutative Painlevé II hierarchy: Lax pair and solutions related to Fredholm determinants
我们考虑与$n - $ th Airy函数的矩阵版本相关联的矩阵卷积算子的Fredholm行列式。利用可积算子的理论，我们将它们与一个完全非交换的Painlevé II层次，定义通过矩阵值版本的Lenard算子。特别是，黎曼-希尔伯特技术用于研究这些可积算子允许找到一个拉克斯对的每个成员的层次。最后，将Lax矩阵的系数用这些矩阵值的Lenard算子表示，并将其解用矩阵Airy卷积算子平方的Fredholm行列式表示.
2021-01-05 math-ph math.MP nlin.SI
A Riemann-Hilbert approach to the lower tail of the KPZ equation
与Airy核形变相关的Fredholm行列式与Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程的解密切相关，并且在正温自由费米子模型中也表现为最大粒子分布。我们表明，对数衍生物的Fredholm决定因素可以表示在一个2x2黎曼-希尔伯特问题，我们用它来推导渐近的Fredholm决定因素。作为我们的结果的应用，我们得到精确的下尾渐近解的KPZ方程与窄楔形的初始数据，精炼最近的结果Corwin和Ghosal。
2019-10-06 math-ph math.CA math.CV
Riemann Hypothesis and Master Matrix for FZZT Brane Partition Functions
我们继续研究黎曼zeta函数作为FZZT膜配分函数的物理解释，该配分函数与arxiv：0708.0645中开始的矩阵/引力对应有关。推导了$(2,1)$最小和$(3,1)$最小矩阵模型的主矩阵。我们使用它的特征多项式来理解为什么FZZT配分函数的零点，也就是Airy函数，位于实轴上。我们还介绍了一个迭代过程，可以描述的黎曼$Ξ$功能作为一个变形的极小模型的变形参数相关的Konsevich被积。最后，我们讨论了我们的工作的关系，其他方法的黎曼$Ξ$功能，包括扩展方面的Meixner-Pollaczek多项式和黎曼-希尔伯特问题。
2008-05-06 hep-th math-ph math.MP
Asymptotics of the deformed higher order Airy-kernel determinants and applications
本文利用 Riemann-Hilbert 方法研究了高阶 Airy 核 Fredholm 行列式的渐近性，揭示了不同参数下渐近展开的常数项与奇异行为，并探讨了其在随机点过程统计性质中的应用。
2023-06-26 math-ph math.MP
Riemann Hypothesis, Matrix/Gravity Correspondence and FZZT Brane Partition Functions
我们调查的物理解释的黎曼zeta函数作为FZZT膜配分函数与矩阵/重力对应。在这种解释中的希尔伯特-波利亚算子是大N矩阵模型的主矩阵。使用相关函数$Ξ(z)$，我们开发了该函数与高斯矩阵模型的Airy函数Ai（z）之间的类比。这个类比给出了零点为什么位于临界线上的直观物理原因。使用$Ξ(z)$函数的傅立叶变换，我们确定Kontsevich被积函数。将此被积函数推广到$n \times n$矩阵，我们建立了一个描述n个FZZT膜的Kontsevich矩阵模型。与$Ξ(z)$函数相关联的Kontsevich模型由已用于描述矩阵模型瞬子的Liouville型矩阵模型的叠加给出。
2007-08-06 hep-th math-ph math.MP
Large n-limit for Random matrices with External Source with 3 eigenvalues
本文分析了具有三个不同特征值的外源随机矩阵的大n-极限。我们把我们自己限制在Hermite的情况下，三个不同的特征值是$-a,0,a$。对于$a^2>3$情形，我们建立了局部特征值相关在极限$n\rightarrow \infty$中的普遍行为，这是从酉不变随机矩阵模型中已知的。因此，局部特征值相关性表示的正弦内核在散装和艾里内核在频谱的边缘。通过对$4\times 4$ Riemann-Hilbert问题的非线性最速下降法分析，得到了该问题的解。
2015-08-30 math-ph math.CA math.MP
Large n limit of Gaussian random matrices with external source, part I
本文考虑了定义在$n\times n$厄米矩阵上的具有外部源\[ \frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM \]的随机矩阵系综，其中$A$是一个对角矩阵，它只有两个等重的特征值$\pm a$.对于$a > 1$情形，我们建立了局部特征值相关在极限$n \to \infty$中的普遍行为，这是从酉不变随机矩阵模型中已知的。因此，局部特征值相关性表示的正弦内核在散装和艾里内核在频谱的边缘。利用$3 \times 3$ -矩阵Riemann-Hilbert问题对相关的多重Hermite多项式进行了刻画，并利用Deift/Zhou最速下降法分析了$n$大极限下的Riemann-Hilbert问题.
