Computing Tree-depth Faster Than $2^{n}$
一个连通图的树深度至多为$k$，如果它是一个根树的闭包的子图，根树的高度至多为$k$ .本文给出了一个算法，对于给定的$n$ -顶点图$G$，在时间上$\mathcal{O}(1.9602^n)$计算$G$的树深度。我们的算法是基于组合的结果，揭示了最小根树的结构，其闭包包含$G$。
2013-06-17 cs.DS math.CO
Classes of critical graphs for tree-depth
图G的k-排序是用来自{1，.，k}，使得连接具有相同标签的两个顶点的任何路径包含具有更高标签的顶点。G的树深度是G存在k-排序的k的最小值。图G是k-临界的，如果它的树深为k，且G的任意真子式的树深都小于k;图G是1-唯一的，如果对G中的每个顶点v，都存在G的最优排序，其中v是唯一标号为1的顶点。我们提出了几类图，都是k-临界和1-唯一的，提供的例子，满足临界图在[M. D. Barrus和J. Sinkovic，Uniform和最小障碍物的树深，提交]。
2015-02-18 math.CO
Minimal obstructions for tree-depth: A non-1-unique example
图G的k-秩是图G的顶点的标号，其值为1，.，使得连接具有相同标签的两个顶点的任何路径包含具有更高标签的顶点。G的树深度是G存在k-排序的k的最小值。图G是k-临界的，如果它有树深k，并且G的每个真子式都有较小的树深。如[M]中所定义。D. Barrus，J. Sinkovic，Uniform and minimal obstacles for tree-depth，Discrete Math 339（2）（2015）606-613]，图G是1-唯一的，如果对于G中的每个顶点v，存在G的最优排名，其中v是具有标签1的唯一顶点。在上述论文和[M. D. Barrus，J. Sinkovic，Classes of临界图for tree-depth，arXiv：1502.0577]作者证明了几类临界图是1-唯一的，并询问是否所有临界图都具有此性质。我们回答在否定的证明一个无限家庭的图形是关键的，但不是1-唯一的。
2016-04-02 math.CO
On 1-uniqueness and dense critical graphs for tree-depth
$G$的树深度是$k$的最小值，对于该最小值，存在用来自$\{1,\dots,k\}$的元素对$G$的顶点的标记，使得连接具有相同标记的两个顶点的任何路径包含具有更高标记的顶点。图$G$是$k$ -临界的，如果它有树深度$k$，并且$G$的每个真子式都有更小的树深度。受$k$ -临界图的最大度猜想的启发，我们考虑了1-唯一性的性质，其中临界图的任何顶点都可以是最优标号中唯一接收标号1的顶点.与先前的猜想相反，我们构造的例子临界图是不是1-唯一的，并表明1-唯一的图可以有任意多的边缘比某些关键的生成子图。我们还证明了$(n-1)$ -临界图是1-唯一的，并利用1-唯一性证明了Andrásfai图是临界的。
2017-04-24 math.CO
Uniqueness and minimal obstructions for tree-depth
图G的k-排序是用来自{1，.，k}，使得连接具有相同标签的两个顶点的任何路径包含具有更高标签的顶点。G的树深度是G存在k-排序的k的最小值。图G是k-临界的，如果它有树深k，并且G的每个真子式都有较小的树深。我们建立了部分结果来支持关于k-临界图的阶和最大度的两个定理。作为这些结果的一部分，我们定义一个图G是1-唯一的，如果对于G中的每个顶点v，存在G的最优排名，其中v是唯一的顶点与标签1。我们证明了几类k-临界图是1-唯一的，并推测这一性质对所有k-临界图都成立.推广以前已知的树的建设，我们展示了一个归纳的建设，使用1-唯一的k-临界图生成大类的临界图具有给定的树深度。
2015-02-13 math.CO
On individual leaf depths of trees
本文探索了一种用有限变量追踪无限统计量的生成函数技巧，并将其应用于研究多种树和路径的个体深度与高度分布及多边形对角线数量，获得了精确与渐近结果。
2024-04-30 math.CO
Closure property of contraction-depth of matroids
本文证明了拟阵的 Contraction$^*$-depth 加一等于包含该拟阵作为限制的最小 contraction-depth，确立了图论中 tree-depth 闭包性质的拟阵类似物。
2025-07-11 cs.DM math.CO
Measuring Depth of Matroids
Faculty of Informatics, Masaryk University（马萨里克大学信息学院）；AGH University of Kraków（克拉科夫AGH科技大学）
本文系统研究了矩阵和 matroid 的递归深度参数，提出一个框架得到八种深度度量，证明其性质并将其与 matroid branch-depth 和 matroid tree-width 相关联，同时证明这些度量在 matroid 和矩阵上一致。
2026-10-05 cs.DM math.CO
Depth properties of scaled attachment random recursive trees
本文研究了一类随机递归树的深度性质，其中每个结点i都与随机结点iX_i相连，X_0，.，X_n是独立同分布的序列。取值于[0，1）的随机变量。我们称这种树为标度连接随机递归树（SART）。我们证明了典型深度D_n、最大深度（或高度）H_n和SARRT的最小深度M_n由D_n \sim μ ^{-1} \log n、H_n \sim α_{\max} \log n和M_n \sim α_{\min} \log n渐近给出，其中μ，当X_0有密度时，α_{\max}和α_{\min}是只与X_0的分布有关的常数。特别地，给出了不使用分支随机游动的均匀随机递归树H_n \sim e \log n的高度的一个新的初等证明.
