Heat kernel and the rate of mixing for compact extensions of expanding maps
Frédéric Naud
考虑扩张映射的斜扩张通过紧李群。对一类自然不变测度，证明了含拓扑压力的（指数）混合速率的一个显式下界。证明使用表示论和一些椭圆偏微分方程估计。
We consider skew extensions of expanding maps by compact Lie groups. For a class of natural invariant measures, we prove an explicit lower bound on the rate of (exponential) mixing involving topological pressure. Proof uses representation theory and some elliptic pde estimates.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Exponential Mixing and Smooth Classification of Commuting Expanding Maps
我们证明了紧流形上交换半群的真正高阶扩张作用是亚幂零流形上仿射作用的$C^{\infty}$ -共轭.这是基于Gromov和Shub对扩展的同构进行分类，直到\holder共轭，并且类似于最近关于环面和流形上的高阶Anosov作用的光滑分类的工作。为了证明在较高的秩设置的共轭的规律性，我们建立了指数混合的螺线管行动引起的半群作用的nilmanifold自同态，一个结果的独立利益。然后，我们继续类似的情况下，更高的排名Anosov行动。
Uniformly expanding Markov maps of the real line: exactness and infinite mixing
本文给出了$\mathbb{R}$的一大类一致扩展Markov映射的精确分支的一个相当完整的刻画。利用这一结果，对一类$\mathbb{Z}$不变映射及其有限修正，证明了作者最近提出的无限混合的若干性质。
Almost sure mixing rates for non-uniformly expanding maps
考虑非一致扩张映射的随机扰动，可能具有非退化临界集。我们证明了，如果对于几乎所有的随机轨道，在某个时刻，非均匀展开或缓慢回归到临界集的点集的勒贝格测度都以指数形式衰减，那么在一定的等待时间内，沿随机轨道的相关性衰减也是指数形式的.作为应用，我们得到了Viana映射、一类非一致扩张局部自同态和二次区间映射族的随机相关的几乎必然拉伸指数衰减.
Expanding on average diffeomorphisms of surfaces: exponential mixing
本文证明了闭曲面上保体积微分同胚的平均扩张元组相关的 Bernoulli 随机动力系统具有指数混合性质。
Mixing properties for toral extensions of slowly mixing dynamical systems with finite and infinite measure
我们证明的混合和混合率的非一致膨胀映射的相关性的次指数衰减的toral扩展的结果。有限和无限的措施设置被认为是。在Dolgopyat型条件下的近似特征函数的不存在性，我们证明了现有的结果（可能非马尔可夫）非一致扩展的地图也适用于其toral扩展。
On the mixing properties of piecewise expanding maps under composition with permutations, II: Maps of non-constant orientation
对于整数$m \geq 2$，设$\mathcal{P}_m$是单位区间$I$划分为$m$相等子区间的剖分，$\mathcal{F}_m$是$I$上的分段线性映射类，在$\mathcal{P}_m$的每个元素上具有常数斜率$\pm m$.我们研究当$f \in \mathcal{F}_m$与由置换$σ\in S_N$互换$\mathcal{P}_N$的$N$子区间给出的区间交换映射组合时对混合性质的影响。这扩展了以前的论文[N. P. Byott，M. Holland和Y. Zhang，DCDS，{ \bf 33}，（2013）3365- 3390]，其中我们仅考虑“拉伸和折叠”图$f_{sf}(x)=mx \bmod 1$。
Mixing properties of a class of nonuniformly expanding maps. Application to H{ö}lderian invariance principles
本文研究返回时间仅具有p>1阶弱矩的非一致扩张映射的混合性质，并由此建立Hölder连续观测量部分和过程的Hölder不变原理，进而将结果推广到间歇映射及BV观测量。
Large deviations, moment estimates and almost sure invariance principles for skew products with mixing base maps and expanding on the average fibers
在本文中，我们将展示如何应用经典的概率工具的部分和$\sum_{j=0}^{n-1}φ\circτ^j$产生的斜积$τ$，建立在一个充分混合的基础地图和随机扩展的动力系统。在可观测$φ$上的正则性假设下，得到了斜积与$α, ϕ$或$ψ$混合基映射在平均随机纤维映射上展开的带速率中心极限定理、泛函中心极限定理、几乎必然不变性原理、中偏差原理、几个指数集中不等式和Rosenthal型矩估计.即使在均匀膨胀的情况下，所有的结果都是新的。这里的主要新颖性（与\cite{ANV}相反）是随机映射不是独立的，它们不保持相同的测量，并且可观测的$φ$也依赖于基空间。对于指数拉伸的$\al$ -混合基映射，我们的证明是基于多重相关估计，这使得经典的累积量方法适用。对于$ϕ$或$ψ$混合基映射，通过建立某个转移算子$\cK$的迭代$\cK^n$关于某个子$\sig$ -代数的$L^\infty$收敛性，得到了一个ASIP和极大值与浓度不等式，并得到了一个适当的（逆）鞅上边界分解.
