Contact Ricci flow
Jong Taek Cho
我们引入了与Reeb向量场相联系的接触里奇流的概念。利用它，我们给出了庞加莱猜想的一个简单证明。
We introduce the notion of contact Ricci flow associated with the Reeb vector field. Using it, we give a simple proof of the Poincare conjecture.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Ricci-generalized pseudosymmetric $(κ, μ)$-contact metric manifolds
本文在Deszcz意义下对Ricci-广义伪对称$(κ, μ)$ -切触度量流形进行了分类。
The k-almost Ricci solitons and contact geometry
本文研究了切触度量流形上的k-几乎Ricci孤子和k-几乎梯度Ricci孤子。首先，证明了如果紧致K-接触度量是k-几乎梯度Ricci孤子，则它等距于单位球面S2 n +1。其次，我们将这一结果推广到流向量场X是切触的紧k-几乎Ricci孤子上。最后，我们研究了一类特殊的k-几乎Ricci孤子，其中势向量场X与接触度规结构的Reeb向量场点共线.
Contact 3-manifolds and Ricci solitons
一个含有横截Ricci孤子$(g,v,λ)$的切触3-流形$M$要么是Sasakian的，要么是局部等距于李群SU（2），$SL(2,R)$，E（2），E（1，1）中具有左不变度量的一个.
Ricci-like solitons with arbitrary potential and gradient almost Ricci-like solitons on Sasaki-like almost contact B-metric manifolds
在Sasaki型几乎切触B-度量流形上引入并研究了具有任意位势的Ricci型孤子。证明了这种孤子的Ricci张量是两个B-度规的垂直分量乘以一个常数。建立了梯度几乎类里奇孤子具有常孤子系数的理论。明确的例子，李群作为流形的尺寸3和5配备的结构研究。
$η-$Ricci solitons on contact pseudo-metric manifolds
本文证明了一个含有$η-$ Ricci孤子的Sasakian伪度量流形是一个$η-$ Einstein流形，并且如果$η-$ Ricci孤子的势向量场不是Killing向量场，则该流形是$\mathcal{D}-$同位固定的，且该向量场保持结构张量场不变.其次，我们证明了具有梯度$η-$ Ricci孤子度量的$K-$接触伪度量流形是$η-$ Einstein流形.此外，我们还研究了含有$η-$ Ricci孤子的接触伪度量流形，其中位势向量场与Reeb向量场逐点共线.最后，我们研究了$(κ, μ)$ -接触伪度量流形上的梯度$η-$ Ricci孤子。
Remarks on Riemann and Ricci solitons in $(α,β)$-contact metric manifolds
该研究聚焦满足Ricci对称条件的$(α,β)$-切触度量流形，分析其中近Riemann与近Ricci孤立子在势向量场与结构向量场逐点共线时的性质，补充了相关几何结构的研究内容。
Ricci-like solitons on almost contact B-metric manifolds
在几乎切触B-度量流形上引入并研究了具有势Reeb向量场的Ricci类孤子。研究了Sasaki流形和torse形成势的情形。在这些情况下，证明了流形上存在类Ricci孤子的充要条件是流形上的结构是类爱因斯坦的。明确的例子李群作为3-和5-维流形的结构研究。
$N(k)$-contact metric as $\ast$-conformal Ricci soliton
本文的目的是刻画一类含有$\ast$ -共形Ricci孤子的切触度量流形.本文证明了：如果$(2n + 1)$维$N(k)$ -接触度量流形$M$中存在$\ast$ -共形Ricci孤子或$\ast$ -共形梯度Ricci孤子，则流形M是$\ast$ -Ricci，且局部等距于平坦$(n + 1)$维流形和$n$维常曲率流形的黎曼流形，对于$n > 1$为4，对于$n = 1$为平坦流形.此外，对于第一种情况，孤子矢量场是共形的，对于$\ast$ -梯度的情况，势函数$f$是调和的或满足泊松方程。最后，给出了一个例子来支持结果。