2012-10-26 math.CO math.PR
Compaction for two models of logarithmic-depth trees: Analysis and Experiments
我们感兴趣的是两个经典树族：递归树和平面二元增树的压缩比的定量分析。这些族是具有小深度的树模型的典型代表。一旦大小为$n$的树通过仅保留出现在树中的所有边缘子树的一次出现而被压缩，则所得到的图仅包含$O(n / \ln n)$节点。这一结果必须与简单生成树族中的压缩的经典结果进行比较，其中类似的结果表明，压缩结构的大小为$n / \sqrt{\ln n}$。关于平面二元增树的结果已有证明，但我们提出了一种新的通用方法来得到这一结果。最后，提出了一个实验研究的基础上，原型实现的压缩二叉搜索树，由平面二叉增树建模。
2021-09-13 cs.DS math.CO
Distinct Fringe Subtrees in Random Trees
一棵有根树的边缘子树是由一个顶点及其所有后代诱导的子树。我们考虑两种类型的随机树中不同的边缘子树的数目估计问题：简单生成树和递增树族（递归树、$d$ -ary递增树和广义平面递归树）。我们证明了不同的边缘子树的数量级（在相当温和的假设下，什么“不同”的意思）在随机树与$n$顶点是$n/\sqrt{\log n}$简单生成的树和$n/\log n$增加树。
2021-05-10 cs.DM math.CO
Optimal Random Matchings, Tours, and Spanning Trees in Hierarchically Separated Trees
我们推导出严格的界限上的期望权重的几个组合优化问题的随机点集的大小$n$分布在一个平衡的分层分离树的叶子。我们考虑{ \it单色}和{ \it双色}版本的最小匹配，最小生成树，和旅行推销员问题。我们还提出了严格的浓度单色问题的结果。
2013-07-26 cs.DM math.CO
A sharp threshold for minimum bounded-depth and bounded-diameter spanning trees and Steiner trees in random networks
在n阶完全图中，当每条边的权是指数随机变量时，Frieze证明了最小生成树的权趋于zeta（3）=1/1^3+1/2^3+1/3^3+1/2^3 + 1/2当n趋于无穷大时。我们认为生成树的深度限制为从一个指定的根k。证明了当k > log_2 log n+omega（1）时，最小有界深度生成树的权在n ->无穷大时仍趋于zeta（3），当k < log_2 log n时，权在log_2 log n-k中是双指数大的.寻找最小有界深度生成树是NP难的，但当k < log_2 log n - omega（1）时，一个简单的贪婪算法是渐近最优的，而当k > log_2 log n+omega（1）时，一个对最小（无界深度）生成树做微小改变的算法是渐近最优的。我们证明了类似的结果，最小有界深度斯坦纳树，树必须连接一个指定的一组m个顶点，可能会或可能不会包括其他顶点。特别地，当m = const * n时，如果k > log_2 log n+omega（1），则完全图上的最小有界深度Steiner树与最小Steiner树具有渐近相同的权重，并且如果1 <= k <= log_2 log n-omega（1），权重在期望和概率上都趋于（1-2^{-k}）sqrt{8 m/n} [sqrt{2 mn}/2^k]^{1/（2^k-1）}。当直径界为2k时，同样的结果也适用于最小有界直径Stein…
2011-05-05 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
Stanley depth and simplicial spanning trees
我们证明了斯坦利猜想的证明，它是足够的考虑一类非常特殊的单项理想。这些理想（或者说它们的lcm格）与单纯形骨架的单纯生成树是双射的。我们应用这一结果来验证斯坦利猜想的同胚单项式理想多达六个发电机。对于七个生成元，我们得到了一个部分结果.