Mixing and decay of correlations in non-uniformly expanding maps: a survey of recent results
我们讨论了最近的结果衰减的相关性的非一致膨胀的地图。在整个讨论中，我们解决的问题，为什么不同的动力系统有不同的衰减率的相关性，以及如何这可能反映潜在的几何特征的系统。
Infinite mixing for one-dimensional maps with an indifferent fixed point
本文研究了两类间歇映射的“无限体积混合”性质：一类是在0处具有保持无穷大、绝对连续测度的中立不动点的扩展映射$[0,1] \longrightarrow [0,1]$，另一类是在$+\infty$处具有保持勒贝格测度的中立不动点的扩展映射$\mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}^+$.所有地图都有完整的分支。虽然某些属性很容易判定，但所谓的全局-局部混合，即全局和局部可观察量的去相关，却很难证明。我们这样做的两个子类的系统。第一子类包括Farey映射等。第二类包括标准Pomeau-Manneville映射$x \mapsto x+x^2$ mod 1。此外，我们使用整体-局部混合证明某些极限定理的间歇映射。
Circle diffeomorphisms forced by expanding circle maps
讨论了由扩张圆映射强迫的圆同态定义的斜积映射的动力学。我们构建了一类开放的系统，是强大的拓扑混合，几乎所有的点在同一个纤维收敛迭代。这个属性来自于自然扩张中的不变吸引图的构造，自然扩张是由螺线管同胚强迫的圆同胚的斜积。
The spectral gap for transfer operators of torus extensions over expanding maps
我们研究了由$F(x,y)=(Tx, y+τ(x) \pmod{ \mathbb{Z}^\ell})$给出的斜积$F: \mathbb{T}^d\times \mathbb{T}^\ell\to \mathbb{T}^d\times \mathbb{T}^\ell$的转移算子的谱间隙，其中$T: \mathbb{T}^d\to \mathbb{T}^d$是$C^\infty$一致扩展的自同态，纤维映射$τ: \mathbb{T}^d\to \mathbb{R}^\ell$是$C^\infty$映射。我们构造了一个Hilbert空间$\mathcal{W}^{-s}$，它包含了$ \mathbb{T}^d\times \mathbb{T}^\ell$上的Hölder指数$|s|$的所有Hölder函数.应用半经典分析的方法，我们得到了转移算子在$\mathcal{W}^{-s}$上有谱隙或$τ$是本质余边界的二分法.在前一种情况下，$F$对于具有Hölder指数$|s|$的Hölder可观测量以指数方式快速混合;而在后一种情况下，要么$F$不是弱混合，而是与圆旋转共轭，要么$F$是不稳定混合，即，它可以通过非混合斜积来近似。
A coupling approach to random circle maps expanding on the average
我们研究的是平均膨胀的随机圆图。膨胀和变形都不需要统一的界限。我们构造了一个耦合方案，它导致指数收敛的措施（记忆损失）和指数混合。利用相关估计的结构，我们证明了向量值观测量的几乎必然不变原理。我们的论文的动机是在非均匀随机设置中探索这些方法。