Five dimensional almost para-cosymplectic manifolds with contact Ricci potential
详细研究了具有类似于几乎余辛（几乎coKaehler）结构的5维伪黎曼流形.假设曲率与结构仿射可交换，所有这些流形都是Walker空间。给出了切触Ricci势流形、局部平坦流形和具有左不变结构的全连通、单连通李群流形的分类。还有其他一些更普遍的结果。
Generalized Ricci solitons and Einstein metrics on weak $K$-contact manifolds
本文研究推广经典理论的弱接触度量结构与弱 K-结构，刻画了弱 K-接触流形，并找出了具有平行 Ricci 张量或广义 Ricci 孤立子结构的弱 K-接触流形成为 Einstein 流形的充分条件。
$\ast$-Ricci-Yamabe Soliton and Contact Geometry
单位球面具有Sasakian 3-结构。此外，Sasakian流形是局部等距单位球在几个曲率和临界条件。所以，一个自然的问题是：是否存在任何曲率或临界条件，在此条件下，Sasakian 3-流形表示单位球面以外的几何对象？在这方面，作为$\ast$ -Ricci孤子的推广，引入了$\ast$ -Ricci-Yamabe孤子的概念，并在两类接触度量流形上进行了研究.对含有$\ast$ -Ricci-Yamabe孤子的$(2n + 1)$维非Sasakian $N(k)$接触度量流形进行了完全分类.进一步证明了如果Sasakian 3-流形$M$在一定条件下在孤子向量场$V$上允许$\ast$-Ricci-Yamabe孤子$(g,V,λ,α,β)$存在，则$M$是$\ast$ -Ricci平坦的正Sasakian流形，并且$M$的横截几何是Fano.此外，Sasakian 3-度规$g$与Berger球是位似的，孤子是稳定的.另外，势向量场$V$是接触度量结构的无穷小自同构。
Almost Ricci-Yamabe Soliton on Contact Metric Manifolds
我们考虑在某些接触度量流形的背景下几乎Ricci-Yamabe孤子。首先，证明了若度量$g$在完备的切触度量流形上存在几乎$(α,β)$ -Ricci-Yamabe孤子，其中$α\neq 0$和势向量场与Reeb向量场$ξ$共线，且Reeb向量场$ξ$是Ricci算子的特征向量，则该流形是紧Einstein Sasaki流形，势向量场是Reeb向量场$ξ$的常倍数.其次，如果完备的$K$ -contact流形中存在梯度$α\neq 0$孤子，则它是紧的Sasakian，且等距于单位球$S^{2n+1}$ .最后，在非Sasakian的$(k,μ)$ -接触度量流形中，研究了具有$α\neq 0$的梯度几乎Ricci-Yamabe孤子，发现$M^3$是平坦的，对于$n>1$，$M$与$E^{n+1}\times S^n(4)$局部等距，孤子矢量场与欧氏因子$E^{n+1}$相切.最后给出了一个例子来支持所得到的结果。
Ricci-like solitons with vertical potential on Sasaki-like almost contact B-metric manifolds
本文研究了Sasaki型几乎切触B-度量流形上的Ricci型孤子。考虑了类Ricci孤子的势为Reeb向量场或与之逐点共线的情形。在前一种情况下，研究了平行或递归Ricci张量的性质。在后一种情况下，它表明，所考虑的里奇类孤子的潜力有一个恒定的长度和流形是$η$ -爱因斯坦。还发现了其他曲率条件，这意味着主要的度量是爱因斯坦。在此基础上，得到了所研究流形上平行对称二阶共变张量的一些结果。最后，给出了一个维数为5的显式例子，并说明了部分结果。
Realizations of some contact metric manifolds as Ricci soliton real hypersurfaces
Ghosh和Sharma最近研究了具有某些零性条件的Ricci孤子接触度量流形。尽管梯度情形很容易理解，但他们为非梯度情形提供了一个候选者列表，这些候选者可以被实现为李群，但人们只知道底层李代数的结构，除了三维情形，很难分析。本文研究了维数大于大于3的李群，证明了连通李群、单连通李群和完备李群都可以在非紧实二平面Grassmannian中实现为齐次实超曲面.这些实现使我们能够用李理论的方法证明它们实际上都是Ricci孤子。
Almost Ricci-like solitons with torse-forming vertical potential of constant length on almost contact B-metric manifolds