2015-03-09 math.AC math.CO
Congruence properties of depths in some random trees
考虑一个有n个顶点的随机递归树。我们证明了当n趋于无穷大时，具有偶数深度的顶点数是渐近正态的。对于深度可被m整除的顶点数（m=3、4或5）也是如此;在所有四种情况下，方差都线性增长。另一方面，当m至少为7时，这个数不是渐近正态的，方差的增长速度比n的线性增长速度快。m=6的情况是中间的：这个数是渐近正态的，但方差是n log n阶的。这是一个简单而引人注目的例子，其他作者在几种情况下观察到了一种相变。我们证明，也许解释，这种非直观的行为使用翻译到一个广义波利亚瓮。类似的结果也适用于随机二叉搜索树;现在深度可被m整除的顶点数对于m至多为8是渐近正态的，但对于m至少为9则不是，并且方差在第一种情况下线性增长，在第二种情况下都更快。（不存在中间情况。）相比之下，我们表明，条件高尔顿-沃森树，包括随机标记树和随机二叉树，没有这样的相变：数量是渐近正常的每一个m。
2005-09-21 math.CO math.PR
Depth of powers of edge ideals of Cohen-Macaulay trees
本文证明了多项式环上维数为$d$的Cohen-Macaulay树的边理想$I$的幂$I^t$的深度公式，即对所有$t \ge 1$，$\operatorname{depth}(S/I^t) = \max\{d-t+1, 1\}$。
2023-09-10 math.AC math.CO
Shrub-depth: Capturing Height of Dense Graphs
本文回顾了用于稠密图的灌木深度概念，并利用其刻画了简单图MSO1转导层次的下ω层，展示了其逻辑应用价值。
2019-01-30 cs.DM cs.LO math.CO
Novel Characteristics of Split Trees by use of Renewal Theory
我们调查的特点，随机分裂树引入Devroye;分裂树包括例如二叉搜索树，$m$ -ary搜索树，四叉树，中位数的$(2k+1)$ -树，单纯树，尝试和数字搜索树。更准确地说：我们介绍了使用更新理论的研究分裂树，并使用此理论证明了几个结果分裂树。基数的分裂树$n$是通过在无限树的顶点子集中分布$n$“球”（通常表示“键数”）来构造的。我们的主要结果之一是给出了球的确定数$n$与顶点的随机数$N$之间的关系。Devroye发现了最后插入的球的深度的中心极限定律，使得大多数顶点接近于$\frac{\ln n}μ+\mathcal{O}\Big(\sqrt{\ln n}\Big)$，其中$μ$是取决于分裂树类型的常数;我们通过为任何$ε>0$的选择找到深度为$\geq\frac{\ln n}μ+\ln^{0.5+ε} n$或深度为$\leq\frac{\ln n}μ+\ln^{0.5+ε} n$的顶点的期望数量的上限来锐化这个结果。我们还找到了树中球的深度的方差的第一渐近。
2010-05-25 math.CO math.PR
Quantifier alternation in a class of recursively defined tree properties
交替量词深度是表达一阶逻辑句子所需的难度的自然度量。我们定义了一个序列的一阶属性的根，局部有限的树在递归的方式，并提供严格的参数，找到交替量词的深度序列中的每个属性，使用Escherichfeucht-Fraïssé游戏。
2019-02-14 math.CO math.LO
The Erdős-Ko-Rado property of trees of depth two
如果集合族中的任何两个集合相交，则集合族是相交的。给定图$G$和整数$r\geq 1$，令$\mathcal{I}^{(r)}(G)$表示$G$的大小为$r$的独立集族。对于$G$的顶点$v$，令$\mathcal{I}^{(r)}_v(G)$表示包含$v$的大小为$r$的独立集的族。这个家族被称为$r$ -星。如果没有相交的$ \mathcal{I}^{(r)}(G)$子族大于最大的$r$ -星，则称$G$为$r$ -EKR.令$k, n, r \geq 1$和令$T(n, k)$是深度为2的树，其中根具有度$n$，并且根的每个邻居具有相同数量的邻居$k + 1$。对于每一个$k \geq 2$，我们表明，$T(n, k)$是$r$ -EKR，如果$2r \leq n$，扩展Borg和Feghali，约翰逊和托马斯的结果，谁考虑的情况下$k = 1$。
2019-07-10 math.CO
Cutting down $\mathbf p$-trees and inhomogeneous continuum random trees
我们研究的$\mathbf p$ -Camarri和Pitman树的碎片[选举。J. Probab.，第5卷，第100页。1- 18，2000年]。我们给确切的对应关系之间的$\mathbf p$ -树和树编码的碎片。然后，我们使用这些结果来研究ICRT的碎片化（$\mathbf p$树的缩放限制），并给出ICRT和编码碎片的树之间的分布对应关系。ICRT的定理推广了Bertoin和Miermont的定理[Ann. Appl. Probab.，第23（4）卷，第100页。1469- 1493，2013]关于布朗连续随机树的截树。
2014-08-16 cs.DM math.CO math.PR
Balance in Random Trees
我们证明了一个随机标记（未标记）树是平衡的。我们还证明了随机标记树和无标记树对任何$k\geq 3$都是强$k$平衡的.