On the attractor of piecewise expanding maps of the interval
我们考虑区间上具有多个单调分支的分段扩张映射，并证明了它们是一般组合稳定的，即，遍历吸引子的数目和它们相应的混合周期在映射的小扰动下不改变。我们的方法提供了一个拓扑描述的吸引子，特别是，周期轨道的密度给出了一个初等的证明。
Relative ($τ$), Expanders, and Decay of Correlations for certain Expanding Maps
该研究探究结构较简单的扩张动力系统有限片覆盖塔是否存在与模曲面同余覆盖族类似的指数混合现象，运用转移算子工具并与Cuntz-Krieger代数KMS态建立联系。
Existence, uniqueness and stability of equilibrium states for non-uniformly expanding maps
本文证明了紧致流形上的一类非一致扩张局部同胚和不具有很大振荡的Holder连续势的多个遍历平衡态的存在性。没有假设马尔可夫结构。如果变换是拓扑混合的，则存在唯一的平衡态，它是精确的并且满足非一致Gibbs性质。在温和的附加假设下，我们还证明了平衡态随动力学和势连续变化（统计稳定性），并且在变换的随机扰动下也是稳定的。
On piecewise expanding maps
本文研究了度量测度空间中分段扩张映射的统计性质。我们给出了这类系统指数混合的充分条件，并给出了常数的显式估计。我们还提供了存在诱导方案的充分条件，其中基变换是吉布斯-马尔可夫和返回时间有指数尾。这样的结构可以用来推导出更精细的统计特性。
Local Escape Rates for $ϕ$-mixing Dynamical Systems
我们证明了具有$ϕ$ -混合测度的动力系统在非周期点具有与速率$1$成指数关系的局部逃逸速率，在周期点具有与极值指数相等的局部逃逸速率.我们将这一结果应用到平衡态的子移位的有限型，扩大区间映射，吉布斯态的共形排斥和更一般的杨塔，并通过扩展到所有的系统，可以模拟一个杨塔。
Exponential mixing for heterochaos baker maps and the Dyck system
本文研究非 Markov 分段仿射异混沌面包师变换，证明其所有阶混合，并对中心主要扩张或收缩情形得到 Hölder 函数的指数混合，进而用于 Dyck 系统。
Pomeau-Manneville maps are global-local mixing
证明了单位区间上的一类扩张映射是全局-局部混合映射，其中$C^2$ -正则中立点在0且分支满增。这一类别包括标准Pomeau-Manneville映射$T(x) = x + x^{p+1}$ mod 1（$p \ge 1$）、Liverani-Saussol-Vaienti映射（具有索引$p \ge 1$）及其许多推广。
Rates of mixing for nonMarkov infinite measure semiflows
我们开发了一个抽象的框架，获得最佳的混合率和高阶渐近的无限测度半流。以前，这样的结果被限制的情况下，有一个第一个返回Poincaré映射是一致扩展和马尔可夫。作为该方法的例证，我们考虑了具有无限测度的非Markov Pomeau-Manneville间歇映射上的半流，并得到了具有不可积屋顶函数的Collet-Eckmann映射上半流的混合速率.
