Second version 25 pages, updates of numerical data, improved formulations, and extended discussions on SAT. Third version 42 pages, with SAT solver data (especially for new SAT solver) and improved representation. Fourth version 47 pages, with updates and added explanations
给出了vanderWaerden数w（2;3，t）和新的回文vanderWaerden数pdw（2;3，t）的结果和图解.我们已经计算出新的数w（2; 3，19）= 349，并且我们提供了20 <= t <= 39的下界，其中对于t <= 30，我们推测这些下界是精确的。24 <= t <= 30的下界反驳了w（2;3，t）<= t^2的猜想，并提出了一个改进的猜想.我们还调查了好的分区（证书）中的错误，以更好地理解下界。受这些规则的启发，我们引入 * 回文范德瓦尔登数 * pdw（k; t_0，.，t_{k-1}），定义为普通范德瓦尔登数w（k; t_0，.，t_{k-1}），然而仅允许回文解（良好分区），其定义为从两端读取相同。与普通范德瓦尔登数的情况不同，这些“数”实际上需要是数对。我们计算pdw（2;3，t），其中3 <= t <= 27，并且我们提供下界，其中我们推测t <= 35是精确的。所有的计算都是基于SAT求解，并讨论了SAT求解与拉姆齐理论之间的各种关系。特别是我们介绍了一种新的（开源）SAT求解器，tawSolver，它在这里研究的SAT实例上表现最好，实际上是原始的DLL求解器，但具有高效的实现和现代启发式典型的前瞻求解器（应用第二作者的SAT手册文章中开发的理论）。
英文摘要：
We present results and conjectures on the van der Waerden numbers w(2;3,t) and on the new palindromic van der Waerden numbers pdw(2;3,t). We have computed the new number w(2;3,19) = 349, and we provide lower bounds for 20 <= t <= 39, where for t <= 30 we conjecture these lower bounds to be exact. The lower bounds for 24 <= t <= 30 refute the conjecture that w(2;3,t) <= t^2, and we present an improved conjecture. We also investigate regularities in the good partitions (certificates) to better understand the lower bounds.
Motivated by such reglarities, we introduce *palindromic van der Waerden numbers* pdw(k; t_0,...,t_{k-1}), defined as ordinary van der Waerden numbers w(k; t_0,...,t_{k-1}), however only allowing palindromic solutions (good partitions), defined as reading the same from both ends. Different from the situation for ordinary van der Waerden numbers, these "numbers" need actually to be pairs of numbers. We compute pdw(2;3,t) for 3 <= t <= 27, and we provide lower bounds, which we conjecture to be exact, for t <= 35.
All computations are based on SAT solving, and we discuss the various relations between SAT solving and Ramsey theory. Especially we introduce a novel (open-source) SAT solver, the tawSolver, which performs best on the SAT instances studied here, and which is actually the original DLL-solver, but with an efficient implementation and a modern heuristic typical for look-ahead solvers (applying the theory developed in the SAT handbook article of the second author).
本文将整数和模n整数的等差数列推广到图上。这允许定义图的反范德瓦尔登数。本文的重点是3-term等差数列，一般的边界得到的基础上的半径和直径的图。改进了树和笛卡儿积的一般界，并确定了某些图类的精确值。考虑了较大k项的等差数列，建立了路的Ramsey数与图的反van der Waerden数之间的联系.