研究了一类具有扭转势的Ricci类孤子，其中扭转势是Reeb向量场的常数倍.给出了这些孤子与几乎类爱因斯坦度规等价的条件。对平行对称二阶共变张量得到了一些结果。最后，给出了一个任意维数的显式例子，并说明了部分结果。
Einstein-type metrics and generalized Ricci solitons on weak $f$-K-contact manifolds
本文研究弱 $f$-K-contact 流形的几何，刻画其结构并证明 Einstein、平行 Ricci 或广义 Ricci 孤立子条件下的 Ricci 平坦与拟 Einstein 结果，还通过 Jacobi 算子正定性实现向 $f$-K-contact 结构的形变。
Ricci solitons in three-dimensional paracontact geometry
我们完整地描述了其Reeb向量场满足Ricci孤立子方程的仿接触度量三流形。虽然接触黎曼（或洛伦兹）里奇孤子必然是平凡的，即$K$接触和爱因斯坦，准接触度量的情况下允许非平凡的例子。均质和非均质非平凡的三维例子明确描述。最后，我们修正了文献[AGAG-D-13-00189]中关于三维正常准接触Ricci孤子的主要结果。
Generalized Ricci Curvature Bounds for Three Dimensional Contact Subriemannian manifolds
测度压缩性质是里奇曲率在更一般的度量测度空间上的可能推广。本文给出了三维切触次黎曼流形满足这一性质的充分条件。
Ricci solitons in contact metric manifolds
在$N(k)$ -接触度量流形和/或$(k,μ)$ -流形中，研究了梯度Ricci孤子、紧Ricci孤子和$V$与结构向量场$ξ$逐点共线的Ricci孤子.
Producing 3d Ricci flows with non-negative Ricci curvature via singular Ricci flows
本文将Kleiner和Lott关于奇异里奇流的概念从三维紧致流形推广到具有可能无界曲率的三维完备流形。作为广义奇异Ricci流的一个应用，我们证明了对于任何具有非负里奇曲率的3d完备黎曼流形，存在一个从它出发的光滑里奇流.
Characterization of contact structures for the dual form of the vector field of an h-Ricci-Bourguignon soliton on the product manifold D2 and R
本文研究乘积流形D2 x R上的h-Ricci-Bourguignon孤立子，证明梯度情形下h仅依赖末坐标，确定h=1时的向量场，并给出其对偶1-形式构成接触结构的充要条件及Reeb向量场。
Kenmotsu Contact Geometry Through the Lens of $\ast-\boldsymbolκ$-Ricci-Bourguignon Almost Solitons
研究 Kenmotsu 流形上 $\ast-\boldsymbol{\kappa}$-Ricci-Bourguignon 几乎孤子的性质，推导标量曲率，构造向量场，并探索扭形向量场的应用，给出五维实例。
Almost Ricci--Bourguignon Solitons on Contact Metric Three-Manifolds
研究三维接触度量流形上几乎 Ricci - Bourguignon 孤子，利用局部正交\(\varphi\)-基推导方程分量形式，探讨势向量场与 Reeb 向量场共线或正交情况，得出共线时特定条件下势场为零、正交时度量相关结论等贡献。
Ricci Lower Bound for Kähler-Ricci Flow
本文讨论了闭流形上具有奇异性的Kähler-里奇流的里奇下界.
Geometry of almost contact metrics as almost $*$-Ricci solitons
本文将$*$ -Ricci孤子看作Kenmotsu度规，给出了它的一些特征.证明了如果一个Kenmotsu流形表示一个几乎$*$ -Ricci孤子，且其势向量场$V$是沿Reeb向量场的Jacobi，则它是一个稳定的$*$ -Ricci孤子.其次，我们证明了赋予几乎$*$ -Ricci孤子的Kenmotsu矩阵是Einstein度量，如果它是$η$ -Einstein，或者势向量场$V$与Reeb向量场共线，或者$V$是无穷小切触变换.
