$N$-dimensional Smorodinsky-Winternitz model and related higher rank quadratic algebra ${\cal SW}(N)$
$N$维Smorodinsky-Winternitz系统是一个极大超可积和精确可解的模型，从不同的方法研究的主题。该模型已被证明是多重可分的波函数由Laguerre和Jacobi多项式。本文给出了该系统的完全对称代数${\cal SW}(N)$，它是一个包含最近发现的Racah代数${\cal R}(N)$作为子代数的高阶二次对称代数.研究了不同二次${\cal Q}(3)$代数及其相关的Casimir代数的子结构.这样，从这些子结构的振子实现的约束出发，得到了$N$维Smorodinsky-Winternitz系统的能谱.我们发现，${\cal SW}(N)$允许不同的一组子结构的基础上的拉卡代数${\cal R}({ N})$，可以独立地应用代数推导出的频谱系统。
2021-06-17 hep-th math-ph math.MP
The 2D Smorodinsky--Winternitz II system and the Laguerre--Heun algebra
Centre de recherches mathématiques, Université de Montréal（蒙特利尔大学数学研究中心）；Département de physique, Université de Montréal（蒙特利尔大学物理系）；Euler International Mathematical Institute（欧拉国际数学研究所）
本文识别了二维 Smorodinsky--Winternitz II 系统的二次对称代数与 Laguerre 型合流 Heun 代数，通过笛卡尔和抛物线坐标下的分离性以及互补算子的代数关系，给出了该系统的直接超可积实现。
2026-05-30 math-ph math.MP
Maximally superintegrable Smorodinsky-Winternitz systems on the N-dimensional sphere and hyperbolic spaces
本文从李代数so_k（N+1）出发，同时研究了ND球面、欧氏空间S^N、欧氏空间E^N和双曲空间H^N上的经典Smorodinsky-Winternitz系统，这些系统包含对曲率k的参数依赖.给出了内禀测地坐标系下哈密顿量及其运动积分的一般表达式。每个李代数生成元产生一个运动积分，从而得到一组N（N+1）/2个积分。此外，2N-1功能独立的识别，这反过来表明，著名的Smorodinsky-Winternitz系统E^N上的极大超可积性时，曲率出现保持。在S^N和H^N上，所得到的系统可以被解释为一个“实际”振子和N个“理想”振子的叠加（对于球体，这些振子与实际振子相似），它们也可以被理解为N个“离心项”;这是在欧几里得极限情况下看到的形式。
2005-01-12 math-ph math.MP nlin.SI
Maximal superintegrability on N-dimensional curved spaces
给出了ND球面、欧氏空间和双曲空间上经典Smorodinsky-Winternitz系统通过李群SO（N+1）、ISO（N）和SO（N，1）的统一代数构造.首先给出了线性环境空间$R^{N+1}$中哈密顿量及其运动积分的一般表达式，然后将它们表示为ND空间上的两个测地坐标系，并以曲率为参数.在球面上，势被解释为N+1个振子的叠加。此外，每个李代数生成元提供了一个运动积分，并明确给出了一组2N-1个功能独立的李代数生成元。用这种方法，我们证明了ND欧几里德Smorodinsky-Winternitz系统对任意曲率值的极大超可积性。
2002-11-08 math-ph math.MP nlin.SI
A Super-Integrable Two-Dimensional Non-Linear Oscillator with an Exactly Solvable Quantum Analog
研究了两个超可积和超可分的经典系统，它们可以看作是二维谐振子和Smorodinsky-Winternitz的形变，并用常曲率空间中的运动来识别，形变参数与曲率有关.在这个意义上，这些系统被认为是一个谐振子和Smorodinsky-Winternitz系统在这样的二维常曲率空间。第一个系统的量子化将进行，它表明，它是超可解的意义上的薛定谔方程减少，在三个不同的坐标系，两个单独的方程，只涉及一个自由度。