2014-04-04 math.CO
Random recursive trees and preferential attachment trees are random split trees
我们考虑了线性偏好连接树，并证明了它们可以被看作是Devroye（1999）意义下的随机分裂树，尽管具有无限的潜在分支。特别地，这适用于随机递归树和标准优先连接树。一个应用程序的总和在所有对节点的共同数目的祖先。
2017-06-17 math.CO math.PR
Predicting the depth of the most recent common ancestor of a random sample of $k$ species: the impact of phylogenetic tree shape
National Chengchi University（国立政治大学）；University of Canterbury（坎特伯雷大学）
研究随机采样k个物种的最近期共同祖先深度，分析系统发育树形状对结果的影响。
2025-12-02 math.CO math.PR q-bio.PE
Tree-depth and the Formula Complexity of Subgraph Isomorphism
对于固定的“模式”图$G$，$\textit{colored $ G $-subgraph isomorphism problem}$（表示为$\mathrm{SUB}(G)$）在给定$n$ -顶点图$H$和着色$V(H) \to V(G)$的情况下询问$H$是否包含$G$的正确着色副本.这个问题的复杂性与$\mathit{P}$ ${=}?$ $\mathit{NP}$和$\mathit{L}$ ${=}?$ $\mathit{NL}$的参数化版本以及其他问题有关。一个首要的目标是了解的复杂性$\mathrm{SUB}(G)$，在不同的计算模型，在自然不变的模式图$G$。在本文中，我们建立了一个密切的关系之间的$\textit{formula complexity}$的$\mathrm{SUB}$和一个不变量称为$\textit{tree-depth}$（表示$\mathrm{td}(G)$）。已知$\mathrm{SUB}(G)$可通过大小为$O(n^{\mathrm{td}(G)})$的单调$\mathit{AC^0}$公式求解。我们的主要结果是一个$n^{\tildeΩ(\mathrm{td}(G)^{1/3})}$下界的公式是单调$\textit{or}$有次对数深度。这补充了Li、Razborov和Rossman（SICOMP 2017）与树宽度和$\mathit{AC…
2020-04-28 cs.CC math.CO
A note on the independence number, domination number and related parameters of random binary search trees and random recursive trees
我们确定了随机二叉搜索树和随机递归树的独立数的平均增长，并显示其平均值周围的正常波动。同样，我们也给出了这两种随机树模型的控制数及其变化的正规极限律。我们的结果是应用最近的一般定理Holmgren和詹森边缘树在这两个随机树模型。
2020-02-10 math.CO math.PR
Subtrees of a random tree
设$T$是从$n$顶点上的标号树族中随机均匀抽取的随机树。本文给出了$c(n)$的界，即$T$的子树的个数渐近几乎必然成立。在计算机的支持下，我们表明，$1.41805386^n \le c(n) \le 1.41959881^n$。此外，有强烈的迹象表明，事实上，$c(n) \le 1.41806183^n$。
2018-08-15 math.CO
Path-monochromatic bounded depth rooted trees in (random) tournaments
本文研究竞赛图任意边着色中路径单色根树的保证规模，确定一般及有界深度情形的极值，并分析随机竞赛图中的典型值。
2024-04-04 math.CO
Protected nodes and fringe subtrees in some random trees
我们研究了各类随机有根树中的保护节点，将它们放在Aldous（1991）引入的边缘子树的一般上下文中。几种类型的随机树被认为是：简单生成的树（或条件高尔顿-沃森树），其中包括几种情况下，分别由其他作者，二叉搜索树和随机递归树。这给出了几个早期结果的统一和简单的证明，以及新的结果。
2013-10-02 math.CO math.PR
Scaling limits of random Pólya trees
波利亚树是有根树，被认为是对称的。我们建立了具有任意度限制的大型均匀随机Pólya树在Gromov-Hausdorff度量下收敛到Aldous连续随机树的结果。我们的证明是简短和基本的，它表明，一个随机波利亚树的整体形状基本上是由一个大的高尔顿-沃森树，它包含。我们还推导出高度和宽度的亚高斯尾界，这是最佳的常数因子的指数。