On the mixing properties of piecewise expanding maps under composition with permutations
本文研究了分段光滑区间映射$f$的混合性质，当它的定义域被分成$N$个相等的子区间，并且$f$由这些子区间的置换组成时，它的混合性质受到的影响.详细研究了整数$m \geq 2$的拉伸和折叠映射$f(x)=mx \bmod 1$的情况。我们给出了一个组合描述的那些排列$σ$的$σ\circ f$仍然（拓扑）混合，并表明，这种排列的比例往往$1$作为$N \to \infty$。然后，我们调查的混合率的$σ\circ f$（测量的模的第二大本征值的转移算子）。在连续时间扩散系统的情况下，我们表明，组合物与置换不能提高混合率的$f$，但通常使它更糟。在对$m$和$N$的一些温和假设下，我们获得了最差混合率的精确值，因为$σ$在所有排列中都是变化的;这可以任意接近于$1$作为$N \to \infty$（$m$固定）。我们说明了第二大特征值的几何分布在复平面上的小$m$和$N$，并提出了一个猜想，关于他们的位置一般。最后，我们给出了其他区间映射$f$的组合与置换产生不同的行为比，从拉伸和折叠地图的例子。
Exponential Mixing for Skew Products with Discontinuities
我们考虑斜积$F: (x,u) \mapsto (f(x), u + τ(x))$，其中基映射$f : \mathbb{T}^{1} \to \mathbb{T}^{1}$是分段$\mathcal{C}^{2}$，覆盖并均匀扩展，而纤维映射$τ: \mathbb{T}^{1} \to \mathbb{R}$是分段$\mathcal{C}^{2}$。我们证明了二分法，无论是这个系统混合指数或$τ$是同调（通过Lipschitz函数）分段常数。
Stretched-exponential mixing for $\mathscr{C}^{1+α}$ skew products with discontinuities
考虑斜积$F:\mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$，$F(x,y)= (f(x),y+τ(x))$，其中$f:\mathbb{T}^1\to \mathbb{T}^1$是可数划分上的分段$\mathscr{C}^{1+α}$扩展映射，$τ:\mathbb{T}^1 \to \mathbb{R}$是分段$\mathscr{C}^1$。证明了如果$τ$与$τ$和$f$的联合划分上的分段常数函数不是Lipschitz-共同调的，则$F$是以拉伸指数速率混合的.
On ball expanding maps
本研究针对紧度量空间上的球扩张映射展开动力学分析，证明了周期点稠密性、拓扑熵与链回归集有限性的关联等五项核心性质，并给出相关示例，丰富了球扩张映射的动力学理论结果。
Lower Bounds for the Decay of Correlations in Non-uniformly Expanding Maps
我们给出了非一致扩张映射的相关衰减和一大类可观测量的多项式型下界的条件。证明了在巴拿赫空间B中，若第一返回映射的转移算子满足Lasota-Yorke型不等式，且所得到的绝对连续不变测度是弱混合的，则在一定的更新条件下，B中观测量的相关性具有多项式衰减性.我们还提供了一些一般的条件，使扩张映射在高维空间中的非周期性。作为应用，我们得到了具有中立不动点的分段扩张映射的下界，并且对于该映射我们还允许非马尔可夫结构和无界失真。观测量是具有有界变差或满足拟赫尔德条件的函数，并且它们的支撑远离中性不动点有界。
Existence of ACIM for Piecewise Expanding $C^{1+\varepsilon}$ maps
本文通过建立 Lasota-Yorke 不等式并应用 Ionescu-Tulcea-Marinescu 定理，证明了分段扩张 $C^{1+\varepsilon}$ 映射存在绝对连续不变测度，并进一步证明了算子的拟紧性及系统的弱混合与指数衰减相关性。
Decay of correlations for non-Holder observables