2007-02-24 math-ph math.MP nlin.SI
A maximally superintegrable system on an n-dimensional space of nonconstant curvature
本文提出了一个新的n维Hamilton系统，它允许最大数目为2n-1的函数独立的二次首次积分。这个系统被证明是在n维非常曲率黎曼空间上的最大超可积哈密顿量的第一个例子，并且它可以被解释为在这样的空间上的内禀Smorodinsky-Winternitz系统。此外，我们还提供了三种不同的对合积分完备集，并以封闭形式求解了运动方程。
2006-12-26 math-ph math.MP nlin.SI
Two families of superintegrable and isospectral potentials in two dimensions
作为纠缠算符思想的一种推广，本文介绍了一种连接超对称量子力学和量子（超）可积性的代数方法。通过在二维空间中实现该方法，得到了两个超可积等谱定常势无限族。该方法使得有可能执行达布变换在这样一种方式，除了等谱性质，他们获得超可积保持性质。对称发生器是二阶和四阶导数，所有的势都是等谱的，其中一个是Smorodinsky-Winternitz势。给出了势、势的动力学对称生成元、势所服从的代数以及势的简并谱和相应的归一化态的显式表达式。
2002-05-27 math-ph math.MP nlin.SI
Universal integrals for superintegrable systems on N-dimensional spaces of constant curvature
定义在N维球面空间、欧氏空间和双曲空间上的一类经典超可积Hamilton算子族具有一个共同的（2N-3）函数独立运动常数集.其中，两个不同的子集的N个积分的对合（包括汉密尔顿）总是可以明确识别。作为特殊情况下，我们恢复在一个简单的方式大多数的超可积性的Smorodinsky，Winternitz和广义开普勒-库仑系统的常曲率空间，我们引进以及新的类（准最大）超可积的潜力在这些空间。这里给出的结果是所有Hamilton算子的sl（2）Poisson余代数对称性的结果，以及与Poincare和Beltrami坐标相关联的相空间的适当使用。
2006-10-17 math-ph math.MP nlin.SI
Superintegrable Systems, Multi-Hamiltonian Structures and Nambu Mechanics in an Arbitrary Dimension
对任意有限的n，证明了n维极大超可积Hamilton系统的2n-1个运动常数函数独立的一般代数条件.这使得有可能构建，在一个定义良好的通用方式，一个规范化的Nambu括号，产生正确的哈密顿时间演化。建立了任意极大超可积系统的两两相容多Hamilton结构的存在性及其显式形式。Calogero-Moser系统、带电粒子在均匀垂直磁场中的运动和Smorodinsky-Winternitz势被认为是示例性的应用，它们的对称代数以及它们的Nambu公式和替代泊松结构被提出。
2002-12-25 hep-th math-ph math.MP
Classical Multiseparable Hamiltonian Systems, Superintegrability and Haantjes Geometry
我们表明，理论的经典哈密顿系统承认分离变量可以制定的背景下（$ω, \mathscr{H}$）结构。它们是赋有相容Haantjes代数$\mathscr{H}$的辛流形，即Haantjes挠率为零的（1，1）-张量场代数.一类特殊的坐标，称为达布-汉杰斯坐标，将从与可分系统相关的汉杰斯代数构造。这些坐标使相应的哈密尔顿-雅可比方程的变量的加法分离。我们将证明一个多可分系统允许与分离坐标系一样多的$ω\mathscr{H}$结构。特别是，我们将证明，一个大类的多可分，超可积系统，包括Smorodinsky-Winternitz系统和一些物理相关的系统与三个自由度，具有多个Haantjes结构。
2022-01-02 math-ph math.MP nlin.SI
Generalized five-dimensional Kepler system, Yang-Coulomb monopole and Hurwitz transformation