对于正整数$r,k_0,k_1,...,k_{r-1},$，范德瓦尔登数$w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$是最小正整数$n$，使得每当$\{1,2,...,n\}$被划分成$r$集合$S_{0},S_{1},...,S_{r-1}$时，存在一些$i$，使得$S_i$包含$k_i$ -项等差数列。我们发现了几个新的精确值的$w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$。此外，对于只有一个$k_i$值不等于2的情况，我们给出了van der Waerden函数的精确公式（只要$k_i$的这一个值不太小）
A sharp threshold for van der Waerden's theorem in random subsets
我们建立了van der Waerden定理在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$随机子集上的阈值的锐度。更准确地说，对于$k\geq 3$和$Z\subseteq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，如果$Z$的任何二次着色产生长度为$k$的单色等差数列，则我们说$Z$具有范德瓦尔登性质。Rödl和Rucibrski（1995）确定了对于任意k的这个性质的阈值，我们证明了这个阈值是尖锐的。这个证明是基于Friedgut的锐阈值标准（1999），以及Balogh，Morris和Samotij（2015）以及Saxton和Samoason（2015）最近开发的超图中独立集的容器方法。
Three-color van der Waerden numbers grow super-exponentially
Stanford University（斯坦福大学）；ETH, Zr̈ich（苏黎世联邦理工学院）
通过构造一个前 $2^{k (\log^* k)/4}$ 个正整数的三着色不含单色 $k$ 项等差数列，证明三色 van der Waerden 数 $w(k;3)$ 的增长速度快于任何指数函数，并给出多色 van der Waerden 数的新下界，解决了 Erdős 和 Graham 关于典范 van der Waerden 数的问题。
Superfilters, Ramsey theory, and van der Waerden's Theorem
超滤子是广义的超滤子，它包含了范德瓦尔登定理等Ramsey理论中的基本概念。我们建立了超滤子的几个性质，推广了自然数上的Ramsey定理及其变形。我们用它们来证实Kočinac和Di Maio的一个猜想，这是Scheepers关于开覆盖选择的Ramsey理论结果的推广。在Bergelson和Hindman的1989年定理之后，我们给出了Ramsey，van der Waerden，Schur，Folkman-Rado-Sanders，Rado等人的定理的一个新的同时推广，其中色集可以比自然数的全集小得多.
Van der Waerden关于等差数列的经典定理指出，对于任何正整数k和r，存在最小正整数w（k，r），使得{1，2，.，w（k，r）}必须包含单色k项等差数列{x，x+d，x+2d，.，x+（k-1）d}。我们研究W（3，r）的以下推广。对于固定的正整数a和b，其中a <= b，定义N（a，b;r）为最小正整数，如果它存在，使得{1，2，.，N（a，b;r）}必须包含形式为{x，ax+d，bx+2d}的单色集合。我们证明了N（a，b; 2）存在的充要条件是b <> 2a，并给出了它的上界和下界，然后证明了对于一个大类的对（a，b），当r足够大时，N（a，b;r）不存在.我们还给出了关于{x，ax+d，ax+2d，.，ax+（k-1）d}。
Rainbow Arithmetic Progressions in Finite Abelian Groups
对于正整数$n$和$k$，$\mathbb{Z}_n$的\emph{anti-van der Waerden number}，用$aw(\mathbb{Z}_n,k)$表示，是为阶为$n$的循环群的元素着色并保证存在长度为$k$的彩虹算术级数所需的最小颜色数。Butler等人根据$n$的素因子给出了$aw(\mathbb{Z}_{n},3) = 3$的约化公式。本文类比地定义了有限交换群$G$的反van der Waerden数，并证明了$aw(G,3)$由$G$的阶和同构于$G$的偶数阶直和群的个数决定.还定义和确定了组的\emph{unitary anti-van der Waerden number}。
Formulating Szemerédi's Theorem in Terms of Ultrafilters
范德瓦尔登定理断言，如果你用五种不同的颜色给自然数着色，那么你总是可以找到任意长的具有相同颜色的数字序列，它们形成一个等差数列。Szemerédi定理推广了这一说法，并断言每一个具有正密度的自然数子集都包含任意长度的等差数列。范德瓦尔登定理可以用初等组合学证明，但也可以用超滤子和斯通-切赫紧化βN给出解释和简短证明。这篇毕业论文给出了一个解释Szemerédi定理方面的超滤波器以及。特别地，van der Waerden定理等价于存在一个具有特殊性质的超滤子，我们将证明Szemerédi定理等价于这样一个事实，即关于βN上的计数测度，几乎所有的超滤子都具有这些性质。