我们考虑的一般问题，估计衰减的相关性的非一致扩展的地图，类的观测值是远远大于通常的类持有人连续函数。我们的结果给出了许多非一致膨胀系统的新的估计，包括Manneville-Pomeau映射，许多一维系统的临界点，和Viana映射。在许多情况下，我们也得到了一个中心极限定理的一个更大的类的观察比通常。我们的主要工具是L.- S.杨估计某些非均匀扩展塔映射的混合率。
Equilibrium States for Expanding Thurston Maps
本文利用代数形式证明了每个扩张Thurston映射$f: S^2\rightarrow S^2$都存在唯一的平衡态$μ_ϕ$，同时存在一个实值Hölder连续势$ϕ$ .这里，球体$S^2$配备有由$f$诱导的自然度量，称为视觉度量。我们还证明了相同的平衡态对应的潜力是共同源的一个常数，并保持测量变换$f$的概率空间$(S^2,μ_ϕ)$是准确的，特别是，混合和遍历。此外，我们建立了$f$迭代下原像的等分布版本，和一个版本的随机向后轨道，关于平衡态的等分布。因此，上述所有结果对黎曼球面上不含周期临界点的后临界有限有理映射都成立。
Flexibility of entropies for piecewise expanding unimodal maps
研究了一类分段扩张单峰映射的熵（拓扑熵和度量熵）的柔性。我们证明了这类系统的拓扑熵和度量熵的唯一限制条件是两者都为正，拓扑熵至多为$\log 2$，并且根据变分原理，度量熵不大于拓扑熵.为了更好地控制度量熵，我们主要研究拓扑混合分段扩展斜帐篷映射，其中只有2个不同的斜率。对于这些映射，存在拓扑熵大于$\frac{1}{2}\log2$的附加限制。我们还作出有趣的观察，斜帐篷地图的倒数的总和的导数的所有迭代的地图在临界值为零。它是联系单峰映射的拓扑熵和揉行列式的Milnor-Thurston公式的推广和不同的解释。
Rates in almost sure invariance principle for quickly mixing dynamical systems
对于一类快速混合的动力系统，证明了布朗运动的几乎必然逼近的误差阶为O（（log n）^a），且$\ge$为2.具体地说，我们考虑非一致扩展映射的指数和拉伸指数衰减的相关性，与一维H{<$}lder连续观测。
Locally conformal expanding Actions: Markov Partition and Thermodynamic of the induced skew product
本文研究了由有限个 $C^{1+α}$ 共形局部微分同胚生成的拓扑混合局部共形半群作用，提出了满足有限像和有限环性质的可数 Markov 分割，并基于诱导映射等价于可数型子移位的塔构造，证明了可提升测度的存在性及诱导斜积的热力学形式。
Polynomial decay of correlations in the generalized baker's transformation
本文引入了一类作用在单位平方上的保面积广义baker变换，它具有尖锐的多项式混合率，旧数据该结构是几何的，依赖于一个单一变量的“切割函数”的图形。每个面包师的地图B是非一致双曲的，而确切的混合率取决于B，所有的多项式率可以达到。混合率的分析取决于建立一个合适的杨塔的扩展因子。在我们的例子中，由于构造中的简单几何结构，导致相关衰减速率缓慢的机制特别明显。出于这个原因，我们提出这一类的地图作为一个很好的试验场的新技术的相关性在非均匀双曲系统的衰减分析。最后，我们的一些例子可以被看作是某些一维非均匀扩展的地图，已经出现在文献中，在过去的二十年，从而提供了一个统一的处理这些有趣的和良好的研究的例子。
Phase transitions in a piecewise expanding coupled map lattice with linear nearest neighbour coupling
本文在[-1，1]上构造了一个混合连续分段线性映射，并证明了由这类映射构成的二维格点具有线性北近邻和线性东近邻耦合，且该格点允许相变.我们还提供了一个修改这个建设的地方地图是一个扩展的解析圆地图。基本策略是从[Gielis-MacKay（2000）]中借用的，即我们将CML的动力学与Toom类型的概率元胞自动机的动力学进行比较。
Stochastic-like behaviour in nonuniformly expanding maps