5D开普勒系统具有许多有趣的性质。这个系统是超可积的，并且具有$su(2)$非阿贝尔相互作用（杨-库仑相互作用）。通过Hurwitz变换，该系统也与8D各向同性谐振子相关。我们引入一个新的超可积哈密顿量，它包含在一个5D开普勒系统与Smorodinsky-Winternitz型的新条款。得到了该系统的运动积分。他们生成一个二次代数的结构常数涉及的Casimir算子的$so(4)$李代数。我们还表明，该系统仍然是超可积的$su(2)$ nonAbel的？（广义杨库仑？？）。我们利用抛物坐标系研究了该系统，并通过Hurwitz变换得到了它的对偶，即一个8D奇异振子。这个8D奇异振子也是一个新的超可积系统和多重可分系统。我们得到了它的包含$so(4)$李代数的两个Casimir算子的二次代数。利用这种对应关系，从代数上得到了广义杨库仑体系的能谱。
2012-03-25 hep-th math-ph math.MP
Two-dimensional classical superintegrable systems: polynomial algebra of integrals
本文证明二维经典超可积系统的运动积分生成四维多项式代数，提出不依赖可分离性的构造方法，并应用于多个物理势，显式推导经典轨迹。
2025-06-20 math-ph math.MP
(Quasi)-exact-solvability on the sphere $S^n$
综述了球$S^n$上的精确可解（ES）势，发现并研究了与之相关的准精确可解（QES）势.将球面映射到一个单形上，发现常曲率的度量是多项式形式的，ES和QES势都是有理函数。它们的隐代数是作用于$RP^n$的一阶微分算子实现的有限维表示中的$gl_n$。它表明，薛定谔本征值方程中的变量可以分离在球坐标和一些积分的二阶存在，确保完全可积性。QES系统对$n=2$是完全可积的，对$n\ge 3$是非极大超可积的.不存在可分离的坐标系，在该坐标系中它是精确可解的。我们指出，通过对超可积系统进行压缩，例如由Wigner-Inönü李代数压缩引起的压缩，我们可以找到其他的QES超可积系统，并且我们通过将我们的$S^n$系统压缩为欧氏空间$E^n$上的QES非极大超可积系统来说明这一点，该系统是Smorodinsky-Winternitz势的扩展。
2014-11-08 math-ph math.MP
Quantum two-dimensional superintegrable systems in flat space: exact-solvability, hidden algebra, polynomial algebra of integrals
Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM（墨西哥国立自治大学核科学研究所）；Centre de Recherches Mathématiques, Université de Montreal（蒙特利尔大学数学研究中心）
本文研究了六个二维量子超可积系统，揭示了其精确可解性、隐藏代数结构及多项式积分代数特性。
2026-03-05 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Subalgebras of Lie algebras. Example of sl(3,R) revisited
Institute of Mathematics of NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）；National Taras Shevchenko University of Kyiv（基辅塔拉斯·舍甫琴科国立大学）
本文重访Winternitz的成果，细化实三阶特殊线性李代数的子代数分类并给出正确版本，完成复数域类似分类，改进通用方法并证明其理论基础，还构造出秩二仿射李代数在实、复域上的不等价子代数完整列表。
2026-08-06 math-ph math.MP math.RT
Superintegrability on N-dimensional spaces of constant curvature from so(N+1) and its contractions
利用Lie-Poisson代数so（N+1）和它的某些压缩算子，在ND球面空间、欧氏空间、双曲空间、Minkowski空间和（反）de Sitter空间上构造了一族超可积Hamilton算子.首先给出了一个任意中心势与N个任意离心项的叠加的哈密顿量。这样的系统是准极大超可积的，因为它被赋予了2N-3个函数独立的运动常数（加上哈密顿量）。其次，我们通过选择一个特定的中心势，同时找到剩余的积分，确定了两个最大超可积的哈密顿量。前者是Smorodinsky-Winternitz系统在上述六种空间上的推广，后者是Kepler-Coulomb势的推广，并给出了它的Laplace-Runge-Lenz N-向量.所有的系统和常数的运动明确表示在一个统一的形式，在环境和极坐标，因为它们是参数化的两个收缩参数（曲率和签名的度量）。