2004-02-20 math-ph math.MP
Large $n$ limit of Gaussian random matrices with external source, part II
我们继续研究了具有外部源$\frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM$的厄米特随机矩阵系综，其中$A$具有两个不同的等重本征值$\pm a$。该模型表现出$a=1$值的相变，因为$M$的本征值对于$a > 1$在两个间隔上累积，对于$0 < a < 1$在一个间隔上累积。第一部分讨论了$a > 1$的情形，证明了局部特征值相关具有酉不变随机矩阵的普遍极限行为，即极限特征值相关在谱的大部分用正弦核表示，在谱的边缘用Airy核表示.本文对$0 < a < 1$建立了同样的结果。在第一部分中，我们应用Deift/Zhou最速下降分析的$3 \times 3$ -矩阵Riemann-Hilbert问题。由于基础黎曼曲面的不同结构，分析包括涉及透镜的全局开口的额外步骤，这是Riemann-Hilbert问题的最速下降分析中的新现象。
2004-08-25 math-ph math.MP
Non-intersecting squared Bessel paths and multiple orthogonal polynomials for modified Bessel weights
我们研究了一个融合情形下的$n$非相交平方Bessel过程模型：所有路径在时间$t = 0$以相同的正值$x = a$开始，保持正值，并且条件性地在时间$t = T$以$x = 0$结束.在极限$n \to \infty$中，经过适当的重新缩放，路径填充了我们明确描述的$tx$平面中的一个区域。特别是，路径最初远离硬边在$x = 0$，但在一定的关键时刻$t^*$的最小路径击中硬边，从那时起就坚持它。对于$t \neq t^*$，我们得到通常的缩放限制随机矩阵理论，即正弦，艾里，贝塞尔内核。一个关键的事实是，在任何时候$t$的路径的位置构成一个多正交多项式系综，对应于两个修改的贝塞尔型权重的系统。因此，有一个$3 \times 3$矩阵值的黎曼-希尔伯特问题，我们分析了在大$n$极限使用Deift-Zhou最速下降法。在黎曼-希尔伯特分析中有一些新的成分是独立的利益。
2007-12-09 math-ph math.CA math.MP
Fredholm determinants and pole-free solutions to the noncommutative Painleve' II equation
本文将Its-Izergin-Korepin-Slavnov可积算子的形式推广到半无限区间上的矩阵值卷积算子和核为E_1^T（x）E_2（y）/（x+y）的矩阵积分算子，从而证明了它们的预解算子可以用某些特殊Riemann-Hilbert问题的解来表示.我们还描述了一些应用程序，主要是一个非交换版本的Painleve' II（最近推出的Retakh和Rubtsov），一个相关的非交换方程的Painleve'型。我们构建了一个特殊的家庭的解决方案的非交换Painleve' II的极点自由（为实值的变量），因此类似于黑斯廷斯-麦克劳德解决方案（交换）Painleve' II。这样的解与Tracy-Widom定理中的交换解扮演着相同的角色，但是对于Airy核的矩阵版本的Fredholm行列式的计算。
2011-01-20 math-ph math.MP nlin.SI
Asymptotics of Fredholm determinant solutions of the noncommutative Painlevé II equation
本文利用 Riemann-Hilbert 方法，研究了非交换 Painlevé II 方程无极点解的渐近行为，其解由 Airy 算子矩阵版本的 Fredholm 行列式表示，渐近性由经典 Painlevé V 方程的一族特殊解给出。
2025-05-22 math-ph math.MP