Ricci-mean curvature flows in gradient shrinking Ricci solitons
Huisken研究了欧几里得空间中的中曲率流在发生I型奇点时的渐近行为，证明了其重标度流在欧几里得空间中收敛于自收缩流.本文将这一结果推广到沿由梯度收缩Ricci孤子构成的里奇流运动的Ricci-中曲率流。
From the Ricci flow evolution equation to vanishing theorems for Ricci solitons
本文研究了闭流形和完备非紧流形上Hamilton里奇流下的标量曲率和里奇曲率的发展方程.特别地，我们研究了当里奇流是平凡的，里奇孤子是里奇平坦的或爱因斯坦的条件。
Sasakian metric as a Ricci soliton and related results
我们证明了如下结果：（i）作为非平凡Ricci孤子的Sasakian度量是零的$η$ -Einstein，并且是膨胀的.这样的特征允许识别海森堡群$\mathcal{H}^{2n+1}$上的Sasakian度量作为这种类型的（非平凡的）里奇孤子的一个明确的例子。(ii)如果一个$η$ -Einstein接触度量流形$M$有一个保持结构张量和数量曲率不变的向量场$V$，则要么$V$是一个无穷小自同构，要么$M$是$D$ -位格固定的$K$ -接触。
Ricci Flow on 3-dimensional Lie groups and 4-dimensional Ricci-flat manifolds
研究了三维李群上的里奇流与四维里奇平坦流形的关系。特别地，我们构造了关于三维李群的Ricci平坦上齐性1度量。
Injectivity radius bound of Ricci flow with positive Ricci curvature and applications
本文研究了三维里奇流的内射半径界。作为应用，我们证明了具有正里奇曲率的里奇流的长时间存在性.我们还部分解决了Chow-Lu-Ni（2006）书中第302页的一个问题。
Ancient Ricci flows with nonnegative Ricci curvature
本文研究了非负曲率非塌陷古老里奇流的渐近几何，通过其无穷远处的非塌陷F-极限度量孤子得出两个分歧定理。
Parabolic frequency monotonicity on Ricci flow and Ricci-harmonic flow with bounded curvatures
本文研究Ricci流与Ricci-调和流下抛物频率的单调性，分别针对有界Bakry-Émery Ricci曲率和有界Ricci曲率两种情况，推广了相关结果。
On the conditions to extend Ricci flow(III)
本文对曲率估计进行了简化和改进：关于推广里奇流的条件（II）.此外，我们还对具有有界数量曲率的里奇流给出了一些体积估计。这些估计可用于研究里奇流的奇异性和Kähler里奇流的收敛性.
Stability of solutions of certain extended Ricci flow systems
考虑了四个推广的里奇流系统--即与其它几何流耦合的里奇流--并证明了这些流的某些定常解的动力稳定性。这些系统包括与调和映射流耦合的里奇流（在翘曲积上的里奇流的背景下抽象地研究）、与调和映射流和Yang-Mills流耦合的里奇流以及与度量相容连接的挠率的热流耦合的里奇流。用于证明稳定性的方法遵循Guenther、Isenberg和Knopf概述的程序，该程序使用拟线性抛物系统的最大正则性理论和Simonett的结果。
Some Results on $*-$Ricci Flow
本文引入了$*-$里奇流的概念，并证明了Kakimakamis和Panagiotid在2014年提出的$*-$里奇孤子是$*-$里奇流的自相似孤子。我们还发现了几何曲率张量在$*-$里奇流下的变形。在本文的最后两节中，我们分别找到了$*-$里奇流的$\Im$ -泛函和$ω-$泛函.
Positivity of Ricci curvature under the Kähler--Ricci flow
对所有复维数n>=2，我们构造了具有有界曲率和非负里奇曲率的完备Kaehler流形，其Kaehler-Ricci演化立即获得混合号的里奇曲率.