2007-07-25 math-ph math.MP nlin.SI
Embedding of the Racah Algebra R($\boldsymbol{n}$) and Superintegrability
秩- $1$ Racah代数$R(3)$在超可积系统理论中起着举足轻重的作用.它表现为$3$ -参数系统在$2$ -球面上的对称代数，由此通过适当的极限和压缩可以得到$2$ D中的所有二阶共形平坦超可积模型. $R(3)$的一个高阶推广，即所谓的秩$n-2$ Racah代数$R(n)$，最近被认为是$(n-1)$ -球面上一般超可积模型的对称代数.在目前的工作中，我们表明，这样的代数结构自然会出现嵌入一个更大的二次代数表征$n$ D超可积模型与非中心条款。这在经典力学和量子力学中都可以通过拉卡和其他生成元的适当（辛或微分）实现来证明。在主要结果中，我们给出了两类$n$维极大超可积模型Smorodinsky-Winternitz系统和广义Kepler-Coulomb系统的完全对称代数的显式构造.对于这两个族，基本对称代数是包含Racah代数$R(n)$作为子代数的高阶二次代数。在经典框架和量子框架下，得到了全二次代数生成元之间的高阶代数关系。这些结果将为在超可积系统的背景下进一步理解二次代数的结构提供新的线索。
2020-10-24 math-ph math.MP
Superintegrability on Three-Dimensional Riemannian and Relativistic Spaces of Constant Curvature
本文构造了一类依赖于任意径向函数的经典超可积Hamilton算子，它们定义在三维球面、欧氏和双曲空间以及（2+1）维反de Sitter、Minkowski和de Sitter时空上.这样的系统承认三个积分的运动（除了汉密尔顿），这是明确给出的环境和测地极坐标。由此产生的表达式以统一的方式覆盖了六个空间，因为这些空间由两个收缩参数化，这两个收缩参数控制每个空间上的曲率和度量签名。接下来的两个最大超可积哈密顿量确定在初始超可积家庭找到其余的运动常数。前一个势是一个（弯曲的）中心谐振子与其他三个谐振子或离心屏障（取决于每个特定的空间）的叠加，因此这推广了Smorodinsky-Winternitz系统。后者是Kepler-Coulomb势与另外两个振子或离心垒的叠加。作为一个副产品，Laplace-Runge-Lenz向量为这些空间推导。此外，这两种潜力进行了详细分析，为每个特定的空间。最后对它们推广到任意维的情况提出了一些看法。
2006-01-27 math-ph math.MP nlin.SI
Polynomial algebras from $su(3)$ and the generic model on the two sphere
基于李代数的超可积系统的构造已经被引入了很多年。然而，这些方法依赖于底层李代数的显式实现，例如作为微分算子。这也是他们相关的对称代数的建设情况下，通常采取的形式，一个二次生成的二次代数。这些代数往往显示结构常数取决于中心元素，特别是对哈密尔顿。在本文中，我们开发了一种新的方法重新检查的情况下，一般的超可积系统的2-球面上的对称代数是已知的Racah代数$R(3)$。这样的模型与共形平坦空间上的59个$2D$超可积系统及其12个等价类有关。我们证明了在$su(3)$的包络代数中使用另外的2、3和4次多项式，可以生成一个仅基于$su(3)$李代数的抽象对易关系的代数，而不需要对表示或实现的显式约束.这种构造依赖于极大阿贝尔子代数，也称为MASA，它是Cartan生成元及其交换子。我们得到了一个新的6维三次代数，其中的结构常数是从一个四次代数减少的整数，其结构常数依赖于Cartan生成元和Casimir不变量。利用$su(3)$的二次和三次Casimir不变量，给出了对称代数的其它形式.只有当使用显式实现时，它才能简化为已知的二次Racah代数$R(3)$。这种代数结构描述了2球面上一般超可积系统的对称性。我们还给出了一个对应于Smorodinsky-Winternitz模型的对称代数的6维三次代数的收缩。
2020-07-22 hep-th math-ph math.MP