这是一个显着的扩展版本的调查文件“混合和衰减的相关性在非均匀扩展的地图：一个调查的最新结果”数学/0301319。我们讨论了最近的结果衰减的相关性的非一致膨胀的地图。在整个讨论中，我们解决的问题，为什么不同的动力系统有不同的衰减率的相关性，以及如何这可能反映潜在的几何特征的系统。我们还给出了一些结果的详细草图，如马氏扩张映射的绝对连续不变测度的存在性，某些一维映射中诱导马氏扩张映射的构造，以及证明了这样的构造对于二次族中的正概率映射集是可以进行的。
Exponential mixing for singular skew-products
本文研究了非一致扩张映射与分段光滑映射构成的奇异斜积系统，证明了在允许纤维映射奇异行为的温和假设下，该映射相对于唯一的 SRB 测度呈指数混合，扩展了已有结论。
Operator renewal theory for continuous time dynamical systems with finite and infinite measure
我们开发运营商更新理论的流动，并应用此获得的结果混合和混合率的一大类有限和无限的措施半流。我们的结果所涵盖的系统的例子包括悬浮液在抛物有理映射的复平面，和非均匀膨胀的半流与冷漠的周期轨道。在有限测度的情况下，重点是获得尖锐的去相关率，Gouëzel和Sarig的结果从离散时间设置到连续时间。在无限测度的情况下，主要的问题是证明混合本身的结果，扩展我们的结果在离散时间设置。在某些情况下，我们也获得高阶渐近和混合率。
Hitting statistics for $ϕ$-mixing dynamical systems
本文研究 $\phi$-混合动力系统中击中率与逃逸率的一般极限，证明其在无短返回时为一，否则由极值指数公式刻画，并适用于双曲、扩张及具 Young tower 的系统。
Counting, Mixing and Equidistribution of horospheres in geometrically finite rank one locally symmetric manifolds
本文研究了无限体积几何有限秩一局部对称流形中膨胀球的等分布，并将其应用于apollonian球packing中的轨道计数问题。
Nonexpanding Attractors: Conjugacy to Algebraic Models and Classification in 3-Manifolds
我们证明了一个由Williams对扩展吸引子的分类和关于余维1 Anosov微分同胚的Franks-Newhouse定理所激发的结果：如果混合双曲吸引子具有1维非稳定流形，那么它要么是扩展的，要么是同胚的一个紧阿贝尔群（一个环面螺线管）;在后一种情况下，动力学与群自同构共轭。作为推论，我们得到了三维流形中所有二维基本集的一个分类。此外，我们分类的所有双曲吸引子在3流形的经典研究的例子，回答了一个问题的Bonatti。
Explicit Correlation Bounds for Expanding Circle Maps Using the Coupling Method
本文证明了光滑扩张圆映射的几个基本事实，特别是具有指数混合率的绝对连续遍历测度的存在唯一性。虽然结果是经典的，耦合方法是相对现代的，并在这里首次使用，以产生明确的系统常数的界限。这部作品是作者学士论文的一部分。作者希望本文能对动力系统理论中的柔性耦合方法作一有益的介绍。
On the fractional susceptibility function of piecewise expanding maps
我们关联到扰动$(f_t)$的（稳定混合）分段扩展单峰映射$f_0$一个两变量的分数磁化率函数$Ψ_ϕ(η, z)$，也取决于一个有界的可观测$ϕ$。对于固定的$η\in (0,1)$，我们表明，功能$Ψ_ϕ(η, z)$是全纯的光盘$D_η\subset \mathbb{C}$中心在零的半径$>1$，和$Ψ_ϕ(η, 1)$是Marchaud分数阶导数的功能$t\mapsto \mathcal{R}_ϕ(t):=\int ϕ(x)\, dμ_t$ $η$，在$t=0$，其中$μ_t$是唯一的绝对连续不变的概率测度$f_t$。此外，我们还证明了$Ψ_ϕ(η, z)$允许域$\{ (η, z) \in {\mathbb{C}}^2\mid 0<\Re η<1, \, z \in D_η\}$的全纯扩张。最后，如果扰动$(f_t)$是水平的，我们证明了$\lim_{η\to 1}Ψ_ϕ(η, 1)=\partial_t \mathcal{R}_ϕ(t)|_{t=0}$。
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