Ricci Flow on Torus Bundles
本文计算了与联络相容的主$G$ -丛上不变度量的里奇流公式。我们的主要重点是环面丛，我们用它来研究的概念Bakry-Émery里奇流以及里奇流的圆丛Kähler-Einstein流形。后者的应用给我们的解决方案，里奇流海森堡集团和隐式解决方案，里奇流伯杰3球和其他几个三维流形。
Evolution of Ricci scalar under Finsler Ricci flow
最近，我们研究了一类Finsler度量沿Finsler里奇流的演化，并证明了它在短时间内的收敛性.本文给出了Finslerian里奇流的约化$hh$ -曲率和Ricci标量的发展方程，证明了里奇流在有限时刻保持约化$hh$ -曲率的正性.其次，证明了Ricci标量的演化是一个抛物型方程，并且如果初始Finsler度量具有正的旗曲率，则只要解存在，旗曲率和Ricci标量都保持为正.最后，得到了沿里奇流的里奇标量的下界。
Almost Hermitian Ricci flow
我们引入了一个新的曲率流，它与度量上的里奇流相匹配，并保持了几乎厄米特条件。这使我们能够用里奇流来研究几乎厄米流形。
Existence, Lifespan and Transfer Rate of Ricci Flows on Manifolds with Small Ricci Curvature
我们发现，在4维及以上，里奇流的寿命取决于相对较小的里奇曲率相比，黎曼曲率的初始流形。我们可以将这个寿命估计推广到局部里奇流，利用它证明了曲率至多为二次增长的非紧黎曼流形上里奇流解的短时存在性，其中在黎曼曲率大的区域，其里奇曲率及其前两阶导数足够小.这些里奇流解可能具有无界曲率。此外，我们的方法意味着，在一些适当的假设下，空间传输率（高曲率区域影响低曲率区域的速率）的里奇流类似于热方程。
Ricci flow on modified Riemann extensions
研究了修正Riemann扩张在里奇流下的性质。得到了里奇流下的修正Riemann延拓仍然是修正Riemann延拓的充要条件。我们还讨论了曲率张量在里奇流下的性质。
A Modified Kähler-Ricci Flow
本文介绍并研究了一种修正的Kähler-里奇流。重点是展示Kähler-里奇流的灵活性，并总结一些有用的技巧。
Singular Ricci flows I
我们引入奇异里奇流，这是里奇流时空受到一定的渐近条件。我们考虑了从一个固定的紧致黎曼三维流形出发的带有手术的里奇流，当手术参数变化时的行为。我们证明了当手术参数趋于零时，带手术的流动子收敛于奇异里奇流。我们建立了奇异里奇流的一些几何和分析性质。
A Note on Conformal Ricci Flow
本文研究了Arthur Fischer提出的共形里奇流。我们利用DeTurck的技巧将共形里奇流改写为一个强抛物-椭圆型偏微分方程。然后证明了紧流形和渐近平坦流形上共形里奇流的短时存在性。我们证明了Yamabe常数沿着紧致流形上的共形里奇流单调增加。我们还证明了共形里奇流是渐近平坦流形上ADM质量的梯度流。
The conical Kähler-Ricci flow on Fano manifolds
本文研究了Fano流形$M$上锥形Kähler-里奇流的长期行为.首先，在扭曲Kähler-Ricci流的局部一致正则性的基础上，通过限制一系列扭曲流，我们得到了锥形Kähler-里奇流的长时间解.其次，研究了扭曲Kähler-里奇流的一致Perelman估计.证明了锥Kähler-里奇流收敛于锥Kähler-Einstein度规的条件。
Smooth approximation of the modified conical Kähler-Ricci flow
我们引入了由全纯向量场修正的锥形Kähler-里奇流。我们构造了修正的锥形Kähler-里奇流的长时间解作为光滑Kähler-里奇流序列的极限.
Ricci Curvature, Reeb Flows and Contact 3-Manifolds
给定一个切触3-流形，我们考虑一个给定的函数何时可以实现为切触结构的Reeb向量场的里奇曲率的问题。我们将使用拓扑工具来证明每个容许函数可以实现为这样的里奇曲率的奇异度量，这是一个诚实的相容度量远离测度零集。然而，我们将看到，解决这样的奇点依赖于接触拓扑数据，尚未完全理解。
Kähler-Ricci flow on horospherical manifold
本文通过对Kahler-里奇流的研究，证明了任意光滑Fano次球面流形上Kahler Ricci孤子的存在性.证明了重整化Kahler里奇流在Cheeger Gromov意义下收敛，且此极限是Kahler-Ricci孤子.
Eigenvalues and entropies under the harmonic-Ricci flow
本文讨论调和-里奇流，即与调和映射流耦合的里奇流下的特征值和熵。我们给出了另一种证明的结果，紧凑的稳定和扩大谐波里奇呼吸。在第二部分中，我们得到了调和-里奇流下Laplacian特征值的单调性公式。最后，我们得到了调和里奇流的收缩熵和扩张熵的一阶变分。
Short-time existence of the Ricci flow on complete, non-collapsed $3$-manifolds with Ricci curvature bounded from below
证明了对任意完备三流形，若其里奇曲率和半径为1的球的体积都有下界，则里奇流的解在短时间内存在.事实上，我们的证明也产生了一个（非规范）的方式来流动和正则化的一些内部区域的非完整的初始数据满足上述范围。
Non-Kahler Ricci flow singularities modeled on Kahler-Ricci solitons
我们调查黎曼（非Kahler）里奇流的解决方案，开发有限时间的I型奇点和目前的证据有利于一个猜想，抛物重新缩放的奇点收敛到奇点模型，收缩Kahler-Ricci孤子。具体来说，这些解的奇异性模型预计将是[FIK 03]中发现的“排污孤立子”。我们的部分结果支持了在里奇流作用下的吹倒孤子是稳定的猜想，以及在里奇流作用下Kahler度量的子空间的约束稳定性.