2015-12-10 math.CO math.PR
Fringe trees of Patricia tries, compressed binary search trees, and three other random full binary trees
Uppsala University（乌普萨拉大学）
研究Patricia tries和压缩二叉搜索树中边树的分布及其渐近性质，并与其他随机满二叉树模型进行比较。
2026-02-02 math.CO math.PR
Random enriched trees with applications to random graphs
我们建立极限定理，描述的渐近局部和全局的几何行为的随机丰富的树被认为是对称的。我们将这些一般结果随机未标记的加权有根图和均匀随机未标记的$k$树，植根于一个$k$ -集团的可区分的顶点。对于这两个模型，我们建立了一个Gromov-Hausdorff标度极限，Benjamini-Schramm极限，和一个局部弱极限，描述了固定根附近的渐近形状。
2016-12-08 math.CO math.PR
A Weakly 1-Stable Limiting Distribution for the Number of Random Records and Cuttings in Split Trees
我们研究任意分裂树中的随机记录数（或者等价地，消除树所需的随机切割数）。我们表明，一个经典的极限定理收敛的总和三角形阵列的无穷可分分布，可以用来确定这个数字的分布。归一化后的分布是渐近弱1-稳定的。这项工作是我们早期的随机二叉搜索树，这是一个特定的情况下分裂树的结果的推广。分裂树的其他重要例子包括$m$ -ary搜索树、四叉树、$(2k+1)$ -树的中位数、单纯树、尝试和数字搜索树。
2010-05-25 math.CO math.PR
Fringe trees for random trees with given vertex degrees
本文研究给定顶点度数随机树中边缘子树计数的渐近正态性，并借助 Gao–Wormald 定理的多元推广，将结果扩展到标记树、简单生成树及加性泛函。
2023-12-07 math.CO math.PR
Large Deviations for Random Trees
考虑吉布斯分布下的大型随机树，证明了树的顶点度分布的大偏差原理。明确给出了LDP速率函数。一个直接的后果是一个大数定律分布的顶点度在一个大的随机树。我们进行这项研究的动机来自于RNA二级结构的分析。
2007-12-13 math.CO math.PR
Embedding small digraphs and permutations in binary trees and split trees
我们调查的排列数，发生在随机标记的树。这是随机排列中出现的子排列数的一般化。它还推广了最近的一些结果的数量在随机标记树的反转。我们认为完全二叉树以及随机分裂树是Devroye在1998年引入的一类对数高度的随机树。分裂树由可以包含球的节点（袋）组成，并且由球通过节点的随机滴流过程生成。对于完全二叉树，我们证明了在随机节点标号中固定置换出现次数的累积量渐近地有明确的公式。我们的另一个主要定理是表明，对于一个随机分裂树，以高概率的累积量的出现次数是渐近显式参数的分裂树。为了证明第二个定理，我们展示了一些结果嵌入到分裂树的有向图的数量可能是独立的利益。
2019-05-06 math.CO math.PR
Broadcasting induced colourings of random recursive trees and preferential attachment trees
本文针对随机线性优先连接树的广播诱导二着色问题，结合Pólya瓮模型与解析组合学方法，证明了多类相关统计量经重标度后的极限分布，拓展了随机优先连接树的键渗流研究。
2021-10-28 math.CO math.PR
Thermodynamic Limit for Large Random Trees
我们考虑具有有界分支的有限随机平面树上的吉布斯分布。我们表明，作为树的顺序增长到无穷大，分布的任何有限的邻居的根的树收敛到一个极限。我们明确地计算极限分布，并研究其性质。我们引入一个无限随机树符合这些限制分布，并证明它满足一定形式的马尔可夫性。我们还研究了这棵树的增长，并证明了几个极限定理，包括扩散近似。
2010-03-04 math.CO math.PR
The relation between tree size complexity and probability for Boolean functions generated by uniform random trees
本文考虑由随机布尔表达式导出的n元布尔函数集上的一个概率分布。这样的表达式是一个随机根平面树，其中内部顶点用连接词And和OR标记，叶子用变量或否定变量标记。本文研究了树的大小趋于无穷大时的极限分布，导出了树的大小复杂度与函数概率之间的关系。这是通过首先将表示特定函数的树表示为表示该函数的最小树的扩展，然后通过依赖于生成函数和奇异性分析的组合计数参数来计算概率来完成的。
2015-09-25 math.CO math.PR