On Ricci flows with closed and smooth tangent flows
本文考虑了在Bamler [Bam 20 c]意义下允许闭光滑切流的里奇流。所讨论的切流既可以是古里奇流在无穷远处的切流，也可以是里奇流在奇点处发展有限时间奇点的切流。（2）如果具有有限时间奇点的里奇流有一个闭奇点模型，则奇点是I型的，奇点模型是奇点处的切流;这回答了[CCGGIIKLLN 10]中提出的一个问题，（3）一个描述古里奇流的二分法定理，它允许一个封闭的光滑的向后序列极限。
On the stability of harmonic maps under the homogeneous Ricci flow
本文研究了调和映射在齐次里奇流下的稳定性和不稳定性。我们提供的例子中的稳定性（非稳定性）下保持里奇流和一个例子中的里奇流不保持稳定的调和映射。
Ricci Flow with Ricci Curvature and Volume Bounded Below
我们证明了一个简单连通的闭四维里奇流，其里奇曲率在下有界且其体积不接近于零，在任意有限时间奇点处都必须收敛到一个$C^{0}$ orbifold，从而通过orbifold里奇流有一个通过奇点的扩展.此外，基于任何轨道点的流的I型爆破在Gromov-Hausdorff意义下收敛到平坦锥，而不传递到子序列。此外，我们证明了$L^{p}$界的曲率张量的时间切片的任何$p<2$。在更高的维度，我们表明，每一个奇点的流动是一个II型点，任何切线流在奇点是一个静态流对应的Ricci平锥。
Ricci Flow of Compact Locally Homogeneous Geometries on 5-Manifolds
本计画旨在分析五维流形中里奇流的行为。里奇流由理查德·汉密尔顿于1982年提出，是证明几何化和庞加莱猜想的重要工具。一般情况下，里奇流是一个非线性偏微分方程，其解是相当困难的计算;然而，在齐次流形，里奇流减少到常微分方程。里奇流在二维、三维和四维齐次流形中的行为已经被计算出来，并得到了很好的理解。本文的工作将描述如何更好地理解里奇流在某一类五维齐次流形中的行为。
On the weighted forward reduced Entropy of Ricci flow
本文首先介绍了里奇流的加权前向约化体积。与里奇流的扩张子有关的加权向前约化体积在非紧流形上得到了定义，并且在里奇流下单调非增.此外，我们证明了与Perelman约化体积相同，加权约化体积熵具有$(4π)^{\frac{n}{2}}$的充要条件是里奇流是平坦欧几里得空间上的平凡流.
Conformal Ricci flow on asymptotically hyperbolic manifolds
本文研究了渐近双曲流形上共形里奇流的短时存在性。我们还证明了共形里奇流的局部Shi型曲率导数估计。
Pseudolocality of Ricci Flow under Integral Bound of Curvature
证明了紧致里奇流在曲率的局部积分界下的一个伪局部性定理。主要工具是Deane Yang在[4]中引入的局部里奇流和Perelman在[3]中的伪局部性定理。我们还研究了局部里奇流的曲率导数和光滑延拓的L^p界.
On the Conditions to Extend Ricci Flow
沿着闭流形上的里奇流解，我们证明了如果里奇曲率从下到上是一致有界的，那么一个数量曲率积分界就足以扩展流.而且，这种积分边界条件在某种意义上是最优的。
Ricci flow smoothing for locally collapsing manifolds
我们证明了，对于某些局部崩溃的初始数据与里奇曲率有界以下，可以启动里奇流的一段时间。这提供了一个里奇流平滑工具，我们发现拓扑条件，检测崩溃的infranil纤维丛控制黎曼orbifolds之间的局部塌陷区域与里奇曲率有界以下。在附录中，我们还提供了一个局部的距离失真估计某些里奇流与崩溃的初始数据。
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